Tổng hợp công thức toán học

Mũ 
• 
  
 
 
	
ầ 


  
 
   
• 
  
 

  
 
• 
 
  


  

• 

  
 
•    
  

• 
 ! 
 " 
 ! 
 
# $ ! % 
• & ' ( ' ) 
 ! 
 
# $ ' % 
• 
 ! &* ( +  " 
,-  
.- / 01  21 
• 3
,- ! 
.-
 ! 
 4 # 01 ! 56 
• 3
,- ! 
.-& ' ( ' 
 4 # 01 ' 56 
• 7  18
9:
;<=
>?) 
 + ℝ nếu α nguyên dương. 
 + ℝ + nếu α nguyên âm hay α = 0. 
 + (0 ; + ∞ ) các trường hợp còn lại 
Logarit : >B2 1 
9:
C2DE

FDG

 ! &
* ( + 
* 6 ! & 
• >B2 1  
 / 1  
  
H.IJ  K 
• >B2   &
 >B2 
  
 >B2 
L  F
• >B2 9  >B2  M >B2 9
• 
>B2 N  >B2  O >B2 9 
• >B2 L  F >B2
• >B2   O >B2 
>B2    >B2  
• >B2   >B2 9  >B2 9

 >B2 9
  H.I NH.I  
• >B2   H.P  
>B2Q   L >B2  
• 3>B2 01  >B2 21
 ! &* ( +  / 3 01 ! &01  2144 
• 3>B2 01 ! >B2 21
 !  / 3 21 ! &01 ! 5644 
• 3>B2 01 ! >B2 21& ' ( '  / 3 01 ! &01 ' 5644 
7  0RS1T U 7-V  7WV  S-V 
SXV  SVX O XVSXY 
ZFS[V  OFSVSY 
S \ X \ ]V  SV \ XV \ ]V S X^  S^X M X^S
 SX]V  SVX] M SXV] M SX]V

_
^
  
& 18V  α 18 Z1[V  O 1Y R1TV  `1 aGC 1V  9Ba 1 9Ba 1V  OaGC 1 b
C 1V  9BaY 1 9Bb 1V  O aGCY 1 
-V  
- >C 
 c-V  c- >B2 1V  1>C

 >C 1V  1 
S8V  α S8 Sd ZS[V  O SVSY RSTV  SV`S aGC SV  Sd 9Ba S 9Ba SV  OSd aGC S b
C SV  Sd9BaY S 9Bb SV  O SdaGCY S 
WV  
W SV >C 
 cWV  SdcW >B2 SV  SdS>C

 >C SV  SdS 
e &f1  _ e f1  1 M _ g1 f1  >C h1h M _ e cL-f1  F cL- M _ e 18f1  18α M  M _

 α + O e 
-f1  
->C 
 M _ e aGC F1 f1  OF 9BaF 1 M _ e 9Ba F1 f1  F aGC F1 M _ g 9BaY 1 f1  b
C 1 M _ g aGCY 1 f1  O 9Bb 1 M _ 
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi : 
• 1  
* 1  * 7  01* i1)
j  e h01hf1 
• 1  
* 1  * 7  01* 7  21)
j  e h01 O 21hf1 
• 7  9* 7  f* 1  D7)
j  e hD7hf7kN 
• 7  9* 7  f* 1  D7* 1  F7)
j  e hD7 O F7hf7kN 
Thể tích vật thể tròn xoay: 
• 1  

* 1  * 7  01
* i1
quay quanh Ox : l  me 0Y1f1 
• 7  9
* 7  f* 1  27* i7
quay quanh Oy:

l  me 2Y7f7 
1n  KoCp1p

pq 
Cp>?
bầC
aố
9ủ

1p
oCp

pq  K 
aY  KoCp1pY
J
pq O KY roCp1p
J
pq s
Y
Thống kê : Cho mẫu số liệu kích thước N {x1,x2,,xN } 
số trung bình: 1n  -t-uv-J  Jw 1pJpq 
Phương sai : aY  Jw 1pYJpq O Ju Rw 1pJpq TY  Jw 1p O 1n
YJpq 
S gọi là ñộ lệch chuẩn. 
Nếu mẫu số liệu cho ở dạng bảng phân bố tần số hay tần số ghép lớp: 
o1p$ppq 

