Tổng hợp kiến thức ôn thi đại học môn Toán

) 
I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP 
1. Giai thừa : n! = 1.2...n 
 0! = 1 
 n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n 
2. Nguyên tắc cộng : Trư ờn g hợ p 1 c ó m ca ùch ch ọn, trư ờn g hợ p 2 có n ca ùc h ch ọn ; mỗ i ca ùch c họ n đ ều th uộc 
đú ng mộ t trư ờn g h ợp. K hi đó, tổn g số ca ùc h c họ n la ø : m + n. 
3. Nguyên tắc nhân : Hi ện tư ợ ng 1 c ó m ca ùc h c họ n, mỗi ca ù ch c họ n na øy la ï i c ó n ca ùch ch ọn hi ện tư ợn g 2. K hi 
đó, t ổn g số ca ùc h ch ọn li ên t iế p ha i h iệ n t ượ ng la ø : m x n. 
4. Hoán vị : Có n va ät k ha ùc n ha u , xếp va ø o n c hỗ k ha ùc n ha u. Số ca ùch xế p : Pn = n !. 
5. Tổ hợp : Có n va ät k ha ùc n ha u, chọ n ra k va ät. Số ca ùch c họ n : 
)!kn(!k
!nC kn
−
= 
6. Chỉnh hợp : Có n va ät kha ùc n ha u. Ch ọn ra k va ät, xếp va øo k c hỗ k ha ùc nha u s ố ca ùch : 
= =
−
k k k
n n n k
n !A , A C .P
( n k )!
 Chỉ nh hợ p = tổ h ợp rồ i h oa ùn vị 
7. Tam giác Pascal : 
1 
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
3
3
2
3
1
3
0
3
2
2
1
2
0
2
1
1
0
1
0
0
CCCCC
CCCC
CCC
CC
C
1 1 
1 2 1 
1 3 3 1 
1 4 6 4 1 
 Tín h cha át : 
k
1n
k
n
1k
n
kn
n
k
n
n
n
0
n
CCC
CC,1CC
+
−
−
=+
===
8. Nhị thức Newton : 
 * n0nn
11n1
n
0n0
n
n baC...baCbaC)ba( +++=+ − 
 a = b = 1 : ... 0 1 n nn n nC C ... C 2+ + + = 
 Vớ i a , b ∈ {±1, ±2, ...} , ta chứn g min h đ ược nh iề u đa ún g t h ức c hứa : 
 nn
1
n
0
n C,...,C,C 
 * nnn
1n1
n
n0
n
n xC...xaCaC)xa( +++=+ − 
 Ta chứn g mi nh đ ượ c n hi ều đa úng t hứ c ch ứa nn
1
n
0
n C,...,C,C ba èng ca ùch : 
 - Đa ïo ha øm 1 la àn, 2 la à n, cho x = ±1, ±2, ... a = ±1, ±2, ... 
 - Nha ân v ới xk , đa ïo ha øm 1 la àn , 2 la àn, cho x = ±1, ±2, ... , a = ±1, ±2, ... 
 - Cho a = ±1, ±2, ..., ∫∫
±± 2
0
1
0
...hay ha y 
β
α
∫ 
 Chú ý : 
 * (a + b) n : a , b chứa x. Tìm số ha ïng độc la äp v ới x : k n k k mnC a b Kx
−
= 
 Gia ûi pt : m = 0, ta đ ược k. 
 * (a + b) n : a , b chứa ca ên . Tìm số ha ïn g hữ u t ỷ. 
m r
k n k k p q
nC a b Kc d
−
= 
 Gia ûi hệ pt : 



