Tổng hợp đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 - Môn thi: Toán

 Së gi¸o dôc - ®μo t¹o 
 Th¸i b×nh 
 K× thi chän häc sinh giái líp 12 
 N¨m häc 2000 - 2001 
 ***** 
 §Ò chÝnh thøc 
 M«n thi : to¸n 
 ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) 
 ******* 
Bµi 1 : ( 4 ®iÓm ) 
 T×m tÊt c¶ gi¸ trÞ cña tham sè a ®Ó ph−¬ng tr×nh : 
3 2x 3x a 0− − = 
 cã ba nghiÖm ph©n biÖt , trong ®ã cã ®óng hai nghiÖm lín h¬n 1 . 
Bµi 2 : ( 6 ®iÓm ) 
 Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é cho c¸c ®−êng th¼ng cã ph−¬ng tr×nh : 
x sin t ycos t cos t 2 0+ + + = , trong ®ã t lµ tham sè . 
 1, Chøng minh r»ng khi t thay ®æi , c¸c ®−êng th¼ng nµy lu«n tiÕp xóc víi 
 mét ®−êng trßn cè ®Þnh . 
 2, Gäi (x0 ; y0) lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh : 
2 2
x sin t ycos t cos t 2 0
x y 2y 3 0
+ + + =⎧⎨ + + − =⎩
 Chøng minh r»ng : 2 20 0x y+ ≤ 9
Bµi 3 : ( 3 ®iÓm ) 
 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè : 
22cos x cos x 1
y
cos x 1
+ += + 
Bµi 4 : ( 4 ®iÓm ) 
 Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é cho hai ®−êng th¼ng d1 , d2 cã ph−¬ng tr×nh : 
(d1) : 4x +3y + 5 = 0 
(d2) : 3x – 4y – 5 = 0 
 H·y viÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn tiÕp xóc víi hai ®−êng th¼ng trªn vµ cã t©m n»m 
 trªn ®−êng th¼ng d cã ph−¬ng tr×nh : x – 6y – 8 = 0 
Bµi 5 : ( 3 ®iÓm ) 
 Chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau ®óng víi mäi x > 0. 
2
x xe 1 x
2
> + + 
w
W
w
.
V
n
M
a
t
h
.
C
o
m
 Së gi¸o dôc - ®μo t¹o 
 Th¸i b×nh 
 K× thi chän häc sinh giái líp 12 
 N¨m häc 2001 - 2002 
 ***** 
 §Ò chÝnh thøc 
 M«n thi : to¸n 
 ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) 
 ******* 
Bµi 1 : ( 6 ®iÓm ) 
 Cho hµm sè: 
22x (m 2)x my
2x m
− + + += − 
 1 ,T×m c¸c ®iÓm cè ®Þnh cña ®å thÞ hµm sè khi m thay ®æi . 
 2 , T×m c¸c ®−êng tiÖm cËn cña ®å thÞ hµm sè . 
 3 , Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè ®· cho cã cùc ®¹i , cùc tiÓu 
Bµi 2 : ( 4 ®iÓm ) 
 1 , T×m m ®Ó : 
2 2 29x 20y 4z 12xy 6xz mzy 0+ + − + + ≥ víi mäi sè thùc x , y , z. 
 2 , Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè a , b , c kh¸c 0 vµ m > 0 tho¶ m·n hÖ thøc : 
a b c 0
m 2 m 1 m
+ + =+ + 
 th× ph−¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc kho¶ng (0 ; 1) 2ax bx c 0+ + =
Bµi 3 : ( 4 ®iÓm ) 
 1, Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hµm sè : 
6 6y cos x sin x a sin x cos= + + x 
 x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña x . 
 2, T×m d¹ng cña tam gi¸c ABC tho¶ m·n : 
cot gA cot gB A B
1000A 1001B 2
− = −⎧⎨ + = π⎩ 
Bµi 4 : ( 4 ®iÓm ) 
 Cho tam gi¸c ABC , gäi d1 , d2 , d3 lµ kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm M n»m phÝa 
 trong tam gi¸c ®Õn c¸c c¹nh cña tam gi¸c . 
 1 , Chøng minh bÊt ®¼ng thøc : 
3
1 2 3
8Sd d , trong ®ã S lµ diÖn tÝch tam d
27abc
≤
 gi¸c ABC ; a , b , c lµ ®é dµi c¸c c¹nh tam gi¸c . 
 2 , LËp bÊt ®¼ng thøc t−¬ng tù cho tø diÖn trong kh«ng gian. 
