Tổng hợp Hình học - Ôn thi đại học

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN TẬP 
 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Ôn tập kiến thức cơ bản: 
ÔN TẬP 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho vuông ở A ta có : 
Định lý Pitago : 
AB. AC = BC. AH 
BC = 2AM 
b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a = , 
	 b = c. tanB = c.cot C 
 2.Hệ thức lượng trong tam giác thường:
 * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
 * Định lý hàm số Sin: 
3. Các công thức tính diện tích.
 a/ Công thức tính diện tích tam giác:
 a.ha = với
Đặc biệt :*vuông ở A : ,* đều cạnh a: 
 b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh
 c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng
 d/ Diên tích hình thoi : S = (chéo dài x chéo ngắn)
 d/ Diện tích hình thang : (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao 
 e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao 
 f/ Diện tích hình tròn : 
ÔN TẬP 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
A.QUAN HỆ SONG SONG
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 
I. Định nghĩa:
Đường thẳng và mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung.
II.Các định lý:
ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm trên mp(P) và song song với đường thẳng a nằm trên mp(P) thì đường thẳng d song song với mp(P)
ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo giao tuyến song song với a.
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.
§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung.
II.Các định lý:
ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.
ĐL2: Nếu một đường thẳng nằm một trong hai mặt phẳng song song thì song song với mặt phẳng kia.
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song.
	B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC
§1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I.Định nghĩa:
Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó.
II. Các định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp(P) thì đường thẳng d vuông góc với mp(P).
ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a không vuông góc với mp(P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).
§2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
I.Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.
II. Các định lý:
ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q). 
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P)
ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
§3.KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng:
 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P))
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: 
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P).
d(a;(P)) = OH
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: 
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
d((P);(Q)) = OH
4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
d(a;b) = AB
§4.GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng a và b 
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b. 
2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) 
là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P).
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 900.
3. Góc giữa hai mặt phẳng 
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. 
 Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm
4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì 
trong đó là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’).
ÔN TẬP 3 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I/ Các công thức thể tích của khối đa diện:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
	 V= B.h 
với 
Thể tích khối hộp chữ nhật:
 V = a.b.c 
với a,b,c là ba kích thước
Thể tích khối lập phương:
 V = a3 
với a là độ dài cạnh
2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:
 V=Bh 
với 
3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có:
4. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT:
với 
Chú ý:
1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a, 
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a, 
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d = ,
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = 
3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng 
nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
II/ Bài tập:
Nội dung chính 
 LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ
 Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC = a và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.
Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này.
Lời giải:
 ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên 
 BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 ABCD là hình vuông 
Suy ra B = SABCD = Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 
 Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh 
 a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải:
 Gọi I là trung điểm BC .Ta có
ABC đều nên
.
 Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= 
 Ví dụ 4: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc 
 tấm bìa một hình vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật 
 không có nắp. Tính thể tích cái hộp này. 
Giải
 Theo đề bài, ta có 
AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD là hình vuông có 
AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm 
 và chiều cao hộp h = 12 cm
 Vậy thể tích hộp là 
V = SABCD.h = 4800cm3
 Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 
 600 Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ.
 Tính thể tích hình hộp . 
Lời giải:
Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a
và SABCD = 2SABD = 
Theo đề bài BD' = AC = 
 Vậy V = SABCD.DD' = 
	Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ. ĐS: ; S = 3a2 
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng . Tính thể tích của lăng trụ. Đs: V = 2a3 
Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ. Đs: V = 240cm3 và S = 248cm2
Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết tổng diện tích các mặt bên là 480 cm2 . Tính thể tích lăng trụ . Đs: V = 1080 cm3
Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a . Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = 24a3
Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt của lăng trụ bằng 96 cm2 .Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = 64 cm3
Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của khối lăng trụ bằng trung bình cộng các cạnh đáy. Tính thể tích của lăng trụ.Đs: V = 2888
Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m2 . Tính thể tích khối lập phương Đs: V = 8 m3
Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độ dài một đường chéo của hình hộp là 1 m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật. Đs: V = 0,4 m3
Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là . Tính thể tích khối hộp này . Đs: V = 6
2)Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
	Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác 
 vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600 .
 Tính thể tích lăng trụ.
Lời giải:
 Ta có là hình chiếu của A'B trên đáy ABC . 
 Vậy 
 SABC = 
 Vậy V = SABC.AA' = 
	Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác 
 vuông tại A với AC = a , = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300. 
 Tính AC' và thể tích lăng trụ.
Lời giải: .
Ta có:
nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C).
Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = = 30o 
 V =B.h = SABC.AA'
 là nửa tam giác đều nên 
 Vậy V = 
 Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a
 và đường chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300. 
 Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ . 
 Giải: 
 Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có: và BD là hình chiếu của BD' trên ABCD .
