Tóm tắt Toán 12 (chương trình chuẩn)

TĨM TẮT TỐN 12 (Chương trình chuẩn)
A. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
PHẦN 1: HÀM SỐ
Bài tốn 1: Khảo sát hàm số
1.Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ¹ 0 ) 
+ TXĐ : 
+ Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với D/ = b2 - 3ac
D/ £ 0 
D/ > 0
y/ cùng dấu với hệ số a
·KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?)
 y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2 
·KL: hàm số tăng? Giảm?
·Hàm số không có cực trị 
· Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu?
+ Giới hạn: · 	 · 
+ Bảng biến thiên: 
a > 0: 
x
-	 x1 	 x2 	+
y’
	+	0	-	0 	+
y
	 yCĐ 	+
-	 yCT
x
-¥ 	 +¥
y’
 +
y
	+¥ 
-¥
a < 0:
x
-¥ 	 +¥
y’
 -
y
+¥ 
	-¥
x
-	 x1 	 x2	+
y’
	-	0	+	0	-
y
+	 yCĐ
	 yCT	-
Chú ý : dù y/ = 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng
+ Vẽ đồ thị :	· xác đinh Cực trị ?	 · Điểm uốn I(-;f(-)) (giải pt y’’ = 0 ) 
 	 · điểm đặc biệt : Giao với Oy, Ox
a>0 ; có 2 CT a0,không CT a<0,không CT
2.Hàm phân thức : ( c ¹ 0; ad - bc ¹ 0 ) 
+ TXĐ : 	+ Đạo hàm : 
ad-bc < 0
ad-bc > 0
y/ < 0, " x ỴD
y/ > 0 , " x ỴD
Hàm số không có cực trị
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
+ Tiệm cận: 
· là tiệm cận đứng vì , 
 · là tiệm cận ngang vì 
+Bảng biến thiên :
y’ > 0
x
-	+
y’
	+	+
y
	+	
 y’ < 0 
x
-	+
y’
	-	-
y
	+	
+ Vẽ đồ thị : - Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt 
 	 - Chú ý đồ thị đối xứng qua giao điểm hai tiệm cận .
x= -d/ c
y= a/c
x= -d/ c
y= a/c
3 Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c ( a ¹ 0 ) 
+ TXĐ : , Hàm số chẵn
+ Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x = 2x.(2a x2+ b) 
a,b cùng dấu
a, b trái dấu
y/ = 0 Û x = 0 
·KL: tăng? Giảm
 y/ = 0 Û 2x (2ax2 + b) = 0 Û x= 0; x1,2=±
·KL: tăng? Giảm?
·Giá trị cực trị : y(0) = c có một cực trị
· Giá trị cực trị: y(0)= c ; y(±) =- Có 3 cực trị
+ Giới hạn : 
+ Bảng biến thiên : 
a > 0
x
-	0	+
y’
	 -	0	+	
y
+	+
	 yCT	
x
-	 x1	0	 x2	+
y’
	-	0	+	0	-	 0	+
y
+	 yCĐ	+
	 yCT	 yCT
a < 0
x
-	0	+
y’
	 +	0	-	
y
	 yCĐ 	
-	-
x
-	 x1	0	 x2	+
y’
	+	0	-	0	+	 0	-
y
	 yCĐ	yCĐ
-	 	yCT	-
 a> 0
 b>0
a< 0
b <0
a0
 a> 0
 b <0
+ Vẽ đồ thị : · cực đại , cực tiểu ; · y = 0 -> x= ? giải pt trùng phương 
Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng 
Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :
1. Tiếp tuyến tại M(x0; f(x0)) có phương trình là : y - f(x0) = f/(x0)(x- x0) hay y = y/(x0)(x- x0)+ y(x0)
 Từ x0 tính f(x0) ; · Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ? P.trình tiếp tuyến tại M là: y - f(x0) = f/(x0)(x- x0) 
2. Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a
 tiếp tuyến ^ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = - 
 + giả sử M(x0; f(x0)) là tiép điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f/(x0).
 + Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? -> f(x0) = ?
 + Phương trình tiếp tuyến y = k (x - x0) + f(x0) 
Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = -1 
 + Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2 
3. Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x1; y1) của đồ thị h/s y =f(x) 
 + Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A 
	Pt đường thẳng (d) là : y = k(x - x1) + y1
 + Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thị (C) là
 hệ phương trình : có nghiệm 
	Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận 
Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :
	+ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 . Trong đó đồ thị hàm số y = f(x) .
