Tìm các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

 GIÁ TR Ị LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
I. MỤC ĐÍCH CHUYÊN ĐỀ 
- Chuyên đề này sẽ trình bày cho các bạn các phương pháp tìm giá trị lớn nhất của 
hàm số như: dung đạo hàm để tìm GTLN, GTNN ; dùng phương pháp chiều biến 
thiên hàm số, pp miền giá trị 
- Các bạn sẽ nắm vững được các pp thường gặp để tìm GTLN, GTNN bằng cách 
dùng hàm số. 
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Lý thuyết. 
a. Định nghĩa: 
 Giả sử F(x) là hàm số xác định trên miền D. Số M gọi là giá trị lớn nhất của F(x) trên 
miền D nếu như nó thỏa mãn 2 điều kiện sau: 
 1/ F(x) ≤ M. 
 2/ Tồn tại x0 ∈ sao cho F(x0) = M. M
Khi đó ta sử dụng ký hiệu: M = max F(x). 
 Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của F(x) trên miền D nếu như nó thỏa mãn 2 điều kiện 
sau: 
 1/ F(x) ≥ M. 
 2/ Tồn tại x0 ∈ sao cho F(x0) = m. M
Khi đó ta sử dụng ký hiệu: m = min F(x). 
Chú ý: 
Trang 1 
 - Định nghĩa có 2 phần và ko được xem nhẹ phần nào. Nói vậy vì các bạn học sinh 
thường bỏ qua phần thứ 2 trong định nghĩa. Nói rõ hơn:Từ F(x)≤ M x M thì chưa thể 
suy ra M = max F(x). 
∀ ∈
Xét VD sau: 
 Cho F(x,y,z) = +
x
y z
 + +y z
x
+ +
y
x z
+ +x z
y
+ +
z
y x
+ +x y
z
 Trên miền D = { x>0, y > 0, z > 0} 
Nếu bạn làm: 
 +
x
y z
 + +y z
x
 ≥ 2 
 +
y
x z
+ +x z
y
 ≥ 2 
 +
z
y x
+ +x y
z
 ≥ 2 
Từ đó F(x,y,z) ≥ 6 Với x>0, y > 0, z > 0. ∀
Vì thế: Max F(x,y,z) = 6 với x,y,z ∈D. 
Chúng tôi nói rằng bạn đã sai. Vì sao? 
Đơn giản bạn hãy thử lấy x = y = z =1. Khi đó F(1,1,1) = 7,5 > 6. 
Lý do sai là mới từ phần 1 của định nghĩa đã suy ra kết luận. 
- Các bạn cần phân biệt 2 khái niệm: 
 + “giá trị lớn nhất của F(x) trên miền D” với “cực đại của hàm số” . 
 + “giá trị nhỏ nhất của F(x) trên miền D” với “cực tiểu của hàm số” . 
Nói chung các khái niệm này khác nhau. 
Trang 2 
 Xét VD sau: 
 Cho hàm số F(x) = x3 – 3x2 trên miền D = {-2 ≤ x ≤ 4}. 
Ta có: F’(x) = 3x2 – 6x. 
Lập bảng biến thiên sau: 
 x -2 0 2 4 
 F’(x) + 0 - 0 + 
 F(x) -20 0 -4 12 
Ta thấy khi hàm số có cực đại tại (0,0) => giá trị cực đại = 0 
 Hàm số có cực tiểu tại (2,-4) => giá trị cực tiểu= -4 
Trong khi đó dề thấy: 
Max F(x) = 12 Min F(x) = -20 
x ∈D x ∈D 
Trong VD này: 
 + Giá trị lớn nhất của F(x) trên miền > giá trị cực đại của hàm số. 
 + Giá trị nhỏ nhất của F(x) trên miền < giá trị cực tiểu của hàm số. 
Như vậy ta có thể nói rằng: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số trên miền D 
mang tính toàn cục; còn giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số mang tính địa phương. 
 Dân gian có câu: “ Xứ mù thằng chột làm vua” . Có thể lấy câu ví von này làm VD 
chứng minh cho tính địa phương của giá trị cực đại. 
b. Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số: 
- Đạo hàm là công cụ duy nhất để tìm cực đại, cực tiểu của hàm số. 
Trang 3 
- Để tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số F(x) trên miền D ta có thể sử 
dụng đạo hàm và kết hợp với việc so sánh giá trị cực đại, cực tiểu với các giá trị đặc biệt (ta 
gọi đó là các giá trị tới hạn). 