XớG
$p  x<  1p
* G  *`* C 
l<  1 O yY M 1Y O yY Mv1 O yY o1p O yY $ppq D
7
l<  ro1pY$ppq s O yY
XớG
$p  x<  1p 
y  z< 
biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị {x1,x2,,xn } 
Kỳ vọng : z<  1$ M 1Y$Y Mv1$ 
Phương sai : 
ðộ lệch chuẩn : {<  |l< 

 \ Y  
Y \ `
 M Y ; 
 \ }  
} \ ~
Y M ~
Y \ } 

Y O Y  
 M 
 O  ; 
} \ }  
 \ 
Y  
 M Y 
_L  _L

 _L M _L  _L 
 M   o_L
L LLq
  _

 M _
 MvM _ 
Tổ hợp và xác suất: €L  L 
 _L  LL ;x  C  `~C 
• <‚9
1Sấb
9ủ

GếC
9ố
€ " 
x€  hƒ„hhƒh 

  x€…   O x€ 
• x€ † €Y † † € x€ M x€Y M vx€ €p1SC2
FDắ9 
• x€€Y€  x€x€Yx€
 €p
‡ộ9
>ậ$ 
• x€ˆ‰ 
 
 Š‹ŒŠŒ 
xF  _L $L O $L 
• P(AB)=P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) 
• P(A1A2An)=P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2)P(An/A1A2An-1) 
• €p
>?

Dệ
ñầ7
ñủ
9á9
GếC
9ố)   F  C 
• <j
bB?C
$DầC " x‰  w x€L x‰ˆ€L
Lq 
• ‰
7ca " x€Lˆ‰  Š‹QŠŒˆ‹Q
w Š‹ŽŠŒˆ‹Ž

Žt 
 XS biến cố A xuất hiện ñúng k lần trong n phép thử Becnuli: 
GL  
 GL  G GLY  O GL}  OG 

 M G  
V M VG / ‘
  
V   d’ 
 M G \ 
V M VG  
 \ 
V M  \ VG “  
 M G
9:
aố
ñốG
>à O “  O
 O G 
 M G
V M VG  

V O V M 
V M 
VG “  
 M G
 ” aố
$Dứ9
>G•C
Dợ$
“n  
 O G 
h“ “Vh  h“h h“Vh
 h“ M “Vh  h“h M h“Vh
 “  h“hY  “n
“V“  “V “  “V “nh“hY  “V “n“ “n Z“V“ [nnnnnn  “V…“n 

 –“V“ –  h“Vhh“h 
Số phức: 
ðơn vị ảo i: GY  O 
• dạng ñại số : “  
 M G ,a,b ∈ ℝ 
“n  
 O G ; “n
…  “
“ M “dnnnnnnn  “n M “d…
 ““dnnnn  “n “d… 
z là số thực /z “n ; “
>?
aố
ảB / “  O“n
 h“h  
Y M
Y=“ “n ; h“h ˜ &
 h“h  & / “  & 
“
>?
9™C
ậ9
D
G
9ủ

] / “Y  ] 
”
š›œ
› ““V  žžVŸ9Ba
  M  V M GaGC  M  V¡““V  žžV Ÿ9Ba
  O  V M GaGC  O  V¡“  ž9Ba C  M GaGC
C “  ž Z9Ba  M `FmC 

M GaGC  M `FmC [
4 
F  &C O nnnnnnnnnnnn 
nếu z = x+yi , w = a+bi thì :31Y O 7Y  
`17   4 
› Hai căn bậc hai của số thực a > 0 là \
 
