Tổng hợp bài tập hình học giải tích trong không gian

Gi¸o viªn : Lª Thanh B×nh – THPT NguyÔn HuÖ 
bµi tËp h×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian 1 
chuyªn ®Ò : ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng 
Bài 1 : ( CĐSP TPHCM _ 06A) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và vuông góc với (BCD) biết 
       0; 1;1 , 0; 2;0 , 2;1;1 , 1;2;1 A B C D ĐS : 
6 2 0   x y z 
Bµi 2 ( CĐSP Hải Phòng _04) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Biết A(0; 0; 0),B(2; 0; 0), D(0; 2; 0), 
A’(0; 0; 2). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Viết phương trình mp chứa MN và song song với 
BA’. 
Bµi 3 ( CĐ Y tế Nam Định _01) Cho 4 ñieåm A (0;1;1) , B ( 1;0;2) , C (3;1;0) , D ( 1;2;3) . 
1. Vieát phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng ( ) ñi qua 3 ñieåm A, B vaø C ĐS : 2 3 5 0   x y z 
2. Tính khoaûng caùch töø ñieåm D ñeán maët phaúng ( ) ĐS : 14 2 
Bµi 4 ( CĐ Giao thông số 3 _06) Lập phương trình mp chứa đường thẳng 
1 2
1 2 1
 
 
x y z
 và vuông góc với 
mp (P): x + 3y + 2z + 2 = 0 ĐS : 1 0   x y z 
Bµi 5 ( ĐH Nông nghiệp I_96) Lập phương trình mp(P) chứa đường thẳng (d1) : 
2 2 1
4 7 2
  
 
x y z
và 
song song với (d): 
1
5
2
3
1
1 




 zyx
 ĐS : 11x 2y 15z – 3 = 0 
Bµi 6 : ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) biÕt (P) ®i qua A (1;3; 2) vµ (P) vu«ng gãc víi hai mÆt ph¼ng 
 (Q) : x + y +3z = 0 vµ (R) : 3 2 7 0   x y z . ĐS : x + 2y  z – 9 = 0 
Bài 7 : ( CĐ Cộng đồng Hải Phòng _97) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1; 2; 1 ) và chứa 
đường thẳng   1 2 2:
3 2 2
  
 

x y z
d ĐS : 6x + 13y + 4z – 28 = 0 
chuyªn ®Ò : ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng 
Bài 1: Viết phương trình chính tắc đường thẳng  biết qua  1;2;5M và  song song với hai mặt phẳng 
  :3 5 8 0   P x y z và  :2 1 0   Q x y z ĐS : 1 2 5:
4 13 5
x y z  
  
  
Bài 2: ( CĐ Kinh tế TPHCM _ 07 ) Viết phương trình chính tắc đường thẳng  biết qua  2;1; 3A , 
 song song với mặt phẳng  : 1 0   P x y z và   d 3 1 5:
2 1 2
  
 
x y z
 ĐS 
2 1 3
:
3 4 1
  
  
 
x y z
Bài 3: (ĐH Mỏ_94) Viết phương trình chính tắc đường thẳng biết đi qua M(– 4; –5; 3) và cắt cả 2 đường 
thẳng 1 : 1
2
2
3
3
1






 zyx
 và 2 : 5
1
3
1
2
2





 zyx
 ĐS : 
4 5 3
:
3 2 1
  
  

x y z
Bài 4: (ĐH Xây dựng _ 98) Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mp(P): x + y + z = 1 
 và cắt cả hai đường thẳng (d1): 
11
1
2
1 zyx





, (d2) 
2
: 3
  

 
  
x t
y
z t
 ĐS 
2 / 5 3 8 / 5
:
1 1 1
  
 
x y z
d 
Bài 5: (ĐH Huế_00A) Viết phương trình tham số của đường thẳng  nằm trong mặt phẳng (P) : 2 0 y z 
 và  cắt cả 2 đường thẳng 1
1
:
4
 

 
 
x t
y t
z t
 và 2
2 '
: 4 2 '
1
 

  
 
x t
y t
z
 ĐS : 
1 4
: 2
 

  
 
x t
y t
z t
Gi¸o viªn : Lª Thanh B×nh – THPT NguyÔn HuÖ 
bµi tËp h×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian 2 
Bài 6: (ĐH Dược HN_98A) Viết phương trình tham số đường thẳng  đi qua A(0; 1;1) đồng thời 
vuông góc với d1 và cắt d2 biết 1
1 2
:
3 1 1
 
 
x y z
d , 2
1
:
1
 


  
x
d y t
z t
 ĐS : : 1
1 2
 

  
  
x t
y t
z t
Bài 7: ( CĐ Giao thông _ 03 ) Cho mặt phẳng (P) : 2 1 0   x y z và đường thẳng 
1 2
:
2 1 3
 
 

x y z
d 
 a) Tìm tọa độ giao điểm A của (P) và d . ĐS : 
b) Viết phương trình đường thẳng  đi qua A ,  nằm trong (P) và   d ĐS : 
Bài 8: ( CĐ Giao thông _ 05) cho điểm H(1;2;−1) và đường thẳng 
3 3
1 3 2
 
 
x y z
. Lập phương trình 
đường thẳng Δ đi qua điểm H, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (α) : x + y − z + 3 = 0 . 
Chuyªn ®Ò : H×nh chiÕu – §èi xøng 
Bài 1 (ĐH Bách khoa HN_98) Tìm điểm K đối xứng với I(2;  1; 3) qua 
1 2
: 2
3
x t
d y t
z t
 

 
 
 ĐS : K(4; 3; 3) 
Bài 2 (HVKTQS_98) Cho bốn điểm A(4; 1; 4), B(3; 3; 1), C(1; 5; 5), D(1; 1; 1). Tìm hình chiếu vuông góc 
H của D lên mp(ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD ĐS : 
81 13 33
; ;
25 5 25
H   
 
 , 8ABCDV  
Bài 3 Cho  5;0;14A  và mặt phẳng  :3 7 5 0P x y z    . Tìm tọa độ điểm H thuộc  P sao cho AH 
nhỏ nhất ĐS :  1;2;0H 
Bài 4: Học viện Ngân hàng TPHCM_99 Cho A( 1; 3 ; 2), B(4; 0 ;  3), C(5;  1; 4) . Viết phương trình 
tham số của đường thẳng BC . Tìm tọa độ điểm H thuộc BC sao cho AH nhỏ nhất 
Bài 5 ( ĐHSP TPHCM _ 94 ) Viết phương trình hình chiếu d’ của đường thẳng 
1 6
:
4 1 5
x y z
d
 
 

 trên 
(P): 3x – 2y – z + 15 = 0 ĐS : 
9 33
4 4
1 24 51
x zy 
 

Bài 6 Cho    11; 1; 10 , 1;2;5A B   và đường thẳng 2 1 4:
3 1 5
x y z
d
  
 

. Tìm tọa độ điểm M thuộc 
d sao cho 2MA MB
 
 nhỏ nhất ĐS :  1;2;1M  
Bài 7 Cho      4; 21;33 , 1;1;0 , 2; 1;3A B C   và mặt phẳng  :2 2 4 0P x y z    . Tìm tọa độ điểm 
M thuộc  P sao cho 2 5MA MB MC 
  
 nhỏ nhất ĐS :  3; 2;4M  
Bài 8 Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa 
1 3 4
:
2 1 4
x y z
d
  
 

 sao cho khoảng cách từ  0; 7;13A  
đến (α) lớn nhất. ĐS : 3 2 13 0x y z    
Bài 9 Viết phương trình đường thẳng đi qua  4;0;1M ,  nằm trong mặt phẳng  :3 7 5 0P x y z    
sao cho khoảng cách từ  5;0;14A  đến đường thẳng là nhỏ nhất ĐS : 4 1:
3 2 1
x y z 
  

chuyªn ®Ò : Gãc – Kho¶ng c¸ch 
Bài 1 (ĐH Bách khoa _99) Cho đường thẳng 
1 1 3
( ) :
1 2 2
  