 Vậy góc [BD';(ABCD)] = 
Vậy V = SABCD.DD' = S = 4SADD'A' = 
 Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh 
 a và = 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .
 Tính thể tích của hình hộp.
 Giải
đều cạnh a 
vuông tạiB
 Vậy 
	Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại B biết A'C = a và A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụĐS: 
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại B biết BB' = AB = a và B'C hợp với đáy (ABC) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ ĐS: 
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết AB' hợp với mặt bên (BCC'B') một góc 30o . Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ . ĐS: ; 
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại A biết 
AC = a và biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một góc 30o . 
Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC'. ĐS: , S = 
Bài 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một góc 300 .
 Tính thể tích lăng trụ ĐS: 
Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết rằng A'C hợp với (ABCD) một góc 30o và hợp với (ABB'A') một góc 45o .
 Tính thể tích của khối hộp chữ nhật. Đs: 
Bài 7: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông . Gọi O là tâm của ABCD và OA' = a .Tính thể tích của khối hộp khi:
ABCD A'B'C'D' là khối lập phương .
OA' hợp với đáy ABCD một góc 60o .
A'B hợp  ...  30o .Tính thể tích hình chóp SABC. Đs: 
Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện. Đs: 
Bài 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao SH = h ,nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD, 
 1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
 2) Tính thể tích khối chóp SABCD . Đs: 
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , tam giác SAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABCD. Đs: 
Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB (ABCD) , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABCD. Đs: 
Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam giác SAD vuông cân tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD. Tính thể tích hình chóp SABCD. Đs: 
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD = CD = a ; AB = 2a biết tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD . Đs: 
3) Dạng 3 : Khối chóp đều
Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. 
 Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác 
đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC .
Lời giải:
 Dựng SO(ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC
 Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.
Ta có tam giác ABC đều nên 
 AO = 
.Vậy 
Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a . 
	1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.
	2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
Lời giải:
 Dựng SO (ABCD)
 Ta có SA = SB = SC = SD nên
OA = OB = OC = ODABCD là hình thoi có đường tròn gnoại tiếp nên ABCD là hình vuông .
 Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên vuông tại S 
 Vậy 
Ví dụ 3: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. 
Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC.
Lời giải:
a) Gọi O là tâm của 
 , 
b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MH
 Vậy 
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 	60o . Tính thể tích hình chóp. Đs: 
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên 
 là 45o.
	1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC . Đs: SH = 
	2) Tính thể tích hình chóp SABC. Đs: 
Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy 
 một góc 60o. Tính thể tích hình chóp SABC. Đs: 
Bài 4 : Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o . 
 Tính thể tích hình chóp. Đs: 
Bài 5 : Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh 
 bằng 60o. Tính thể tích hình chóp. Đs: 
Bài 6 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và . 
	1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều. Đs: 
	2) Tính thể tích hình chóp. Đs: 
Bài 7 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên 
 bằng 60o. Tính thể tích hình chóp. Đs: 
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng 
 cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a.
 Tính thể tích hình chóp . Đs: 
Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60o.
Tính thề tích hình chóp. Đs: 
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng 
 SABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của 
 nó bằng . Đs: AB = 3a 
4) Dạng 4 : Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, ,
 SA vuông góc với đáy ABC , 
	1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
	2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng () qua AG và song song 
 với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Lời giải:
a)Ta có: và 
 + 
Vậy: 
b) Gọi I là trung điểm BC.
 G là trọng tâm,ta có : 
 // BC MN// BC 
 Vậy: 
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E.
Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Chứng minh 
Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
?
Lời giải:
a)Tính : 
b)Tacó: 
 Ta có: 
c) Tính :Ta có: 
 Mà , chia cho 
 Tương tự: 
 Từ(*) .Vậy
Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng qua A, B và trung điểm M của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
Lời giải:
 Kẻ MN // CD (N thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).
 + Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = . 
Suy ra VABMN.ABCD =
 Do đó : 
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. 
Hảy xác định mp(AEMF)
Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Tính thể tích khối chóp S.AEMF
Lời giải:
a) Gọi . Ta có (AEMF) //BD EF // BD
b) với 
 + có : 
 Vậy : 
c) Phân chia chóp tứ giác ta có
= VSAMF + VSAME =2VSAMF
 = 2VSACD = 2 VSABC
Xét khối chóp S.AMF và S.ACD 
 Ta có : 
 có trọng tâm I, EF // BD nên:
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
 Chứng minh 
Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
Lời giải:
a) Ta có: 
b) Ta có 
 & Suy ra:
 nên AB'SC .Tương tự AD'SC.