∈
∈
Zq/r
Zp/m
, tìm đư ợc k 
) 
 * Gia ûi pt , bp t ch ứa ...C,A kn
k
n : đa ët đ iề u k iệ n k, n ∈ N
* ..., k ≤ n. Ca àn biế t đơ n gia û n ca ùc gia i th ừa , qu i đồ ng 
ma ãu số, đa ët th ừa số c hu ng. 
 * Ca àn pha â n bi ệt : q ui ta éc cộ ng va ø qui ta éc n ha ân; hoa ùn vị (x ếp, k hô ng b ốc), tổ hợ p (bố c, khô ng xế p), chỉ n h 
hợ p (bốc rồ i x ếp). 
 * Áp dụ ng s ơ đ ồ nha ù nh đ ể c hia trườ ng h ợp , tra ùn h trù ng la é p hoa ëc t hi ếu trườ ng hợ p. 
 * Vớ i ba øi t oa ùn tìm số ca ùc h ch ọ n th ỏa tín h cha á t p ma ø khi c hi a trường hợ p, ta tha áy số ca ùc h chọn kh ôn g th ỏa 
tí nh c ha át p ít tr ườ ng h ợp hơ n, ta la øm như sa u : 
 số ca ùch c họ n t hỏa p. 
 = số ca ùc h ch ọn tù y ý - số ca ùc h ch ọn kh ôn g th ỏa p. 
 Ca àn vi ết m ện h đề ph ủ đ ịn h p tha ät c hí nh xa ùc. 
 * Vé s ố, số bi ên la i, ba ûn g số x e ... : chữ số 0 c ó t hể đ ứn g đa àu (tín h từ tra ùi sa ng p ha ûi). 
 * Da áu h iệ u ch ia hế t : 
 - Cho 2 : ta än c ùn g la ø 0, 2, 4, 6 , 8. 
 - Cho 4 : ta än c ùn g la ø 0 0 ha y 2 chữ s ố cu ối hợ p tha ø nh số ch i a hết c ho 4. 
 - Cho 8 : ta än c ùn g la ø 0 00 ha y 3 ch ữ số c uố i h ợp t ha øn h số c h ia hế t ch o 8. 
 - Cho 3 : tổ ng ca ùc ch ữ số c hia hết ch o 3. 
 - Cho 9 : tổ ng ca ùc ch ữ số c hia hết ch o 9. 
 - Cho 5 : ta än c ùn g la ø 0 ha y 5. 
 - Cho 6 : ch ia hế t ch o 2 va ø 3. 
 - Cho 2 5 : ta ä n cù ng la ø 00, 2 5, 50, 7 5. 
II- ĐẠI SỐ 
1. Chuyển vế : a + b = c ⇔ a = c – b; a b = c ⇔ 







=
≠
==
b/ca
0b
0cb
 a /b = c ⇔ 



≠
=
0b
bca
; 1n21n2 baba ++ =⇔= 
2n
2n 2n 2n b aa b a b, a b 
a 0
 =
= ⇔ = ± = ⇔ 
≥



α=⇔=
≥
±=
⇔= α
abbloga,
0a
ab
ba 



>
<



<
>
>=
⇔<−<⇔<+
b/ca
0b
b/ca
0b
0c,0b
cab;bcacba 
2. Giao nghiệm : 



<⇔
<
<



>⇔
>
>
}b,amin{x
bx
ax
;}b,amax{x
bx
ax

Γ > ∨< < <  
⇔ ⇔ 
< Γ≥ 
Γ
p
x a p qa x b ( nế u a b)
;
x b VN ( nế u a b) q
 Nh iề u da áu v : v ẽ trụ c để gia o ngh iệm. 
3. Công thức cần nhớ : 
a . : c hỉ đ ượ c b ìn h ph ươ ng nế u 2 vế kh ôn g a âm. La øm ma át ph a ûi đa ët đ iề u ki ện. 
) 



≤≤
≥



⇔≤
=
≥
⇔= 22 ba0
0b
ba,
ba
0b
ba 



≥
≥



∨
≥
<
⇔≥ 2ba
0b
0a
0b
ba 
)0b,anếu(b.a
)0b,anếu(b.aab
<−−
≥
= 
b. . : pha ù . ba èng ca ùch bì nh ph ươ n g : 22 aa = ha y ba èng đị nh n gh ĩa : 
)0anếu(a
)0anếu(a
a
<−
≥
= 
 baba;
ba
0b
ba ±=⇔=



