Tổ hợp và xác suất trong Giải tích

Tổ hợp và xác suất
I. tổ hợp
 A. Bài toán tổ hợp , chỉnh hợp và hoán vị.
1. Cho tập A= có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lập từ các số của tập A sao cho số đó chia hết cho 5.
2. Cho tập A gồm 50 phần tử khác nhau. Xết tập con không rỗng chứa một số chẵn các phần tử rút ra từ tập A. Hãy tính xem có bao nhiêu tập con như vậy.
3. Có 20 bông hoa trong đó có 8 bông hồng , 7 bông cúc , 5 bông đào , chọn ngẫu nhiên 4 bông . Hỏi làm thế nào để chọn được một bó hoa đủ 3 loại.
4. Cho hình vuông ABCD , trên 4 cạnh AB,BC,CD, DA, lần lượt lấy 2;3;4;5 điểm phân biệt khác A;B;C;D. Tìm số tam giác có 3 đỉnh lấy từ 14 điểm nói trên.
5. Một lớp học có 33 học sinh , trong đó có 7 Nữ. Cần chia lớp học thành 3 tổ , tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất hai học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy.
6. Từ các số 0;1;2;3;4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau ? Tính tổng tất cả các số tự nhiên đó.
7. Từ tập E= lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau từng đôi một , sao cho mỗi số lập được thỏa mãn tất cả các yêu cầu sau: có đúng 2 chữ số lẻ, 2 chữ số lẻ đứng kề nhau, chữ số lẻ đứng trước nhỏ hơn chữ số lẻ đứng sau.
8. Có bao nhiêu số nguyên dương chẵn với các chữ số khác nhaunằm trong khoảng (20000;70000)
9. Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên.
10. Cho hai đường thẳng song song d và d’ . Trên đường thẳng d có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d’ có n điểm phân biệt(n) . Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n?
11. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người , gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền trung sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ .
12. Trong một môn học thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình , 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi trên thầy giáo có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra , mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau , sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có cả 3 loại câu hỏi và số câu dễ không ít hơn 2.
13. Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn 6 em trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4. hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
14.Từ các số 0;1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 3?
15. Từ các số 0;1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
16. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Lập một đoàn công tác gồm 3 người cần có cả nam cả nữ , có nhà toán học , nhà vật lý học. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
17. Đội tuyển học sinh giỏi của một trường là 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 8 học sinh trong đội dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn?
18. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh , gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B, 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
19. Cho tập E= . Từ tập E lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số.
20. Từ một nhóm học sinh gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B và 5 học sinh khối C. Chọn 15 học sinh sao cho ít nhất 5 học sinh khối A, có đúng 2 học sinh khối C. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
21. Một tổ học sinh gồm 6 nam và 5 nữ, cần chọn 4 người đi lao động . Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho:
 a. Trong nhóm có đúng một học sinh nữ.
 b. Trong nhóm đó không quá 3 học sinh nữ.
22. Cho hai đường thẳng d,d’. Trên đường thẳng d lấy 10 điểm phân biệt , d’ lấy 8 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ 18 điểm nói trên.
23: Từ các số 1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số trong đó chữ số 1 và số 2 có mặt 2 lần, mỗi chữ số còn lại có mặt một lần.
24. Có bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó chữ số 0 có mặt đúng 2 lần , chữ số 1 có mặt 1 lần còn hai chữ số còn lại phân biệt.
25. Từ các số 0;1;2;3;4;5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số không vượt quá 12.
26. Từ các số 0;1;2;3;4. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chũ số trong đó chữ số 4 có mặt 3 lần, còn các chữ số khác có mặt đúng một lần.
27. Một nhóm sinh viên gồm 30 người trong đó có 10 sinh viên khoa toán , 10 sinh viên khoa văn, 10 sinh viên khoa nhạc. cần lập đội thanh niên tình nguyện 7 người . Hỏi
 a. Có bao nhiêu cách lập đội thanh niên tình nguyện
 b. Có bao nhiêu cách lập sao cho mỗi nhóm có không ít hơn hai sinh viên tham gia vào đội .
28. Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.
29. Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7, có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có chữ số 1 và 5.
30. Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7;8;9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục , hàng trăm, hàng nghìn bằng 8.
31. Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và mỗi số lập được nhỏ hơn 25000.
32. Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau, trong đó có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau.
33. Có 4 bi đỏ , 5 bi trẳng và 6 bi vàng . Người ta chọn 4 viên từ hộp bi đó.Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra mà ko đủ cả 3 màu.
34. Từ 5 bông hồng vàng , 5 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ. Người ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông.
 a. Có bao nhiêu cách chọn trong đó có duy nhất một bông đỏ.
 b. Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng và ít nhất 3 bông đỏ.
35. ở một trường tiểu học có 50 học sinh giỏi toàn diện , trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi . Cần chọn 3 em trong số 50 học sinh để dự trai hè . Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà trong số 3 em được chọn không có cặp anh em sinh đôi.
36. Một đại hội thể thao ở môn bóng bàn người khán giả quan sát thấy có 90 cái bắt tay . Hỏi ở giải đố có bao nhiêu vận động viên bóng bàn.
37. Một thập giác lồi . Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các đỉnh của thạp giác mà cạnh không phải là cạnh của thập giác đó.
II. xác suất
Có 4 xạ thủ loại I và 16 xạ thủ loại II , xác suất bắn trúng đích của xạ thủ loại I là 0,9, của xạ thủ loại II là 0,8. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và xạ thủ đó bắn một viên đạn . Tìm xác suất để viên đạn trúng đích.
Cho một hộp đựng 12 viên bi trong đó 7 viên bi màu đỏ 5 viên bi màu xanh. Tính xác suất để lấy được a: 3 viên bi màu đỏ, b: lấy 3 viên và có ít nhất 2 viên bi màu đỏ.
Cho 8 quả cân trọng lượng 1kg;2kg;3kg;4kg;5kg;6kg;7kg;8kg. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cân. Tính xác suất để tổng trọng lượng 3 quả cân không vượt quá 9kg
Một người gọi điện thoại quên mất 2 số cuối và chỉ nhớ rằng hai số đó khác nhau. Tính xác suất để người đó gọi một lần đúng số cần gọi.
Một đợt xổ số phát hành 20.000 vé trong đó có 1 giải nhất , 100 giải nhì, 200 giải hai, 1000 giải tư, 5000 giải khuyến khích. Tính xác suất để người đó mua 3 vé trúng một giải nhì 2 giải khuyến khích.
Cho tập hợp F= lấy ngẫu nhiên ra hai phần tử thuộc F , Tính xác suất để hai số lấy ra đều là hai số chẵn và có tổng nhỏ hơn 7.
Trong 100 vé xổ số có 1 vé trúng 100.000đ, 5 vé trúng 50.000đ, 10 vé trúng 10.000đ . Tính xác suất để một người mua 3 vé .
Người đó trúng 30.000đ
Người đó trúng 200.000đ
Gieo đồng thời hai con xúc xắc , tính xác suất để:
Tổng số chấm xuất hiện trên hai con là 9
Tổng số chấm xuất hiện trên hai con là 5
Số chấm xuất hiện trên hai con hơn kém nhau 3.
Gieo đồng thời 3 con xúc sắc . Tính xác suất để
Tổng số chấm xuất hiện trên 3 con là 10.
Tổng số chấm trên 3 con là 7
 Một khách sạn có 6 phòng đơn, có 10 khách đến thuê phòng trong đó có 6 nam và 4 nữ, người quản lý chọn ngẫu nhiên 6 người . Tính xác suất để:
Cả 6 khách là nam
Có 4 khách nam và 2 khách nữ
Có ít nhất 2 khách nữ.
11 . Có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9 . Chọn ngẫu nhiên ra hai tấm thẻ. Tính xác suất để tích trên hai tấm thẻ là một số chẵn.
12. Một đàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga, có 4 hành khách từ sân ga lên tàu , mỗi người độc lập với nhau , mỗi người độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, một toa có 1 người còn hai toa không có người nào.
13. Một toa tàu gồm 7 toa đỗ ở sân ga. Có 7 hành khách lên tàu , mỗi người độc lập với nhau chọn một cách ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để mỗi toa có đúng một khách lên tàu.
 Bài toán sử dụng nhị thức niu tơn
A. Tính tổng
Tính giá trị của biểu thức M= biết rằng 
Cho n là số nguyên dương , tính tổng 
Tính tổng S = 
Tính giá trị của biểu thức Q= Biết x là nghiệm của phương trình 
Tính tổng S = 
Tính tổng S = 
Tính tổng S = biết rằng 
Tính tổng S = 1.2.C
Tính tổng S = 
 Tính tổng S = 
B: Tìm n=?
Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Niutơn của (2+x) biết :
Tìm số nguyên dương n sao cho;
Tìm n biết : 
Tìm số tự nhiên n thỏa mãn biểu thức 
Tìm n sao cho 
Tìm n sao cho 
Trong khai triển nhị thức NiuTơn của (),biết số hạng thứ tư bằng 200, tìm n?
 Tìm n thỏa mãn phương trình :2()=3n-5n
Giải phương trình 
 Cho nhị thức (1+x)= tìm n và k sao cho 
 Tìm n biết 
 Khai triển (1+2x)= biết tìm n và hệ số lớn nhất.
 Tìm n biết 
C: Chứng minh:
Chứng minh rằng: 
Chứng minh : 
Chứng minh rằng : 
Chứng minh đẳng thức 
Chứng minh rằng : 
Chứng minh rằng : 
Chứng minh rằng 
CMR 
CMR 
 CMR 
D. Tìm hệ số trong khai triển
 1. Tìm hệ số của xtrong khai triển nhị thức P=x(1-2x)+x(1+3x)
Tìm hệ số của xtrong khai triển nhị thức , biết rằng 
Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức 
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức 
Tìm số hạng chứa x trong khai triển nhị thức biết 
Cho A=sau khi khai triển biểu thức A gồm mấy phần tử ?
Tìm hệ số không chứa x trong khai triển nhị thức (x+) , biết rằng .
Tìm hệ số xtrong khai triển nhị thức () 
Tìm hệ số không chứa x trong khai triển ()
Tìm hệ số của xtrong khai triển nhị thức ()biết C-=8(n+3)
Khai triển biểu thức (1-2x)ta được đa thức có dạng . Tìm hệ số x biết a+a++a=71.
Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển ()thành đa thức x
 Tìm hệ số chứa xtrong khai triển biểu thức (1+x+x+x)
 Tìm hệ số x trong khai triển nhị thức Niutơn (1+3x) biết 
 Tìm hệ số xtrong khai triển nhị thức (2-3x) biết 
 Cho khai triển (1+2x)= có hệ số thỏa mãn 
 tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của x.
 17. tìm số hạng có số mũ của x gấp 2 lần số mũ của y trong khai triển nhị thức (x)