- Giá trị tới hạn này thường là giá trị tại đầu mút các đoạn (mà trên đó cần tìm Giá trị lớn 
nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số) hoặc là giá trị của hàm số tại các điểm mà không 
tồn tại đạo hàm. 
- Lược đồ chung của phương pháp sử dụng đạo hàm để tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 
nhất của một hàm số F(x) trên miền D cho trước như sau: 
 + Tìm đạo hàm F’(x) và từ đó tìm cực đại, cực tiểu của F(x) (dĩ nhiên ta chỉ quan tâm 
tới cực đại, cực tiểu thuộc miền D). 
 + So sánh giá trị cực đại, cực tiểu với các giá trị tới hạn trên miền D. 
 + Từ đó suy ra được kết luận cần tìm. 
1. Các bài toán đơn thuần tìm GTLN và GTNN của một hàm số: 
Ví dụ 1: Cho x + y = 1, x ≥ 0, y ≥ 0. Tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 P = 32x + 3y. 
 Từ x + y = 1 => y = 1 – x. Thay vào P ta có: 
 P = 32x + 31-x = 32x + 
x
3
3
. 
Do x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = 1 => 0 ≤ x ≤ 1 
 => 1 ≤ 3x ≤ 3. 
Đặt t = 3x, khi đó ta đưa bài toán về: Tìm giá trị mã, min của hàm số: 
 F(t) = t2 + 3
t
 với 1 ≤ t ≤ 3. 
Trang 4 
Ta có: F’(t) = 2t - 
2
3
t
 = −
2
2
2t 3
t
Lập bảng xét dấu với chú ý: 1 ≤ t ≤ 3 : 
 t 1 3 3
2
 3 
 F’(t) - 0 + 
 F(t) 4 3 3 9
4
 10 
Từ đó suy ra: 
Min F(t) = F( 3 3
2
) = 3 3 9
4
 với 1 ≤ t ≤ 3. 
Max F(t) = max {f(1), f(3)} = max {4,10} = 10 với 1 ≤ t ≤ 3 
Vậy 
Max P = Max F(t) = 10 
 1 ≤ t ≤ 3 
Min P = Min F(t) = 
1 ≤ t ≤ 3 
3 3 9
4
Giá trị lớn nhất của P đạt được khi t = 3 3x = 3 x = 1, y = 0 
Giá trị nhỏ nhất của P đạt được khi 
 t = 3 3
2
 3x = 3 3
2
Trang 5 
Suy ra: x= log3 3
3
2
 = 1
3
log3 3
3
2
 y = 1 - 1
3
log3 3
3
2
Nhận xét: Người ta hay dung phương pháp đổi biến trong quá trình tìm giá trị max, min của 
hàm số để đưa về 1 bài toán mới có cấu trúc đơn giản hơn. Chỉ lưu ý 1 điều: Khi đã đổi biến 
thì phải đổi miền xác định của bài toán. 
Như VD trên miền xác định cũ là: 0 ≤ x ≤ 1. Khi chuyển sang biến t mới (do t= 3x) nền 
miền xác định mới là: 1 ≤ t ≤ 3. 
Ví dụ 2: Cho hàm số: 
 y= Sin
+ 2
2x
1 x
 + Cos
+ 2
4x
1 x
 + 1, Với x ∈R. 
Tìm giá trị max, min của hàm số trên R. 
áp dụng công thức Cos2u= 1 – 2sin2u, ta có thể đưa hàm số F(x) về dạng: 
 F(x) = -2Sin2 + 2
2x
1 x + Sin + 2
2x
1 x
 + 2. 
Đặt t = Sin
+ 2
2x
1 x
, 
Với x ∈R ta có: -1 ≤ 
+ 2
2x
1 x
 ≤ 1 
 -Sin1 ≤ t ≤ Sin1 
(Do [-1,1] ∈[- π
2
, π
2
] nên ta có điều trên). 
Bài toán đưa về tìm giá trị max, min của hàm số: 
Trang 6 
 F(t) = -2t2 + t + 2 với -Sin1 ≤ t ≤ Sin1 
 Ta có: F’(t) = -4t + 1. 
Lập bảng biến thiên: 
 t -Sin1 1
4
 Sin1 
 F'(t) /// 0 /// 
 F(t) /// /// 
(bạn có biết vì sao ta có – Sin1 < 1/4 < Sin1 không?) 