±=
≥
⇔= 
 a b b a b≤ ⇔ − ≤ ≤ 
b 0
a b b 0hay
a b a b
≥
≥ ⇔ <  ≤ − ∨ ≥
 0baba 22 ≤−⇔≤ 
c. Mũ : .1a0nếuy,1anếuy,0y,Rx,ay x ↑>∈= 
0 m / n m m n m nn
m n m n m n m . n n n n
n n n m n
a 1 ; a 1 / a ; a .a a
a / a a ; (a ) a ; a / b (a / b)
a .b (ab) ; a a ( m n, 0 a 1) a = 1
− +
−
= = =
= = =
= = ⇔ = < ≠ ∨
 α=α
><
⇔< alognm a,
)1a0nếu(nm
)1anếu(nm
aa 
d. lo g : y = l oga x , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R 
 y↑ n ếu a > 1, y↓ n ếu 0 < a < 1, α = l og aaα 
 lo ga(M N) = l og aM + lo ga N ( ⇐ ) 
 lo ga(M/ N) = lo gaM – l og aN ( ⇐ ) 
 2aaa
2
a MlogMlog2,Mlog2Mlog == (⇒) 
 lo gaM3 = 3l og aM, l oga c = lo ga b.lo gb c 
 lo gb c = l og ac /l og ab, Mlog
1Mlog aa α
=α 
 lo ga(1 /M) = – lo ga M, lo gaM = l oga N ⇔ M = N 
 a a
0 M N ( ne á u a 1)
log M lo g N
M N 0 ( ne á u 0 a 1)
< ⇔
> > < <
 Kh i la øm toa ù n l og, nế u m iề n xa ùc đ ịn h nớ i rộ ng : dù ng đ iề u k iệ n cha ën la ïi, tra ùnh dù ng c ôn g t hứ c la øm th u hẹ p 
miền xa ùc đ ịn h. Ma át lo g p ha ûi có đ iề u k iệ n. 
4. Đổi biến : 
a . Đơ n g ia ûn : Rxlogt,0at,0xt,0xt,0xt,Rbaxt a
x2 ∈=>=≥=≥=≥=∈+=
 Nế u tro ng đề ba øi có đi ều ki e än của x, ta c hu yể n sa ng đi ều kiệ n c ủa t ba èn g ca ùch bi ến đ ổi tr ực t iế p ba át đa úng 
th ức. 
b. Ha øm số : t = f(x) dù ng B BT đ ể tìm đi ều k iệ n c ủa t. Nế u x c ó th êm đ iề u ki ện, c ho va øo mi ền xa ùc đị nh c ủa f. 
c. Lượ ng g ia ùc : t = si nx, c osx, t g x, cot gx. Dù ng p hé p c hi ếu l ư ợn g gia ùc để tìm đ iề u k iệ n của t. 
d. Ha øm số hợ p : từ ng b ướ c la øm t he o ca ùc ca ùch trên. 
) 
5. Xét dấu : 
a . Đa th ức ha y p ha ân th ức h ữu t ỷ, da áu A/ B g iố ng da áu A.B; b ên pha ûi cù ng da áu h ệ số ba äc ca o n ha át; qua n gh iệm 
đơ n (bộ i lẻ) : đổ i da áu ; q ua ng hi ệm ké p (bộ i cha ü n) : kh ôn g đổ i da áu. 
b. Biể u t hứ c f(x) vô t ỷ : g ia ûi f(x) 0. 
c. Biể u th ức f(x) v ô t ỷ ma ø ca ùc h b k hô ng la øm đ ượ c : x ét tí nh li ên tụ c va ø đơ n đ iệ u c ủa f, n ha åm 1 n gh iệm của pt 
f(x) = 0, pha ùc h ọa đồ th ị của f , suy ra da áu của f. 
6. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α : 
 f(x) = a x2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 
 * S = x1 + x2 = – b /a ; P = x1 x2 = c /a 
 Dù ng S, P để t ín h ca ùc bi ểu th ức đ ối x ứn g n gh iệm. V ới đa ún g th ức g( x1 ,x2 ) = 0 kh ôn g đố i xứn g, gia ûi hệ p t : 





=
+=
=
21
21
x.xP
xxS
0g
 Biế t S, P thỏa S2 – 4P ≥ 0, tì m x1 , x2 từ pt : X2 – SX + P = 0 
 * Dù ng ∆, S, P để so sa ùnh ng hi ệm vớ i 0 : 
 x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0, 0 < x1 < x2 ⇔ 





>
>
>∆
0S
0P
0
 x1 < x2 < 0 ⇔ 





<
>
>∆
0S
0P
0
 * Dù ng ∆, a f(α), S/2 đ ể so sa ùn h ngh iệm vớ i α : x1 < α < x2 ⇔ a f(α) < 0 
 α < x1 < x2 ⇔ 





<α
>α
>∆
2/S
0)(f.a
0
 ; x1 < x2 < α ⇔ 





α<
>α
>∆
2/S
0)(f.a
0
 α < x1 < β < x2 ⇔ 
a.f ( ) 0
a.f ( ) 0
β <

α >
α < β
 ; x1 < α < x2 < β ⇔ 





β<α
>β
<α
0)(f.a
0)(f.a
7. Phương trình bậc 3 : 
a . Vi êt e : a x3 + bx2 + c x + d = 0 
 x1 + x2 + x3 = – b /a , x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = c/a , x1 .x2 .x3 = – d/a 
 Biế t x1 + x2 + x3 = A , x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = B , x1 .x2 .x3 = C 
 th ì x1 , x2 , x3 la ø 3 ngh iệm ph ư ơn g tr ì nh : x3 – Ax2 + B x – C = 0 
b. Số ng hi ệm ph ươ ng tr ìn h ba äc 3 : 
 • x = α ∨ f(x) = a x2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) : 
 3 ng hi ệm p ha ân b iệ t ⇔ 