› Hai căn bậc hai của số thực a < 0 là \O

 G 
› Phương trình bạc hai : €“Y M ‰“ M _  & ¢  ‰Y O £€_ ; δ là một căn bậc 2 của e . ¢ + &
 ” “*Y  Œ\¥Y‹ 

  ¢  & ” “  “Y  O ŒY‹ 
• Dạng lượng giác: 
 “  ž(cos +isin ) với ¦ž
  
 h“h  
Y M
Y9Ba   § 

  aGC   § 

4 
 “  ž(cos +isin ) “d  žd(cos ^+isin ^) 
aGCY 1 M 9BaY 1  

 b
C 1  aGC 19Ba 1
 9Bb 1  9Ba 1aGC 1 
 M b
CY 1  9BaY 1  M 9BbY 1  aGCY 1 
Lượng giác : 
b
C 1 9Bb 1   aGC 1 aGC 7 
` Ÿ9Ba1 O 7 O 9Ba1 M 7¡ 
aGC 1 9Ba 7  ` ŸaGC1 M 7 M aGC1 O 7¡ 
9Ba 1 9Ba 7  ` Ÿ9Ba1 M 7 M 9Ba1 O 7¡ 
Tích thành tổng: 
aGC1 \ 7  aGC 1 9Ba 7 \ aGC 7 9Ba 1 9Ba1 \ 7  9Ba 1 9Ba 7  aGC 1 aGC 7 b
C1 \ 7  b
C 1 \ b
C 7  b
C 1 b
C 7 
Cộng: 
aGC 1 M aGC 7  ` aGC 1 M 7` 9Ba 1 O 7` aGC 1 O aGC 7  ` 9Ba 1 M 7` aGC 1 O 7` 9Ba 1 M 9Ba 7  ` 9Ba 1 M 7` 9Ba 1 O 7` 9Ba 1 O 9Ba 7  O` aGC 1 M 7` aGC 1 O 7` b
C
1 \ b
C
7  aGC
1 \ 79Ba19Ba7 
 9Bb
1 \ 9Bb
7  aGC
7 \ 1aGC1aGC7 
Tổng thành tích : 
aGCm` M 
  9Ba 
 9Bam` M 
  O aGC 
 b
Cm` M 
  O9Bb 
 9Bbm` M 
  Ob
C 
 aGCm` O 
  9Ba 
 9Bam` O 
  aGC 
 b
Cm` O 
  9Bb 
 9Bbm` O 
  b
C 
 aGCm O 
  aGC 
 9Bam O 
  O9Ba 
 b
Cm O 
  Ob
C 
 9Bbm O 
  O9Bb 
 aGCm M 
  OaGC 
 9Bam M 
  O9Ba 
 b
Cm M 
  b
C 
 
9BbOα  O9Bbα aGCm` M 
  9Ba 
 9Bam` M 
  OaGC 
 b
Cm` M 
  O9Bb 
 9Bbm` M 
  Ob
C 

9Bbm M 
  9Bb 
 ¨©COα  OaGCα 9BaOα  9Baα b
COα  Ob
Cα 

aGC 1 M 9Ba
1  |
Y M Y aGC1 M α XớG " 
 9Ba α  

Y M Y 
aGC α  
Y M Y aGC 1 \ 9Ba 1  ` aGC1 \ m£ 
aGC ~1  ~ aGC 1 O £ aGC} 1 9Ba ~1  £ 9Ba} 1 O ~ 9Ba 1 
Nhân ba : 
9Ba`1
  9BaY 1 O aGCY 1 `  ` 9BaY 1 O   O ` aGCY 1 b
C `1  ` b
C 1 O b
CY 1
 9Bb `1  9BbY 1 O ` 9Bb 1 
aGCY 1   O 9Ba `1` 
 9BaY 1   M 9Ba `1` b  b
C 1` ” aGC1  `b M bY 9Ba
1   O bY M bY 
  b
C1  `b O bY 
Nhân ñôi và hạ bậc : aGC `1  ` aGC 1 9Ba 1 
£ªY  `Y M `9Y O 
Y 
j  ` 
 D  ` 9aGC€  
9£«  $ž   |$$ O 
$ O $ O 9 

