Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Xét tính đơn điệu của hs y = f(x) nhờ đạo hàm:
Hs y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a;b) y’ 0 (y’ 0) x (a;b)
( y’ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b))
Phương pháp tìm cực trị của hàm số y = f(x):
* PP1: B1: Tìm TXĐ
 B2: Tìm yvà các điểm tới hạn(TXĐ mà y() = 0 hoặc y() không XĐ)
 B3: Lập bảng biến thiên
 B4: Tìm cực trị nếu có
Chú ý: Khi x vượt qua mà đổi dấu từ (+) sang (-) thì tại hs đạt giá trị cực đại
 đổi dấu từ (-) sang (+) thì tại hs đạt giá trị cực tiểu
 không đổi dấu thì tại hs không đạt cực trị.
* PP2: B1: Tìm TXĐ
 B2: Tìm yvà các điểm tới hạn(TXĐ mà y() = 0 hoặc y() không XĐ)
 B3: Tìm y”, y”() và tìm cực trị nếu có
Chú ý: Nếu y”() < 0 thì tại hs đạt giá trị cực đại
 Nếu y”() > 0 thì tại hs đạt giá trị cực tiểu
 Nếu y”() = 0 thì ta chuyển về PP1 để tìm cực trị 
Hàm số y = f(x) có n điểm cực trị = 0 có n nghiệm phân biệt .
f(x) đạt cực đại tại nếu ; f(x) đạt cực tiểu tại nếu 
f(x) có đạo hàm và đạt cực trị bằng c tại 
* BÀI TẬP:
(1) Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của Hs sau:
1/ y = 	2/ y = 16x + 2x - 
3/ y = 	4/ y = 
5/ y = (x + 2)(x – 3)	6/ y = 
7/ y = 	8/ y = 
9/ y = 	10/ y = 
11/ y = 	12/ y = 
13/ y = 	14/ y = 
15/ y = 	16/ y = 
17/ y = 	18/ y = 
19/ y = cosx - sinx	20/ y = 
(2) Chứng minh bất đẳng thức: 
a/ tanx > x ( 0 x + 	 ( 0 < x < )
c/ sinx + tanx > 2x ( 0 < x < )	d/ 	 ( 0 < x < )
e/ ( 0 0 )
(3) Cho hàm số: y = (m: tham số)
 a/ Tùy theo m, hãy xét sự biến thiên của y.
 b/ Tìm m để hàm số nghịch biến trong khoảng (1; 2)
(4) Tìm m để hàm số: 
 a/ y = 	đồng biến trong khoảng (0; +)
 b/ y = 	đồng biến trong khoảng (0; 2)
 Tìm m để hàm số: 
 a/ y = 	nghịch biến trên từng KXĐ của nó
 b/ y = 	nghịch biến trong khoảng (0;2)
 c/ y = 	đồng biến trong khoảng (-; -1)
(6) Tìm m để hs:
	a/ y = 	đạt cực trị tại x = -2 
	b/ y = 	có ba điểm cực trị
	c/ y = 	đạt cực đại tại x = 1
	d/ y = 	đạt cực tiểu tại x = 2
(7) Tìm a ; b để hs : y = + ax+ b 	có một cực trị bằng khi x = 1 
(8) Cho hàm số . 
 a. CMR : với mọi m hàm số đã cho luôn có cực trị .
 b. Hãy xác định m sao cho khoảng cách từ các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất
(9) Cho hàm số .
 Tìm m để hàm số luôn có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của tam giác đều
(10) Tìm m để hàm số có một cực trị
(11) Cho hàm số . Xác định m để hàm số có CĐ, CT thoả mãn 
Lập thành một tam giác đều
Lập thành một tam giác vuông
Lập thành một tam giác có diện tích bằng 4
(12) Cho hàm số . Xác định m để
Hàm số có cực trị
Hàm số có cực đại , cực tiểu với hoành độ thoả mãn x1 + x2 = 4x1x2
Hàm số có cực đại , cực tiểu có hoành độ dương
(13) Cho hàm số . Xác định m để
Hàm số có cực trị
Hàm số có cực tiểu trong khoảng (0;m) (m > 0)
Hàm số có cực đại tại x = 2
(14) Cho hàm số . Xác định m để
Hàm số có cực trị
Với m vừa tìm được ở câu a) , hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số
(15) Cho hàm số . Xác định m để
 Hàm số có cực đại và cực tiểu và 2 điểm cực đại , cực tiểu nằm ở hai phía của trục Ox
(16) Cho hàm số . Xác định m để
 Hàm số có cực đại và cực tiểu và 2 điểm cực đại , cực tiểu nằm ở hai phía của đường thẳng có phương trình 9x – 7y – 1 = 0.
(17) Cho hàm số . Xác định m để
a. Hàm số có cực trị
b. Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.
(18) Tìm a; b để hs : y = có cực đại, cực tiểu là những số dương và x= - là điểm cực đại. 
(19) Cho hàm số: y = với m -1
 a/ Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu. 
 b/ Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong khoảng (0 ; 2).
(20) Cho hàm số: y = 
 a/ Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.
 b/ Tùy theo m, biện luận số nghiệm của phương trình: x + 3 = m 
(21) Cho hàm số: y = 
 a/ Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.
 b/ Tùy theo m, biện luận số nghiệm của phương trình: x + m = m 
(22) Tìm a để hàm số: y = chỉ có cực tiểu mà không có cực đại
(23) Xác định hàm số a sao cho hàm số: y = -2x + 2 + a có cực đại
(24) Cho hàm số: f(x) = trong đó c > 0, n là một số nguyên dương lớn hơn 1
 a/ Khảo sát sự biến thiên của hàm số.
 b/ Từ kết quả trên hãy chứng minh: với a, b R thỏa a + b0, n . 
 Xét xem đẳng thức khi nào xảy ra.
(25) CMR pt: không có nghiệm khi n chẵn và a > 3.
(26) Biện luận theo a số nghiệm của pt: 
(27) Chứng minh: với x.y < 0
(28) Cho x, y, z dương thỏa . C/m: