Tổng hợp kiến thức Toán Lớp 12 - Bài 6: Đồ thị hàm số và sự tương giao

 Trang 214 
BÀI 6. ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ SỰ TƯƠNG GIAO 
Dạng 1: Dựa vào Đồ thị hàm số 
Bài tập 1. Hình dạng có thể có của đồ thị hàm số 3 2y x bx x d= + - + là những hình nào trong các hình sau 
đây? 
(Hình I) (Hình II) (Hình III) (Hình IV) 
 A. (I). B. (III). B. (I) hoặc (III). D. (II) hoặc (IV). 
Hướng dẫn giải. 
Chọn A. 
Hàm số 3 2y x bx x d= + - + có hệ số của 3x dương nên loại (II) và (IV). 
Xét 23 2 1y x bx¢= + - có 2 3 0, .
y
b b¢¢D = + > " Î ¡ Do đó hàm số có hai cực trị. 
Bài tập 2. Biết rằng hàm số ( )3 2 0y ax bx cx d a= + + =/+ có đồ thị là một trong các dạng dưới đây: 
(Hình I) (Hình II) (Hình III) (Hình IV) 
Mệnh đề nào sau đây là đúng? 
 A. Đồ thị như (I) có được khi 0a < và ( ) 0f x¢ = có hai nghiệm phân biệt. 
 B. Đồ thị như (II) có được khi 0a > và ( ) 0f x¢ = có hai nghiệm phân biệt. 
 C. Đồ thị như (III) có được khi 0a > và ( ) 0f x¢ = vô nghiệm. 
 D. Đồ thị như (IV) có được khi 0a > và ( ) 0f x¢ = có có nghiệm kép. 
Hướng dẫn giải. 
Chọn C. 
Bài tập 3. Cho hàm số ( ) 4 2y f x ax bx c= = + + có đồ thị 
như hình bên ( ), , .a b c Î ¡ Tính ( )2 .f 
 A. ( )2 15.f = B. ( )2 16.f = 
 C. ( )2 17.f = D. ( )2 18.f = 
Hướng dẫn giải. 
Chọn C. 
Ta có ( ) ( )3 24 2 2 2 .y f x ax bx x ax b¢ ¢= = + = + 
 Trang 215 
Đồ thị hàm số đi qua các điểm ( ) ( )0;1 , 1; 1A B - và đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại ( )1; 1B - nên ta có hệ 
phương trình: 
( )
( )
( )
0 1 1 2
1 1 1 4.
4 2 0 11 0
f c a
f a b c b
a b cf
ìï = ì ì= =ï ïï ï ïï ï ïï ï ï= - Û + + = - Û = -í í í
ï ï ïï ï ïï ï ï+ = =¢ = ï ïî îïî
Do đó: ( ) ( )4 22 4 1 2 17.y f x x x f= = - + ¾ ¾® = 
Dạng 2: Bảng biến thiên 
Bài tập 1. Cho hàm số ( ) 3 2y f x ax bx cx d= = + + + có bảng biến thiên sau: 
Đồ thị nào trong các phương án A, B, C, D thể hiện hàm số ( )y f x= ? 
A B C D 
Hướng dẫn giải. 
Chọn A. 
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: 
• Hàm số có giá trị cực đại bằng 2 và giá trị cực tiểu bằng 2.- Loại đáp án B và C. 
• Khi x ® + ¥ thì y ® + ¥ nên chỉ có đáp án A là phù hợp. 
Bài tập 2. Cho hàm số ( ) 3 2y f x x ax bx c= = + + + có bảng biến thiên như hình vẽ: 
Tính giá trị của biểu thức 3 .P a b c= + + 
 A. 9.P = - B. 3.P = - C. 3.P = D. 9.P = 
Hướng dẫn giải. 
Chọn B. 
Đạo hàm 23 2 .y x ax b¢= + + 
Phương trình 0y¢= có hai nghiệm là 1- và 3 
3 2 0 3
.
27 6 0 9
a b a
a b b
ì ì- + = = -ï ïï ïÛ Ûí í
ï ï+ + = = -ï ïî î
Lại có ( )3 24 27 9 3 24 3.f a b c c= - ¾ ¾® + + + = - ¾ ¾® = 
Vậy 3 3.P a b c= + + = - 
 Trang 216 
Bài tập 3. Cho hàm số ( ) ( )4 2 0y f x ax bx c a= = + + ¹ có bảng biến thiên như hình vẽ: 
Tính giá trị của biểu thức 2 2 2.P a b c= + + 
 A. 2.P = B. 4.P = C. 6.P = D. 8.P = 
Hướng dẫn giải. 
