Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất P=f(x,y,z) với x,y,z thuộc D

Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định 
Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 1 
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , NHỎ NHẤT P=f(x,y,z) với x,y,z thuộc D 
Bài 1 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tìm maxP , 
1 1 1
yz zx xy
P
x y z
  
  
HD : 
Ta có : 
2( ) 1
1 4( ) 4 2cyc cyc cyc
xy x y x y
z x y
 
  
 
    , 
1 1
max ( )
3 2
P P x y z      
Bài 2 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1, Tìm MaxP , 
yz zx xy
P
x yz y zx z xy
  
  
HD : 
Ta có : 
1 3
1 (1 )(1 ) 2 1 1 2cyc cyc cyc cyc
xy xy xy x y
z xy x y xy x y y x
 
     
        
     
1 3
max ( )
3 2
P P x y z      
Bài 3 : Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MaxP , 
2 2 2 2 2 2
1 1 1
( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1
P
x y y z z x
  
        
HD: đặt   , ,
b c a
x y z
a b c
    
Ta có : 
2 2 2 2
1 1 1 1
( 1) 1 2 2 2( 1) 2( ) 2cyc cyc cyc cyc
a
x y x y x xy x a b c
   
         
     
1
max ( 1)
2
P P x y z      
Bài 4 : Cho x,y,z> 0 , x+y+z+2=xyz , Tìm MinP , 
1 1 1
P
x y z
    
HD : đặt  
1 1 1
, ,
1 1 1
a b c
x y z
  
  
  , x+y+z+2=xyz => a+b+c=1 
1 1 1 3
2
a b c
P
x y z b c c a a b
      
  
3
min ( 2)
2
P P x y z       
Bài 5  Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tim minP , 
2 2 2x y z
P
y z z x x y
  
  
HD :  , ,y z a z y b x y c      => a+b+c=2  
2(1 ) 1 1
2 4
cyc cyc cyc
a
a
a a a
  
     
 
    
Ta có : 
1 1 1 9 9
2a b c a b c
   
 
 =>
2 2 2 1
2
x y z
P
y z z x x y
   
  
1 1
min ( )
3 2
P P x y z      
Bài 6 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tìm MinP , 
1 1 1
(1 )(1 )(1 )P
x y z
     
HD : 
1 1 1
(1 )(1 )(1 )P
x y z
    =
1 1 1
( )( )( )
x y z
x y z
  
           241 4x x x y z x yz        
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định 
Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 2 
        241 4y x y y z xy z       
241 4z x y z z xyz       
64
64
xyz
P
xyz
   
1
min ( ) 64
3
P P x y z      
Bài 7 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tìm MaxP , 
2 2 2
x y z
P
x y z x y z x y z
  
     
HD : 
1 1
1 3
2 1 1 1cyc cyc cyc cyc
x x
P
x y z x x x
 
      
     
     
1 1 1 9 9
1 1 1 3 4x y z x y z
   
     
=> 
3
2 2 2 4
x y z
P
x y z x y z x y z
   
     
1 3
max ( )
3 4
P P x y z      
Bài 8 : Cho x,y,z>0 , 
3
4
x y z    , Tìm MaxP ,  33 33 3 3P x y y z z x       
HD : Ta có   3
3 2 4( ) 6
3 3
3 3cyc cyc
x y x y z
x y
    
     ,=> 
1
max ( ) 3
4
P P x y z      
Bài 9 : Cho x+y+z=0 , Tìm MinP ,  3 4 3 4 3 4x y zP        
HD: Ta có 
34 4 43 4 4 4 2 2 6 2 6
x x y z
x x
cyc cyc cyc
P
 
         
min ( 0) 6P P x y z      
Bài 10 : cho x,y,z>0 , xy+yz+zx=4xyz , Tìm MaxP , 
1 1 1
2 2 2
P
x y z x y z x y z
  
     
HD : ta có xy+yz+zx=4xyz => 
1 1 1
4
x y z
    
1 1 2 1 1 1 1 1 1
1
2 16 4cyc cyc
P
x y z x y z x y z
   
          
     
   
3
max ( ) 1
4
P P x y z      
Bài 11 : Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MaxP , 
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1 1 1
P
x y y z z x
  
     
HD : Ta có  3 3 2 2( )( ) ( )(2 ) ( )x y x y x xy y x y xy xy xy x y            
         =>  3 3 1 ( ) ( )x y xy x y xyz xy x y z        => 
3 3
1 1
1 ( )
z
x y xy x y z x y z
 
     
3 3
1
1
1cyc cyc
z
P
x y x y z
  
   
   ,  max ( 1) 1P P x y z       
Bài 12: Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MinP , 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1x y z y x z
P
x y y x y z y z x z z x
          
HD: 
 
3 3
3 2
1 3 3 27
3 3 3
cyc cyc cyc
x y xy
P
xy xy xy xyz
 
        
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định 
Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 3 
( 1) 3 3MinP P x y z      
Bài 13 : Cho x,y,z >0,  xyz=1  . Tìm MaxP , 
2 2 2 2 2 2
1 1 1
1 1 1
x y y z z x
P
x y y z z x
     
  
     
HD :  Ta có   2 2 1x y xy x y      =>   2 2 2 2 23 1 1 2( ) ( 1)x y x y xy x y x y            
                                                          => 
2 2
1 3
1 1
x y
x y x y
 

   
   
3 3
3 3
1 1
3 3
1 1cyc cyc
P
x y x y
 
   
    Áp dụng , bài 11 ,  3P   
max ( 1) 3P P x y z      
Bài 14 : Cho x,y,z>0 , 
2 2 2 2 2 2
1 1 1
1
1 1 1x y y z z x
  
     
, Tìm MaxP , P xy yz zx    
HD : Ta có :    
2
2 2 2 2
2 2 2
1 2
( ) 1 1 1
1 ( )
z
x y z x y z
x y x y z

        
   
       => 
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 6
1
1 1 1 ( )
x y z
x y y z z x x y z
  
   
       
       =>  2 2 2 2( ) 6x y z x y z       
       =>  3P xy yz zx     
       =>  max ( 1) 3P P x y z      
Bài 15: Cho  , ,   1,   2x y z x y z xyz     ,  
  Tìm MaxP ,  3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
P
x yz x y z xy z x y z xyz x y z
       
HD: Biến đổi  
 
33 3
2
3
1 1 1xy yz zx
P
xyz
    
  
 Ta có  , ,   1,   2x y z x y z xyz       , khi đó : 
     2 2 2 ( 1) 0x y z xyz z z xy        ,     2 2 2 ( 1) 0x y z xyz y y xz       , 
   2 2 2 ( 1) 0x y z xyz x x zy         
Ta có  : 
     
2    
3 3 3
x y z x y x y z x z x y z y z
xyz x y z
            
       
              3 32   ( ) 2 ( 1)
cyc cyc
xyz x y z x y z xy xyz xy          
=> 
 
33 3
3
2
3
1 1 1
4
xy yz zx
P
xyz
    
    
=>  3
3
max ( ) 4
2
P P x y z      
Bài 16  : Cho x,y,z>0, xy+yz+zx=1 , Tìm minP , 
2 2 2
1 1 1
P x y z
y z x
     
          
    
HD : Biến đổi  2 2 2
2 2 2
1 1 1
2
x y z
P x y z
x y z y z x
 
         
 
        Mà :  3
x y z
y z x
    
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định 
Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 4 
                  2 2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
, ,
9 3 9 3 9 3
x y z
x y z
       
        Nên 
2 2 2
8 1 1 1 8 1 1 1 8
8 8 8 16
9 9
P
x y z xy yz zx xy yz zx
   
             
    
1
( ) 16
3
MinP P x y z      
Bài 17: Cho x,y,z>0 , Tìm MaxP , 
2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3
x y z
P
x y y z z x
  
     
HD :  
Ta có :  
2 2 2 2
1 1 1
2 3 2( 1) ( 1) 2 2 2 2cyc cyc cyc cyc
x x x
P
yx y x y x y
x
   
      
     
1 9 1
2 26
P
y x z
x z x
 
  
 => 
1
max ( )
2
P P x y z     
Bài 18 : Cho x,y,z> 0 , x+y+z=1 , Tìm MaxP , 
2 2 2 2 2 2
xy yz zx
P
x y y z z x
  