 

x y z
d và mặt phẳng 
( ) : 2 2 3 0   P x y z 
Gi¸o viªn : Lª Thanh B×nh – THPT NguyÔn HuÖ 
bµi tËp h×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian 3 
 Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P). Tính góc giữa (d) và (P). 
Bµi 2 ( CĐ Sư phạm Hải Phòng _04) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Biết A(0; 0; 0),B(2; 0; 0), 
D(0; 2; 0), A’(0; 0; 2). Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và BC . Tính góc giữa MN và BA’. 
Bài 3 Lập phương trình mp(P) đi qua    0;3;0 , 1; 1;1M N và tạo với mặt phẳng  : 5 0   Q x y z 
 một góc  với 
1
cos
3
  
Bài 4 : Cho 2 mặt phẳng (P) : 8x + 4y – z +1 = 0 và (Q): 16x + 8y – 2z + 9 = 0. 
a) Chứng minh rằng (P) song song với (Q). b) Tính khoảng cách giữa (P) và (Q). 
Bài 5 : Cho mặt phẳng (P) : 2x – 2y + z – 5 = 0 và đường thẳng 
1 5 2
:
3 1 8
  
  
 
x y z
a) Chứng minh rằng (P) //  b) Tính khoảng cách giữa (P) và  
Bài 6 : ( CĐ Kinh tế đối ngoại _ 01) Tìm M thuộc đường thẳng 
3 2
:
1 1 2
 
  
 
x y z
 sao cho khoảng cách từ M 
đến (P): x + 2y –3z – 5 = 0 bằng 14 
Bài 7 : Cho đường 
2 1 4
:
1 1 3
  
  

x y z
 và 2 mặt phẳng (P): 3 5 10 0   x y z , (Q): 5 3 8 0   x y z 
Tìm điểm M thuộc  sao cho      , 3 ,d M P d M Q . ĐS :   59 28 1131;2;7 ; ; ;
29 29 29
 
 
 
M M 
Bài 8 : Tìm M thuộc đường thẳng 
4
:
3 1 1

  

x y z
 sao cho M cách đều điểm  1; 1;0A và 
mặt phẳng (P) : 8 4 4 0   x y z ĐS :   1021 13 131; 1;1 ; ; ;
265 265 265
   
 
M M 
Bài 9 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ biết A’( 7; 4 ; 1) , B( 2 ; 4; 4) , C(6 ; 2 ; 2) và trung điểm của 
B’C’ 
 là điểm M ( 8 ; 4 ; 0) . Tính khoảng cách từ C’ đến đường thẳng AB. Đáp số :
195
14
CHUYÊN ĐỀ : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 
Bài 1: ( CĐSP Kontum _03) Cho hai đường thẳng 1 2
1 3 '
( ) : 4 2 , ( ) : 3 2 '
3 2
   
 
     
     
x x t
d y t d y t
z t z
a) Chứng minh rằng (d1) chéo (d2). b)Lập phương trình đường vuông góc chung của (d1) và (d2). 
 c) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2). 
 d) Viết phương trình mặt phẳng(P) song song với (d1) và (d2), (P) cách đều (d1),(d2) 
 Bài 2: Cho hai đường thẳng: (d1):
3 2
1
5
 

 
  
x t
y t
z t
 và (d2):
3 3 1
2 1 1
  
 
 
x y z
 a) Chứng tỏ rằng (d1) và (d2) song song nhau. 
 b) Viết phương trình mặt phẳng () chứa (d1) và (d2). ĐS : (): y z+4=0 
 c) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2). ĐS : d(d1,d2)=
3
8 
 d) Viết phương trình đường thẳng  biết  song song với (d1) ;  cách đều (d1),(d2) và    
Gi¸o viªn : Lª Thanh B×nh – THPT NguyÔn HuÖ 
bµi tËp h×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian 4 
Bài 3: ( CĐ Công nghiệp Hà Nội _ 04) Chứng minh rằng
1 2 5
( ) :
2 3 4
  
 

x y z
d và 
7 2 1
( ') :
3 2 2
  
 

x y z
d cùng nằm trong 1 mặt phẳng. Lập phương trình mặt phẳng đó. ĐS : 
2 16 13 31 0    x y z 
Bài 4: (ĐH Cảnh sát_00A) Cho hai đường thẳng (d1),(d2) với 1 2
1 0
( ) : 0 ( ) : 4 2 '
5 5 3 '
   