aGC€  aGC‰  9aGC_  `« 
Trung tuyến: 
Diện tích tam giác : 
ðl hàm số Cosin: 
Y  Y M 9Y-2bc.cosA 
ðl hàm số sin: 
 &
 ~&
 £¬
 ­&
 ®&
 
sin & ` `` ~`  
cos  ~` `` ` & 
tan & ~~  ~ hh 
cot hh ~  ~~ & 
aGC 1  aGC α/ ¯1  α M F`m
1  m O α M F`m 4 9Ba 1  9Ba α / ¯1  α M F`m
1  Oα M F`m4 b
C 1  b
C α / 1  α M Fm 9Bb 1  9Bb α / 1  α M Fm 
°±±
±±±
±±²
aGC 1   / 1  m` M F`m
aGC 1  O / 1  O m` M F`maGC 1  & / 1  Fm9Ba 1   / 1  F`m9Ba 1  O / 1  m M F`m9Ba 1  & / 1  m` M Fm
4 
aGC 1  ª 9Ba 1
  ª

aGC 1 M 9Ba
1  9 
Phương trình: 
Có nghiệm / hªh   
Có nghiệm / 
Y M Y ˜ 9Y 
S>?
_j_ / ³C ∈ ´µ* S  S M f
* f  Da SL  SL M SL` 

F ˜ `
 S  S M C O f j  CS M S`  CŸ`S M C O f¡` 
 S>?
_jK / ³C ∈ ´µ* S  S ¶
 ¶  Da 
j  S  O ¶ O ¶ 
h¶h ' 
 U ·¸  S O ¶ 
Cấp số Cọng : 
Cấp số nhân : 
SLY  SL SL
 F ˜ ` ;S  S  ¶ 
>Gª-¹
 aGC 11  
 >GªW-¹
 aGCS 1S1  
 >Gª¹¸ Z M C[  >Gª¹¸ M C
  c
 >Gª-¹
 c- O 1  
>Gª-¹
 
- O 1  >C

 >Gª-¹
 >C M 11   
Một số giới hạn : 
Hệ 2 ẩn : 
 3 
1 M 7  9
V1 M V7  9d

 =  º 
 
V Vº

  =-  º9 9d dº4 

  =»  º
 9
d 9dº 
• KếS
= + &
 U 
1  ¼½¼ 

  7  ¼¾¼ 
• KếS
=  &
X?
R=- + &
D
7
=» + &T U DệXô
C2DGệª 
• KếS
=  =-  =»  &
 U Dệ
Xô
aố
C2DGệª
D
7
XC 
Hệ 3 ẩn :¿ 
1 M 7 M 9“  f
V1 M V7 M 9V“  fV
VV1 M VV7 M 9VV“  fVV

XớG
=  À

  9
V V 9V
VV VV 9VVÀ + &4 
Có nghiệm 6  ÁÂÁ 
  Ã  ÁÄÁ 
  Å  ÁÆÁ 
với ÇÈ  À f  9fd V 9VfVV VV 9VVÀ
  =»  À

 f 9
V fV 9V
VV fVV 9VVÀ
  =É  À

  f
V V fV
VV VV fVVÀ 
h1h ' (
 / O( ' 6 ' (

* ( ! & h1h ! ( / 6 ' O(
ÊËặ9
1 ! (
* ( ! & h
h O hh  h
 M h  h
h M hh 

 ˜ &
*  ˜ &
 ” 
 M ` ˜ 



 
Y M Y` ˜ 

 
  Z
 M ` [Y 
 ˜ &  ˜ & 9 ˜ &
 ” 

