Tóm tắt hình giải tích 12

HÌNH GIẢI TÍCH 12
TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ
I. Định nghĩa tọa độ vectơ
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz với các vectơ đơn vị trên Ox, Oy, Oz lần luợt là 
II. Các tính chất của tọa độ vectơ
Cho 
1) 
2) 
3) k
4) Tích vô hương
Chú ý: 
5) Độ dài vectơ
6) Điều kiện cùng phương của hai vectơ 
Hay: 
7) Góc giữa hai vectơ
Chú ý: 
III. Định nghĩa tọa độ điểm
—M(x0;y0;z0)
x0
y0
z0
z
y
x
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz với các vectơ đơn vị trên Ox, Oy, Oz lần luợt là 
IV. Tính chất của tọa độ điểm
Cho A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB), 
 C(xC; yC; zC), D(xD; yD; zD)
1) 
2) AB=
3) Tọa độ trung điểm
Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì
4) Tọa độ trọng tam tam giác
G là trọng tâm tam giác ABC 
5) Tọa độ trọng tâm tứ diện
G là trọng tâm tứ diện ABCD
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
I. Định nghĩa
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai vectơ . Tích có hướng của hai vectơ theo thứ tự đó là một vectơ kí hiệu là và được xác định như sau:
II. Tính chất của tích có hướng
1) 
2) 
3) Vectơ vuông góc với cả và , tức là 
4) 
5) và cùng phương
6) Điều kiện đồng phẳng
đồng phẳng 
Chú ý: ABCD là tứ diện 
III. Ứng dụng của tích có hướng
1) Diện tích tam giác
2) Diện tích hình bình hành ABCD
3) Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’
4) Thể tích khối tứ diện:
MỘT SỐ VÍ DỤ LIÊN QUAN ĐẾN TỌA ĐỘ ĐIỂM, VECTƠ VÀ TÍCH CÓ HƯỚNG
Ví dụ 1. Cho ba điểm A, B, C thỏa 
a) CMR: A, B, C không thẳng hàng
b) Tính diện tích tam giác ABC
c) Tính bán kính đường tròn nội tếp tam giác ABC
d) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành
e) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
f) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC
Giải
a) Theo định nghĩa tọa độ điểm ta có:
A(1;2;-1), B(3;1;1), C(2;1;0)
Ta có: 
không cùng phương
A,B,C không thẳng hàng
b) 
	 (đvdt)
c) 
p = 
(đvđd)
d) ABCD là hình bình hành khi
Vậy: D(0;2;-2)
e) Gọi I(x;y;z) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
IA2 = (1-x)2 + (2-y)2 + (-1-z)2
 = x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 2z + 6
IB2 = x2 + y2 + z2 – 6x – 2y - 2z + 11
IC2 = x2 + y2 + z2 – 4x – 2y + 5
 = x – z – 2
Ta có IA = IB = IC và ba vectơ đồng phẳng nên có hệ phương trình:
Vậy: I(5/2;7/2;1/2)
f) Gọi H(x;y;z) là trực tâm tam giác ABC
,
Ta có:và ba vectơ đồng phẳng nên có hệ phương trình:
Vậy: H(1;-3;-1)
Ví dụ 2. Cho bốn điểm A(1;-1;2), B(2;1;3), C(0;-2;-4), D(3;1;-2)
a) CMR: A,B,C,D tạo thành một tứ diện
b) Tính cos của góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD.
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD và tính độ dài trung tuyến kẻ từ G của tam giác GBC
d) Tính thể tích khối tứ diện ABCD và đường cao của tứ diện kẻ từ A.
Giải.
a) 
không đồng phẳng
Do đó: A,B,C,D tạo thành một tứ diện
b) 
c) G(3/2;-1/4;-1/4)
Gọi M là trung điểm BCM(1;-1/2;-1/2)
d) 
 (đvtt)
(đvdt)
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
1) Phương trình mặt cầu viết theo tọa độ tâm và bán kính
Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(a;b;c), bán kính R
Phưuơng trình mặt cầu tâm I, bán kính R là:
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 (1)
2) Dạng khai triển của phương trình mặt cầu
x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (2)
Chú ý: 
(2) là phương trình mặt cầu 
Khi đó: Tâm là I(a;b;c)
	 Bán kính: R = 
3) Một số ví dụ:
VD1. Cho A(1;2;3), B(-3; 4; 1)
Viết phương trình mặt cầu đường kính AB
Giải
Gọi I là tâm mặt cầu cần tìm
 Ta có: I là trung điểm của đoạn ABI(-1;3;2)
Bán kính: R = 
Vậy: PT mặt cầu đường kính AB là
	(x + 1)2 + (y – 3)2 + (z – 2)2 = 6
VD2. Cho tứ diện ABCD với A(2;4;-2), B(1;2;5), C(-2;0;0), D(-1;2;-3)
Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Giải.
Pt mặt cầu (S) cần tìm dạng:
x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 24 – 4a – 8b + 4c + d = 0 (1)
30 – 2a – 4b -10c + d = 0 (2)
4 + 4a + d = 0	(3)
14 + 2a – 4b + 6c + d = 0 (4)
Lấy (1)-(2), (2)-(3), (3)-(4) theo vế ta được:
Vậy: 
 (S): x2 + y2 + z2 + 8x – 15y – 4z + 12 = 0
BÀI TẬP
Baøi 1. Cho ba ñieåm A(1;1;1), B(5;1;-2), C(7;9;1)
a) Chöùng toûa A, B, C khoâng thaúng haøng
b) Phaân giaùc trong cuûa goùc A caét BC taïi D. Tìm toïa ñoä D
c) Tính cosA vaø SABC 
 [ÑS: b) D(17/3;11/3;-1) c) cosA = 12/25, SABC = ]
Baøi 2. Cho A(1,0,0), B(0,0,1), C(2,1,1)
	a) Chöùng minh raèng A,B,C laø ba ñænh cuûa moät tam giaùc.
	b) Tính chu vi vaø dieän tích tam giaùc ABC.
	c) Tìm toïa ñoä ñieåm D ñeå ABDC laø hình bình haønh.
	d) Tìm toïa ñoä chaân ñöôøng cao haï töø A cuûa tam giaùc ABC. [ĐS: (4/5;2/5;1)]
Baøi 3. Cho A(2,3,1) , B(4,1,-2), C(6,3,7), 
D(-5,-4,8)
	a) Chöùng minh raèng ABCD laø moät töù dieän. Tính theå tích cuûa töù dieän ABCD
	b) Tính dieän tích tam giaùc ABC và tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
	c) Tính ñoä daøi ñöôøng cao haï töø D cuûa töù dieän.
	d) Tìm tọa độ hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD) 
	[ĐS: d) (700/207;883/1035;1211/1035)]
Baøi 4. Cho A(2,2,3), B(1,3,3), C(1,2,4), S(1,2,3)
	a) Chöùng minh raèng SABC laø töù dieän.
	b) Chöùng minh raèng (SBC).
	c) Tìm toïa ñoä troïng taâm G cuûa töù dieän.
	d) Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD [ĐS: I(3/2;5/2;7/2)]
Baøi 5. 
	a) Tìm toïa ñoäâ caùc ñieåm A, B, C, D thoûa : ; ; ; 
	b) Chöùng minh raèng ABCD laø moät töù dieän. Tính theå tích cuûa töù dieän naøy.
	c) Tìm ñieåm E thuoäc mp(Oxy) sao cho EA
Baøi 6. Cho
	a)coù ñoàng phaúng hay khoâng.
	b) Tìm toïa ñoä cuûathoûa
	c) Tìm x, y ñeåcuøng phöông vôùi 
	d) Tìm z ñeå vuoâng goùc vôùi.