Chọn C. 
Đạo hàm ( )3 24 2 2 2 .y ax bx x ax b¢= + = + 
Phương trình 0y¢= có nghiệm 1x = 2 0.a bÛ + = ( )1 
Lại có 
( )
( )
0 1 1
21 2
f c
a b cf
ìï = ì =ïï ïÛí í
ï ï + + == ïï îî
. ( )2 
Giải hệ ( )1 và ( )2 , ta được 2 2 21, 2, 1 6.a b c P a b c= - = = ¾ ¾® = + + = 
Bài tập 4. Cho hàm số ( ) ( )4 2 0y f x ax bx a= = + ¹ có bảng biến thiên như hình vẽ: 
Hiệu a b- bằng 
 A. 3.- B. 1.- C. 1. D. 3. 
Hướng dẫn giải. 
Chọn D. 
Đạo hàm ( ) ( )3 24 2 2 2 .f x ax bx x ax b¢ = + = + 
Từ bảng biến thiên, ta có 
( )
( )
( )1 0 2 2 0 1
.
21 1 1
f a b a
bf a b
ì ¢ ìï = ìï + = =ïï ï ïÛ Ûí í í
ï ï ï = -- + = - ïï ï îîî
Dạng 3 : Phép suy đồ thị 
Bài tập 1. Cho hàm số 3 26 9y x x x= - + có đồ thị như Hình 1 . Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào trong bốn 
đáp án A, B, C, D dưới đây? 
Hình 1 Hình 2 
 A. 3 26 9 .y x x x= - + - B. 
3 2
6 9 .y x x x= + + 
 C. 3 26 9 .y x x x= - + D. 
3 26 9 .y x x x= - + 
 Trang 217 
Hướng dẫn giải. 
Chọn D. 
Nhắc lại lí thuyết: Đồ thị hàm số ( )y f x= được suy ra từ đồ thị hàm số ( )y f x= bằng cách 
• Giữ nguyên phần đồ thị hàm số ( )y f x= với 0.x ³ 
• Sau đó lấy đối xứng phần đồ thị vừa giữ ở trên qua trục Oy . 
Bài tập 2. Cho hàm số 3 23 2y x x= + - có đồ thị như Hình 1 . Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây? 
Hình 1 Hình 2 
 A. 
3 23 2.y x x= + - B. 3 23 2 .y x x= + - 
 C. 
3 23 2 .y x x= + - D. 3 23 2.y x x= - - + 
Hướng dẫn giải. 
Chọn B. 
Nhắc lại lí thuyết: Đồ thị hàm số ( )y f x= được suy ra từ đồ thị hàm số ( )y f x= bằng cách 
• Giữ nguyên phần đồ thị hàm số ( )y f x= với 0.y ³ 
• Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số ( )y f x= với 0y < qua trục .Ox 
Bài tập 3. Cho hàm số ( )( )22 1y x x= - - có đồ thị 
như hình vẽ bên. Hình nào dưới đây là đồ thị của 
hàm số ( )22 1y x x= - - ? 
 A. B. C. D. 
Hướng dẫn giải. 
Chọn A. 
Ta có ( )
( )( )
( )( )
2
2
2
2 1 khi 2
.
2 1
2
khi 2
1
x x x
y x x
x x x
é - - ³
= -
ê
= ê
ê- - - <
ë
- 
Suy ra đồ thị của hàm số ( )22 1y x x= - - như sau: 
• Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số ( )( )22 1y x x= - - với 2x ³ (bên phải đường thẳng 2x = ). 
• Lấy đối xứng phần đồ thị ( )( )22 1y x x= - - với 2x < qua trục hoành. 
Hợp hai phần đồ thị ở trên ta được đồ thị hàm số cần tìm. 
 Trang 218 
Bài tập 4. Cho hàm số ( )( )22 1y x x= - - có đồ thị 
như hình vẽ bên. Hình nào dưới đây trong các đáp 
án A, B, C, D là đồ thị của hàm số 
( )21 3 2 ?y x x x= + - + 
 A. B. C. D. 
Hướng dẫn giải. 
Chọn C. 