 M  M 9~ ˜ 
9Ì 
 
} M } M 9}~ ˜ 
9

9  Z
 M  M 9~ [} 

 M 
YY MvM 
Y  
Y MvM 
YY MvM Y 
• Bất ñẳng thức giá tri tuyệt ñối : Oh
h  
  h
h 
• Cauchy: 
Dấu bằng xảy ra khi các số hạng bằng nhau. 
• Bất ñẳng thức Bunhiacôpxki: 
dấu bằng xảy ra khi : 
tt  uu  v   
h€h  h‰h / €  \‰
h€h  ‰ / Í ‰ ˜ &€  \‰4 
h€h  ‰ / Í ‰ ˜ &O‰  €  ‰4
h€h ! Î / ω ' &Ð
Ñ:
Ò5ÊE(Í ‰ ˜ &€  O‰
 Ó € ˜ ‰44 
€  ‰ / Í ‰ ˜ &€  ‰Y 4 
€  ‰ / ¦ ‰ ˜ &€ ˜ &€  ‰Y 4 
€ ˜ ‰ / Ô
͉ ' &€ ˜ &4Í ‰ ˜ &€ ˜ ‰Y 44 
Trị tuyệt ñối và căn thức : 
Õ1 7 “ / iÕÖÖÖÖÖÖ×  1 Ø×M 7 Ù×M “ FÖ× 
Ö×  1 7 “ / 
Ö×  1 Ø×M 7 Ù×M “ FÖ× 

Ö×  Ö× / ¦1  1d7  7d“  “d4 

Ö× \ Ö×  1 \ 1V 7 \ 7V “ \ “VF 
Ö×  F1 F7 F“

Ö× Ö×  11V M 77V M ““V
h
Ö×h  |1Y M 7Y M “Y

Ö× Ú Ö× / 11V M 77V M ““V  & 

9Ba
Ö×* Ö×  
Ö× Ö×h
Ö×h hÖ×h  11V M 77V M ““V|1Y M 7Y M “Y |1VY M 7VY M “VY €‰ÖÖÖÖÖ×  1Œ O 1‹ 7Œ O 7‹ “Œ O “‹ ۀ‰ÖÖÖÖÖ×Û  |1Œ O 1‹Y M 7Œ O 7‹Y M “Œ O “‹Y
Õ
>?
bžSC2
‡Gểª
9ủ

€‰ / Õ1‹ M 1Œ`  7‹ M 7Œ`  “‹ M “Œ`  Ü
Ö×* Ö×Ý  º 7 “7V “Vº  º “ 1“V 1Vº  º 1 71V 7Vº 
ÛÜ
Ö×* Ö×ÝÛ  h
Ö×h ÛÖ×Û aGC 
Ö×* Ö× 
Ö×* Ö×* 9×
‡ồC2
$DẳC2 / Ü
Ö×* Ö×Ý 9×  & jދŒß  ` Û܀‰ÖÖÖÖÖ×* €_ÖÖÖÖÖ×ÝÛ
 l‹Œß¼  ­ Û܀‰ÖÖÖÖÖ×* €_ÖÖÖÖÖ×Ý €=ÖÖÖÖÖ×Û làà‹Œß¼‹áŒáßá¼á  Û܀‰ÖÖÖÖÖ×* €=ÖÖÖÖÖ×Ý €€VÖÖÖÖÖÖÖ×
Û 
Hình học giải tích trong không gian 
Vectơ ñơn vị Ø×* Ù×* FÖ×) hØ×h  hÙ×h  ÛFÖ×Û  
 Ø×Ù×  Ù×FÖ×  FÖ×Ø×  &Ö× 
Cho 
Ö×  1 7 “ Ö×  1d 7d “d ;k ∈ ℝ : 
 ՀÖÖÖÖÖÖ×  FՉÖÖÖÖÖÖ× / 1â  -„L-ãL 
  7â  »„L»ãL 