Bài 7. Cho tam giác ABC có A(1;2;-1), B(3;1;1), C(2;1;0).
	a) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC
	b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
[ĐS: a) (1;-3;-1), B(5/2;7/2;1/2)]
Bài 8.Cho A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a,b,c> 0 thỏa 
Tìm a, b, c để thể tích tứ diện OABC đạt GTNN. [ĐS: a = 3, b = 6; c = 9]
Bài 9. Viết phương trình mặt cầu đường kính AB trong mỗi trường hợp sau:
	a) A(2;3;-1), B(0; -1; -5)
	b) B(-3;4;-5), B(1; 2;-3)
Bài 10. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD trong mỗi trường hợp sau:
	a) A(1;-1;0), B(3;-5;2), C(7;8;9), D(1;2;3)
	b) A(2;1;1), B(3;0;2), C(-2;2;1),D(2;6;-7)
[ĐS: a) x2+y2+z2-26x-4y+20= 0
b) x2+y2+z2+37x+145y+101z-326= 0]
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
I. Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của mặt phẳng
Vectơ khác vectơ gọi là vtcp của mp(P) nếu nằm trong mp() hoặc nằm trên đường thẳng song song với mp()
Vectơ khác vectơ gọi là vtpt của mp(P) nếu nằm trên đường thẳng vuông góc với mp(P)
Nếu hai vtcp , của mp() không cùng phương với nhau thì là vtpt của mp()
II. Phương trình mặt phẳng
Mặt phẳng () qua A(x0;y0;z0) và có vtpt có phương trình là:
	A(x – x0) + B(y – y0) + C(z - z0) = 0
Phương trình tổng quát của mp là:
	Ax + By + Cz + D = 0 , (A2+B2+C2>0)
Chú ý: Với mp có pttq trên thì là một vtpt của mặt phẳng 
Các trường hợp đặc biệt:
a) Nếu mp() lần lượt cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) thì phương trình mp(P) là:
	b) Các mặt phẳng tọa độ:
Mp(Oxy): z = 0
	Mp(Oxz) : y = 0
	Mp(Oyz) : x = 0
III. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng () và () 
() : Ax + By + Cz + D = 0
() : A’x + B’y + C’z + D’ = 0
1) () cắt () 
2) 
3) 
Chú ý: 
IV. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Cho mặt phẳng : Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M0(x0;y0;z0)
Khoảng cách từ M0 đến là :
	d(M0, ) = 
V. Một số ví dụ:
VD1. Viết phương trình mặt phẳng (ABC) với A(1;2;-3), B(2;1;-1), C(3;2;4)
Giải
 là vtpt của mp(ABC)
Pt mp(ABC) là: -7(x–1)–3(y–2)+2(z+3) = 0
VD2. Cho A(2;-3;1), B(-4;1;3)
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
Giải.
Gọi I là trung điểm của đoạn ABI(-1;-1;2)
 Gọi (P) là mp trung trực của đoạn AB
Ta có: (P) qua I và nhận làm vtpt nên phương trình mp(P) là:
	- 6(x + 1) + 4(y + 1) + 2(z – 2) = 0
VD3. Cho mặt cầu (S):(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2 = 9
Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A(2;0;1) (mp(P) gọi là tiếp diện của (S) tại A)
Giải.
P
I—
—A
(S) có tâm I(1;-2;3)
và R = 3
Mp(P) qua A và nhận làm vtpt nên pt mp(P) là: 1(x – 2) + 2(y – 0) - 2(z – 1) = 0
Vậy: (P): x + 2y - 2z = 0
VD4. Cho hai mp:
() : 2x - my + 10z + 1 = 0
 : x - 2y + (3m - 7)z – 10 = 0
Hãy tìm giá trị m để:
a) Hai mp đó song song
b) Hai mp đó trùng nhau
c) Hai mp đó cắt nhau
d) Hai mp đó vuông góc với nhau
Giải
a) 
Vậy: m = 4
b) (VN)
Vậy: không có m để hai mp trên trung nhau
c) cắt
Vậy: thì hai mp trên cắt nhau
Cách khác:
 cắt
Vậy: thì hai mp trên cắt nhau
d) vtpt của : 
 vtpt của : 
Vậy: m = 17/8 thì hai mp vuông góc với nhau
Ví dụ 5. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Giải.
Ta có: 
Chọn A(0;0;3) 
Ta có: 
Vậy: 
Chú ý: Khoảng cách giữa hai mp song song bằng khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc mp này đến mp kia
BÀI TẬP
Bài 1. Trong mỗi trường hợp sau, hãy viết phương trình mặt phẳng
a) Đi qua ba điểm M(2;0;-1), N(1;-2;3), P(0;1;2)
b) Đi qua hai điểm A(1;1;-1), B(5;2;1) và song song với trục Oz
c) Đi qua A(3;2;-1) và song song với mặt phẳng có phương trình x – 5y + z = 0
d) Đi qua hai điểm A(0;1;1), B(-1;0;2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z + 1 = 0
e) Đi qua G(1;2;3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A,B,C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC
f) Đi qua H(2;1;1) và cắt các trục tọa độ tại A,B,C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC
g) Mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A(2;1;-3), B(-4;3;1)
ĐS: a)2x+y+z-3=0, b) x-4y+3=0
c) x-5y+z+8=0, d) x+z-2=0
e) 6x+3y+2z-18=0, f)2x+y+z-6=0
Bài 2. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:
a) x + 2y – z + 5 = 0 và 2x+y-7z-4=0
b) x – 2y + z – 3 = 0 và 2x – y + 4z – 2 = 0
c) x + y + z – 1 = 0 và 2x + 2y + 2z + 3 = 0
d) 3x – 2y + 3z + 5 = 0 và 9x -6y -9z – 5 =0
e) x –y + 2z– 4 = 0 và 10x–10y+20z–40 = 0
Bài 3. Xác định các giá trị của m và n để các cặp mặt phẳng sau song song
a) 2x + ny + 2z + 3 = 0 và mx + 2y – 4z + 8 = 0
b) 2x + y + mz – 2 = 0 và x + ny + 2z + 8 = 0
ĐS: a) m=-4, n= -1; b) m = 4, n = 1/2
Bài 4. Cho hai mặt phẳng
Với giá trị nào của m thì:
a) Hai mp đó song song
b) Hai mp đó trùng nhau
c) Hai mp đó cắt nhau
d) Hai mp đó vuông góc với nhau
ĐS: a) Không có m, b) m = 1, c) m, 
d) m=-9/19
Bài 5. Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau
a) M cách đều điểm A và mp
b) M cách đều hai mp và 
ĐS: a) M(0;0;3), b) M(0;0;-2)
Bài 6. Viết phương trình mặt phẳng song song với mp : 4x + 3y – 12z + 1 =0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2–2x–4y–6z –2 = 0
ĐS: 4x + 3y -12z + 78 =0, 4x + 3y–12z–26=0
Bài 7. Cho (S) : x2 + y2 + z2–4x–2y+6z –2 = 0;
A(1;2;-3), B(2;-1;0) và 
Viết phương trình mp song song với AB, vuông góc với mpvà tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài 8. Cho hai mặt phẳng
Tính khoảng cách giữa hai mp này
Bài 9. Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, , SA = 2a.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp (SBD) 
b) Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC)
ĐS: a) 2a/3; b) 
Bài 10. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là những tam giác vuông đỉnh O. Gọi lần lượt là góc giữa mp(ABC) và các mp (OBC), (OCA), (OAB). Bằng phương pháp tọa độ hãy chứng minh:
a) Tam giác ABC có ba góc nhọn
b) 
c) 
Bài 11. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Trên các cạnh AA’, BC, C’D’ lần luợt lấy các điểm M,N,P sao cho AM = CN = D’P = t với 0 < t < a. 
a) CMR: (MNP) // (ACD’)
b) Tính khoảng cách giữa hai mp (MN ... A(-3,2,1) và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2.