 
   
      
x t x
d y d y t
z t z t
a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau. 
b) Tìm 1 2; A d B d sao cho AB nhỏ nhất ĐS :    4;0; 2 , 0;6;2A B 
Bài 6: (Phân viện Báo chí _99) Cho hai đường thẳng 1
1
( ) :
1 2 3

 
 
x y z
d , 2
1 4
( ) :
1 2 5
 
 
x y z
d 
a) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm I của nó. ĐS : 
1 3
;0;
2 2
  
 
I 
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d1), (d2) . ĐS : 
2 2 0   x y z 
c) Tính thể tích tứ diện tạo (P) và ba mặt phẳng tọa độ. 
d) Tính góc giữa (d1) và (d2) ĐS :
3 105
arccos
35
d¹ng 1 : viÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu 
Bài 1: Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm      2; 4;0 , 1;1;4 , 3;1;0  A B C và tâm I nằm trên mặt phẳng 
(P): 
 3 0   x y z ĐS :   2 2 2: 4 2 20 0     S x y z x y 
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng 3 và tiếp xúc với (P): 2x +2y + z+3=0 tại M( 3; 1; 1). 
Bài 3: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(4;4;4), B(3;3; 1), C(1;5; 5), D(1;1;1). 
Bài 4: Cho  1 :3 4 3 0  P x y ,  2 : 2 2 39 0   P x y z ; (d) 0
1



  
x t
y
z
 . Viết phương trình mặt cầu có tâm I 
thuộc (d) và tiếp xúc với    1 2,P P . ĐS:      
2 22
1 : 191 1 12996    S x y z ; 
     2 221 : 11 1 36    S x y z 
Bài 5: Cho hình hộp 1 1 1 1.ABCD A B C D với  1;2; 4A ,  3;0;6C ,  1 2;5;3B và  1 0;1; 1D 
 Tìm tọa độ các đỉnh 1 ;A B . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm B và tiếp xúc với  1 1ADD A 
Bài 6: Viết phương trình mặt cầu đi qua  2;4; 1A ,  0; 2;1B và tâm I thuộc   1 2 1:
2 1 1
  
 

x y z
d 
 ĐS:        2 2 2: 3 1 2 19     S x y z 
Bài 7: Cho (P): 2 2 5 0   x y z và các điểm A(0, 0, 4) ; B(0, 2, 0) . Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A, 
B và tiếp xúc với mp (P) 
ĐS:   2 2 2: 4 2 4 0     S x y z x y z và   2 2 2 19: 2 4 0
2
     S x y z x y z 
Gi¸o viªn : Lª Thanh B×nh – THPT NguyÔn HuÖ 
bµi tËp h×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian 5 
Bài 8: Cho đường thẳng (d) (d): 
1 2
3 1 1
 
 
x y z
 và mặt phẳng (P): 2 2 2 0x y z    . Viết phương trình 
mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng (d), tiếp xúc với mặt phẳng (P) và có bán kính bằng 1. 
 ĐS:          
2 2 2
2 2 2
1 2
8 9 1
: 2 3 1 1; : 1
5 5 5
                     
     
S x y z S x y z 
Bài 9: Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (P): 2x + y 2 z + 8 = 0 tại  1; 2;2 A và khoảng cá ... hẳng AC và SD. 
2. Tính khoảng cách giữa BC và SD. 
3. Tính cosin góc phẳng nhị diện [B, SD, C]. 
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với đáy và SA a 3 . 
1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC). 
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC. 
Bài 13. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a, đường cao SH = h. Mặt phẳng ( ) đi qua 
AB và vuông góc với SC. 
1. Tìm điều kiện của h theo a để ( ) cắt cạnh SC tại K. 
2. Tính diện tích ABK . 
3. Tính h theo a để ( ) chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Chứng tỏ rằng khi đó tâm 
mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau. 
2. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TỨ GIÁC 
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm 
CD. 
1. Tính diện tích SBE. 
2. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE). 
3. (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó. 
Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 3 . 
1. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD). 
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC. 
3. Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D]. 
Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 3cm. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và 
SA 3 2 cm. Mp( ) đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K. 
1. Chứng minh AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD. 
2. Chứng minh BD song song với ( ) . 
3. Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của SAC . 
4. Tính thể tích hình khối ABCDKMH. 
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và 
SA = 2a. Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD. 
1. Tính khoảng cách từ A đến (BCN). 
2. Tính khoảng cách giữa SB và CN. 
3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC). 
4. Tìm điều kiện của a và b để  3cosCMN 3 . Trong trường hợp đó tính thể tích hình chóp S.BCNM. 
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SAD đều và vuông góc với (ABCD). Gọi H là 
trung điểm của AD. 
1. Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD). 
2. Mặt phẳng ( ) qua H và vuông góc với SC tại I. Chứng tỏ ( ) cắt các cạnh SB, SD. 
3. Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D]. 
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. SO vuông góc với đáy và SO 2a 3 , AC = 4a, 
BD = 2a. Mặt phẳng ( ) qua A vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD tại B', C', D' . 
1. Chứng minh B'C 'D ' đều. 
2. Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD. 
Gi¸o viªn : Lª Thanh B×nh – THPT NguyÔn HuÖ 
bµi tËp h×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian 18 
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Đường cao SA = 2a. Trên cạnh 
CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 m a)  . 
1. Tìm vị trí điểm M để diện tích SBM lớn nhất, nhỏ nhất. 
2. Cho 
am 3 , gọi K là giao điểm của BM và AD. Tính góc phẳng nhị diện [A, SK, B]. 
3. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG 
Bài 21. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, K, M, N lần lượt là trung điểm của A’D’, BB’, 
CD, BC. 
1. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng. 
2. Tính khoảng cách giữa IK và AD. 
3. Tính diện tích tứ giác IKNM. 
Bài 22 (trích đề thi Đại học khối A – 2003). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc phẳng nhị diện 
[B, A’C, D]. 
Bài 23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tìm điểm M trên cạnh AA’ sao cho (BD’M) cắt hình 
lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất. 
Bài 24. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. 
1. Chứng minh A’C vuông góc với (AB’D’). 
2. Tính góc giữa (DA’C) và (ABB’A’). 
3. Trên cạnh AD’, DB lấy lần lượt các điểm M, N thỏa AM = DN = k (0 k a 2).  
 a. Chứng minh MN song song (A’D’BC). 
 b. Tìm k để MN nhỏ nhất. Chứng tỏ khi đó MN là đoạn vuông góc chung của AD’ và DB. 
Bài 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = 6. Các điểm M, N thỏa 
AM mAD, BN mBB' (0 m 1).   
   