     
HD :  
1 1
2
2 2 9 1 1 2 9 2cyc cyc cyc
xy xy xy xy xy
P xy
x y x y x y
   
        
      
    
 Mà      2
1
3 ( ) 1
3
xy yz zx x y z xy yz zx            
            
2
2 2 9
2 9
xy x y
x y x y xy
x y

    

Nên 
1 2 (2 2 2 ) 1
9 3 9 9
x y y z z x
P
     
   
 
=> 
1 1
max ( )
3 9
P P x y z      
Bài 19: Cho x,y,z>0 , Tìm maxP , 
33 3 3 3 3 33 34 4 4 4 4 4
x y y z z x
P
z x y x y z y z x
  
  
     
HD : Ta có :  3 3 3 3 3 3
3 1
( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( )
4 4
x y x y xy x y x y x y x y            
               =>  3 33 4 4z x y z x y     => 
3 33
2
4 4cyc cyc
x y x y
P
x y zz x y
 
  
  
   
max ( ) 2P P x y z     
Bài 20 : cho x,y,z 0 , Tim minP , 
x y z
P
y z z x x y
  
  
HD :  Ta có 
2
2 ( )
x x
x y z x y z
y z x y z
     
  
2
2
cyc cyc
x x
P
y z x y z
  
  
   =>  ( 1, 0) 2MinP P x y z      
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định 
Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 5 
Bài 21 : Cho x, y, z  0  thỏa mãn: x + y + z = 1. Tìm minP, 
   2 2 2 2 2 2 2 2 2  3 3    yz   zx 2P x y y z z x xy x y z          
HD : 
Ta có  Đặt t = xy+yz+zx   
      1 = (x+y+z)2 ≥ 3(xy+yz+zx)=3t, x2 + y2 + z2 = 1 – 2t và 
1
0
3
t   
   2 2 2 2 2 2 2 23 ( )x y y z z x xy yz zx t       
   M ≥  2 3 2 1 2 ( )t t t f t     
  f’(t) = 
2
2 3
1 2
t
t
 

  f ’’(t) = 
3
2
2
(1 2 )t


 < 0, t  
1
0,
3
 
  
  f’(t) là hàm giảm 
1 11
'( ) '( ) 2 3
3 3
f t f    > 0  f tăng  f(t) ≥ f(0) = 2, t  
1
0,
3
 
  
    ( 1, 0) 2MinP P x y z      
Bài 22 : Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MinP , 
3 3 3
1 1 1
x y z
P
y z yz z x zx x y xy
  
        
HD : 
3 3 3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
x y z
P
y z z x x y
  
     
Ta có  
3 1 1 3
(1 )(1 ) 8 8 4
x y z
x
y z
 
  
 
,
3 1 1 3
(1 )(1 ) 8 8 4
y z x
y
z x
 
  
 
,
3 1 1 3
(1 )(1 ) 8 8 4
z x y
z
x y
 
  
 
=>    3
1 3 3 3 3
2 4 2 4 4
P x y z xyz        
3
( 1)
4
MinP P x y z      
Bài 23 : cho x,y,z>0 , xy+yz+zx=1 , Tìm MinP,  1 1 1P xy yz zx        
HD :  
P>0 , xét   2 3 2 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )P xy yz zx xy yz yz zx zx xy              
                  2 4 2 12
cyc
P xy yz       
=> 1 1 1 2 3P xy yz zx        ,  
1
max ( ) 2 3
3
P P x y z      
Bài 24 : cho x,y,z >0 , x+y+z=1 , Tìm MinP,  2 2 2
2 2 2
1 1 1
P x y z
y z x
       
HD :     
 
2
22
3
2
3
1 1 1 1
3 (
(
P a b c a b c x y z xyz
x y z xyz
 
              
 
     
         Đặt   
2
2
3
1
,0
3 9
x y z
t xyz t
  
    
 