≠α
>∆
0)(f
0
 2 ng hi ệm p ha ân b iệ t ⇔ 



≠α
=∆
∨



=α
>∆
0)(f
0
0)(f
0
 1 ng hi ệm ⇔ ( )
∆
∆ 
α
 = 0
 < 0 h ay
f = 0
 • Phươ ng tr ìn h ba äc 3 kh ôn g n ha åm được 1 ng hi ệm, m ta ùch đư ợc sa ng 1 v ế : d ùn g sự tư ơ ng g ia o gi ữa (C) : y = 
f(x) va ø (d) : y = m. 
 • Ph ươ ng tr ì nh ba äc 3 k hô ng nha åm đ ượ c 1 ng hi ệm, m k hô ng ta ùch đ ượ c sa n g 1 vế : d ù ng s ự tư ơn g gia o gi ữa 
(Cm) : y = f(x, m) va ø (Ox) : y = 0 
) 
 3 ng hi ệm ⇔ 



<
>∆
0y.y
0
CTCĐ
'y 
 2 ng hi ệm ⇔ 



=
>∆
0y.y
0
CTCĐ
'y 
 1 ng hi ệm ⇔ ∆y ' ≤ 0 ∨ 



>
>∆
0y.y
0
CTCĐ
'y 
c. Phươ ng tr ìn h ba äc 3 có 3 ng hi ệm la äp t ha ønh CSC : 
 ⇔ 



=
>∆
0y
0
uốn
'y
d. So sa ùnh n gh iệm v ới α : 
 • x = xo ∨ f(x) = a x2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) : so sa ùnh ng hi ệm ph ươ ng tr ìn h ba äc 2 f(x) vớ i α. 
 • Kh ôn g nha åm đư ợc 1 n gh iệm, m ta ùch được sa n g 1 vế : d ùn g sự tư ơn g gia o c ủa f(x) = y: (C) va ø y = m: (d) , 
đưa α va ø o BBT. 
 • Kh ôn g n ha åm đư ợc 1 n gh iệm, m khô ng ta ùch đư ợc sa n g 1 vế : d ùn g sự tư ơn g g ia o c ủa (Cm) : y = a x3 + b x2 + 
cx + d (có m) ,(a > 0) va ø (Ox) 
 α < x1 < x2 < x3 ⇔ 
y '
CĐ CT
C Đ
0
y .y 0
y ( ) 0
x
∆ >

<

α <
α <
 x1 < α < x2 < x3 ⇔ 







<α
>α
<
>∆
CT
CTCĐ
'y
x
0)(y
0y.y
0
 x1 < x2 < α < x3 ⇔ 







α<
<α
<
>∆
CĐ
CTCĐ
'y
x
0)(y
0y.y
0
 x1 < x2 < x3 < α ⇔ 
y '
CĐ CT
CT
0
y .y 0
y ( ) 0
x
∆ >

<

α >
 < α
8. Phương trình bậc 2 có điều kiện : 
 f(x) = a x2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), x ≠ α 
 2 ng hi ệm ⇔ 



>∆
≠α
0
0)(f
 , 1 ngh iệm ⇔ 



≠α
=∆



=α
>∆
0)(f
0
0)(f
0
α x1 
α 
x1 x2 
x3 
α x1 
x2 x3 
α x1 x2 
x3 
) 
 Vô ng hi ệm ⇔ ∆ < 0 ∨ 



=α
=∆
0)(f
0
 Nế u a có t ha m số, xé t th êm a = 0 v ới ca ùc trườ ng hợ p 1 n gh iệm, V N. 
9. Phương trình bậc 4 : 
a . Trùng ph ươ ng : a x4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) ⇔ 



=
≥=
0)t(f
0xt 2
 t = x2 ⇔ x = ± t 
 4 ng hi ệm ⇔ 





>
>
>∆
0S
0P
0
 ; 3 ng hi ệm ⇔ 



>
=
0S
0P
 2 ng hi ệm ⇔ 



>
=∆
<
02/S
0
0P
; 1 ng hi ệm ⇔ 



=
=∆



<
=
02/S
0
0S
0P
 VN ⇔ ∆ ... r ⊥ ⇔ /v.v rr = 0 ; / /v // v [ v ,v ]⇔r r r r = 0 ; /// v,v,v rrr đồn g pha ú ng 
 ⇔ 0v].v,v[ /// =rrr 
 [ ]AC,AB
2
1S ABC =∆ 
 [ ]AS.AC,AB
6
1V ABC.S = 
/
'D'C'B'A.ABCD AA].AD,AB[V = 
 A, B, C tha úng ha øng ⇔ AB // AC
uuur uuur
 * ∆ trong m p : H la ø trực ta âm ⇔ 