Giải.
d1 qua B(1;-1;-2) và có vtcp 
d2 qua C(1;-2;0) và có vtcp 
Ta có vuông góc với hai vectơ nên là vtcp của đường thẳng d và d qua A(-3;2;1) nên ptct của d là:
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho hai đường thẳng :
d qua M0(x0;y0;z0) và có vtcp 
d’ qua và có vtcp 
1) đôi một cùng phương
2) 
3)
4) d và d’ chéo nhau không đp
Chú ý: Nếu hai đường thẳng d và d’ có phương trình cụ thể thì ta có thể xét vị trí tương đối giữa chúng bằng cách giải hệ gồm các phương trình xác định d và d’ để tìm giao điểm
- Nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì d và d’ cắt nhau
- Nếu hệ phương trình có vô số nghiệm thì d và d’ trùng nhau
- Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì d và d’ song song
Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d, d’
Giải
d qua M0(0;0;15) và có vtcp 
d’ qua và có vtcp 
 không cp (1)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra d và d’ cắt nhau
Kết luận: d và d’ cắt nhau
Cách 2. 
Tọa độ giao điểm của d và d’ thỏa hệ:
Thay x,y,z theo t ở ba phương trình cuối vào hai phương trình đầu, ta được:
Khi đó: x = 4, y = -4, z = 3
Vậy d và d’ cắt nhau tại điểm A(4;-4;3)
Ví dụ 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Giải
d qua M0(-1;0;-1) và có vtcp 
d’ qua và có vtcp 
 cùng phương (1)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra d // d’
Vậy: hai đường thẳng d và d’ song song
Ví dụ 3. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Giải
d qua M0(-1;0;-1) và có vtcp 
d’ qua và có vtcp 
Vậy: d và d’ chéo nhau
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
I. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.
Cho đường thẳng d qua M0 và có vtcp 
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là:
II. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau:
d1 qua M1 và có vtcp 
d2 qua M2 và có vtcp 
Khoảng cách giữa d1 và d2 là:
Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia
Ví dụ 1. Cho đường thẳng 
Tính khoảng cách từ A(1;2;3) đến d
Giải
d qua M0(-1;0;-1) và có vtcp 
Khoảng cách từ A đến d là 
Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng chéo nhau
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d, d’
Giải
d qua M0(-1;0;-1) và có vtcp 
d’ qua và có vtcp 
Khoảng cách giữa d và d’ là:
=
Ví dụ 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
Giải.
d qua M0(-1;0;-1) và có vtcp 
d’ qua và có vtcp 
 cùng phương (1)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra d // d’
Do đó: 
d(d,d’) = d(M0’,d)= = 
Vậy: d(d,d’) = 
GÓC
I. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng có vtpt lần lượt là 
Gọi là góc giữa hai mp , ta có:
II. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d có vtcp và mp có vtpt 
Gọi là góc hợp bởi d và mp, ta có:
III. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d và d’ có vtcp lần lượt là 
Gọi là góc hợp bởi d và d’, ta có:
BÀI TẬP
Bài 1. Viết ptts, ptct (nếu có) và pttq của đường thẳng sau đây:
a) Đuờng thẳng đi qua M(2;0;-1) và có vtcp 
b) Đuờng thẳng đi qua N(-2;1;2) và có vtcp 
c) Đường thẳng đi qua P(3;2;1) và vuông góc với mp 2x-5y+4=0
d) Đường thẳng đi qua hai điểm A(2;3;-1) và B(1;2;4)
Bài 2. Viết ptts và ptct (nếu có) của các đường thẳng sau đây:
a) Đường thẳng đi qua A(4;3;1) và song song với đường thẳng d:
b) Đường thẳng đi qua B(-2;3;1) và song song với đường thẳng d’:
Bài 3. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên mỗi mp tọa độ
ĐS: trên (Oxy) là 
Bài 4. Cho đường thẳng
và mp(P): x + y + z – 7 = 0
a) Viết phương trình mp đi qua d và vuông góc với mp(P)
b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên (P)
ĐS: a) 2x + y – 3z + 1 =0 b) 
Bài 5. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng
a) 
b) và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y – z = 0, 2x – y +2z = 0
ĐS: a) chéo nhau; b) song song
Bài 6. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;-1;1) và cắt cả hai đường thẳng 
ĐS: 
Bài 7. Cho ba đường thẳng
 , 
Viết phương trình đường thẳng song song với d1 và cắt cả hai đường thẳng d1, d2
ĐS: 
Bài 8. Cho hai đường thẳng
 , 
a) Chứng tỏa hai đường thẳng đó chéo nhau
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O, song song với cả d1 và d2.