Từ đó suy ra: 
Max F(t) = F(1/4) = 17/8 
t ≤ Sin1 
Min F(t) = Min {F(Sin1); F(-Sin1)} 
t ≤ Sin1 = Min {-2Sin21 – Sin1 + 2; -2Sin21 + Sin1 + 2 } 
 = -2Sin21 – Sin1 + 2 
Tóm lại: 
Max F(x) = Max F(t) = F(1/4) = 17/8 
x ∈R. t ≤ Sin1 
Min F(x) = Min F(t) = Min {F(Sin1); F(-Sin1)} 
Trang 7 
x ∈R. t ≤ Sin1 = -2Sin21 – Sin1 + 2 
Giá trị nhỏ nhất của F(x) đạt được khi t = - Sin1 = Sin(-1). 
 Tức là: Sin
+ 2
2x
1 x
 = Sin (-1). 
+ 2
2x
1 x
 = -1 (Chú ý: -1 ≤ 
+ 2
2x
1 x
 ≤ 1) 
 (x+1)2 = 0 
 x = 1. 
Giá trị lớn nhất của F(x) đạt được khi nào, các bạn tự tính. 
2. Bài toán giá trị lơn nhất, giá trị nhỏ nhất chứa tham số: 
- Trong các bài toán này, giá trị max, min của một hàm số F(x) trên một miền D sẽ phụ 
thuộc vào tham số m. Khi m biến thiên, nói chung các giá trị này cũng thay đổi. Cần nhấn 
mạnh rằng phương pháp dùng đạo hàm tỏ ra có hiệu lực rõ rệt với loại bài toán này. 
- Có 2 loại bài toán chinhs thường gặp: 
 + Tìm giá trị max, min của hàm số F(x) trên miền D theo tham số m. 
 + Xét 1 bài toán khác sau khi đã tìm xong giá trị max, min. 
Chúng ta hãy xét các VD sau: 
Ví dụ 3: Cho hàm số : 
 y = Sin4x + Cos4x + m SinxCosx, Với x ∈R. 
Tìm giá trị max, min của hàm số và biện luận theo m? 
Trang 8 
Ta có y = 1 – 1
2
Sin22x + m
2
Sin2x 
 Đặt t = Sin2x. Bài toán quy về: Tìm giá trị max, min của hàm số : 
 F(t) = - 1
2
t2 + m
2
t +1 với -1 ≤ t ≤ 1 
 F'(t) = -t + m
2
. 
Xét các khả năng sau: 
 1) Nếu m ≥ 2 (khi đó m
2
 ≥ 1). Ta có bảng biến thiên sau: 
 t -1 1 m 
2
 F'(t) + /// 0 
 F(t) /// 
Ta có: 
Max F(t) = 
t ≤ 1 
F(1) = +m 1
2
Min F(t) = 
t ≤ 1 
F(-1) = − +m 1
2
2) Nếu m ≤ -2 (khi đó m
2
 ≤ 1). Ta có bảng biến thiên sau: 
Trang 9 
 t m
2
 -1 1 
 F'(t) 0 /// - 
 F(t) /// 
Ta có: 
Max F(t) = 
t ≤ 1 
F(-1) = − +m 1
2
Min F(t) = 
t ≤ 1 
F(1) = +m 1
2
3) Nếu -2 < m < 2 (Khi đó -1 < m
2
 < 1) Ta có bảng biến thiên sau: 
 t -1 m
2
 1 
 F'(t) + 0 - /// 
 F(t) /// 
Max F(t) = 
t ≤ 1 
F( m
2
) = +2m 8
8
Trang 10 
Min F(t) 
t ≤ 1 
= Min{f(-1); f(1)} 
Nếu 0 ≤ m ≤ 2 
 = Min{− +m 1
2
; +m 1
2
} 
=
⎧ −⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪ +⎪⎪⎪⎪⎩
1 m
2
1 m
2
Nếu -2 ≤ m ≤ 0 
Tóm lại ta đi đến kết quả sau: 
+1 m
2
 Nếu 2 ≤ m 
+ 28 m
8
 Nếu -2 < m < 2 
Max y 
x ∈R. 
= 
−1 m
2
 Nếu -2 ≤ m 
Nếu 0 ≤ m 
Min y 
x ∈R. 
=
⎧ −⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪ +⎪⎪⎪⎪⎩
1 m
2
1 m
2
Nếu m < 0 
Chú ý: Có thể viết đáp số gọn hơn: VD Min y = 
+1 m
2
Ví dụ 4: Cho hàm số F(x) = 4x2 – 4ax + a2 – 2a, Xét khi -2 ≤ x ≤ 0 
 Tìm a để: Min F(x): = 2? 