=
=
0AC.BH
0BC.AH
 H la ø cha â n đư ờn g ca o ha ⇔ 



 =
BC//BH
0BC.AH
 M la ø cha ân pha ân gia ùc tr on g 
∧
A ⇔ MC
AC
ABMB −= 
 M la ø cha ân pha ân gia ùc n gòa i 
∧
A ⇔ MC
AC
ABMB += 
 I la ø ta âm đườn g trò n n goa ïi ti ế p ⇔ IA = IB = IC. 
 I la ø ta âm đư ờn g tròn nộ i ti ếp ⇔ I la ø cha ân pha â n g ia ùc tr on g 
∧
B của ∆ABM v ới M la ø c ha ân ph a ân gia ùc tro ng 
∧
A 
của ∆ABC. 
2. Đường thẳng trong mp : 
 * Xa ùc đ ịn h bở i 1 đi ểm M(xo ,yo ) va ø 1vt cp v = (a ,b) ha y 1 pha ùp vec tơ (A,B) : 
 (d) : 


 −
=
−
+=
+=
b
yy
a
xx:)d(,
btyy
atxx oo
o
o 
 (d) : A(x – xo ) + B(y – yo ) = 0 
 * (d) qua A(a , 0); B(0,b) : 1
b
y
a
x
=+ 
 * (AB) : 
AB
A
AB
A
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
 * (d) : Ax + B y + C = 0 c ó )B,A(n;)A,B(v =−= 
 * (d) // (∆) : Ax + B y + C = 0 ⇒ (d) : Ax + B y + C′ = 0 
 * (d) ⊥ (∆) ⇒ (d) : – Bx + A y + C/ = 0 
 * (d), (d/) ta ïo góc n họ n ϕ t hì : 
 cosϕ = ( )/ /
/
d d
d d
d d
n .n
cos( n ,n )
n . n
≠
uur uuur
uur uuur
uur uuur 
 * d(M,(d)) = 
22
MM
BA
CByAx
+
++
 * Pha ân gia ùc của (d) : Ax + By + C = 0 va ø (d/) : A/ x + B /y + C/ = 0 la ø : 
) 
2/2/
///
22 BA
CyBxA
BA
CByAx
+
++±=
+
++
 /dd
n.n > 0 : pha ân gia ùc g óc tù + , nho ïn – 
 /dd
n.n < 0 : pha ân gia ùc g óc tù – , n h ọn + 
 * Tươ ng g ia o : Xé t h pt tọa đ ộ g ia o đ iểm. 
3. Mặt phẳng trong không gian : 
 * Xa ùc đ ịn h bở i 1 đi ểm M(xo , yo , zo ) va ø 1 pha ùp ve ct ơ : n = (A, B, C) ha y 2 v tcp 'v,v . 
 (P) : A(x – xo ) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0 
 n = [ 'v,v ] 
 (P) : Ax + By + Cz + D = 0 c ó n = (A, B, C). 
 (P) qua A(a ,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) ⇔ (P) : x/a + y/ b + z /c = 1 
 * Cho M(xo , yo , zo ), (P) : Ax + By + Cz + D = 0 
 d(M,(P)) = 
222
ooo
CBA
DCzByAx
++
+++
 * (P) , (P/) ta ïo góc nh ọn ϕ th ì : cos ϕ = )n,ncos( )'P()P( 
 * (P) ⊥ (P/) ⇔ )'P()P( nn ⊥ , (P) // (P/) ⇔ )'P()P( n//n 
4. Đường thẳng trong không gian : 
 * Xa ùc đ ịn h bở i 1 đi ểm M (xo , yo , zo) va ø 1 vtc p v = (a , b, c) ha y 2 pha ùp ve ct ơ : 'n,n : 
 (d) : 
c
zz
b
yy
a
xx:)d(,
ctzz
btyy
atxx
ooo
o
o
o
−
=
−
=





−
+=
+=
+=
 ]'n,n[v = 
 * (AB) : A A A
B A B A B A
x x y y z z
x x y y z z
− − −
= =
− − −
 * (d) = (P) ∩ (P/) : 
0
0
Ax By Cz D
A' x B' y C' z D'
+ + + =