	+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) Đặt: M = g(m)
	+ D: y = M là đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thị (C)
	+ Tuỳ theo M xét sự tương giao của đồ thị (C) với đồ thị D: y = M 
Bài toán 4: Xác định khoảng tăng, giảm hàm số (xét tính đơn điệu) : 	
 + TXĐ D= ?
 + Đạo hàm : y/ = ? .. cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/ 
 + BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
* y/ > 0 thì hàm số tăng ; y/ < 0 thì hàm số giảm 
 + Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng ...
Định lý 2 (dùng để tìm giá trị m) : 
	a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f/(x) ³ 0 " x Ỵ (a;b) 
	b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f/(x) £ 0 " x Ỵ (a;b).
Bài tốn 5: Cực trị hàm số 
· Dấu hiệu I :
 + TXĐ D=?
 + Đạo hàm : y/ = ? .. 
 cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/ 
 + BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) 
 + Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ?
Chú ý: 
Nếu hàm số luơn tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên (a;b).
Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0.
đổi dấu khi qua x0
x0 là cực trị của hàm số
· Dấu hiệu II:
 + TXĐ
 + Đạo hàm : y/ = ? .. y// = ? .. 
 cho y/ = 0 ( nếu có ) => x1 , x2 .. .
 + Tính y//(x1); y//(x2).
 Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ? 
 Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ?
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu 
* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:
y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x).
Dạng 2: Cực trị của hàm hữu tỉ :
Cho h/s y = 	u(x) ; v(x) là các đa thức có TXĐ: D
Và y/ = = dấu của y/ là dấu của g(x) 
Nếu h/s đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)= 0 => g(x0) = 0 u/v-v/u = 0 
=> . Do đó giá trị cực trị y(x0) = 
Bài tốn 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 
1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:
 + Miền đang xét [a;b]
 + Đạo hàm : y/ = ? .. 
cho y/ = 0 ( nếu có ) _ x1 , x2 .. . chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]
 + Tính y(x1) ; y(x2) . 	So sánh ® KL 
 y(a) ; y(b) 
 + ? ?
2. P.pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MXĐ :
 + Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ 
 + Đạo hàm : y/ = ? .. cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/ 
 + BBT:
	 * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT 
 * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ yCĐ
 * Nếu hàm số luơn tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên khoảng (a;b).
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :
 + nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1 
 + nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2
Bài tốn 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
1. Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ;	 (C2) : y = g(x) 
Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có 
là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1) 
· pt(1) vô nghiệm (C1) và (C2) không có điểm chung 
· pt(1) có n nghiệm (C1) và (C2) có n điểm chung 
* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong.
 2. Điều kiện tiếp xúc : 
Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) hệ pt có nghiệm
Bài tốn 8: Cách xác định tiệm cận :
*Tiệm cận đứng : hoặc => x = x0 là tiệm cận đứng 
 Chú ý : tìm x0 là những điểm hàm số không xác định 
*Tiệm cận ngang : hoặc => y = y0 là tiệm cận ngang
 Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử £ bậc mẫu thì có tiệm cận ngang 
Phần 2: Hàm số mũ và logarit
Bài tốn 1: Dùng cơng thức tính các biểu thức cĩ chứa hàm số mũ hoặc hàm số logarit
 a-n = ; a0 = 1 0 ; ( m; n nguyên dương , n > 1)
· Các quy tắc: 
ax.ay = ax+y 	(a.b)x =ax.bx	 
· Hàm số mũ : với a > 0 ; a ¹ 1 
TXĐ : D = R 	MGT : (0; +¥ )
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 Û > 
+ 0 x2 Û < 
* Hàm số logarit: 
a = logaN Û aa = N logax = b Û x= ab
· Đặc biệt : = x ; log = x ; loga1 = 0
· Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ¹ 1 ta có:
	log(B.C) = logB + logC	log = logB - logC	log = logB
· Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ¹ 1 ta có :
loga.logb = b Û 	0 < a, b ¹ 1 : logb = 
Chú ý : log10x = lg x ; logx = ln x 
· Hàm số Logarit: y = logx với a > 0 ; a ¹ 1 
TXĐ : D = (0 ; +¥ )	MGT : 
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 > 0 Û logx1 > logx2 
+ 0 x2 > 0 Û logx1 <logx2 
Bài tốn 2: giải phương trình mũ và logarit :
· Dạng cơ bản:
= Û f(x) = g(x) 
= 1 Û ( u -1 ).v(x) = 0 ( trong đó u có chứa biến )
= b ( với b > 0 ) Û f(x) = logb
hoặc
logf(x) = logg(x) Û
dạng: Û f(x) = 
 = b Û 
· Đặt ẩn phụ : 
a. +b. + g = 0 ; Đặt : t = Đk t > 0
 a.+b.+ g = 0 ; Đặt : t = Đk t > 0
a.+b.+ g = 0 và a.b = 1; Đặt: t = ;=
a.+b.+ g. = 0 ; Đặt t = 
· Logarit hoá hai vế :
Bài tốn 3: Giải bất phương trình mũ và logarit
· Dạng cơ bản :
 > Û 
 > b Û Nếu b £ 0 có nghiệm "x
	 Nếu b > 0 f(x) > logb nếu a > 1
	 f(x) < logb nếu 0 < a < 1 
 < b Û Nếu b £ 0 thì pt vô nghiệm
	 Nếu b > 0 ; f(x) 1
	 f(x) > logb nếu 0 < a < 1 
·logf(x) > logg(x) Û Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a ¹ 1
 (a-1)[ f(x) - g(x) ] > 0 
·logf(x) > b Û * Nếu a > 1 : bpt là f(x) > 
	 * Nếu 0 < a < 1 bpt là 0 < f(x) < 
·logf(x) 1 : bpt là 0 < f(x) < 	 
	 * Nếu 0 
·> 1 Û u(x) > 0 và [ u(x) -1 ].v(x) > 0 
· 0 và [ u(x) -1 ].v(x) < 0 
Lưu ý: 
 * trong trường hợp cĩ ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng cơng thức sau để bài tốn trở nên dỡ dang hơn: > ĩ(a-1)(f(x) - g(x)) > 0. logf(x) > logg(x) ĩ (a-1)(f(x)-g(x)) > 0. (mở rộng thi đại học).
 * Khi giải bài tốn bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm số trên.
 *Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số.
Phần 3: Nguyên hàm.
Bài tốn 1: Tìm nguyên hàm cơ bản (dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản).
Bài tốn 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 1: Tính I = bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x)
I = 
Dạng 2: Tính I = Nếu khơng tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân cĩ chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì cĩ thể đổi biến như sau:
 thì đặt x = asint 	 thì đặt x = atant.
Bài tốn 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số cĩ đạo hàm liên tục trên I
Hay ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
 phân tích các hàm sớ dễ phát hiện u và dv
 @ Dạng 1 với f(x) là đa thức: Đặt 
 @ Dạng 2: Đặt 
 @ Dạng 3: Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax
Bài tốn 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
Dạng 1: ;	 .
 * Thực hiện cơng thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân.
Dạng 2: (n,m là các số nguyên dương)
 * Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cos(u(x)).
 * nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sin(u(x)).
 * Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng cơng thức nhân đơi sau đĩ dung tiếp cơng thức hạ bậc để tính. (nếu một trong 2 số n hoặc n = 0 số cịn lại là số chẵn thì ta chỉ dung cơng thức hạ bậc).
 * n,m Ỵ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì cĩ thể 
 đặt t = tan(u(x)) hoặc t = cot(u(x)).
Dạng 3: R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học).
 ... n cĩ chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì cĩ thể đổi biến như sau:
 thì đặt x = asint thì đặt x = atant.
Bài tốn 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần: (xem phần nguyên hàm)
Bài tốn 4: Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản). (xem phần nguyên hàm)
Bài tốn 5: Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ (xem phần nguyên hàm)
 Bài tốn 6: Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối. 
Tính + Tìm nghiệm của f(x) = 0.
 Nếu f(x) = 0 vơ nghiệm trên (a;b) hoặc cĩ nghiệm x = a hoặc x = b thì = 
 Nếu f(x) = 0 cĩ nghiệm x = c Ỵ(a;b) thì = 
*Chú ý: Nếu cĩ nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì vẫn dung cơng thức trên tùy theo trường hợp nghiệm như thế nào. (cách làm này cĩ lợi vì ta khơngcần xét dấu f(x)).
Phần 5: Diện tích hình phẳng - thể tích vật thể trịn xoay.
Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng 
a
b
x
y
· Hình phẳng giới hạn bởi :
Diện tích : S = 
Chú ý : nên giải pt : f(x) = 0 trên ( đặc biệt nếu thiếu cận a, b) 
a
b
x
y
y=f(x)
y=g(x)
· Hình phẳng giới hạn bởi :
Diện tích : S = 
Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x) 
 2) Nếu bài tốn qua phức tạp thì ta cĩ thể vẽ hình để xác định hình phẳng hoặc tính qua tổng hoặc hiệu của nhiều hình.
Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể trịn xoay : 
 * Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
quay quanh trục Ox thì V = 
Phần 6: Số phức
 Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,
Cho hai số phức a+bi và c+di.
1. a+bi = c+di ĩ a = c; b = d. 	2. mơđun số phức
3. số phức liên hiệp z = a+bi là = a - bi.
4. (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 	5. (a+bi ) -( c+di) = (a-c)+(b-d)i.
6. (a+bi )( c+di) = (ac - bd)+(ad+bc)i 	7. z = 
Bài tốn 2: Giải phương trình bậc 2.
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0. với D = b2 - 4ac.
Nếu D = 0 thì phương trình cĩ nghiệp kép (nghiệm thực)
Nếu D > 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm thực: 
Nếu D < 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm phức 
B. HÌNH HỌC.
Phần 7: Thể tích, diện tích của các khối hình
Bài tốn 1: Tính diện tích xung quanh (Sxq), diện tích tồn phần(Stp) của khối nĩn,trụ,cầu.
Khối nĩn: Sxq = prl; Stp = pr(r + l).
Khối trụ: Sxq = 2prl; Stp = 2pr(r + l).
Khối cầu: S = 4pr2 .
Bài tốn 2: Tính thể tích các khối hình.
 * Khối hình chĩp V = ; * Khối nĩn V = 
 * Khối hình trụ V = pr2h ; * Khối cầu V = * Khối lăng trụ: V= Bh. 
* Diện tích tam giác: 
 ( R: là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác.) (: là nửa chu vi của tam giác.)
Định lý cosin: Tam giác ABC cĩ ba cạnh tương ứng là a,b,c:
a2=b2+c2-2.b.c.cosA
Phần 8: Phương pháp tọa độ trong khơng gian
 = (x;y;z) Û = x.+ y. + z. 
Tính chất : 	Cho = (a1;a2; a3) , = (b1;b2; b3)
· ±=(a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3)
· k. = (ka1;ka2;ka3) 	k Ỵ R 
Tích vô hướng : = a1.b1 + a2.b2 +a3.b3=½½.½½Cos j
 Cos j = 
 Û a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = 0 cùng phương ;¹ Û = k.Û = 
Toạ độ điểm:
M = (x;y;z)Û = x.+ y. + z. 	= ( xB- xA ; yB-yA;zB -zA)
· I là trung điểm của AB
· G là trọng tâm tam giác ABC 	
· Tích có hướng của 2 vectơ : 
 	 * (^) ^ ; (^) ^ 
 Bài tốn 1:Xác định điểm trong không gian , cm tính chất hình học ...
Bài tốn 2: Tích vô hướng , tích có hướng , góc giữa hai véc tơ :
Bài tốn 3:Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,thể tích hình hộp, tứ diện:
Phần 9: Mặt cầu.
Bài tốn 1: xác định tâm và bán kính mặt cầu
Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R là : (x -a)2 + (y - b)2+ (z-c )2 = R2
 Phương trình của mặt cầu ( S): x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2-D > 0 
 có tâm I(-A ;-B;-C) ; bán kính R = 
Bài tốn 2: Viết phương trình mặt cầu
· Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và đi qua M1(x1;y1;z1) + Bán kính R = IM1 = 
· Pt.mặt cầu (S) đường kính AB : + Tâm I là trung điểm AB => I(;;)
 + Bán kính R = IA
· Pt. mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D: p.pháp : (S): x2 + y2+ z2- 2.Ax- 2.By - 2Cz + D = 0 (1)
Thay lần lượt toạ độ 4 điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số A;B;C;D 
· Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mặt phẳng (a):	bán kính R = d(I; (a))
Bài tốn 3: xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
(a) : A x + B y + Cz +D = 0 ; (S): (x -a)2 + (y-b)2 +(z-c)2 = R2 
Nếu:· d(I; a ) > R a và S không có điểm chung ( rời nhau)
 · d(I; a ) = R a tiếp xúc với S ( (a) là mp tiếp diện) : (a) Ç (S) ={M0} ; 
Cách viết mặt phẳng tiếp diện : (a) qua M0 nhận làm VTPT
 · d(I; a ) a cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C): tâm H; bán kính r 
	+ Tâm H là hình chiếu của I lên mp a
+ bán kính r = 
+ Cách xác định H: + Lập pt đ. thẳng d qua I nhận làmVTCP
d : thay vào pt mp(a) => giải t => toạ độ điểm H 
Bài tốn 4: Cách viết mặt phẳng tiếp diện tại điểm M0: 
 + Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S)
+ Mặt phẳng tiếp diện (a) qua M0 nhận làm VTPT.