, 
2
1 1
3 ( ), ( ) , '( ) 1 0P f t f t t f t
t t
       
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định 
Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 6 
=> 
1
3 ( ) 3 9 82
9
P f t     => 
1
( ) 82
3
MinP P x y z      
Bài 25 : Cho x,y,z>0 , 
3
yz
x y z
x
    Tìm maxP , 
3 3 2
2
3( )
( )
x y x z x xy xz yz
P
y z y z y z
       
     
     
HD : 
Ta có :    x  3x y z xy     
Đặt  ,
x y x z
a b
y z y z
 
 
 
 => 
2 2
2 2 1
x y x z x y x z
a b ab
y z y z y z y z
         
           
         
Ta có   2 2
3
( ) 1 3 1 ( ) ( ) 2
4
a b ab a b a b          
Khiđó  3 3 2
3
3 ( ) 3 ( ) ( ) 5
4
P a b ab a b ab a b a b            
=> max ( 1) 5P P x y z      
Bài 26 : Cho x,y,z thuộc [0,1] , Tìm MaxP ,  3 3 3 2 2 22( ) ( )P x y z x y y z z x       
HD: Ta có    2 2 2, , 0,1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 0x y z x y y z z x           ,  
                                               3 2 3 2 3 2, ,x x x y y y z z z       
2 2 2 2 2 2( ) 3x y z x y z x y y z z x           
3 3 3 2 2 22( ) ( ) 3x y z x y y z z x         
ax ( 1) 3M P P x y z       
Bài 27 : Cho 
1
, , ,4
2
x y z
 
   
 và xyz=1 , Tìm maxP ,  2 2 22 2 2log log logP x y z    
HD : 
1
, , ,4
2
x y z
 
   
 =>   2 2 2log , log ,log 1, 2x y z   
Khi đó  :             2 2 2 2 2 2log 1 ( log 2 log 1 ( log 2 log 1 ( log 2 0,x x y y z z          
=>         
2 2 2
2 2 2 2 2 2log log log log log log 6 0x y z x y z        
Mà xyz=1 nên  2 2 2 2log log log log 0x y z xyz     
=>  2 2 22 2 2log log log 6P x y z     
1
max ( 4, ) 6
2
P P x y z      
Bài 28 : cho x,y,z>0 , 
3
2
x y z    , Tìm MinP, 
1 1 1xy yz zx
P
y z x
  
    
HD : 
 
1 1 1 9
P x y z x y z
x y z x y z
 
          
  
Đặt 
3
,0
2
t x y z t      => 
2
9 9
( ) , '( ) 1 0P f t t f t
t t
       
3 15
6
2 2
P     
1 15
( )
2 2
MinP P x y z      
Bài 29 : Cho x,y,z>1 x+y+z= 6 , Tìm maxP , 
1 1 1
x y z
P
y z x
  
  
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định 
Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 7 
HD : Đặt  1, 1, 1a x b y c z       => a+b+c=3 
Khi đó : 
1 1 1a b c
P
b c a
  
    
1 1 1a b c
b c a a b c
     
9
3 6
a b c
  
 
( 2) 6MinP P x y z      
Bài 30 : Cho x,y,z>0, xyz=1 , Tìm MinP , 
1 1 1
(1 ) (1 ) (1 )
P
x y y z z x
  
  
HD : Ta có  
1 1 1
0
11 1
y
x y
x
 
  
    
  
 
 => 
1 1
(1 ) (1 ) 1 1
xyz y
x y z x x y
  
   
                                                                =>   
1 1 1
(1 ) (1 ) 1 1
y
x y z x x y
  
   
Khi đó : 
2 2 2
2 3
(1 ) (1 ) (1 )
P
x y y z z x
   
  
 => 
3
2
P   
3
( 1)
2
MinP P x y z      
Bài 31 : Cho 
1
1 à , 1
4
x v y z    sao cho xyz=1 , Tìm MinP , 
1 1 1
1 1 1
P
x y z
  
  
HD : Ta có 
1 1 2
1 1 1y z yz
 
  
=> 
1 2 2
1 11 1
yz
P
x yzyz yz
   
  
Đặt 
1
1 2t yz
x
     
Khi đó : 
2
2
2 22
( ) (2)
1 1 15
t
P f t f
t t
    
 
=> 
1 22
min ( , 2, 2)
4 15
P P x y z      
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.