c) Tính khoảng cách giữa d1, d2
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó
ĐS: b) 2x + y – 4z = 0 ; c) 
Bài 9. Cho đường thẳng d và mặt phẳng 
a) Tìm góc giữa d và 
b) Tìm tọa độ giao điểm của d và 
c) Viết phương trình hình chiếu của d trên 
ĐS: a) , c)
Bài 10. Cho đường thẳng và mặt phẳng (P)
a) Xác định tọa độ giao điểm A của và (P)
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A nằm trong (P) và vuông góc với 
ĐS: a) A(1;2;3); 
Bài 11. 
a) Tính khoảng cách từ M(2;3;1) đến đường thẳng 
b) Tính khoảng cách từ N(2;3;-1) đến đường thẳng qua M0(-1/2;0;-3/4) và có vtcp 
ĐS: 
Bài 12. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:
a) và 
b) và 
ĐS: a) 2; b) 
Bài 13. Cho mp:2x –y + z -1 = 0 và hai điểm A(1;2;-1), B(3;0;-3). Tìm tọa độ đểm M thuộc mp sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất 
Bài 14. Cho đường thẳng d: 
và hai điểm A(0;3;-2), B(2;-1;-4). Tìm tọa độ đểm M thuộc d sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất 
Bài 15. Cho mp: x –z + 2 = 0 và hai điểm A(1;2;-3), B(0;1;-1). Tìm tọa độ đểm M thuộc d sao cho MA + MB nhỏ nhất
Bài 16. Cho mp: x +y –z + 2 = 0 và hai điểm A(-1;2;-3), B(0;-2;1). Tìm tọa độ đểm M thuộc d sao cho MA + MB nhỏ nhất
Bài 17. Cho đường thẳng và hai điểm A(1;2;-1), B(0;-1;1). Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho MA + MB nhỏ nhất
ĐS: M(1;0;1)
Bài 18. Cho đường thẳng d: và điểm A(2;-1;0).
a) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên d
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và cách A một khoảng lớn nhất
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
I. TÌM TOÏA ÑOÄ HÌNH CHIEÁU CUÛA ÑIEÅM LEÂN MAËT PHAÚNG. TOÏA ÑOÄ ÑIEÅM ÑOÁI XÖÙNG CUÛA ÑIEÅM QUA MAËT PHAÚNG.
	Baøi toaùn: Cho maët phaúng (P) vaø toïa ñoä ñieåm A. Haõy tìm toïa ñoä H laø hình chieáu cuûa A leân mp(P) vaø toïa ñoä ñieåm A’ñoái xöùng cuûa A qua (P).
	Phöông phaùp:
A
A’
P
H
* Ñeå tìm toïa ñoä H:
	- Vieát pt ñöôøng thaúng AH
	AH vuoâng goùc vôùi (P) neân AH nhaän laøm vtcp. Töø ñoù suy ra ñöôïc phöông trình AH.