Bµi 5 : ( 2 ®iÓm ) 
 Cho ®−êng trßn t©m O , ®−êng kÝnh AB = 2R . Qua ®iÓm M thuéc ®−êng trßn 
 , kÎ ®−êng th¼ng MH vu«ng gãc víi AB ( H thuéc AB ) . §iÓm I thuéc ®−êng 
 th¼ng MH tho¶ m·n : IM = 2IH . T×m tËp hîp c¸c ®iÓm I khi M di chuyÓn 
 trªn ®−êng trßn 
 Së gi¸o dôc - ®μo t¹o 
 Th¸i b×nh 
 K× thi chän häc sinh giái líp 12 
 N¨m häc 2002 - 2003 
 ***** 
 §Ò chÝnh thøc 
 M«n thi : to¸n 
 ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) 
 ******* 
Bµi 1 : ( 3 ®iÓm ) 
 Cho hµm sè 
x
2
e v i x
y
x x 1 v i x 0
⎧ ≥⎪= ⎨ + + <⎪⎩
í
í
0
 TÝnh ®¹o hµm cña hµm sè t¹i ®iÓm x = 0 
Bµi 2 : ( 2 ®iÓm ) 
 LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè sau : 
ny x (2 x)= − 2 víi n nguyªn d−¬ng . 
Bµi 3 : ( 2 ®iÓm ) 
 T×m a ®Ó hµm sè sau chØ cã cùc tiÓu mµ kh«ng cã c−c ®¹i : 
4 3 2y x 4ax 3(a 1)x 1= + + + + 
Bµi 4 : ( 3 ®iÓm ) 
 Cho ph−¬ng tr×nh : 3 2x mx 1 0 (1+ − = )
 1, Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh (1) lu«n cã mét nghiÖm d−¬ng . 
 2, X¸c ®Þnh m ®Ó ph−¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt . 
Bµi 5 : ( 6 ®iÓm ) 
 Trong mÆt ph¼ng Oxy cho hai ®iÓm A(a ; 0) , B(0 ; a) (víi a > 0)vµ ®−êng trßn 
 cã ph−¬ng tr×nh : ( )ξ
2 2 2x y 2ax m 2y a+ − − + = 0 ( m lµ tham sè ) 
 1 , Chøng minh r»ng ®−êng trßn ( )ξ tiÕp xóc víi Ox t¹i A . T×m giao ®iÓm thø 
 hai P cña ®−êng trßn ( vµ ®−êng th¼ng AB. )ξ
 2 , LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ( )′ξ ®i qua P vµ tiÕp xóc Oy t¹i B. 
 3 , Hai ®−êng trßn ( vµ ()ξ )′ξ c¾t nhau t¹i P vµ Q . Chøng minh r»ng khi m 
 thay ®æi ®−êng th¼ng PQ lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh . 
Bµi 6 : ( 2 ®iÓm ) 
 LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi 2 ®−êng th¼ng : 
x y 3 0+ − = , 7x y 4 0− + = cã chøa ®iÓm M0(-1 ; 5) 
 Bµi 7 : ( 2 ®iÓm ) 
 Cho c¸c sè thùc x1 , x2 ,  , x2002 , y1 , y2 ,  , y2000 tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau : 
1 2 2002 1 2 2000
1 2 2002 1 2 2000
1) e x x ... x y y ... y
2) x x ... x y y ... y
≤ ≤ ≤ ≤ < ≤ ≤ ≤
+ + + ≥ + + + 
 Chøng minh : 1 2 2002 1 2 2000x x ...x y y ...y>
w
W
w
.
V
n
M
a
t
h
.
C
o
m
 Së gi¸o dôc - ®μo t¹o 
 Th¸i b×nh 
 K× thi chän häc sinh giái líp 12 
 N¨m häc 2003 - 2004 
 ***** 
 §Ò chÝnh thøc 
 M«n thi : to¸n 
 ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) 
 ******* 
Bµi 1 : ( 5 ®iÓm ) 
 Cho hµm sè 
4
2xy 3x x
2
1= − + − 
 1 , Chøng minh r»ng hµm sè cã 3 cùc trÞ . 
 2 , Cho tam gi¸c cã to¹ ®é ®Ønh lµ to¹ ®é c¸c ®iÓm cùc trÞ trªn , t×m to¹ ®é 
 träng t©m tam gi¸c. 
Bµi 2 : ( 4 ®iÓm ) 
 1 , T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M sao cho tõ ®ã cã thÓ kÎ ®−îc 2 tiÕp tuyÕn víi 
 parabol vµ hai tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc nhau. 2y 4x x= −
 2 , TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c cã ®Ønh lµ ®iÓm 
5 17M( ; )
2 4
 vµ c¸c tiÕp ®iÓm cña c¸c 
 tiÕp tuyÕn ®ã ®i qua ®iÓm M. 