 Gọi I, K là trung điểm của AB, C’D’. 
1. Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD). 
2. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng. 
3. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp A 'BD . 
4. Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ nhất. 
Bài 26. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 2cm. Gọi M là trung điểm AB, N là tâm hình 
vuông ADD’A’. 
1. Tính bán kính R của mặt cầu (S) qua C, D’, M, N. 
2. Tính bán kính r của đường tròn (C) là giao của (S) và mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D. 
3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương. 
Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, 
 0BAD 60 . Gọi M, N là trung điểm cạnh AA’, CC’. 
1. Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. 
2. Tính AA’ theo a để B’MDN là hình vuông. 
Bài 28. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A. Cho AB = a, AC = b, 
AA’ = c. Mặt phẳng ( ) qua B và vuông góc với B’C. 
1. Tìm điều kiện của a, b, c để ( ) cắt cạnh CC’ tại I (I không trùng với C và C’). 
2. Cho ( ) cắt CC’ tại I. 
 a. Xác định và tính diện tích của thiết diện. 
 b. Tính góc phẳng nhị diện giữa thiết diện và đáy. 
Bài tập : 
MOÄT SOÁ VÍ DUÏ MINH HOÏA 
Baøi 1: Cho hình choùp SABC coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh baèng a, SA= 3a vaø vuoâng goùc vôùi ñaùy 
 1) Tính khoûang caùch töø A ñeán maët phaúng (SBC). 
 2) Tính khoûang caùch töø taâm O hình vuoâng ABCD ñeán maët phaúng (SBC). 
Gi¸o viªn : Lª Thanh B×nh – THPT NguyÔn HuÖ 
bµi tËp h×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian 19 
 3) Tính khoaûng caùch töø troïng taâm cuûa tam giaùc SAB ñeán maët phaúng (SAC). 
Baøi 2: Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng taâm O caïnh baèng a, SO vuoâng goùc vôùi 
 ñaùy.Goïi M,N theo thöù töï laø trung ñieåm SA vaø BC. Bieát raèng goùc giöõa MN vaø (ABCD) baèng 600 
 1) Tính MN vaø SO. 
 2) Tính goùc giöõa MN vaø maët phaúng (SBD) . 
Baøi 3: Cho hình thoi ABCD taâm O, caïnh baèng a vaø AC=a, Töø trung ñieåm H cuûa caïnh AB döïng 
 SH (ABCD) vôùi SH=a 
 1) Tính khoaûng caùch töø O ñeán maët phaúng (SCD). 
 2) Tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (SBC). 
Baøi 4: Cho goùc tam dieän Oxyz, treân Ox, Oy, Oz laáy caùc ñieåm A,B,C 
 1) Haõy tính khoaûng caùch töø O ñeán maët phaúng (ABC) theo OA=a, OB=b, OC=c 
 2) Giaû söû A coá ñònh coøn B, C thay ñoåi nhöng luoân thoûa maõn OA=OB+OC . Haõy xaùc ñònh vò 
 trí cuûa B vaø C sao cho theå tích töù dieän OABC laø lôùn nhaát. 
Baøi 5: Cho töù dieän OABC (vuoâng taïi O), bieát raèng OA,OB,OC laàn löôït hôïp vôùi maët phaúng (ABC) caùc 
 goùc  ,, . Chöùng minh raèng: 
 1) 2coscoscos 222   
 2) 2222 ABCOCAOBCOAB SSSS   
Baøi 6: Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh baèng a, sa vuoâng goùc vôùi ñaùy. Goïi 
 M,N laø hai ñieåm theo thöù töï thuoäc BC,DC sao cho 
4
3
,
2
a
DN
a
BM  . CMR hai maët phaúng 
 (SAM) vaø (SMN) vuoâng goùc vôùi nhau. 
Baøi 7: Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a. Goïi D laø ñieåm ñoái xöùng vôùi A qua BC. Treân ñöôøng thaúng vuoâng 
 goùc vôùi maët phaúng (ABC) taïi D laáy ñieåm S sao cho 
2
6a
SD  , CMR hai maët phaúng (SAB) vaø 
 (SAC) vuoâng goùc vôùi nhau. 
Baøi 8: Trong khoâng gian cho caùc ñieåm A,B,C theo thöù töï thuoäc caùc tia Ox, Oy, Oz vuoâng goùc vôùi nhau 
 töøng ñoâi moät sao cho OA=a , OB= 2a . OC=c (a,c>0). Goïi D laø ñieåm ñoái dieän vôùi O cuûa hình 
 chöõ nhaät AOBD vaø M laø trung ñieåm cuûa ñoïan BC. (P) laø maët phaúng qua A,M vaø caét maët phaúng 
 (OCD) theo moät ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AM. 
