Toán - Đề thi thử đại học có đáp án (2)

TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ 
TỔ TOÁN ­ TIN 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2010 ­ 2011 
Môn: TOÁN ­ Khối A + B 
Ngày thi: 28/12/2010 
Thời gian làm bài: 180 phút 
(không kể thời gian giao đề) 
Câu I. (2,0  điểm)  Cho hàm số y x x 4 2 5 4, = - +  có đồ thị (C). 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
2. Tìm m để phương trình x x m 4 2 2 5 4 log - + =  có 6 nghiệm phân biệt. 
Câu II. (2,0 điểm) 
1. Giải phương trình:  1 
cos 1 
sin 2 ) 1 cos 2 ( cos 1 
= 
- 
- + - 
x 
x x x 
2. Giải hệ phương trình : 
2
4 2 2 
1 
log log 16 4 
log 2 
4 8 16 4 
xy 
y 
x 
x x xy x x y 
ì + = - ï 
í 
ï + + = + î 
Câu III. (2,0 điểm) 
1. Tính tích phân:  I = 
4 
2 
0 
( sin 2 )cos2 x x xdx 
p 
+ ò  . 
2.  Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 
2 
3 2 
3 4 0 
3 15 0 
x x 
x x x m m 
ì - - £ ï 
í 
- - - ³ ï î 
Câu IV.  (1,0 điểm)  Cho  lăng  trụ  tam giác ABC.A'B'C'  có đáy ABC  là  tam giác đều 
cạnh a . Hình chiếu của A' xuống mặt phẳng (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam 
giác ABC. Biết AA' hợp với mặt phẳng đáy (ABC) một góc 60 . 
1. Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật. 
2. Tính thể tích khối lăng trụ . 
Câu V (2,0 điểm) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với  5 AB =  , C(­1;­1), 
đường  thẳng AB có phương  trình: x + 2y – 3 = 0 và  trọng  tâm    tam giác ABC thuộc 
đường thẳng  x + y – 2 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A và B. 
2. Giải bất phương trình: 
2 2 2 1 2 1  4 (2 3) (2 3) 
2 3 
x x x x - + - - + + - £ 
- 
Câu VI. (1,0 điểm) Tính tổng: S =  0 1 2 2010 2010 2010 2010 2010 2 3 ... 2011 C C C C + + + + . 
........... Hết ........... 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: .. 
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ­ NĂM: 2010 ­2011 
CÂU  NỘI DUNG  ĐIỂM 
* Tập xác định D = R 
* Sự biến thiên: 
­ Chiều biến thiên: y’ = 4x 3 ­ 10x = 2x(2x 2 ­ 5); y’ = 0 Û 
0 
5 
2 
= é 
ê 
ê = ± 
ê ë 
x 
x 
. 
Dấu của y’: 
x  ­¥ 
5 
2 
-  0 
5 
2 
+¥ 
y’  ­  0  +  0  ­  0  + 
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (­ ¥; ­ 
5 
2 
) và (0; 
5 
2 
). 
Hàm số đồng biến trên các khoảng (­ 
5 
2 
; 0) và ( 
5 
2 
; + ¥). 
­ Cực trị: 
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = ± 
5 
2 
, yCT = ­ 
9 
4 
; Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 4. 
0,25 
­ Giới hạn:  4 
2 4 
5 4 
lim lim (1 ) 
x x 
y x 
x x ®±¥ ®±¥ 
= - + = +¥ .  0,25 
­Bảng biến thiên: 
x  ­¥ 
5 
2 
-  0 
5 
2 
+¥ 
y’  ­  0  +  0  ­  0  + 
y 
+¥ 
­ 
9 
4 
4 
­ 
9 
4 
+¥ 
0,25 
I­1
(1 
điểm) 
Đồ thị: 
­ Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm: 
(­1;0), (1; 0), (­2; 0), (2; 0) 
­ Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 0) 
­ Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng. 
0,25 
Số nghiệm của phương trình: x x m 4 2 2 5 4 log - + =  là số giao điểm của đường thẳng y 
=  2 log  m  với đồ thị của hàm số = - + y x x 
4 2 5 4  . 