Bµi 3 : ( 5 ®iÓm ) 
 1, Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : 
3 3
6 6
x 3x y 3
x y 1
⎧ y− = −⎪⎨ + =⎪⎩
 2, Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh ; 
2 2x 2ax 2 2x 4ax a 2 23 3 x 2ax+ + + + + a− = + + 
Bµi 4 : ( 4 ®iÓm ) 
 Cho hä ®−êng cong ( Cm) cã ph−¬ng tr×nh : 
2 2
2 2
x y 1
m m 16
+ =− 
 trong ®ã m lµ tham sè , m 0 . ,m 4≠ ≠ ±
 1 , Tuú theo gi¸ trÞ cña m , x¸c ®Þnh tªn gäi cña ®−êng cong ®ã . 
 2 , Gi¶ sö A lµ mét ®iÓm tuú ý trªn ®−êng th¼ng x = 1 vµ A kh«ng thuéc trôc 
 hoµnh. Chøng minh r»ng víi mçi ®iÓm A lu«n cã 4 ®−êng cong hä ( Cm) ®i 
 qua A . 
 3 , Khi m = 5 h·y tÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®−êng cong trªn. 
Bµi 5 : ( 2 ®iÓm ) 
 Chøng minh r»ng trong tam gi¸c ABC lu«n cã : 
1 1 1cot gA cot gB cot gC 3 3 2
sin A sin B sinC
⎛ ⎞+ + + ≤ + +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 Së gi¸o dôc - ®μo t¹o 
 Th¸i b×nh 
 K× thi chän häc sinh giái líp 12 
 N¨m häc 2004 - 2005 
 ***** 
 §Ò chÝnh thøc 
 M«n thi : to¸n 
 ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) 
 ******* 
Bµi 1 : ( 5 ®iÓm ) 
 Cho ®−êng cong (Cm) cã ph−¬ng tr×nh : 
3 2y (m 1)x 3(m 1)x (6m 1)x 2m= + − + − − − 
 1 , Chøng minh r»ng (Cm) lu«n ®i qua ba ®iÓm cè ®Þnh th¼ng hµng khi m thay 
 ®æi . 
 2 , T×m tËp hîp c¸c ®iÓm trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é ®Ó (Cm) kh«ng ®i qua víi mäi 
 m . 
Bµi 2 : ( 3 ®iÓm ) 
 X¸c ®Þnh d¹ng cña tam gi¸c ABC nÕu : 
a cosA bcosB ccosC a b c
a sin A bsin B csinC 9R
+ + +=+ +
+
Bµi 3 : ( 4 ®iÓm ) 
 Cho parabol vµ elip 2y x 2x= −
2 2x y 1
9 1
+ = 
 1, Chøng minh r»ng parabol vµ elip lu«n cã bèn giao ®iÓm cã hoµnh ®é x1 , x2 , 
 , x3 ,x4 tho¶ m·n − < 1 2 3 41 x 0 x 1 x 2 x 3< < < < < < <
 2, ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ®i qua 4 giao ®iÓm trªn . 
Bµi 4 : ( 6 ®iÓm ) 
 1, Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : 
3 2
3 2
3 2
2z 1 x x x
2y 1 z z z
2x 1 y y y
⎧ + = + +⎪ + = + +⎨⎪ + = + +⎩
 2 , Gi¶i ph−¬ng tr×nh : 
x x2 21 a 1 a 1
2a 2a
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −− =⎜ ⎟ víi 0 < a < 1 ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Bµi 5 : ( 2®iÓm ) 
 Cho hµm sè f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [ ]0;1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn f(0) = f(1) . 
 Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh : 
1f (x) f (x )
2004
= + 
 lu«n cã nghiÖm thuéc [ ]0;1
w
W
w
.
V
n
M
a
t
h
.
C
o
m
 Së gi¸o dôc - ®μo t¹o 
 Th¸i b×nh 
 K× thi chän häc sinh giái líp 12 
 N¨m häc 2005 - 2006 
 ***** 
 §Ò chÝnh thøc 
 M«n thi : to¸n 
 ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) 
 ******* 
Bµi 1 : ( 5 ®iÓm ) 
 Cho hµm sè : 
3 2x 3x 3x ay
x
− + += 
 1 , T×m a ®Ó ®å thÞ hµm sè trªn cã ba ®iÓm cùc trÞ . 
 2 , Chøng minh r»ng c¸c ®iÓm cùc trÞ nµy lu«n n»m trªn mét parabol cè ®Þnh 
 khi a thay ®æi 
Bµi 2 : ( 4 ®iÓm ) 
 Cho hai ph−¬ng tr×nh : 
2
2
x x 2m 1 0 (1
x 2x 2m 1 0 (2
+ + − =
+ + + =
)
)
 1 , T×m m ®Ó hai ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm chung . 
 2 , T×m m ®Ó mét trong hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh nµy n»m trong kho¶ng 
 hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh kia vµ ng−îc l¹i . 
Bµi 3 : ( 5 ®iÓm ) 
 Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh : 
x x x x
1) 5sin x cos 2x 2cos x 0
2) 2007 2006 2005 2004
+ + =
− = − 
Bµi 4 : ( 4 ®iÓm ) 
 Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho ®−êng trßn cã ph−¬ng tr×nh : 2 2x y+ =1
 1 , ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®−êng trßn t¹i ®iÓm M , biÕt tia OM hîp 
 víi chiÒu d−¬ng trôc Ox mét gãc a. 
 2 , Gi¶ sö khi a thay ®æi tõ 0 ®Õn 
4
π
 , tiÕp tuyÕn trªn thay ®æi theo vµ quýet 
 ®−îc mét miÒn trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é . TÝnh phÇn diÖn tÝch giíi h¹n bëi 
 miÒn ®ã vµ ®−êng th¼ng y = 0 . 
Bµi 5 : ( 2®iÓm ) 
 T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm : 
2 2
2 2
1 mx 2xy 7y
1 m
3x 10xy 5y 2
−⎧ + − ≥⎪ +⎨⎪ + − ≤⎩
 Së gi¸o dôc - ®μo t¹o 
 Th¸i b×nh 
 K× thi chän häc sinh giái líp 12 
 N¨m häc 2006 - 2007 
 ***** 
 §Ò chÝnh thøc 
 M«n thi : to¸n 
 ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) 
 ******* 
Bµi 1 : ( 5 ®iÓm ) 
 Cho hµm sè : 
2
m
x 2x my (
x 2
− += − m 0C ) víi ≠ . 
 1 , T×m m ®Ó ®å thÞ (Cm) c¾t trôc hoµnh t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A , B sao cho 
 c¸c tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ t¹i A , B vu«ng gãc nhau . 
 2 , T×m m ®Ó tam gi¸c t¹o bëi mét tiÕp tuyÕn bÊt k× cña ®å thÞ (Cm) víi hai 
 tiÖm cËn cã diÖn tÝch b»ng 1 . 
Bµi 2 : ( 4 ®iÓm ) 
 1 , Gi¶i ph−¬ng tr×nh : 
cos 2x 1
2
1 12 cos 2x log (3cos 2x 1)
2 2
− + = + − 
 2 , T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña a ®Ó hÖ sau cã nghiÖm : 
2 2 4
2 2 4
x 4xy 12y 72
3x 20xy 80y a
⎧ + + ≥⎪⎨ + + =⎪⎩
Bµi 3 : ( 3 ®iÓm ) 
 Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC . §−êng ph©n gi¸c trong AD ( D ) , BC∈
 ®−êng cao CH ( ) lÇn l−ît cã ph−¬ng tr×nh : x – y = 0 , 2x + y + 3 = 0 . H AB∈
 C¹nh AC ®i qua ®iÓm M(0 ; -1) vµ AB = 2AM . H·y viÕt ph−¬ng tr×nh c¸c c¹nh cña 
tam gi¸c ABC . 
Bµi 4 : ( 2 ®iÓm ) 
 Trªn hÖ to¹ ®é Oxy cho ®−êng (C) cã ph−¬ng tr×nh : 2 2x y 9+ = . T×m m ®Ó 
 trªn ®−êng th¼ng y = m cã ®óng 4 ®iÓm sao cho tõ mçi ®iÓm ®ã kÎ ®−îc ®óng 
 hai tiÕp tuyÕn ®Õn (C) vµ mçi cÆp tiÕp tuyÕn Êy t¹o thµnh mét gãc 45D
Bµi 5 : ( 5®iÓm ) 
 1 , Chøng minh r»ng víi mäi x > 1 ta cã : 
x 1ln x
x
−< 
 2 , T×m sè thùc α tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc : 
1 n1ln(1 )
n
α ≤ −
+
 , víi mäi n nguyªn d−¬ng. 
w
W
w
.
V
n
M
a
t
h
.