Ta có ( )
( )( )
( )( )
2
2
2
2 1 khi 1
1 3 2 .
2 1 khi 1
x x x
y x x x
x x x
é - - ³ -ê
= + - + = ê
ê- - - < -
ë
Suy ra đồ thị của hàm số ( )21 3 2y x x x= + - + giống hoàn toàn phần đồ thị của hàm số ( )( )22 1y x x= - - 
với 1x ³ - (bên phải đường thẳng 1x = - ). 
Đối chiếu các đáp án ta 
Bài tập 5. Cho hàm số 
2 1
x
y
x
=
+
 có đồ thị như Hình 1 . Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào trong các đáp 
án A, B, C, D dưới đây? 
Hình 1 Hình 2 
 A. .
2 1
x
y
x
=
+
 B. .
2 1
x
y
x
=
+
 C. .
2 1
x
y
x
=
+
 D. .
2 1
x
y
x
=
+
Hướng dẫn giải. 
Chọn A. 
Bài tập 6. Cho hàm số 
2
2 1
x
y
x
+
=
-
 có đồ thị như Hình 1 . Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào trong các đáp án 
A, B, C, D dưới đây? 
Hình 1 Hình 2 
 A. 
2
.
2 1
x
y
x
æ ö+ ÷ç= - ÷ç ÷çè ø-
 B. 
2
2 1
x
y
x
+
=
-
 C. 
2
.
2 1
x
y
x
+
=
-
 D. 
2
.
2 1
x
y
x
+
=
-
 Trang 219 
Hướng dẫn giải. 
Chọn B. 
Bài tập 7. Đồ thị hàm số 
2 1
1
x
y
x
-
=
-
 có đồ thị 
như hình bên. Hỏi đồ thị hàm số 
2 1
1
x
y
x
-
=
-
có đồ thị là hình nào trong các đáp án sau: 
 A. B. 
 C. D. 
Hướng dẫn giải. 
Chọn C. 
Ta có 
2 1 1
khi 
2 1 1 2
2 1 11
1
.
khi 
2
x
x
x x
y
xx
x
x
ìïï
-
³
- -
ïïï
í
ïïïïïî
= =
--
- <
-
Do đó đồ thị hàm số 
2 1
1
x
y
x
-
=
-
 được suy từ đồ thị hàm số 
2 1
1
x
y
x
-
=
-
 bằng cách: 
• Giữ nguyên phần đồ thị hàm số 
2 1
1
x
y
x
-
=
-
 phía bên phải đường thẳng 
1
.
2
x = 
• Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số 
2 1
1
x
y
x
-
=
-
 phía bên trái đường thẳng 
1
2
x = qua trục hoành. 
Hợp hai phần đồ thị ở trên ta được toàn bộ đồ thị hàm số 
2 1
.
1
x
y
x
-
=
-
Bài tập 8. Trong các đồ thị hàm số sau, đồ thị nào là đồ thị của hàm số 
1
x
y
x
=
-
? 
 Trang 220 
 A. B. 
 C. D. 
Hướng dẫn giải. 
Chọn B. 
Ta có 
 khi 1
1
.
1
 khi 1 
1
x
x
x x
y
xx
x
x
ìïï >ïï -ï= = í
ï- ï - <ïï -ïî
Do đó đồ thị hàm số 
1
x
y
x
=
-
 được suy từ đồ thị hàm số 
1
x
y
x
=
-
 bằng cách: 
• Giữ nguyên phần đồ thị hàm số 
1
x
y
x
=
-
 phía bên phải đường thẳng 1.x = 
• Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số 
1
x
y
x
=
-
 phía bên trái đường thẳng 1x = qua trục hoành. 
Hợp hai phần đồ thị ở trên ta được toàn bộ đồ thị hàm số 
1
x
y
x
=
-
. 
Dạng 4: Xác định dấu của các tham số của hàm số dựa vào tính chất đồ thị 
Bài tập 1. Cho hàm số 3 2y ax bx cx d= + + + có đồ thị 
như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 
 A. 0, 0, 0, 0.a b c d> > 
 B. 0, 0, 0, 0.a b c d< < < < 
 C. 0, 0, 0, 0.a b c d> 
 D. 0, 0, 0, 0.a b c d> > > < 
Hướng dẫn giải. 
Chọn C. 