  “â  ɄLÉãL 
 Ü
Ö×* Ö×Ý Ú 
Ö× ;
Ü
Ö×* Ö×Ý Ú Ö×
 Ü
Ö×* Ö×Ý  &Ö× / 
Ö×
* Ö×
9äC2
$DươC2 
1 O 
Y M 7 O Y M “ O 9Y  «Y 
1Y M 7Y M “Y M `
1 M `7 M `9“ M f  &
XớG

Y M Y M 9Y O f ! & 
Mặt cầu : 
Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c) bán kính R : 
Phương trình : 
+ Là PT mặt cầu tâm åO
O O9 Bk «  
Y M Y M 9Y O f 
+ Nếu 

Y M Y M 9Y O f  & ta ñược 1 ñiểm åO
OO9 
+ Nếu 

Y M Y M 9Y O f ' & ta không có mặt cầu.
Mặt phẳng α cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là ñường tròn ( C ) thì: 
 + Tâm J của ( C ) là hình chiếu vuông góc của I lên (α) 
 + Bán kính của ( C ) : ž  «Y O fY

XớG
f  få* α 
€1 M ‰7 M _“ M =  &
€Y M ‰Y M _Y + & 
6( M Ãæ M ÅÑ   
X?
x^) €V1 M ‰V7 M _V“ M =V  & xˆˆxV / €€V  ‰‰V  __V + ==V x ç xV / €€V  ‰‰V  __V  ==V x
9ắb
xV / €)‰) _ + €V) ‰V) _d x Ú xV / €€V M ‰‰V M __V  &
 
Mặt phẳng: 
+ Nếu (×* æÖ×
là 2 vectơ có phương song song hay thuộc mặt phẳng (P) thì 
một vectơ pháp tuyến của (P) là : ÒÖ×  Ü(×* æÖ×Ý 
+ Phương trình mặt phẳng (P) qua è
6
 Ã
 Å
 nhận ÒÖ×  Ð Î é 
làm vectơ pháp tuyến : €1 O 1
 M ‰7 O 7
 M _“ O “
  & 
+ Phương trình tổng quát của mặt phẳng : 
+Phương trình theo ñoạn chắn : mặt phẳng (P) không qua O ,cắt 3 trục 
tại A(a;0;0) B(0;b;0) C(0;0;c) : 
Vị trí tương ñối của 2 mặt phẳng x)
€1 M ‰7 M _“ M =  & 
Trong các tỉ lệ quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử tương ứng cũng bằng 0. 
¦1  1
 M b
7  7
 M b“  “
 M b9 
b ∈ ℝ4 1 O 1

  7 O 7
  “ O “
9 

9 + & 
3 €1 M ‰7 M _“ M =  &
x€V1 M ‰V7 M _V“ M =V  &
xV4 
ðường thẳng : 
+Phương trình tham số : ñường thẳng qua Õ
1
 7
 “

* Xb9$
SÖ×
  9 
+Phương trình chính tắc: 
+ Phương trình tổng quát : 
 ðường thẳng này có 1 vectơ chỉ phương là : SÖ×  ÜCÖ×* CVÖÖÖ×Ý với CÖ× CVÖÖÖ× là 
vtpt của (P) và (P’) 
+Vị trí tương ñối của 2 ñường thẳng d qua M0 có vtcp SÖ× và d’ qua 
M0’có vtcp SÖ×d : 

 f
X?
f^
 ∈ 

ªặb
$DẳC2
 / ÜSÖ×* SVÖÖÖ×Ý Õ
Õ
VÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ×  &

 

f ç 
f^ / ÜSÖ×* SVÖÖÖ×Ý  ¯SÖ×* Õ
Õ
VÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ×ê  &Ö× 

 fhhfV / ëÜSÖ×* SVÖÖÖ×Ý  &Ö×
4 ¯SÖ×* Õ
Õ
VÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ×ê + &Öג 

 f
9ắb
fV / ‘ ÜSÖ×* SVÖÖÖ×Ý Õ
Õ
VÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ×  &
 ÜSÖ×* SVÖÖÖ×Ý + &Ö× } 

 f
9DìB
fV / ÜSÖ×* SVÖÖÖ×ÝÕ
Õ
VÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ× + & 
9Ba   h€€V M ‰‰V M __Vh€Y M ‰Y M _Y €VY M ‰VY M _VY 
aGC   hSÖ× CÖ×hhSÖ×h hCÖ×h  h€
 M ‰ M _9h€Y M ‰Y M _Y 
Y M Y M 9Y
9Ba   h