 Vậy SC (AB'D')
c) Tính 
+Tính : Ta có: 
 vuông cân nên 
Ta có: 
 Từ
+ 
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho tứ diên ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diên ABCD. Đs: 
Bài 2: Cho tứ diên ABCD có thể tích 9m3 ,trên AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B',C',D' sao cho AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD'. Tính tể tích tứ diện AB'C'D'. Đs: V = 2 m3
Bài 3: Cho tứ diên đều ABCD có cạnh a. Lấy các điểm B';C' trên AB và AC sao cho . Tính thể tích tứ diên AB'C'D . Đs: 
Bài 4: Cho tứ diênABCD có thể tích 12 m3 .Gọi M,P là trung điểm của AB và CD và lấy N trên AD sao cho DA = 3NA. Tính thể tích tứ diên BMNP. Đs: V = 1 m3
Bài 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh ,đường cao SA = a.Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích hình chóp SAHK. Đs: 
Bài 6: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 27m3 .Lấy A'trên SA sao cho 
SA = 3SA'. Mặt phẳng qua A' và song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD lần lượt tại B',C',D' .Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D'. Đs: V = 1 m3 
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 9m3, ABCD là hình bình hành , lấy M trên SA sao cho 2SA = 3SM. Mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N.Tính thể tích khối đa diên ABCDMN . Đs: V = 4m3
Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao SA = h. Gọi N là trung điểm SC. Mặt phẳng chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB,SDF tại M và P. Tính thể tích khối chóp SAMNP. Đs: 
Bài 9 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của SC.Mặt phẳng qua AI và song song với BD chia hình chóp thành 2 phần.Tính tỉ số thể tích 2 phần này. Đs: 
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA sao cho Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau. Đs: 
5) Dạng 5 : Ôn tập khối chóp và lăng trụ
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông 
 góc đáy. Góc giữa SC và đáy bằng và M là trung điểm của SB.
	1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
	2) Tính thể tích của khối chóp MBCD.
. 
Lời giải:
a)Ta có 
 + 
 + 
b) Kẻ 
 Ta có: , 
Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt 
 bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 60o .Tính thể tích khối chóp.
Lời giải:
Hạ SH, kẽ HEAB, HFBC, HJAC
 suy ra SEAB, SFBC, SJAC . Ta có nên HE =HF = HJ = r
( r là bán kính đường tròn ngọai tiếp )
 Ta có SABC = 
với p = Nên SABC = 
 Mặt khác SABC = p.r 
 Tam giác vuông SHE:
 SH = r.tan 600 = 
 Vậy VSABC = .
 Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có , AD = a, 
 AA’ = a, O là giao điểm của AC và BD.
Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’
Tính thể tích khối OBB’C’.
Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’.
Lời giải:
a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V.
 Ta có :
 * Khối OA’B’C’D’ có đáy và đường cao giống khối hộp nên: 
b) M là trung điểm BC 
c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ 
diện OBB’C’. Ta có : 
 Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. 
 Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’.
Lời giải:
Hình lập phương được chia thành: khối ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’.
 +Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau nên có cùng thể tích.
 Khối CB’D’C’ có 
+Khối lập phương có thể tích: 
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a.
Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC.
E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối CA’B’FE.
Lời giải:
a) Khối A’B’ BC:Gọi I là trung điểm AB, 
b)Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’ và CFA’B’.
+Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường cao A’A nên 
+Gọi J là trung điểm B’C’. Ta có khối A’B’CF có đáy là CFB’, đường cao JA’ nên 
+ Vậy : 
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vuông. AB = AC = a; AA1 = a. M là trung điểm AA1. Tính thể tích lăng trụ MA1BC1 Đs:V = 
Bài 2: Hình chóp SABCD có ∆ABC vuông tại B, SA(ABC). = 60o, 
BC = a, SA = a,M là trung điểm SB.Tính thể tích MABC . Đs: VMABC = 
Bài 3: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, = 90o. ∆SAC và ∆SBD là các tam giác đều có cạnh bằng . Tính thể tích khối chóp SABCD. Đ s: VSABCD = 
Bài 4: Tính thể tích hình chóp tam giác đều SABC trong các trường hợp sau:
Cạnh đáy bằng 1, góc ABC = 60o . Đs: V = 
AB = 1, SA = 2 . Đs: V = 
Bài 5. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông tại A, 
AB = a, AC = a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC. 
 Tính VA’ABC theo a? Đs: V = 
Bài 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD = và góc giữa 2 đường chéo bằng 60o, các cạnh bên nghiêng đều với đáy 1 góc 45o. 
 Tính VSABCD . Đs: 
Bài 7: Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a. ASB = 60o, BSC = 90o,
 CSA = 120o.Chứng minh rằng ∆ABC vuông .Tính VSABC . Đs: 
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a ,SB=và mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB.BC.Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN Đs: 
Bài 9: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC’, C’A’. Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ do (MNE) tạo ra. Đs: k = 1
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,BC,CD.Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP. Đs :