C
o
m
 Së gi¸o dôc - ®μo t¹o 
 Th¸i b×nh 
 K× thi chän häc sinh giái líp 12
 N¨m häc 2007 - 2008 
 ***** 
 §Ò chÝnh thøc 
 M«n thi : to¸n 
 ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) 
 ******* 
Bµi 1 : ( 5 ®iÓm) 
 Cho hai sè m , p ( m 0 ). ≠
 XÐt ®å thÞ (Cm):
2 2−= x my
x
 vµ (Cp):
3 (2 1)= − −y x p x 
 1, T×m ®iÒu kiÖn cña m vµ p ®Ó hai ®å thÞ tiÕp xóc nhau. 
 2, Gi¶ sö hai ®å thÞ tiÕp xóc nhau , chøng minh r»ng tiÕp ®iÓm cña chóng 
 thuéc thÞ hµm sè y = x – x3
Bµi 2 : (2 ®iÓm ) 
 BiÕt r»ng ph−¬ng tr×nh : 3 2 0+ + + =x x ax b cã 3 nghiÖm ph©n biÖt . 
 Chøng minh r»ng : a2 – 3b > 0 
Bµi 3 : ( 5 ®iÓm ) 
 1, T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm : 
5log ( 3)
4
2 2
2
1 log ( ) log ( 1)
+⎧ ≥⎪⎨ + − ≥⎪⎩
xx
m x x + 
 2, T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm : 
(2 1) 2 ( 2) 2 1 0− + + − − + − =m x m x m 
Bµi 4 : ( 6 ®iÓm) 
 1, Cho tam gi¸c ... ---------- 
Bμi 1 
Cho x lµ sè thùc d−¬ng. Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ta cã bÊt ®¼ng thøc: 
2 3
1 ...
2! 3! !
n
x x x xe x
n
> + + + + + 
Bμi 2 
Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d−¬ng n tuú ý, ®a thøc sau ®©y kh«ng thÓ cã 
nhiÒu h¬n mét nghiÖm thùc: 
( ) ( )
1
... 1
! 1 ! 1!
n n
n
x x xP x
n n
−
= + + + +− 
Bμi 3. 
Cho hµm sè ( ) 1 5
3
x
x
ay f x
a a
− += = + víi a lµ tham sè d−¬ng 
 1) T×m tËp gi¸ trÞ cña ( )f x . 
 2) T×m a ®Ó tËp gi¸ trÞ cña ( )f x kh«ng thÓ chøa bÊt cø mét sè nguyªn ch½n nµo. 
Bμi 4 
Cho ph−¬ng tr×nh 4 3 2 1 0x ax bx ax+ + + + = cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thùc. T×m gi¸ trÞ 
nhá nhÊt cña 2 2a b+ 
Bμi 5 
Cho ®−êng trßn: ( ) 2 2: 3 0C x y ax+ + = 
 ( ) ( )( )2 2 2 2: 1 2 2 3 0mC m x y ax amy a+ + − − − = 
Trong ®ã a lµ h»ng sè thùc kh¸c 0, m lµ tham sè thùc. Chøng minh ( )mC lu«n c¾t (C) 
t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt vµ c¸c tiÕp tuyÕn t¹i mçi ®iÓm chung Êy lu«n vu«ng gãc víi 
nhau. 
-----------------------------------HÕt----------------------------------- 
Hä vµ tªn thÝ sinh:..................................................... Sè b¸o danh:................. 
 Ghi chó: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. 
§Ò chÝnh thøc 
Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o phó thä 
Kú thi chän häc sinh giái cÊp tØnh líp 12 thpt n¨m häc 2003 - 2004 
M«n To¸n 
Thêi gian lµm bµi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò 
§Ò thi cã 01 trang 
----------------------------------------------------------------------- 
Bµi 1 (2,0 ®iÓm). Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: 
2
2
2
2
x x y
y y x
⎧ + =⎪⎨ + =⎪⎩
Bµi 2 (2,0 ®iÓm) 
Cho hai ®−êng trßn ( ) ( )1 1 2 2; , ;O R O R c¾t nhau t¹i A, B. S lµ mét ®iÓm cè ®Þnh n»m trªn 
®−êng th¼ng AB sao cho A n»m gi÷a S vµ B, mét c¸t tuyÕn thay ®æi ®i qua B c¾t c¸c 
®−êng trßn ( ) ( )1 1 2 2, , ,O R O R lÇn l−ît t¹i M, N. §−êng th¼ng SM c¾t ®−êng trßn ( )1 1,O R 
t¹i ®iÓm thø hai P, ®−êng th¼ng SN c¾t ®−êng trßn ( )2 2,O R t¹i ®iÓm thø hai Q. 
 1- Chøng minh tø gi¸c MPQN néi tiÕp. 
 2- Chøng minh ®−êng trßn ( )C ngo¹i tiÕp tam gi¸c SPQ lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh 
 thø hai kh¸c S. 
 3- Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN, J lµ giao cña SI víi ®−êng trßn ( )C , chøng minh 
 r»ng J lu«n thuéc mét ®−êng trßn cè ®Þnh. 
Bµi 3 (2,0 ®iÓm). Cho a, b, c lµ c¸c sè d−¬ng, chøng minh r»ng: 
4 4 4
3 3 3
4 4 4
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + + 
Bµi 4 (2,0 ®iÓm) 
Cho 1 2, ,..., na a a lµ n ( )2n ≥ sè nguyªn ph©n biÖt. Chøng minh r»ng ®a thøc: 
( ) ( ) ( ) ( )22 21 2 ... 1nP x x a x a x a= − − − + kh«ng thÓ ph©n tÝch ®−îc thµnh tÝch cña hai ®a 
thøc víi hÖ sè nguyªn. 
Bµi 5 (2,0 ®iÓm) 
Cho d·y sè { } 1n nx ∞= tho¶ m·n 2 21 11, 1 1n n n n nx x x x x x+= = + + − − + víi mäi n nguyªn 
d−¬ng. 
 1- Chøng minh r»ng d·y sè trªn cã giíi h¹n. 
 2- T×m giíi h¹n cña d·y sè ®ã. 
-----------------------------------HÕt----------------------------------- 
Hä vµ tªn thÝ sinh:..................................................... Sè b¸o danh:................. 
 Ghi chó: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. 
§Ò chÝnh thøc 
w
W
w
.
V
n
M
a
t
h
.
C
o
m
Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o phó thä 
Kú thi chän häc sinh giái cÊp tØnh líp 12 thpt n¨m häc 2004 - 2005 
M«n To¸n 
Thêi gian lµm bµi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò 
§Ò thi cã 01 trang 
----------------------------------------------------------------------- 
Bµi 1 (2,5 ®iÓm) 
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh sau: 
2
2
2
2
2
2
x x y y
y y z z
z z x x
⎧ + =⎪ + =⎨⎪ + =⎩
Bµi 2 (2,5 ®iÓm) 
Cho d·y sè { } 0n nu ∞= víi 0 1 2 13; 17; 6n n nu u u u u+ += = = − víi mäi n tù nhiªn. 
Chøng minh r»ng: Víi mäi n tù nhiªn ta cã 
2 1
2
n
u −
 lµ mét sè chÝnh ph−¬ng. 
Bµi 3 (3,0 ®iÓm) 
Cho tam gi¸c ABC cã c¸c c¹nh BC=a, CA=b, AB=c vµ b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp 
lµ R. Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c, C¸c ®−êng th¼ng AG, BG, CG lÇn l−ît c¾t ®−êng 
trßn ngo¹i tiÕp t¹i D, E, F t−¬ng øng. Chøng minh r»ng: 
3 1 1 1 1 1 13
R GD GE GF a b c
⎛ ⎞≤ + + ≤ + +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Bµi 4 (2,0 ®iÓm) 
Cho tam gi¸c ABC, gäi ®é dµi c¸c c¹nh t−¬ng øng víi c¸c ®Ønh A, B, C lÇn l−ît lµ a, b, 
c; ®é dµi c¸c ®−êng cao t−¬ng øng lÇn l−ît lµ , ,a b ch h h vµ ®é dµi c¸c ®−êng trung tuyÕn 
t−¬ng øng lµ , ,a b cm m m . Chøng minh r»ng: 
4 4 4 104. . . 9 3a a b b c ch m h m h m S+ + ≥ 
-----------------------------------HÕt----------------------------------- 
Hä vµ tªn thÝ sinh:..................................................... Sè b¸o danh:................. 
 Ghi chó: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. 
§Ò chÝnh thøc 
Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o phó thä 
Kú thi chän häc sinh giái cÊp tØnh líp 12 thpt n¨m häc 2005 - 2006 
M«n To¸n 
Thêi gian lµm bµi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò 
§Ò thi cã 01 trang 
----------------------------------------------------------------------- 
Bμi 1 (2,0 ®iÓm) 
Chøng minh r»ng c¸c ®å thÞ cña hai hµm sè 2
2 11 vµ y= xy x
x
−= − cã ba ®iÓm chung 
ph©n biÖt. T×m t©m vµ b¸n kÝnh ®−êng trßn ®i qua 3 ®iÓm Êy. 
Bμi 2 (2,0 ®iÓm) 
Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh 3 5 6 2x x x+ = + chØ cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ t×m hai 
nghiÖm ®ã. 