Ta có 23 2 .y ax bx c¢= + + 
Đồ thị hàm số thể hiện 0;a > cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên 0.d > 
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy CT CÐ CT
CÐ CÐ CT
1 0
1 0 . 0
x x x
x x x
ì ì> + >ï ïï ï¾ ¾®í í
ï ï- < < <ï ïî î
 Trang 221 
0
0
2
0 0 0
3
.
0 0 0
3
a
a
b b
b
a a
c c
c
a a
>
>
ìïï - > ¾ ¾® < ¾ ¾¾® <ïïïÞ í
ïï < ¾ ¾® < ¾ ¾¾® <ïïïî
 Vậy 0, 0, 0, 0.a b c d> 
Bài tập 2: Cho hàm số 3 2y ax bx cx d= + + + có đồ 
thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
 A. 0, 0, 0, 0.a b c d > < 
 B. 0, 0, 0, 0.a b c d < 
 C. 0, 0, 0, 0.a b c d> 
 D. 0, 0, 0, 0.a b c d < < 
Hướng dẫn giải. 
Chọn A. 
Bài tập 3. Cho hàm số 3 2y ax bx cx d= + + + có đồ thị như hình 
vẽ. Khẳng định nào dưới đây là đúng? 
 A. 0, 0.ac bd> > 
 C. 0, 0.ac bd 
Hướng dẫn giải. 
Chọn A. 
Ta có 23 2 .y ax bx c¢= + + 
• Dễ dàng suy ra 0a > và 0.d > 
• Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đều dương nên phương trình 0y¢= có hai nghiệm dương phân biệt, 
suy ra 0
3
c
a
> và 0
2
0 0.
3
ab b
a
>- > ¾ ¾¾® < 
Bài tập 4. Cho hàm số 4 2y ax bx c= + + có đồ thị như hình vẽ 
bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 
 A. 0, 0, 0.a b c> > < < 
 C. 0, 0, 0.a b c> D. 0, 0, 0.a b c < 
Hướng dẫn giải. 
Chọn C. 
Đồ thị hàm số thể hiện 0.a > 
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên 00 0.aab b>< ¾ ¾¾® < 
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên 0.c > 
Vậy 0, 0, 0.a b c> 
Bài tập 5. Cho hàm số 4 2y ax bx c= + + có đồ thị như hình 
vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng? 
 A. 0, 0, 1.a b c = B. 0, 0, 1.a b c> < = 
 C. 0, 0, 1.a b c> > = D. 0, 0, 0.a b c> > > 
Hướng dẫn giải. 
 Trang 222 
Chọn B. 
Bài tập 6. Cho hàm số 4 2y ax bx c= + + có đồ thị như hình vẽ 
bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 
 A. 0, 0, 0.a b c > B. 0, 0, 0.a b c < 
 C. 0, 0, 0.a b c D. 0, 0, 0.a b c< < < 
Hướng dẫn giải. 
Chọn B. 
Bài tập 7. Hàm số ( )4 2 0y ax bx c a= + + ¹ có đồ thị như hình 
vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 
 A. 0, 0, 0.a b c> ³ < £ 
 C. 0, 0, 0.a b c> ³ > D. 0, 0, 0.a b c< < < 
Hướng dẫn giải. 
Chọn A. 
Dựa vào dáng điệu đồ thị suy ra 0a > . 
Hàm số có 1 điểm cực trị nên 00 0.aab b>³ ¾ ¾¾® ³ 
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên 0.c < 
Vậy 0, 0, 0.a b c> ³ < 
Bài tập 8. Hàm số 
ax b
y
cx d
+
=
+
 với 0a > có đồ thị 
như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 
 A. 0, 0, 0.b c d> > < 
 B. 0, 0, 0.b c d> < < 
 C. 0, 0, 0.b c d< < < 
 D. 0, 0, 0.b c d < 
Hướng dẫn giải. 
Chọn A. 
Từ đồ thị hàm số, ta thấy 
• Khi 00 0 0.a
b
y x b
a
>= ¾ ¾® = - • Khi 00 0 0b
b
x y d
d
>= ¾ ¾® = < ¾ ¾¾® < . 
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 00 0.d
d
x c
c
 ¾ ¾¾® > 
Vậy 0, 0, 0.b c d> > < 
Bài tập 99. Hàm số 
bx c
y
x a
-
=
-
 ( 0;a ¹ ), , a b c Î ¡ có 
đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là 
đúng? 