V M V M 99Vh
Y M Y M 9Y 
VY M VY M 9VY
Góc : 
+Góc giữa 2 mp €1 M ‰7 M _“ M =  &
 €^1 M ‰^7 M _^“ M =^  & 
+Góc giữa ñường thẳng d có vtcp SÖ×  
  9
X?
ª$
x9:
Xb$b 
CÖ×  € ‰ _ : 
+Góc giữa 2 ñường thẳng : 
fÕ* x
  h€1â M ‰7â M _“â M =h€Y M ‰Y M _Y 
fÕ* f  ÛÜÕÕ
ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ×* SÖ×ÝÛhSÖ×h 
íí* íV  ºÜîÖ×* îVÖÖÖ×Ý è
è
VÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ×
ºÛÜîÖ×* îVÖÖÖ×ÝÛ lLàốp
àộ
Nàữ
àậï  ;í9D
~
Fð9D
bDướ9
 lNà: ~ fbð9D
‡‚7 9DGềS
9
B l™.
ï§ụ  fbð9D
‡‚7 R9DGềS
9
BT
jâNầW  £m«Y
 lñNầW  £~m«} jòàóàô§ụ  9DS
XG
‡‚7 R9DGềS
9
BT  `mžD jïõóàô§ụ  j- M `j‡‚»  `mžD M `mžY lLàöpô§ụ  fbð9D‡‚7 _DGềS_
B  mžYD j-J:  `  9DS
XG
‡‚7 ‡ườC2aGCD  πž> jïJ:  j- M j‡‚»  mž> M mžY lJ:  ~ fGệC
bð9D
‡‚7 R9DGềS
9
BT  ~mžY D 
Khoảng cách : 
+ Khoảng cách từ ñiểm Õ1â* 7â* “â tới mặt phẳng Ax+By+Cz+D=0 
ГDBảC2
9‚9D
bừ
ñGểª
Õ
bớG
ñườC2
bDẳC2
f
¶S

Õ
Xà
9ó
Xb9$
SÖ× ) 
Khoảng cách giữa 2 ñường thẳng chéo nhau d ( qua M0 có vtcp îÖ×

 và d’ 
(qua M’0 có vtcp îÖ×d) : 
€1 O 1
 M ‰7 O 7
  & 
f) 
1 M 7 M 9  &
fV)

Y1 M Y7 M 9Y  & =  ø
 
Y Yø 
=-  ø 9Y 9Yø
  =»  º9 
9Y 
Yº 

1 M 7 M 9
Y M Y  \
V1 M V7 M 9V|
VY M VY  9Baf* fV  h

V M Vh
Y M Y 
VY M VY 
.ðường thẳng 
• PTTsố của ñ.t qua Õ1
 7
 và có vtcp SÖ×  
  
[UCÖ×  O 
¡
: 31  1
 M 
b7  7
 M b4 PTCTắc: --ù  »»ù 
• PT ñường thẳng qua Õ1
 7
 và có VTPT CÖ×  € ‰: 
• PTTQ : €1 M ‰7 M _  &
* €Y M ‰Y ! &
 U CÖ×  € ‰ 
• P.T theo ñoạn chắn : 
- M »   
• Hệ số góc : F    b
C α
; α là góc ñịnh hướng giữa Ox 
với ñt d. 
• ðt có hsg k thì có 1vtcp SÖ×   F;

CÖ×  F O 
• P.T ðT qua Õ1
 7

có hsg k :