- Vì H = neân toïa ñoä H thoûa heä: 
* H laø trung ñieåm AA’
II. TÌM TOÏA ÑOÄ HÌNH CHIEÁU CUÛA ÑIEÅM LEÂN ÑÖÔØNG THAÚNG. TOÏA ÑOÄ ÑIEÅM ÑOÁI XÖÙNG CUÛA ÑIEÅM QUA ÑÖÔØNG THAÚNG.
	Baøi toaùn: Cho ñöôøng thaúng d vaø toïa ñoä ñieåm A. Haõy tìm toïa ñoä H laø hình chieáu cuûa A leân d vaø toïa ñoä ñieåm ñoái xöùng A’ cuûa A qua ñöôøng thaúng d.
d
A’
A
P
H
	Phöông phaùp:
* Ñeå tìm toïa ñoä H:
	- Vieát pt mp(P) qua A vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d
	(P) vuoâng goùc vôùi d neân (P) nhaân vtcp cuûa d laøm vtpt, ñoàng thôøi (P) qua A, töø ñoù suy ra pt mp(P).
	- Vì H = neân toïa ñoä H thoûa heä: 
* H laø trung ñieåm AA’
III. VIEÁT PT HÌNH CHIEÁU CUÛA ÑÖÔØNG THAÚNG XUOÁNG MAËT PHAÚNG
	Baøi toaùn: Cho ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng (P). Haõy vieát phöông trình hình chieáu cuûa ñöôøng thaúng d xuoáng mp(P)
	Phöông phaùp: 
d’
Q
d
P
	Goïi (Q) laø mp chöùa d vaø vuoâng goùc vôùi mp(P) 
	Khi ñoù: hình chieáu d’ cuûa d xuoáng (P) laø giao tuyeán cuûa (P) vaø (Q)
	Vaäy: ñeå vieát pt d’:
	- Vieát pt mp(Q):
	(Q) coù caëp vtcp:
	 vtpt cuûa (Q): 
	Suy ra pt(Q)
	- Vì d’ = neân:
	pt (d’) : 
IV. VIEÁT PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG VUOÂNG GOÙC CHUNG CUÛA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG CHEÙO NHAU.
	Baøi toaùn: Cho hai ñöôøng thaúng cheùo nhau d1, d2. Haõy vieát phöông trình ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa hai ñöôøng thaúng d1, d2.
	Phöông phaùp 1:
	Goi:() laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa d1, d2 ; (P) laø mp chöùavaø d1; (Q) laø mp chöùa () vaø d2.
	Khi ñoù: () = (P)(Q)
	- vtcp cuûa : 
	- Vieát pt mp(P):
	Caëp vtcp cuûa (P):
	vtpt cuûa (P): 
	Suy ra pt mp (P)
	-Töông töï, ta vieát ñöôïc phöông trình (Q)
	- Vì () = (P)(Q) neân:
	pt () : 
	Phöông phaùp 2:
	d2
B
A
d1
	Goi:() laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa d1, d2
	- Vieát ptts cuûa d1 vaø d2.
	d1 : 	; d2: 
	- Vì A thuoäc d1 vaø B thuoäc d2 neân:
	A(x0+a1t; y0+a2t; z0+a3t)
	B(x0’+a1’t’; y0’+a2’t’; z0’+a3’t’)
	- Ta coù: 
	- Giaûi heä naøy ta tìm ñöôïc t, t’. töø ñoù suy ra toïa ñoä A, B.
	- Ñöôøng thaúng () qua A, B suy ra ñöôïc phöông trình cuûa().
V. XEÙT VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI CUÛA ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG
	Baøi toaùn: Cho ñöôøng thaúng d qua A, coù vtcp vaø mp(P) coù vtpt . Haõy xeùt vttñ cuûa ñöôøng thaúng d vaø mp(P).
	Phöông phaùp: 
	Ta tính tích voâ höôùng .
TH1: Neáu . thì d caét (P) taïi moät ñieåm
TH2: Neáu .=0 thì coù hai khaû naêng:
Neáu A thuoäc (P) thì d(P)
Neáu A khoâng thuoäc (P) thì d//(P) 
Chuù yù: Neáu baøi toaùn yeâu caàu:” tìm tham soá m ñeå d//(P) (hoaëc d naèm trong (P)” trong ñoù pt(P) phuï thuoäc m coøn pt d ñaõ xaùc ñònh,ta laøm nhö sau:
	- YCBT .=0, töø ñaây ta tìm ñöôïc tham soá m.