 A. 0, 0, 0.a b c ab> > - < 
 B. 0, 0, 0.a b c ab> > - > 
 C. 0, 0, 0.a b c ab> > - = 
 Trang 223 
 D. ... =
ê- - + = - Û ê - + - = *êë
Để d cắt ( )C tại ba điểm phân biệt ( )*Û có hai nghiệm phân biệt khác 1 
( )
2
0 1 2 0
3.
1 2.1 2 0 3
m
m
m m
ì ì¢D >ï ï - - >ï ïÛ Û Û <í í
ï ï- + - ¹ ¹ï ïî î
Gọi 1 2, x x là hai nghiệm của ( )* . Theo định lí Viet, ta có 1 2 2.x x+ = 
Giả sử 2 1x > thì 1 22 1x x= - < , suy ra 1 21 .x x< < 
Theo giả thiết BA BC= nên B là trung điểm của AC do đó 1Bx = và 1Ax x= , 2Cx x= . Khi đó ta có 
2A C Bx x x+ = nên d luôn cắt ( )C tại ba điểm phân biệt , , A B C thỏa mãn .AB BC= Vậy với 3m < thỏa 
mãn yêu cầu bài toán. 
Bài tập 15. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 23 6 8y x mx mx= - + - cắt trục 
hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. 
 A. 1.m = B. 2, 1.m m= = - C. 1.m = - D. 2.m = 
Hướng dẫn giải. 
Chọn C. 
Ta có 1 3 223 2 Viet
1 2 3 20 .
3
x x xb b
ax bx cx d x x x x
a a
+ =
+ + + = ¾ ¾¾® + + = - ¾ ¾ ¾ ¾® = - 
Phương trình hoành độ giao điểm: 3 23 6 8 0.x mx mx- + - = ( )* 
Từ giả thiết suy ra phương trình ( )* có một nghiệm .x m= 
Thay x m= vào phương trình ( )* , ta được 3 2
1
3 . 6 . 8 0 .
2
m
m mm mm
m
é = -
ê- + - = «
ê =ë
Thử lại: • Với 1,m = - ta được 3 2
4
3 6 8 0 1 :
2
x
x x x x
x
é = -
ê
ê+ - - = Û = -
ê
ê =ë
 thỏa mãn. 
•Với 2,m = ta được 3 26 12 8 0 2 :x x x x- + - = Û = không thỏa mãn. 
Vậy 1m = - là giá trị cần tìm. 
Bài tập 16. Với điều kiện nào của tham số k thì phương trình ( )2 24 1 1x x k- = - có bốn nghiệm phân biệt? 
 A. 0 2.k< < B. 3.k < C. 1 1.k- < < D. 0 1.k< < 
Hướng dẫn giải. 
Chọn D. 
Xét hàm trùng phương ( )2 2 4 24 1 4 4 ,y x x x x= - = - + có 
( )
3
0 0 0
16 8 0 .2 2
1
2 2
x y
y x x y
x y
é = ¾ ¾® =
ê
ê¢ ¢ æ ö= - + ¾ ¾® = Û ê ÷ç ÷ç= ± ¾ ¾® ± =ê ÷ç ÷ê çè øë
YCBT CT CD1 0 1 1 0 1.y k y k kÛ < - < Û < - < Û < < 
 Trang 234 
Biện luận số nghiệm của phương trình ( )4 2 0, 0 .ax bx c m a b+ + = > < ( )1 
Cách 1. Phương trình 4 2ax bx c m+ + = là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm trùng phương 
4 2y ax bx c= + + và đường thẳng y m= (có phương song song với trục hoành) 
Do hệ số 0, 0a b> < nên đồ thị hàm số 4 2y ax bx c= + + có dạng như sau: 
Dựa vào đồ thị ta có: 
• ( )1 vô nghiệm CT .m yÛ < 
• ( )1 có 2 nghiệm CT
CD
.
m y
m y
é =
êÛ
ê >ë
• ( )1 có 3 nghiệm CD.m yÛ = 
• ( )1 có 4 nghiệm CT CD.y m yÛ < < 
Cách 2. Phương trình 4 2 4 2 0.ax bx c m ax bx c m+ + = ¬ ¾® + + - = ( )2 
Do hệ số 0, 0a b> < nên đồ thị hàm số 4 2y ax bx c m= + + - có dạng như sau: 
Ta có các trường hợp sau: 
• ( )2 vô nghiệm CT 0.yÛ > 
• ( )2 có 2 nghiệm CT
CD
0
.