Bμi 3 (2,0 ®iÓm) 
T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ mµ tæng x y z+ + cã thÓ nhËn ®−îc, víi x, y, z lµ nghiÖm cña hÖ 
ph−¬ng tr×nh: 
( )
( )
( )
4
4
4
x y y
y z z
z x x
= −⎧⎪ = −⎨⎪ = −⎩
Bμi 4 (2,0 ®iÓm) 
Cho tø diÖn OABC cã c¸c c¹nh OA, OB, OC ®«i mét vu«ng gãc víi nhau, ngo¹i tiÕp 
mét h×nh cÇu b¸n kÝnh r. Gäi h lµ ®é dµi ®−êng cao h¹ tõ O ®Õn mÆt ph¼ng (ABC). Hái 
r»ng trong sè nh÷ng tø diÖn nh− thÕ, tø diÖn nµo cã tØ sè gi÷a h vµ r ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. 
Bμi 5 (2,0 ®iÓm) 
Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh, Gäi K lµ trung ®iÓm cña SC. MÆt 
ph¼ng ®i qua AK c¾t SB, SC tø tù t¹i M vµ N. §Æt 1 . .,S AMKN S ABCDV V V V= = . Chøng 
minh: 
11 3
3 8
V
V
≤ ≤ 
-----------------------------------HÕt----------------------------------- 
Hä vµ tªn thÝ sinh:..................................................... Sè b¸o danh:................. 
 Ghi chó: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. 
§Ò chÝnh thøc 
w
W
w
.
V
n
M
a
t
h
.
C
o
m
Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o phó thä 
Kú thi chän häc sinh giái cÊp tØnh líp 12 thpt n¨m häc 2006 - 2007 
M«n To¸n 
Thêi gian lµm bµi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò 
§Ò thi cã 01 trang 
----------------------------------------------------------------------- 
Bμi 1 (2,0 ®iÓm) 
 a) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: 27 7.3 6 0x x− + ≤ 
 b) Cho 2006 sè d−¬ng 1 2 2006, ,...,x x x cã tæng b»ng 2050. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña tæng 
3 3 3
1 2 2006...S x x x= + + + 
Bμi 2 (2,0 ®iÓm) 
 a) TÝnh ®¹o hµm cña hµm sè: ( ) 3 31 1f x x x= + + − 
 b) Chøng minh bÊt ®¼ng thøc: 3 33 3 33 3 3 3 2 3+ + − < 
Bμi 3 (2,0 ®iÓm) 
Chøng minh trong mäi tam gi¸c ta cã 
4 3cos cos .cos
2 2 2 9
A B C ≤ 
Bμi 4 (2,0 ®iÓm) 
Trong tø diÖn ABCD c¸c c¹nh DB vµ DC vu«ng gãc vèi nhau vµ ch©n ®−êng vu«ng 
gãc h¹ tõ D xuèng mÆt ph¼ng (ABC) trïng víi trùc t©m cña tam gi¸c ABC. Chøng 
minh r»ng 
( ) ( )2 26AB BC CA AD BD CD+ + ≤ + + 
Víi tø diÖn nµo th× x¶y ra dÊu ®¼ng thøc? 
Bμi 5 (2,0 ®iÓm) 
Cho hai ®−êng trßn C(I; R) vµ C'(I'; R') cã t©m vµ b¸n kÝnh thay ®æi nh−ng lu«n tiÕp 
xóc víi mét ®−êng th¼ng cè ®Þnh thø tù t¹i hai ®iÓm cè ®Þnh A vµ A'. Ta nãi r»ng hai 
®−êng trßn nµy c¾t nhau theo gãc α nÕu hai tiÕp tuyÕn víi hai ®−êng trßn t¹i giao 
®iÓm cña chóng t¹o víi nhau mét gãc α . 
 a) Chøng minh r»ng hai ®−êng trßn (C) vµ (C') c¾t nhau theo gãc α khi vµ chØ khi 
2 2 2' ' 'cosII R R RR α= + ± II' 
 b) T×m tËp hîp giao ®iÓm M cña (C) vµ (C') 
-----------------------------------HÕt----------------------------------- 
Hä vµ tªn thÝ sinh:..................................................... Sè b¸o danh:................. 
 Ghi chó: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. 