 -2 ≤ x ≤ 0 
 Ta có: F'(x) = 8x – 4a =>F'(x) = 0 khi x = a
2
. 
Trang 11 
Xét các khả năng sau: 
 1) Nếu a > 0 (tức a
2
> 0). Ta có bảng biến thiên sau: 
 x -2 0 a
2
 F'(x) 0 - /// 0 
 F(x) /// 
Vì thế: Min F(x) = F(0) = a2 – 2a. 
 -2 ≤ x ≤ 0 
 Min F(x) = 2 a2 – 2a = 2. 
⎡ = +⎢⎢ = −⎢⎣
a 1 3
a 1 3
 Vì a> 0 nên chỉ lấy giá trị: a = 1+ 3 
2) Nếu a < -4 (Tức a
2
< -2) Ta có bảng biến thiên sau: 
 x a
2
 -2 0 
 F'(x) 0 /// + /// 
 F(x) /// /// 
Vì thế: Min F(x) = F(-2) = a2 – 6a + 16. 
Trang 12 
 -2 ≤ x ≤ 0 
 Min F(x) = 2 a2 – 6a + 16 = 2. 
 a2 – 6a + 14 = 0 
 ∆ = 9 – 14 = -5 < 0. PT vô nghiệm. 
3) Nếu -4 ≤ a ≤ 0 (Tức -2 ≤ a
2
 ≤ 0) Ta có bảng biến thiên sau: 
 x -2 a
2
 0 
 F'(x) // - 0 + /// 
 F(x) // /// 
Vì thế: Min F(x) = F( a
2
) = – 2a 
 -2 ≤ x ≤ 0 
 Min F(x) = 2 –2a = 2 
 a = -1. 
 Giá trị a = -1 thỏa mãn điều kiện -4 ≤ a ≤ 0 nên chấp nhận được. 
Tóm lại các giá trị cần tìm của tham số a là: a = -1 và a = 1+ 3 
3. Phương pháp miền giá trị hàm số 
Trang 13 
 Xét bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) ? Một miền D cho? . Gọi 
yo là một giá trị tùy ý của f(x) trên D, thì hệ sau đây (của x) có nghiệm 0
( ) (1)
(2)
f x y
x D
=⎧⎨ ∈⎩
Tùy dạng của hệ (1) (2) mà ta có các điều kiện có nghiệm tương ứng. Trong nhiều trường 
hợp, điều kiện ấy (sau khi biến đổi) đưa được về dạng 0 (3)yα β≤ ≤ . Vì yo là một giá trị bất 
kì của f(x), nên từ (3) ta có ( ) ; ( )
x D x D
Min f x Max f xα β
∈ ∈
= = . Như vậy khi sử dụng phương pháp 
này để tìm giá trị lớn nhất của một hàm số, thực chất ta đã qui về việc tìm điều kiện để một 
phương trình (thường làm có thêm điều kiện phụ) có nghiệm. 
Xét các thí dụ sau: 
Thí dụ 1 
 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2sin osx+1( ) , ?i x R
sinx-2cosx+3
x cf x += ∈v . 
Bài giải: 
Để ý rằng do 
3 5 s inx-2cosx+3 3 5, x− ≤ ≤ + ∀ , nên f(x) xác định xác định trên toàn R. Gọi yo là một giá 
trị tùy ý của f(x), ta có phương trình sau (của x) 0
2sin osx+1(1)
s inx-2cosx+3
x cy += có nghiệm. 
Dễ thấy (1) 2sinx + cosx + 1 = yo sinx - 2yo cosx + 3 yo 
 (2 - yo)sinx + (1 + 2 yo)cosx = 3 yo - 1 (2) 
Vì (2) có nghiệm, nên ta có 
2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
1(2 ) (1 2 ) (3 1) 4 6 4 0 2 3 2 0 2(3)
2
y y y y y y y y− + + ≥ − ⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ Từ 
(3) suy ra 1( ) ; ( ) 2
2x R x R
Min f x Max f x
∈ ∈
= − = 
Chú ý 
Nếu thay yo = 2 vào (2) ta có 5cosx = 5 cosx = 1 2x kπ= . Vậy Maxf(x) đạt được 
khi 2 ,x k k Zπ= ∈ (Xét tương tự cho Min(fx). 
Thí dụ 2 
Trang 14 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
2
2
2 7 23( ) ,
2 10
x xf x x R
x x
+ += ∈+ + 
Bài giải: 
Gọi yo là một giá trị tùy ý của hàm số, thì phương trình sau (của x) 
2
0 2
2 7 23 (1)
2 10
x xy
x x
+ += + + có 
nghiệm. 
Dễ thấy 20 0 0(1) ( 2) (2 7) 10 23 0(2)y x y x y⇔ − + − + − =
Xét 2 khả năng: 
 + Nếu yo = 2, thì (2) -3x – 3 = 0 => phương trình này sẽ ? có nghiệm 
 + Nếu , thì (2) có nghiệm 0 2y ≠ 20 0 03 50 9 16 15 0 2 2y y y⇔ Δ ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ 
Tóm lại (2) có nghiệm 0
3 5
2 2
y⇔ ≤ ≤ 
Vì yo là giá trị tùy ý của f(x), nên 
3 5( ) ; ( )
2 2x R x R
Min f x Max f x
∈ ∈
= = 
Thí dụ 3: 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức với x, y thỏa mãn 2 2,P x y= +
{ }2 2 2 2 2 2 2( , ) ( 1) 4 0x y D x y x y x y∈ = − + + − − = 
Bài giải: 
Gọi to là một giá trị tùy ý của P, khi ( , )x y D∈ . Vậy hệ sau đây (của x,y) 
2 2
0
2 2 2 2 2 2 2
(1)
( 1) 4 0(2)
x y t
x y x y x y
⎧ + =⎪⎨ − + + − − =⎪⎩
có nghiệm. Hệ (1),(2) tương đương với hệ sau: 
2 22 2
00
2 22 2 2 2 2 2
0 0
(3)
3 1 4 0 (4( ) 3( ) 1 4 0
x y tx y t
t t xx y x y x
⎧⎧ + =+ =⎪ ⎪⇔⎨ ⎨ − + + =+ − + + + =⎪ ⎪⎩ ⎩ )
Trang 15 
Để (4) (của x) có nghiệm ta cần có 20 0 0
3 5 3 53 1 0 (5
2 2
t t t− +− + ≤ ⇔ ≤ ≤ ) 
Với điều kiện (5). Gọi x là nghiệm của (4), và thay vào (3) ta 
có: 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 04 4 4 3 1 4 4 4 1(*x y t t t y t y t t+ = ⇔ − + − + = ⇔ = + + ) 
(*) chắc chắn có nghiệm vì >0. 20 0 1t t+ +
Vậy (5) là điều kiện cần và đủ để hệ (3), (4) có nghiệm. Từ đó suy ra 
( , ) ( , )
3 5 3 5;
2 2x y D x y D
Min P Max P
∈ ∈
− += = 
Thí dụ 4 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của trên miền 2 3P x xy y= − − 2, { }2 2( , ) : 3D x y x xy y= + + ≤ 
Bài giải: 
Gọi 
{ } { }
{ }
2 2 2
1
2 2
2
( , ) : 3, 0 ( , ) : 3, 0
( , ) : 3, 0
D x y x xy y y x y x y
D x y x xy y y
= + + ≤ = = ≤
= + + ≤ ≠
=
Ta có 1 2
2 2
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
Max P=Max Max P, Max P , (1)
Min P=Min Min P, Min P (2)
x y D x y D x y D
x y D x y D x y D
∈ ∈ ∈
∈ ∈ ∈
⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
Từ 1( , )x y D∈ thì , do đó 2P x=
11 ( , )( , )
ax P=3; M in P=0 (3)
x y Dx y D
M ∈∈
Xét biểu thức 
2
2 2 2
2 2 2 2
3
3 3
1
1
x x
y yx xy y t tS
x xy y t tx x
y y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Gọi α là một giá trị tùy ý của S, tức là phương trình (ẩn t) 
2
2
3 (4)
1
t t
t t
α− − =+ + có nghiệm. Dễ thấy 
2(4) ( 1) ( 1) 3 0 (5)t tα α α⇔ − + + + + =
Trang 16 
+ Nếu α = 1 thì (5) có nghiệm t = -2 
+ Nếu 1α ≠ thì (5) có nghiệm khi 2 20 ( 1) 4( 1)( 3) 0 3 6 11 0α α α α αΔ ≥ ⇔ + − − + ≥ ⇔ − − − ≥ 
2
( 1)
3 4 3 3 4 33 6 13 0 (6)
3 3αα α α≠
− − − +⇔ + − ≤ ⇔ ≤ ≤ 
Thử lại (5) có nghiệm 3 4 3 3 4 3
3 3
α− − − +⇔ ≤ ≤ 
Ta có 
2 2
2 2 2
2 2
3( ) ( )x xy yP x xy y x xy y S
x xy y
− −= + + = + ++ +
2
x xy y+ + ≤
Do khi 2 2( ) 3 ( ,
Trang 17 
2 2) 3 4 3 3 4 3 ( , )y D P x y D∈ ⇒ − − ≤ ≤ − + ∀ ∈ x
Rõ ràng hệ phương trình 
2 2
2 2
2 2
3 3 4
3
3
x xy y
x xy y
x xy y
⎧ − − − +=⎪ + +⎨⎪ + + =⎩
3
có nghiệm. 