Bài tốn 5: Xác định tâm và bán kính đường trịn giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng(a).
+ bán kính r = 
Cách xác định H: + Lập pt đ. thẳng d qua I nhận làmVTCP
(d) thay vào pt mp(a) => giải t => toạ độ điểm H 
Phần 10: Mặt phẳng, đường thẳng.
1.Vectơ pháp tuyến của mpa : là véctơ pháp tuyến của (a) giá của ^ (a)
2.Cách xác định VTPT của mpa : , không cùng phương có giá song song với (a) hoặc nằm trong (a) thì 
3. Pt mp(a) qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt = (A;B;C): A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0
4. (a) : Ax + By + Cz + D = 0 ta có = (A; B; C)
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : 
6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0 
Bài tốn 1: cách viết phương trình mặt phẳng:
* (ABC): + tính 
 + VTPT của (ABC) 
=> viết mặt phẳng đi qua A cĩ VTPT .
Mặt phẳng xác định bởi: 
* (a,b) : nếu a//b thì VTPT với AỴ a; B Ỵ b.
 Nếu a cắt b thì 
*(A;a) thì VTPT với AỴ a.
* (a) //(b) thì VTPT 
* (a) ^ a thì VTPT 
*(a) đi qua 2 điểm A và B đồng thời chứa đ.thẳng a hoặc // a hoặc cĩ VTCP thì ( thay =)
*(a) vuơng gĩc cả hai mặt phẳng (P) và (Q). thì VTPT 
* Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
 + Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB.
 +Mặt phẳng trung trực đi qua M cĩ VTPT .
* (a) song song đường thẳng và vuơng gĩc với một mặt phẳng thì .
* (a) chứa đ.thăng d và ^(b) .
 + chọn M trên đ.thẳng d.
 + VTPT của (a) là 
Bài tốn 2 viết phương trình đường thẳng.
1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp = (a1;a2;a3)
2.Phương trình chính tắc của d 
Qui ước:
 Mẫu = 0 thì Tư û= 0
 *D đi qua điểm A và cĩ VTCP 
* D đi qua 2 điểm A và B => D đi qua A cĩ VTCP .
*D đi qua A và // d => D qua A cĩ VTCP .
*D qua A và ^(a) thì D qua A cĩ VTCP là .
* D là giao tuyến của hai mặt phẳng (a) và (b) thì VCTP của D là .
Bài tốn 3: tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng hoặc đ.thẳng. 
* Tìm hình chiếu H của M lên (a)
 + Viết PT đ.thẳng d qua M cĩ VTCP là .
 + giải hệ gồm 
 + Hình chiếu H là giao điểm của (a) và d là nghiệm của hệ trên.
* Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng d.
 + Viết PT mặt phẳng (P) qua M cĩ VTPT là .
 + giải hệ gồm 
 + Hình chiếu H là giao điểm của (a) và d là nghiệm của hệ trên.
Bài tốn 4: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với điểm A qua đt hoặc mp
 * Đối xứng qua mp(a)
 + Viết PT đ.thẳng d qua M cĩ VTCP là .
 + giải hệ gồm 
 + Hình chiếu H là giao điểm của (a) và d là nghiệm của hệ trên.
 + Tọa độ điểm đối xứng A/ : (H là trung điểm AA’)
* Đối xứng qua đường thẳng d.
 + Viết PT mặt phẳng (P) qua M cĩ VTPT là .
 + giải hệ gồm 
 + Hình chiếu H là giao điểm của (a) và d là nghiệm của hệ trên.
 + Tọa độ điểm đối xứng A/ : (H là trung điểm AA’)
Bài tốn 4: xác định vị trí tương đối giữa mp và mp, đt và đt, đt và mp.
* Vị trí tương đối giữa mp (P) và mp(Q).
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 ; (Q) : A/x + B/y + C/z + D/ = 0 
với =(A;B;C) và =(A/; B/ ; C/ )
(P) º (Q) === 
(P) // (Q) == ¹ 
(P) cắt (Q) ¹Ú ¹ Ú ¹
Chú ý :· a ^ a/ .= 0 AA/ + BB/ + CC/ = 0 
	· a cắt a/ và không cùng phương 
* vị trí tương đối giữa đ.thẳng d1 và d2.