§Ò chÝnh thøc 
Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o phó thä 
Kú thi chän häc sinh giái cÊp tØnh líp 12 thpt n¨m häc 2007 - 2008 
M«n To¸n 
Thêi gian lµm bµi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò 
§Ò thi cã 01 trang 
----------------------------------------------------------------------- 
C©u 1 (1,5 ®iÓm) 
Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 2 33 2 4 4 1 0x x x− + − + = 
C©u 2 (2,0 ®iÓm) 
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: 
3 2
3 2
3 2
3 1 2 3
3 1 2 3
3 1 2 3
x y y y
y z z z
z x x x
⎧ − = − +⎪ − = − +⎨⎪ − = − +⎩
C©u 3 (1,5 ®iÓm) 
Cho tam gi¸c ABC, ®−êng trßn t©m I néi tiÕptam gi¸c tiÕp xóc víi c¹nh BC t¹i D, kÎ 
®−êng kÝnh DM cña ®−êng trßn, ®−êng th¼ng AM c¾t c¹nh BC t¹i N. Chøng minh r»ng 
BN=CD. 
C©u 4 (2,0 ®iÓm) 
Cho d·y sè { } 1n nx ∞= th¶o m·n 1 11 3,6 2 1nn n
xx x
x+
= = + víi mäi n nguyªn d−¬ng. 
 1) Chøng minh r»ng d·y sè trªn cã giíi h¹n vµ tÝnh giíi h¹n ®ã. 
 2) T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè ®· cho. 
C©u 5 (1,0 ®iÓm) 
T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d−¬ng n sao cho bÊt ®¼ng thøc 
( )2 2 2 21 2 1 1 2 1... ...n n n nx x x x x x x x− −+ + + + ≥ + + + 
tho¶ m·n víi mäi sè thùc 1 2,, ..., nx x x x 
C©u 6 (2,0 ®iÓm) 
Cho tø diÖn ABCD cã c¸c cÆp c¹nh ®èi b»ng nhau tõng ®«i mét. Gäi I, J lÇn l−ît lµ 
trung ®iÓm cña c¸c c¹nhk BC vµ AD. 
 1) Chøng minh r»ng IJ lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña BC vµ AD. 
 2) T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M sao cho tæng MA+MB+MC+MD nhá nhÊt. 
-----------------------------------HÕt----------------------------------- 
Hä vµ tªn thÝ sinh:..................................................... Sè b¸o danh:................. 
 Ghi chó: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. 
§Ò chÝnh thøc 
w
W
w
.
V
n
M
a
t
h
.
C
o
m
Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Phó thä 
Kú thi chän häc sinh giái cÊp tØnh líp 12 thpt n¨m häc 2008-2009 
M«n To¸n 
Thêi gian lµm bµi: 180 phót kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò 
§Ò thi cã 01 trang 
-------------------------------------------------------------------------- 
Câu 1 (2,0 điểm) 
Giải bất phương trình 
 ( )( )
4
2
2
2 1 0
log 2 25
x x
x x
− − + ≥− − 
Câu 2 (2,0 điểm) 
Giải hệ phương trình 
 ( )
3 3
2 2
8 2
3 3 1
x x y y
x y
⎧ − = +⎪⎨ − = +⎪⎩
Câu 3 (2,0 điểm) 
Cho hai tia Ox, Oy vuông góc với nhau tạo O. Trên tia Ox, Oy lần lượt lấy các điểm 
A, B không trùng với O sao cho diện tích tam giác OAB bằng S cho trước. Kẻ OH 
vuông góc với AB ( )H AB∈ , gọi 1 2,O O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam 
giác OHA và OHB, đường thẳng 1 2OO lần lượt cắt OA, OB tại I, J. 
 1) Chứng minh tam giác OIJ là tam giác cân. 
 2) Xác định vị trí các điểm A, B sao cho diện tích tam giác OIJ lớn nhất. 
Câu 4 (2,0 điểm) 
Cho dãy số ( )nx thoả mãn ( )( )( )1 11, 1 2 3 1n n n n nx x x x x x+= = + + + + với mọi n nguyên 
dương, đặt ( )
1
1 1,2,3...
2
n
n
i i
y n
x=
= =+∑ . Tìm lim ny . 
Câu 5 (2,0 điểm) 
Cho hình chóp S.ABC, từ điểm O nằm trong tam giác ABC vẽ các đường thẳng lần 
lượt song song với các cạnh SA, SB, SC và cắt các mặt (SBC), (SCA), (SAB) tương 
ứng tại các điểm D, E, F. 
 1) Chứng minh rằng 1OD OE OF
SA SB SC
+ + = 
 2) Xác định vị trí của điểm O để thể tích của hình chóp O.DEF đạt giá trị lớn nhất. 
-----------------------------------HÕt----------------------------------- 
Hä vµ tªn thÝ sinh:..................................................... Sè b¸o danh:................. 
 Ghi chó: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. 
Đề chính thức