0
y
y
é =
êÛ
ê <ë
• ( )2 có 3 nghiệm CD 0.yÛ = 
• ( )2 có 4 nghiệm CT CD0 .y yÛ < < 
Bài tập 17. Cho hàm số ( )4 2 31y x m m x m= - + + với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để 
đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. 
 A. 1.m > B. 2.m > - C. 2.m > D. 0 1.m< ¹ 
Hướng dẫn giải. 
Chọn D. 
Xét hàm trùng phương ( )4 2 31 ,y x m m x m= - + + có 
( ) ( ) ( )
3
3 22
2 3
0
4 2 1 0 .1 1
2 4
x y m
y x m m x y m m m m
x y m
é = ¾ ¾® =
ê
ê¢ ¢= - + ¾ ¾® = Û + +ê
= ¾ ¾® = - +ê
êë
YCBT Û hàm số có ba điểm cực trị và CT CD0y y< < 
( )
( )
22
3 3
1
0
2
0 1
1
0
4
m m
m
m m
m m
ìï +ï >ïïïÛ Û < ¹í
ï +ïï - + < <ïïïî
. 
Bài tập 18. Cho hàm số ( )4 22 2 4y x m x m= - + + - - với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên 
của m để đồ thị hàm số không có điểm chung với trục hoành? 
 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 
Hướng dẫn giải. 
Chọn C. 
Xét hàm trùng phương ( )4 22 2 4 ,y x m x m= - + + - - có 
 Trang 235 
( )3
2
0
4 4 2 0 .
2
x
y x m x y
x m
é =
ê¢ ¢= - + + ¾ ¾® = Û
ê = +ë
Dựa vào dáng điệu của hàm trùng phương với hệ số của 4x âm, ta có các trường hợp sau thỏa mãn yêu 
cầu bài toán: 
● Hàm số có một cực trị và cực trị đó âm 
( )
2 0 2 0
4 2.
0 0 4 0
m m
m
y m
ì + £ ìï + £ïï ïÛ Û Û - < £ -í í
ï ï< - - <ïï îî
● Hàm số có ba điểm cực trị và giá trị cực đại âm 
( ) 2
2 0 2 0
2 0.
2 0 3 0
m m
m
y m m m
ì + >ï ì + >ïïï ïÛ Û Û - < <í í
ï ï± + < + <ï ïîïî
Kết hợp hai trường hợp ta được { }4 0 3; 2; 1 .mm mÎ- < < ¾ ¾¾® = - - -¢ 
Bài tập 19. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng : 2d y x m= - cắt đồ thị hàm số 
3
1
-
=
+
x
y
x
 ( )C tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. 
 A. 0 1 C. 
3
1
2
< <m . D. 
1
0
3
< <m . 
Hướng dẫn giải. 
Chọn C. 
Phương trình hoành độ giao điểm: ( )
3
2 1
1
x
x m x
x
-
= - ¹ -
+
 ( )( ) 23 2 1 2 2 3 0.x x m x x mx mÛ - = - + Û - - + = ( )* 
YCBT Û ( )* có hai nghiệm dương phân biệt 
0
3
0 1 .
2
0
S m
P
ì ¢D >ïïïïÛ > Û < <í
ïïï >ïî
Bài tập 20. Gọi d là đường thẳng đi qua ( )1;0A và có hệ số góc .m Tìm tất cả các giá trị thực của tham 
số m để d cắt đồ thị hàm số 
2
1
x
y
x
+
=
-
 ( )C tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị. 
 A. 0.m D. 0 1.m< ¹ 
Hướng dẫn giải. 
Chọn C. 
Đường thẳng d có dạng ( )1 .y m x mx m= - = - 
Phương trình hoành độ giao điểm: ( )
2
 1
1
x
mx m x
x
+
= - ¹
-
 ( )( ) ( )
( )
22 1 2 1 2 0.
g x
x mx m x mx m x mÛ + = - - Û - + + - =
144444444442 444444444443
 ( )* 
YCBT Û ( )* có hai nghiệm phân biệt 1 2x x< thỏa mãn 1 21x x< < 
( ) ( )
00
0.