0,25 
Vẽ được đồ thị hàm số = - + y x x 4 2 5 4 
0,25 
Xác định được điều kiện: < < Û < < m m 2 0 log 4 1 16  0,25 
I­2
(1 
điểm) 
Kết luận m Î(1; 16).  0,25 
5 
4 
3 
2 
1 
1 
2 
3 
2  2 
6 
5 
4 
3 
2 
1 
1 
2  2
+ ĐK : p 2 1 cos  m x x ¹ Û ¹  0,25 
(2) 
0 sin 2 ) sin 1 ( 2 cos 1 sin 2 cos cos 2 1  2 2 = - - - Û - = - - - Û  x x x x x x 
2 sin 
2 
2 
sin 0 2 sin 2 sin 2  2 = Ú - = Û = - - Û  x x x x  (loại) 
0,5 
ê 
ê 
ê 
ê 
ë 
é 
+ = 
+ - = 
Û ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ - = - = 
p p 
p p 
p 
2 
4 
5 
2 
4 
4 
sin 
2 
2 
sin 
k x 
k x 
x  0,25 
II­1 
(1 điểm) 
+) Từ PT (1) ta có: xy = 4.  0,25 
+) Thế vào (2) ta có: 
2 
4 2 2  4 1 1 4 8 4 16 4 8 x x x x x x 
x x x 
æ ö + + = + Û + = + ç ÷ 
è ø 
. 
Đặt 
1 
x 
x 
+  (t > 0), ta có phương trình: t 4 = 8t Û t = 2 (vì t > 0). 
Với t = 2 ta có:  2 
1 1 
2 4 4 1 0 x x x x 
x x 
+ = Û + = Û - + = 2 3 x Û = ± 
0,25 
0,25 
II­2 
(1 điểm) 
+) KL : Hệ có các nghiệm là : 4 4 2 3; ; 2 3; 
2 3 2 3 
æ ö æ ö + - ç ÷ ç ÷ + - è ø è ø 
0,25 
I = 
4 4 4 
2 2 
1 2 
0 0 0 
( sin 2 )cos2 .cos2 sin 2 .cos2 x x xdx x xdx x xdx I I 
p p p 
+ = + = + ò ò ò  . 
+ Tính I1: Đặt:  1 
cos2  sin 2 
2 
du dx u x 
dv xdx  v x 
= ì = ì ï Þ í í = = î ï î 
. 
4 
4 4 
1 
0 0 0 
1 1 1 1 
. sin 2 sin 2 cos2 
2 2 8 4 8 4 
I x x xdx x 
p 
p p p p 
Þ = - = + = - ò  . 
0,25 
0,25 
+ Tính I2: 
4 
2 
0 
sin 2 .cos2 x xdx 
p 
ò  Đặt t = sin2x Þ dt = 2cos2xdx. 
x = 0 Þ t = 0, x = 
4 
p 
Þ t = 1. 
Þ I2 = 
1  3 
2 
0 
1 
0 
1 1 1 
. 
2 2 3 6 
t 
t dx = = ò  . 
0,25 
III ­ 1 
(1 điểm) 
Vậy I = 
1 
8 12 
p 
+  0,25 
III ­ 2 
(1 điểm) 
Ta có:  2  3 4 0 1 4 x x x - - £ Û - £ £  . 
Hệ phương trình đã cho có nghiệm 
Û  PT  3 2 3 15 0 x x x m m - - - ³  có nghiệm [ ] 1; 4 x Î - 
3 2 3 15 x x x m m Û - ³ +  có nghiệm [ ] 1; 4 x Î - 
Đặt ( ) 
3 2 
3 
3 2 
3 1 0 
3 
3 0 4 
x x khi x 
f x x x x 
x x khi x 
ì + - £ < ï = - = í 
- £ £ ï î 
0,25
Ta có : ( ) 
2 
2 
3 6 1 0 
' 
3 6 0 4 
x x khi x 
f x 
x x khi x 
ì + - < < ï = í 
- < < ï î 
; ( ) ' 0 0; 2 f x x x = Û = = ± 
Ta có bảng biến thiên : 
( )  2  15 f x m m ³ +  có nghiệm [ ] 1; 4 x Î - 
[ ] 
( )  2 
1;4 
max 15 f x m m 
- 
Û ³ +  2 16 15 m m Û ³ + 
2  15 16 0 16 1 m m m Û + - £ Û - £ £ 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  16 1 m Û - £ £  . 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
1.  Ta  có  A'O (ABC) OA ^ Þ  là  hình  chiếu  của  AA' 
trên (ABC). 