	- Vôùi m tìm ñöôïc, ta thöû lai xem YCBT ñöôïc thoûa maõn hay khoâng. Neáu thoûa ta nhaän, neáu khoângbthoûa ta loaïi m ñoù.
VI. XEÙT VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI GIÖÕA MAËT PHAÚNG VAØ MAËT CAÀU.
	Baøi toaùn: 
	Cho mp(P) : Ax + By + Cz + D = 0 vaø maët caàu (S) coù taâm I, baùn kính R.
	Phöông phaùp:	
	Tính khoaûng caùch d(I,P) roài so saùnh vôùi R, ta coù caùc tröôøng hôïp sau:
TH1: d(I,P) > R
	Khi ñoù : (S) vaø (P) khoâng coù ñieåm chung
TH2: d(I,P) = R
	Khi ñoù: (P) tieáp xuùc vôùi (S). Luùc naøy mp(P) goïi laø tieäp dieän cuûa (S)
TH3: d(I,P) < R
	Khi ñoù: mp(P) caét maët caàu (S) theo moät ñöôøng troøn goïi laø ñöôøng troøn giao tuyeán.
Chuù yù: Caùch tìm taâm vaø tính baùn kính cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán:
	*Baùn kính cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán:
	r = 
	* Taâm H cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán laø hình chieáu cuûa taâm I cuûa maët caàu (S) leân mp(P).
VII. VIEÁT PHÖÔNG TRÌNH TIEÁP DIEÄN CUÛA MAËT CAÀU.
	Cho maët caàu (S) coù taâm I, baùn kính R
	Baøi toaùn 1: Cho maët caàu (S) coù taâm I, baùn kính R. Vieát pt tieáp dieän (P) cuûa (S) taïi ñieåm A.
	Phöông phaùp: 
	 Tieáp dieän (P) vôùi (S) taïi A qua A vaø coù vtpt . Töø ñoù suy ra pt tieáp dieän (P)
 A
 P
 .I
 Baøi toaùn 2: Cho maët caàu (S) coù taâm I, baùn kính R vaø mp(P):Ax+By+Cz+D+0.Vieát pt tieáp dieän cuûa (S), bieát tieáp dieän song song vôùi mp(P).
	Phöông phaùp: 
	Goïi (Q) laø tieáp dieän caàn tìm
	* (Q) song song vôùi (P) neân pt mp(Q) coù daïng Ax+By+Cz+m=0
	* (Q) tx (S) neân d(I,P) = R. Töø ñaây tìm ñöôïc m vaø suy ra pt mp(Q)
	Baøi toaùn 3: Cho maët caàu (S) coù taâm I, baùn kính R vaø hai ñöôøng thaúng d1, d2. Vieát pt tieáp dieän (P) cuûa (S) bieát (P) song song vôùi d1, d2
	Phöông phaùp:
	* (P) song song vôùi d1, d2 neân (P) coù caëp vtcp laø(vtcp cuûa d1), (vtcp cuûa d2)
	Suy ra vtpt cuûa (P): 
	Töø ñaây, ta coù ñöôïc daïng cuûapt mp(P) theo heä soá töï do m.
	* Do (P) tieáp xuùc vôùi (S) neân d(I,P) = R. töø ñaây, ta tìm ñöôïc m vaø suy ra pt mp(P)
	Baøi toaùn 4: Cho maët caàu (S) coù taâm I, baùn kính R ñöôøng thaúng d:(PTTQ)
 	Vieát pt mp(P) chöùa d vaø tieáp xuùc vôùi (S)
	Phöông phaùp:
	* (P) chöùa d neân pt mp(P) coù daïng:
	m[pt(] + n[pt(= 0 , m2+n2 > 0 (daïng chuøm mp)
	* (P) tieáp xuùc vôùi (S) neân d(I,P) = R. Töø ñaây ta ñöôïc pt theo m, n. Choïn m suy ra n.
	* Vôùi moãi caëp m,n choïn ñöôïc, ta suy ra pt m(P).