1 0 2 1 2 0
mm
m
mg m m m m
ìì ¹ï¹ï ïïÛ Û Û >í í é ùï ï< - + + - <ï ïî ë ûî
Bài tập 21. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng : = - +d y x m cắt đồ thị hàm số 
2 1
1
- +
=
+
x
y
x
 ( )C tại hai điểm ,A B sao cho 2 2.AB = 
 Trang 236 
 A. 
7
.
1
m
m
é = -
ê
ê =ë
 B. 
7
.
5
m
m
é = -
ê
ê =ë
 C. 
2
.
1
m
m
é = -
ê
ê =ë
 D. 
1
.
1
m
m
é = -
ê
ê =ë
Hướng dẫn giải. 
Chọn A. 
Phương trình hoành độ giao điểm: ( )
2 1
 1
1
x
x m x
x
- +
= - + ¹ -
+
 ( )( ) ( )22 1 1 1 1 0.x x m x x m x mÛ - + = - + + Û - + + - = ( )* 
Để d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt Û ( )* có hai nghiệm phân biệt 
 ( ) ( )
2 3 2 3
1 4 1 0 .
3 2 3
m
m m
m
é > - +êÛ D = + - - > Û ê
< - -êë
Theo đinh lí Viet, ta có 1 2
1 2
1
.
1
x x m
x x m
ì + = +ïï
í
ï = -ïî
 Giả sử ( )1 1;- +A x x m và ( )2 2; .B x x m- + 
YCBT: ( ) ( )
2 22
2 1 1 2 1 22 2 8 2 8 4 4= Û = Û - = Û + - =AB AB x x x x x x 
 ( ) ( )
2 1
1 4 1 4
7
m
m m
m
é =
êÛ + - - = Û
ê = -ë
(thỏa mãn). 
Bài tập 22. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng : 2d y x m= - + cắt đồ thị hàm số 
2
1
x
y
x
=
-
( )C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho độ dài AB ngắn nhất. 
 A. 3.m = - B. 1.m = - C. 1.m = D. 3.m = 
Hướng dẫn giải. 
Chọn C. 
Phương trình hoành độ giao điểm: ( )
2
2 1
1
x
x m x
x
= - + ¹
-
 ( )( ) ( )22 2 1 1 2 0.x x m x x m x mÛ = - + - Û - + + - = ( )* 
Ta có 2 2 9 0, m m mD = - + > " Î ¡ nên d luôn cắt ( )C tại hai điểm phân biệt. 
Gọi 1,x 2x là hai nghiệm của ( )* . Theo định lí Viet, ta có 
1 2
1 2
1
.
2
x x m
x x m
ì + = +ïï
í
ï = -ïî
Giả sử ( )1 1; 2A x x m- + và ( )2 2; 2B x x m- + là tọa độ giao điểm của d và ( )C . 
Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 22
2 1 1 2 1 22 2 8 2 1 8 2 2 1 16 16.AB x x x x x x m m m= - = + - = + - - = - + ³ 
Dấu '' ''= xảy ra 1.mÛ = 
Bài tập 23. Tìm giá trị thực của tham số k sao cho đường thẳng : 2 1d y x k= + + cắt đồ thị hàm số 
2 1
1
x
y
x
+
=
+
 ( )C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho các khoảng cách từ A và B đến trục hoành là bằng 
nhau. 
 A. 4.k = - B. 3.k = - C. 1.k = - D. 2.k = - 
Hướng dẫn giải. 
Chọn C. 
Phương trình hoành độ giao điểm: ( )
2 1
2 1 1
1
x
x k x
x
+
= + + ¹ -
+
 ( )( ) 22 1 2 1 1 2 2 0.x x k x x kx kÛ + = + + + Û + + = ( )* 
Để d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt Û ( )* có hai nghiệm phân biệt 
 Trang 237 
 2
2
2 0
0
k
k k
k
é >
ê¢Û D = - > Û
ê <ë
. 
Gọi 1 2x x¹ là hai nghiệm của ( )* . Giả sử ( )1 1; 2 1A x x k+ + và ( )2 2; 2 1B x x k+ + . 
YCBT : [ ] [ ] 1 2, , 2 1 2 1d A Ox d B Ox x k x k= Û + + = + + 
 ( )1 12 1 2 1x k x kÛ + + = - + + (do 1 2x x¹ ) 
 ( )1 2 4 2 2 4 2 1 .x x k k k kÛ + = - - Û - = - - Û = - thoûa maõn 
Bài tập 24. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng :d y x m= + cắt đồ thị hàm số 
2 1
1
x
y
x
-
=
-
 ( )C 
tại hai điểm phân biệt , A B sao cho tam giác OAB vuông tại ,O với O là gốc tọa độ. 