+ + + =
 * (d) qua A, vtc p v th ì : 
 d(M,(d)) = 
v
]v,AM[
 * ϕ la ø góc nh ọn gi ữa (d), (d/) thì : 
 cosϕ = )v,vcos( /dd 
 * ϕ la ø góc nh ọn gi ữa (d), (P) thì : 
 sinϕ = )n,vcos( pd 
 * (d) qua M, vtc p v , (P) có pvt n : 
 (d) ca ét (P) ⇔ n.v ≠ 0 
 (d) // (P) ⇔ n.v = 0 va ø M ∉ (P) 
 (d) ⊂ (P) ⇔ n.v = 0 va ø M ∈ (P) 
) 
 * (d) qua A, vtc p v ; (d /) qua B, vtc p 'v : 
 (d) ca ét (d/) ⇔ [ 'v,v ] ≠ 0 , AB]'v,v[ = 0 
 (d) // (d/) ⇔ [ 'v,v ] = 0 , A ∉ (d/) 
 (d) ché o (d/) ⇔ [ 'v,v ] ≠ 0 , AB]'v,v[ ≠ 0 
 (d) ≡ (d/) ⇔ [ 'v,v ] = 0 , A ∈ (d/) 
 * (d) ché o (d/) : d(d, d /) = 
]'v,v[
AB]'v,v[
 * (d) chéo (d /) , tìm đư ờn g ⊥ chu ng (∆) : tìm ]'v,v[n = ; tìm (P) chứa (d), // n ; tìm (P/) chứa (d/), // 
n ; (∆) = (P) ∩ (P/). 
 * (d) ⊥ (P), ca ét (d/) ⇒ (d) na èm trong mp ⊥ (P), chứa (d/). 
 * (d) qua A, // (P) ⇒ (d) na èm tron g mp ch ứa A, // (P). 
 * (d) qua A, ca ét (d/) ⇒ (d) na èm tron g mp ch ứa A, chứa (d/). 
 * (d) ca ét (d/), // (d//) ⇒ (d) na èm tron g mp c hứa (d/), // (d/ /). 
 * (d) qua A, ⊥ (d/) ⇒ (d) na èm trong mp ch ứa A, ⊥ (d/). 
 * Tìm hc H của M x uố ng (d) : vi ết p t mp (P) qua M, ⊥ (d), H = (d) ∩ (P). 
 * Tìm hc H của M x uố ng (P) : vi ết p t đ t (d) qua M, ⊥ (P) : H = (d) ∩ (P). 
 * Tìm hc v uô ng gó c của (d) xu ốn g (P) : viế t p t mp (Q) ch ứa (d), ⊥ (P); 
 (d/) = (P) ∩ (Q) 
 * Tìm hc so ng s on g của (d) t he o ph ươ ng (∆) xu ốn g (P) : vi ết pt mp (Q) c hứa (d) 
 // (∆); (d/) = (P) ∩ (Q). 
5. Đường tròn : 
 * Đư ờn g trò n (C) xa ùc đị nh bở i t a âm I(a ,b) va ø bk R : (C) : (x – a ) 2 + (y – b) 2 = R2 
 * (C) : x2 + y2 + 2A x + 2By + C = 0 c ó ta âm I(–A,–B), bk R = CBA 22 −+ 
 * (d) tx (C) ⇔ d(I, (d)) = R, ca ét ⇔ R. 
 * Tiế p tu yế n v ới (C) ta ïi M( xo ,yo ) : pha ân đô i t /đ ộ tro ng (C) : 
 (xo –a )(x–a ) + (yo –b)(y– b) = R ha y xo x + yo y + A(xo + x) + B(yo + y) + C = 0 
 * Cho (C) : F(x,y) = x2 + y2 + 2Ax + 2 By + C = 0 th ì PM/(C ) = F(xM, yM) = MB.MA = MT2 = MI 2 – R2 
vớ i MAB : ca ùt t uy ến, MT : ti ếp t uy ến ; M ∈ (C) ⇔ PM/(C) = 0 , M tro ng (C) ⇔ PM/(C) 0. 
 * Trục đa ún g ph ươ ng của (C) va ø (C/) :2(A – A/)x + 2(B – B /)y + (C – C/) = 0 
 * (C), (C/) ngoa øi n ha u ⇔ II / > R + R / : (có 4 t iế p t uy ến ch u ng); tx ng oa øi ⇔ = R + R / (3 ti ếp t uy ến ch un g); 
ca ét ⇔ /RR − < II / < R + R/ (2 t t c h un g); tx tro ng ⇔ = /RR − (1 t t c hu ng la ø tr ục đa úng p hư ơn g) c hứ a 
nha u ⇔ < /RR − (khô ng c ó t t ch un g). 
6. Mặt cầu : 
 * Mc (S) xđ bở i ta âm I (a , b, c) va ø bk R : (S) : (x – a ) 2 + (y – b 2 ) + (z – c) 2 = R2 . 
 * (S) : x2 + y2 + z2 + 2A x + 2 By + 2C z + D = 0 có ta âm I(–A,– B,–C), bk R = 
 DCBA 222 −++ 
 * (P) tx (S) ⇔ d(I,(P)) = R, ca ét ⇔ R. 