7  F1 O 1
 M 7
 
.Vị trí tương ñối của 2 ñường thẳng : Cho 2 ñ.t: 
• (d) cắt (d’) # D+0#
) 
Y +  Y 
• fˆˆf^
#
=  &
X?
=- + &
D
7
=» + &
#

) 
Y   Y + 9 9Y
• fçf^
#
=  =-  =»  &
#

) 
Y   Y  9 9Y
. Khoảng cách và góc: fÕ* ¢  h-ú»úNh|uu 
Đặb

0Õ  
1â M 7â M 9
X?
f)

1 M 7 M 9  &
• 0Õ* 0K ' &
#
Õ*K
ở về 2 phía ñối với (d) 
• 0Õ* 0K ! &
#
Õ*K
ở về 1 phía ñối với (d)
x;‡ường phân giác của góc tạo bởi 2 ñ.t d và d’ 
1 O 
Y M 7 O Y  «Y 
1Y M 7Y O `
1 O `7 M 9  &
* 
Y M Y O 9 ! & 
ðường tròn : PTðtròn tâm I(a;b) bán kính R: 
• Phương trình : 
là phương trình ñường tròn tâm I(a;b) ,bk «  
Y M Y O 9 
• ðường thẳng : 
1 M 7 M 9  & tiếp xúc với ñường tròn 
tâm å1ü* 7ü bán kính R #

få* ¢  «
 # h-ý»ýNh|uu « 
• ;Gế$
bS7ếC
bạG
Õ
∈
‡ườC2
bžòC
)
CDậC
åÕÖÖÖÖ×
>?ª
Xb$b 
x;_;)
 1Y
Y M 7YY  

* 
 ! æ ! &

Y  
Y O 9Y
* ;žụ9
>ớC
`

 bžụ9
ì

`
Õ
  
 M c 1â
Õ
Y  
 O c 1â 
Ellip: 
Tiêu ñiểm : 
O9 & 

Y9 &

 bG•S
9ự


Y  `9 
M ∈ (Ellip)#
hÕ
 MÕ
Yh 
 `


*

 ! Ñ
ĐỉCD
)
€*Y

 &

‰*Y
 &
;âª
a
G
)
c  N ' 
xb
9‚9
9ạCD
9ủ


DóCD
9Dữ nhật cơ sở : 1  \

 7  \ 
Bán kính qua tiêu ñiểm 
 x
ž
B>)
_DB
‡t
∆

X?
‡Gểª


Õ
∈
x
ž
B>
#
Õ


fÕ*∆

x;9DðCD
bắ9)

ÃY  `6
$)
bD
ª
aố tiêu. 
 
Y  &

‡ường chuẩn : 6  O Y
Bán kính qua tiêu ñiểm : MF = p/2 + xM 
 3 ñường cônic 
Cho F cố ñịnh , ñường thẳng e không qua F . M ∈ Cônic ( C ) # âkâ∆  c ,e là số thực cho trước. 
• ( C ) là ellip #
c'
• ( C ) là parabol #
c
• ( C ) là hyperbol #
c! 
x;_;)
 1Y
Y O 7YY  

* 9Y  
Y M Y*ÑậÒ " Ã  \æ( 6
;žụ9
bDự9
`

 bžụ9
ảB

`
 ‡ ÑÊîẩÒ
6  \(
 \(YÑ 
Õ
  h
 M c 1âh
Õ
Y  h
 O c 1âh 
Hyperbol: 
Tiêu ñiểm : 
O9 & 

Y9 &

 bG•S
9ự


Y  `9 
M ∈ (Hyperbol) #
hÕ
 OÕ
Yh 
 `


*

 ' 9
ĐỉCD
)
€*Y

 &

‰*Y
 &
;âª
a
G
)
c  N !  
xb
9‚9
9ạCD
9ủ


DóCD
9Dữ nhật cơ sở : 1  \

 7  \ 
Bán kính qua tiêu ñiểm