Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng phương pháp đạo hàm

TÌM GTLN,GTNN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM
A/ PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
	Cơ sở của phương pháp chủ yếu là dùng đạo hàm để khảo sát chiều biến thiên của hàm số và dựa vào bảng biến thiên cùng các giá tị đặc biệt trên tập xác định của hàm số mà suy ra kết quả.
	Để tìm GTLN,GTNN của một đại lượng biến thiên A ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: chọn biến số x
Bước 2: giới hạn x : 
Bước 3: tính A theo x : A = f(x)
Bước 4: khảo sát f(x) trên 
	Ví dụ minh họa : 	
 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
 Giải
Tập xác định: DR
Ta có:
Bảng biến thiên:
x	-∞	-2	0	+∞
y’	-	+	-
	0	1	
y	-1	0
Dựa vào bảng biến thiên ta được: Giá trị lớn nhất của y = 1 khi x = 0
	Giá trị nhỏ nhất của y = -1 khi x = -2
	I/ Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên khoảng :
Phương Pháp :
*Tìm tập xác định của hàm số ( Chỉ xét trên (a;b))
* Tính dạo hàm và tìm điểm tới hạn của hàm số trên thuộc khoảng (a; b)
* Lập bảng biến thiên
* Dựa vào bảng biến thiên kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Ví dụ minh họa : 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: (x > 0)
 GIẢI:
TXĐ: (xét trên 
 Đạo hàm: 
 BBT:
 x 0 1 
 y' - 0 +
 y 
 -3
 khi x= 1 . Hàm số không có giá trị lớn nhất trên 
	II/ Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a, b] :
Phương pháp : 
* Tìm tập xác định của hàm số ( Chỉ xét trên [a;b])
* Tính dạo hàm và tìm điểm tới hạn xi của hàm số trên thuộc đoạn 
* Tính 
	Ví dụ minh họa :
 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 
 trên đoạn .
 Ta có 
Đặt ; .Khi đó .Thay vào hàm số ta được : 
.So sánh các giá trị này ta được 
GTLN là 1 tại t=1 tức là ;GTNN là -1 tại t =-1 tức là 
/ Tìm GTLN, GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối liên tục trên 
	một đoạn : 
Bài toán: Tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên đoạn .
Cách giải:
B1: Xét hàm số , (không chứa dấu ), trên 
- Tính đạo hàm:.
- Giải phương trình và tìm các nghiệm thuộc.
B2: Giải phương trình và tìm các nghiệm thuộc đoạn.
B3: Tính các giá trị:.
- So sánh và kết luận.
Ví dụ minh họa :
Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn.
B1: Xét hàm số trên đoạn [-3;0] ta có:
- 
- 
B2: 
B3: ta có :
	,	
	,	
Ta nhận thấy.
Vậy từ các kết quả trên ta suy ra: 
B. Tìm điều kiện để hàm số y = f(x,m) có GTLN (GTNN) trên đoạn [a; b] là một số cho trước
Phương pháp : 
Giả sử bài toán yêu cầu: Tìm giá trị của tham số m để hàm số có giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất ) trên đoạn là (là m), ta có thể tiến hành theo một tring các cách sau.
Chú ý: Hàm số liên tục trên 
Cách 1:
Tính đạo hàm 
Gải phương trình để tìm các nghiệm 
Tính các giá trị và 
Từ các kết quả trên, xác định GTLN (GTNN) của hàm số , giả sử là 
Giải phương trình để tìm nghiệm 
Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán.
Cách 2:
Xác định điều kiện để bất phương trình : được thỏa mãn 
Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị của thỏa điều kiện vừa nêu
Xác định điều kiện để phương trình: có nghiệm 
Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị của thỏa điều kiện 
So sánh các giá trị của m tìm được ở các bước 2 và 3 để chọn ra giá trị m thỏa bài toán
Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán.
Cách 3:
Tính đạo hàm 
Giải phương trình để tìm các nghiệm 
Tính các giá trị và 
Lần lượt giải các phương trình: để tìm các nghiệm  của chúng
Thay vào hàm số và kiểm  tra trực tiếp xem giá trị  thực sự thỏa bài toán để nhận  hoặc loại giá trị 
Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán.
Ví dụ minh họa : 
Xét hàm số:. Xác định giá trị của tham số   sao cho hàm số giá trịlớn nhất trên là 6.
Ta có đạo hàm:, vậy   
Nhận xét rằng :, 
Do vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất trên hoặc tại hoặc tại, suy ra
     (1)
    (2)
Do, nên từ (1) suy ra 
Do, nên từ (2) suy ra 
Với, thay vào hàm số ta được:.
Ta có: 
Cho 
Bảng biến thiên : 
 1 3
18
 - 0 +
 2 
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên là18, suy ra không thỏa bài toán
Suy ra loại
Với, thay vào hàm số ta được : 
Ta có: 
Cho 
Bảng biến thiên
 1 3 
6
 - 0 + 
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên là 6
Suy ra giá trị thỏa mãn bài toán .
Kết luận: Giá trị cần tìm :