 * Pt ti ếp di ện v ới (S) ta ïi M : ph a ân đô i tđ ộ (S). 
 * Cho (S) : F(x, y, z) = 0. PM/(S) = F (xM, yM, zM); PM/(S) = 0 ⇔ M ∈ (S), < 0 
 ⇔ M tron g (S), > 0 ⇔ M ngo a øi (S). 
 * Ma ët đa ún g ph ươ ng của (S) va ø (S/) : 
 2(A – A/)x + 2(B – B/) y + 2( C – C/)z + (D – D/) = 0 
 * Tươ ng g ia o g iữa (S), (S/) : như (C), (C/). 
 * Kh i (S), (S/) tx tron g t hì ti ết d iệ n ch un g la ø ma ët đa ún g ph ươ n g. 
 * Kh i (S), (S/) ca ét nha u t hì mp qua g ia o t uy ến la ø ma ët đa ún g p hư ơn g. 
7. Elip : * cho F1 , F2 , F2F2 = 2c, cho a > c > 0 
) 
 M ∈ (E) ⇔ MF1 + MF2 = 2a . 
 * (E) : 2
2
2
2
b
y
a
x
+ = 1 (a > b > 0) : ti êu đ iểm : F1 (–c,0), F2 (c,0); đỉ nh A1 (–a ,0); A2 (a ,0); B1 (0,–b); B2 (0,b); 
ti êu c ự : F1 F2 = 2c, trục lớ n A 1 A2 = 2a ; trục n hỏ 
B1 B2 = 2b ; ta âm sa i e = c/a ; đư ờn g ch ua ån x = ± a /e; bk q ua t iê u : MF1 = a + e xM, 
MF2 = a – exM; tt vớ i (E) ta ïi M : p ha ân đ ôi t ọa độ (E), 
(E) tx (d) : Ax + B y + C = 0 ⇔ a 2 A2 + b2 B2 = C2 ; a 2 = b2 + c2 . 
 * (E) : 1
a
y
b
x
2
2
2
2
=+ (a > b > 0) : khô ng c h ín h ta éc; t iê u đi ểm : F1 (0,–c), F2 (0,c); đỉnh A1 (0,–a ), A2(0,a ), 
B1 (–b,0), B2 (b,0), tiê u c ự : F1 F2 = 2c ; trụ c l ớn A1 A2 = 2a ; t rục n hỏ B1 B2 = 2 b; ta âm sa i e = c /a ; đ ườ ng ch ua ån y 
= ± a /e ; ba ù n k ín h q ua t iê u M F1 = a + e yM, MF2 = a – e yM; ti ếp tu yế n v ới (E) ta ï i M : p h a ân đô i t ọa đ ộ (E); (E) 
ti ếp x úc (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a2 B2 + b2 A2 = C2 ; a 2 = b2 + c2 (Chú ý : ta át ca û ca ùc kết q ua û của trườ ng h ợp 
na øy su y từ trườ ng hợ p ch ín h t a éc trên ba è ng ca ùc h t ha y x b ởi y, y bở i x). 
8. Hypebol : 
 * Cho F1 , F2 , F2F2 = 2c, cho 0 < a < c. 
 M ∈ (H) ⇔ 21 MFMF − = 2a 
 (H) : 2
2
2
2
b
y
a
x
− = 1 (p t ch ín h ta éc) 
 ti êu đ iểm F1 (–c,0), F2 (c,0); đỉ nh tr.t hự c A1 (–a ,0), A2(a ,0); đỉ nh tr ục a ûo 
B1 (0,–b), B2 (0,b); ti êu c ự F1 F2 = 2c; đ ộ da øi trục th ực A1 A2 = 2a ; đ ộ da øi trục a ûo 
B1 B2 = 2b; ta âm sa i : e = c/a ; đư ờn g chua å n : x = ± a /e; ba ùn kí nh q ua tiê u : M ∈ nha ùnh p ha û i MF1 = exM + a , MF2 = 
exM – a , M ∈ nha ù nh tra ùi MF 1 = – exM – a , 
MF2 = –e xM + a ; t iế p t uy ến v ới (H) ta ïi M : p ha ân đ ôi tọa đ ộ (H); 
(H) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a 2 A2 – b2 B2 = C2 > 0 ; ti ệm ca än y = ± 
a
b
x 
hì nh c hữ nha ät c ơ sở : x = ± a , y = ± b; c2 = a 2 + b2 . 
 (H) : 1
b
x
a
y
2
2
2
2
=− (pt k hô ng c hí nh ta éc) 
 ti êu đi ểm F1 (0,–c), F2 (0,c); đỉ nh trục t hự c A1 (0,–a ), A2 (0,a ); đ ỉn h trục a ûo B1 (–b,0), B2 (b, 0); ti êu cự F1 F2 = 
2c; độ da øi trục th ực A1 A2 = 2 a ; độ da øi trục a ûo B1 B1 = 2 b; t a âm sa i : e = c/a ; đ ườ ng ch ua ån : y = ± a / e; ba ùn kí nh 
qua t iê u : M ∈ n ha ùnh trê n M F1 = eyM + a , MF2 = e yM – a ; M ∈ nha ùn h dư ới MF1 = –e y M – a , MF2 = – e yM + 
a ; tiế p t uy ến vớ i (H) ta ïi M : pha ân đô i tọa đ ộ (H); 
 (H) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a 2 B2 – b2 A2 = C2 > 0; t iệm ca än x = ± 
a
b
y 
 hình ch ữ n ha ät c ơ sở : y= ± a , x = ± b; c2 = a 2 + b2 (chú ý : ta át ca û ca ùc kế t q ua û của trư ờn g hợ p na øy s uy từ trườ ng 
hợ p ch ín h ta éc ba è ng ca ùc h t ha y x bở i y, y bở i x). 
9. Parabol : * Cho F, F ∉ (∆) 
 M ∈ (P) ⇔ MF = d(M,(∆)) 
 (P) : y2 = 2px (p > 0) (ph ươ ng tr ìn h ch ín h ta éc). 
 ti êu đi ểm (p/ 2, 0), đư ờn g ch u a ån x = – p /2 ; ba ù n k ín h q ua ti êu MF = p /2 + xM; ta âm sa i e = 1, t iế p t uy ến vớ i 
(P) ta ïi M : pha ân đô i t ọa đ ộ; ( P) tx (d) : A x + By + C = 0 ⇔ pB2 = 2AC (p : hệ s ố c ủa x tro ng (P) đ i v ới B : he ä 
số của y tron g (d)); tha m số ti êu : p. 
 (P) : y2 = – 2p x (p > 0) (phư ơ ng tr ìn h kh ôn g c hí nh ta éc). 
 ti êu đ iểm (– p/ 2, 0), đư ờn g ch ua ån x = p /2 ; ba ùn kí nh q ua t iê u MF = p/ 2 – xM ; ta âm sa i e = 1, tiế p t uy ến vớ i 
(P) ta ïi M : pha ân đô i tọa đ ộ; ( P) tx (d) : Ax + B y + C = 0 ⇔ pB2 = – 2A C. 
 (P) : x2 = 2py (p > 0) (ph ươ ng tr ìn h kh ôn g c hí nh ta éc). 
 ti êu đi ểm (0, p/ 2), đư ờn g ch u a ån y = – p /2 ; ba ù n k ín h q ua ti êu MF = p /2 + yM; ta âm sa i e = 1, t iế p t uy ến vớ i 
(P) ta ïi M : p ha ân đ ôi tọa độ ; (P) tx (d) : Ax + B y + C = 0 ⇔ pA2 = 2B C (p : hệ s ố c ủa y tro ng (P) đi vớ i A : he ä 
số của x tron g (d)). 
 (P) : x2 = – 2p y (p > 0) (phư ơ ng tr ìn h kh ôn g c hí nh ta éc). 
) 
 ti êu đ iểm (0, – p /2), đư ờn g c hua ån y = p/ 2; ba ùn k ín h q ua t i êu MF = p /2 – yM ; ta âm sa i e = 1, t iế p t uy ến vớ i 
(P) ta ïi M : pha ân đô i tọa đ ộ; 
(P) tx (d) : Ax + B y + C = 0 ⇔ pA2 = – 2B C . 
CH Ú Ý : 
 * Ca àn c ó qua n đ iểm gia û i t íc h k hi la øm t oa ùn hì nh g ia ûi tí ch : đa ët ca âu h ỏi ca àn t ìm g ì? ( đi ểm tr on g mp M(xo ,yo ) : 
2 a ån ; đi ểm tron g kh ôn g gia n (3 a ån); đ ườ ng t ha úng tro ng m p Ax + B y + C = 0 : 3 a ån A, B, C - th ực ra la ø 2 a ån; 
đư ờn g trò n : 3 a ån a , b, R ha y A, B, C; (E) : 2 a ån a , b va ø ca à n bi ết da ïn g ; (H) : n hư (E); (P) : 1 a ån p va ø ca àn b iế t 
da ïng ; mp (P) : 4 a ån A, B, C, D; ma ët ca àu (S) : 4 a ån a , b, c, R ha y A, B, C, D ; đư ờn g tha ún g tr on g k hô n g g ia n ( d) 
= (P) ∩ (Q); đườ ng tròn tron g khô ng gia n (C) = (P) ∩ (S). 
 * Vớ i ca ùc ba øi toa ùn hì nh kh ôn g gia n : ca àn la äp hệ trục t ọa độ.