 Ta giải hệ gồm pt theo t và t/ (cho PTTS của hai đ.thẳng = theo tùng thành phần ).
 + hệ cĩ nghiệm duy nhất t và t/ thì d1 cắt d2 => giao điểm.
 + hệ cĩ vơ số nghiệm t và t/ thì d1 trùng d2
 + nếu hệ vơ nghiệm :
	Xác định các VTCP =(a;b;c) , =(a/;b/; c/ )
	thì d1 chéo d2.
	Ngược lại thì d1 // d2
* Vị trí tương đối giữa đ.thẳng d và mặt phẳng (P).
 + thay PTTS của đ.thẳng d vào PT mp(P) ta được PT theo ẩn t.
 + nếu PT vơ nghiệm thì d//mp(P).
 Nếu PT vơ số nghiệm thì d Ì (P).
 Nếu PT cĩ nghiệm duy nhất thì d cắt (P) =>giao điểm?
Bài tốn 5: Tính khoảng cách.
* từ điểm A(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (a): Ax+By+Cz+D = 0 .
 d(A;(a)) = 
* (P)//(Q) thì d((P),(Q)) = d(A;(Q)) với mọi điểm A chọn tùy ý trên (P)
* Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d ( khơng cĩ cơng thức tính trong chương trình mới phân ban) nhưng ta cĩ thể tính như sau:
 + lập PT mp(Q) qua A và vuơng gĩc với d.
 + tìm giao điểm H của mp(P) và đ.thẳng d.
 + khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng AH.
Bài tốn 6: Viết pt hình chiếu D của đ.thẳng d lên mp (P) ( trường hợp d cắt (P) )
 + Tìm giao điểm A của d và (P)
 + Chọn M trên đ.thẳng d. (M khác A)
 +Tìm hình chiếu của M lên (P) là H
 + VTCP của D là 
 + D qua A và H nên viết được pt
Bài tốn 7: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUƠNG GĨC CHUNG 
ŸN
(d1)
M
(d2)
Giả sử cĩ hai đường thẳng (d1), (d2) lần lượt cĩ phương trình như sau :
 và 
Ø Lấy điểm M Ỵ d1 ; N Ỵ d2
Þ MN = (........)
M( ; ; ) 
N( ; ; )
Ø MN là đường vuơng gĩc chung : 
Ø Giải hệ phương trình (*) tìm t và t’. Lấy t thế vào d1 cĩ tọa độ của M, t’ thế vào d2 cĩ tọa độ N.
Ø Lập phương trình đường thẳng MN đĩ chính là phương trình đường vuơng gĩc chung cần tìm. 
Bài tốn 8: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Phương pháp 1 : 
Độ dài MN ở bài tốn 7 chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 
B
d2
Phương pháp 2 :
Ÿ
qua điểm A Ỵ (d1)
Ø	Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) và song song với (d2) 
d1
H
Ÿ
P
Ø	Lấy điểm B Ỵ (d2) và tính khoảng cách từ B đến mp(P) thì :
	 = BH 
Áp dụng cơng thức tính khoảng cách từ M(x0 ; y0 ; z0) đến mặt phẳng (a) : Ax + By + Cz + D = 0
Chú ý: (Khi thi tốt nghiệp thí sinh chỉ làm theo kiến thức chương trình chuẩn )
Chương trình chuẩn
Chương trình nâng cao
vàcùngphương
,, đồng phẳng 
(, khơng cùng phương)
1.Tính chất : là 
 ,
 và cùng phương Û 
,, đồng phẳng Û 
Diện tích:
 với 
Thể tích: VABCD = 
Thể tích khối hộp:
 VABCD.A’B’C’D’= 
2.Các ứng dụng tích cĩ hướng :
Diện tích tam giác :
Thể tích tứ diệnVABCD=
Thể tích khối hộp:
 VABCD.A’B’C’D’ = 
Phần (bổ sung)
Gọiφ là gĩc giữa hai mặt phẳng (00≤φ≤900)
 (P):Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0 
Gĩc giữa hai đường thẳng
	(D) đi qua M(x0;y0;z0) cĩ VTCP 
	(D’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) cĩ VTCP 
Gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng
	(D) đi qua M0 cĩ VTCP , mp(α) cĩ VTPT 
	Gọi φ là gĩc hợp bởi (D) và mp(α) 
G là trọng tâm của tứ diện ABCD Û
Chúc các em ơn tập hiệu quả và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi sắp tới !