 A. 2.m = - B. 
1
.
2
m = - C. 0.m = D. 1.m = 
Hướng dẫn giải. 
Chọn A. 
Phương trình hoành độ giao điểm: ( )
2 1
 1
1
x
x m x
x
-
= + ¹
-
 ( )( ) ( )22 1 1 3 1 0.x x m x x m x mÛ - = + - Û + - + - = ( )* 
Để d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt Û ( )* có hai nghiệm phân biệt 
 2 2 5 0, .m m mÛ D = - + > " Î ¡ 
Gọi 1 2, x x là hai nghiệm của ( )* . Theo định lí Viet, ta có 
1 2
1 2
3
.
1
x x m
x x m
ì + = -ïï
í
ï = -ïî
Giả sử ( )1 1;A x x m+ và ( )2 2; .B x x m+ 
YCBT ( )( ) ( ) 21 2 1 2 1 2 1 2. 0 0 2 0OAOB x x x m x m x x m x x mÛ = Û + + + = Û + + + =
uur uur
 ( ) ( ) 22 1 3 0 2 0 2.m m m m m mÛ - + - + = Û + = Û = - 
Bài tập 25. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng : 3d y x m= - + cắt đồ thị hàm số 
2 1
1
x
y
x
+
=
-
( )C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng : 2 2 0,x yD - - = 
với O là gốc tọa độ. 
 A. 2.m = - B. 0.m = C. 
1
.
5
m = - D. 
11
.
5
m = - 
Hướng dẫn giải. 
Chọn D. 
Phương trình hoành độ giao điểm: ( )
2 1
3 1
1
x
x m x
x
+
= - + ¹
-
 ( )( ) ( )22 1 3 1 3 1 1 0.x x m x x m x mÛ + = - + - Û - + + + = ( )* 
Để d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt Û ( )* có hai nghiệm phân biệt 
 2
1
10 11 0 .
11
m
m m
m
é < -
êÛ D = - - > Û
ê >ë
Gọi 1,x 2x là hai nghiệm của ( )* . Theo Viet, ta có 1 2
1
3
m
x x
+
+ = và 1 2
1
.
3
m
x x
+
= 
Giả sử ( )1 1; 3A x x m- + và ( )2 2; 3 .B x x m- + Suy ra 
( )1 21 2 3 2; .
3 3
x x mx x
G
æ ö- + ++ ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
 Trang 238 
YCBT : 
( )1 21 2 3 22. 2 0
3 3
x x mx x
G
- + ++
Î D ¾ ¾® - - = 
( )
( )
1 21 11
2. 2 0 .
9 3 5
m mm
m
- + ++
Û - - = Û = - thoûa maõn 
Câu 65. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng : 2d y x m= + cắt đồ thị hàm số 
2 4
1
x
y
x
-
=
-
 ( )C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho 4 15,IABSD = với I là giao điểm của hai đường tiệm 
cận của đồ thị. 
 A. 5.m= - B. 5.m= C. 5.m = ± D. 0.m = 
Hướng dẫn giải. 
Chọn C. 
Phương trình hoành độ giao điểm: ( )
2 4
2 1
1
x
x m x
x
-
= + ¹
-
 ( )( ) ( )22 4 2 1 2 4 4 0.x x m x x m x mÛ - = + - Û + - - + = ( )* 
Để d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt Û ( )* có hai nghiệm phân biệt 
 2
4
16 0 .
4
m
m
m
é < -
êÛ D = - > Û
ê >ë
Gọi 1 2, x x là hai nghiệm của ( )* . Theo Viet, ta có 1 2
4
2
m
x x
-
+ = và 1 2
4
2
m
x x
-
= . 
Giả sử ( )1 1;2A x x m+ và ( )2 2;2B x x m+ . 
YCBT: [ ] 2 24 15 2 . , 15 2 . 15 4 . 1125
5
IAB
m
S AB d I AB AB AB m= Û = Û = Û = 
 ( ) ( )
2 22 2
1 2 1 2 1 220 1125 4 4 225x x m x x x x m
é ùÛ - = Û + - =ê úë û
 ( ) ( )2 2 216 225 25 5 .m m m mÛ - = Û = Û = ± thoûa maõn