Vậy  ¼  o góc[AA',(ABC)] OAA' 60 = = 
Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ) 
AO BC ^  tại trung điểm H của BC nên BC A'H ^  . 
BC (AA 'H) BC AA' Þ ^ Þ ^  mà  AA'//BB'  nên 
BC BB' ^  .Vậy BB'CC' là hình chữ nhật. 
0,25 
0,25 IV 
(1 điểm) 
ABC V  đều nên  2 2 a 3 a 3 AO AH 
3 3 2 3 
= = = 
o AOA' A'O AOt an60 a Þ = = V 
Vậy V = SABC.A'O = 
3 a 3 
4 
0,25 
0,25 
Gọi A(x1; y1), B(x2; y2). Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là: 
1 2 1 2 1 1 ( ; ) 
3 3 
x x y y 
G 
+ - + - 
. 
Có G thuộc đường thẳng x + y ­ 2 = 0 nên: 
1 2 1 2 
1 2 1 2 
1 1 
2 0 8 
3 3 
x x y y 
x x y y 
+ - + - 
+ - = Û + + + =  (1). 
0,25 
Có A, B thuộc đường thẳng : x + 2y – 3 = 0 nên  1 1 
2 2 
3 2 
3 2 
x y 
x y 
= - ì 
í = - î 
(2), suy ra 
1 2 1 2 2( ) 6 x x y y + + + =  (3). 
Từ (1) và (3) suy ra:  1 2 2 1 
1 2 2 1 
10 10 
2 2 
x x x x 
y y y y 
+ = = - ì ì 
Û í í + = - = - - î î 
0,25 
V. 
1 
(1 điểm) 
+ AB =  5 Û AB 2 = 5 Û  2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) 5 x x y y - + - = Û 
2 2 
1 1 (10 2 ) ( 2 2 ) 5 x y - + - - = 
Kết hợp với (2) ta được: 
1 
2 2 
1 1 
1 
3 
2 (4 4 ) ( 2 2 ) 5 
1 
2 
y 
y y 
y 
é = - ê 
+ + - - = Û ê 
ê = - ê ë 
0,25 
H 
O 
o 60 
C' 
A 
a 
B' 
A' 
C 
B 
x
f’(x) 
f(x) 
­1 
+ 
4 
­4 
2 
0  2 
0 0  ­ ­ 
16
+ Với  1 
3 
2 
y = - Þ x1 = 6, x2 = 4, y2 = 
1 
2 
-  . Vậy A(6; 
3 
2 
-  ), B(4; 
1 
2 
-  ). 
+ Với  1 
1 
2 
y = - Þ x1 = 4, x2 = 6, y2 = 
3 
2 
-  . Vậy A(4; 
1 
2 
-  ), B(6; 
3 
2 
-  ). 
Vậy A(6; 
3 
2 
-  ), B(4; 
1 
2 
-  ). 
0,25 
+ BPT Û 
2 2 2 2 (2 3) (2 3) 4 x x x x - - + + - £  0,25 
+ Đặt t = 
2  2 (2 3) x x - +  (t >0), ta có BPT: 
2 1  4 4 1 0 2 3 2 3 t t t t 
t 
+ £ Û - + £ Û - £ £ + 
0,25 
Û 
2  2 2 2 3 (2 3) 2 3 1 2 1 x x  x x - - £ + £ + Û - £ - £  0,25 
V. 
2 
(1 điểm) 
Û 1 2 1 2 x - £ £ +  .  0,25 
+ Có  2010 0 1 2 2 2010 2010 2010 2010 2010 2010 (1 ) ... x C xC x C x C + = + + + +  . 
+ Nhân cả hai vế với x ta được: 
2010 0 2 1 3 2 2011 2010 
2010 2010 2010 2010 (1 ) ... x x xC x C x C x C + = + + + +  . 
Lấy đạo hàm từng vế ta được: 
2010 2009 0 1 2 2 2010 2010 
2010 2010 2010 2010 (1 ) 2010 (1 ) 2 3 ... 2011 x x x C xC x C x C + + + = + + + + 
0,25 
0,25 
0,25 
VI. 
(1 điểm) 
+ Cho x = 1 ta được:  0 1 2 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2 3 ... 2011 1005.2 C C C C + + + + =  . 
Vậy S =  2010 1005.2  .  0,25