 a) Goïi E laø giao ñieåm cuûa (P) vôùi OC , tính ñoä daøi ñoïan OE. 
 b) Tính tæ soá theå tích cuûa hai khoái ña dieän ñöôïc taïo thaønh khi caét khoái choùp C.AOBD bôûi 
 maët phaúng (P). 
 c) Tính khoaûng caùch töø C ñeán maët phaúng (P). 
Baøi 9: Cho töù dieän SABC coù SC=CA=AB= 2a , )(ABCSC  , ABC vuoâng taïi A, caùc ñieåm M 
 thuoäc SA vaø N thuoäc BC sao cho AM=CN=t (0<t<2a) 
 1) Tính ñoä daøi ñoaïn MN. Tìm giaù trò cuûa t ñeå MN ngaén nhaát. 
 2) Khi ñoaïn MN ngaén nhaát, chöùng minh MN laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa BC vaø SA. 
Baøi 10: Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi coù AC=4, BD=2 vaø taâm O.SO=1 vuoâng goùc 
 vôùi ñaùy. Tìm ñieåm M thuoäc ñoaïn SO caùch ñeàu hai maët phaúng (SAB) vaø (ABCD). 
Baøi 11: Cho hình laäp phöông ABCD.A'B'C'D' caïnh baèng a. Goïi M,N theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa caùc 
 caïnh AD,CD. Laáy 'BBP sao cho BP=3PB'. Tính dieän tích thieát dieän do (MNP) caét hình laäp 
 phöông . 
Baøi 12: Cho hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A'B'C'D' coù AB=a, AD=2a, AA'=a 
Gi¸o viªn : Lª Thanh B×nh – THPT NguyÔn HuÖ 
bµi tËp h×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian 20 
 1) Tính theo a khoaûng caùch giöõa AD' vaø B'C. 
 2) Goïi M laø ñieåm chia ñoïan AD theo tyû soá 3
MD
AM . Haõy tính khoaûng caùch töø M ñeán maët 
 phaúng (AB'C). 
 3) Tính theå tích töù dieän AB'D'C. 
Baøi 13: Cho hình laäp phöông ABCD.A'B'C'D' caïnh baèng a..Goïi M, N laø trung ñieåm cuûa BC vaø DD' 
 1) CMR )( '' BDAAC  . 
 2) CMR )//( ' BDAMN . 
 3) Tính khoaûng caùch giöõa BD naø MN theo a 
Baøi 14: Cho laêng truï ABCD.A'B'C'D' coù ñaùy ABCD laø hình thoi taâm O caïnh baèng a, goùc A=600 . B'O 
 vuoâng goùc vôùi ñaùy ABCD, cho BB'=a 
 1) Tính goùc giöõa caïnh beân vaø ñaùy. 
 2) Tính khoaûng caùch töø B, B' ñeán maët phaúng (ACD'). 
Baøi 15: Cho hình vuoâng ABCD caïnh baèng a taâm I . Treân hai tia Ax, By cuøng chieàu vaø cuøng vuoâng 
 goùc vôùi maët phaúng (ABCD) laàn löôït laáy hai ñieåm M,N . Ñaët AM=x, CN=y 
 1) Tính theå tích hình choùp ABCMN. 
 2) CMR ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå goùc MIN=900 laø 2xy=a2 . 
Baøi 16: Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy laø tam giaùc vuoâng caân ABC vôùi caïnh huyeàn AB = 4 2 
 Caïnh beân SC (ABC) vaø SC = 2 .Goïi M laø trung ñieåm cuûa AC, N laø trung ñieåm AB 
 1) Tính goùc cuûa hai ñöôøng thaúng SM vaø CN 
 2) Tính ñoä daøi ñoïan vuoâng goùc chung cuûa SM vaø CN. 
Baøi 17: Cho hình laäp phöông ABCD.A'B'C'D' coù caïnh baèng 1 
 1) Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD, BB' .Chöùng minh raèng 'A C MN . 
 Tính ñoä daøi ñoïan MN 
 2) Goïi P laø taâm cuûa maët CDD'C' . Tính dieän tích MNP . 
Baøi 18: Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a vaø caïnh beân SA vuoâng goùc vôùi 
 maët phaúng ñaùy (ABC) . Tính khoaûng caùch töø ñieåm A tôùi maët phaúng (SBC) theo a, bieát raèng 
 SA=
a 6
2
Baøi 19: Cho töù dieän OABC coù ba caïnh OA;OB;OC ñoâi moät vuoâng goùc . Goïi ; ;   laàn löôït laø caùc goùc 
 giöõa maët phaúng (ABC) vôùi caùc maët phaúng (OBC);(OCA) vaø (OAB).Chöùng minh raèng : 
 cos cos cos 3     
Baøi 20: Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a , SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng 
 (ABCD) vaø SA=a . Goïi E laø trung ñieåm cuûa caïnh CD . Tính theo a khoaûng caùch töø ñieåm S ñeán 
 ñöôøng thaúng BE. 
Baøi 21: Cho laêng truï ñöùng ABC.A'B'C' coù ñaùy ABC laø tam giaùc caân vôùi AB=AC=a vaø goùc 
 BAC = 1200, caïnh beân BB' = a. Goïi I laø trung ñieåm CC'. Chöùng minh raèng tam giaùc AB'I vuoâng 
 ôû A. Tính cosin cuûa goùc giöõa hai maët phaúng (ABC) vaø (AB'I).