Như vậy 
2( , )
3 4 3 (7)
x y D
Max P
∈
= − + . Tương tự 
2( , )
3 4 3 (8)
x y D
Min P
∈
= − − 
Từ (1), (2), (3), (7), (8) suy ra 
2 2( , ) ( , )
3 4 3; 3 4 3
x y D x y D
Max P Min P
∈ ∈
= − + = − − . 
3. Phương pháp chiều biến thiên. 
Phương pháp này kết hợp việc sử dụng đạo hàm để khảo sát tính đồng biến và nghịch biến 
của hàm số, với việc so sánh các giá trị đặc biệt của hàm số (các điểm cực trị, các điểm tới 
hạn). Xét các thí dụ minh họa sau: 
Thí dụ 1 
Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1P x y z
x y z
= + + + + + trên miền 
3( , , ) : 0, 0, 0,
2
D x y z x y z x y z⎧ ⎫= > > > + +⎨ ⎬⎩ ⎭≤ 
Bài giải: 
Theo bất đẳng thức CoSi, ta có: 
1 1 1( ) 9
1 1 1 9
9 (1)
x y z
x y z
x y z x y z
P x y z
x y z
⎛ ⎞+ + + + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠
⇒ + + ≥ + +
⇒ ≥ + + + + +
Đặt 3t = x + y + z 0<t
2
⇒ ≤ . Xét hàm số 9 3( ) ,0
2
f t t t
t
= + < ≤ ; 2
9'( ) 1f t
t
= − 
Ta có bảng biến thiên sau: 
0
t
f ’(t)
f (t)
-3 0
3
2 3
0
Vậy 
30
2
3 1f(t)=f
2 2t
Min
< ≤
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
5 . Từ (1) suy ra 15
2
P ≥ (2). Mặt khác với 1
2
x y z= = = (khi đó 
3
2
x y z+ + = thỏa mãn điều kiện 3
2
x y z+ + ≤ ), ta có 15
2
P = . Từ đó kết hợp với (2) suy ra 
15
2
MinP = 
Chú ý: Nếu viết 1 1 1 6(*)P x y z
x y z
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + ≥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
. Tuy nhiên dấu bằng trong (*) 
có x = y = z = 1. Nhưng 33
2
x y z+ + = > . Vậy không có dấu bằng trong (*)! 
Thí dụ 2 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 
1 1
x yP
y x
= ++ + với { }( , ) , 0, 1x y D x y x y= ≥ + = ∈
Bài giải: 
Đưa P về dạng 
2 2 2( ) 2 (
1 ( ) 1
)x x y y x y xy x yP
xy x y x y xy
+ + + + − + += =+ + + + + + 
Do x + y + 1, nên với ( , )x y D∈ , ta có : 2 2 (1)
2
xyP
xy
−= + 
Trang 18 
Đặt t = xy, khi đó 
2( ) 1
4 4
x yxy t+≤ ≤ ⇒ ≤ ≤0 0 . 
Xét hàm số 2 2( )
2
tf t
t
−= + với 
10
4
t≤ ≤ 
Ta có 2
6'( )
(2 )
f t
t
−= + , nên có bảng biến thiên (các em tự vẽ hình) dẫn đến kết luận: 
Vậy 
( , ) ( , )
21;
3x y D x y D
Max P Min P
∈ ∈
= = 
Chú ý: 
Max P đạt được
0
0, 1
0 1
1, 0
, 0
xy
x y
t x y
x y
x y
=⎧ = =⎡⎪⇔ = ⇔ + = ⇔⎨ ⎢ = =⎣⎪ ≥⎩
Min P đặt được 1 1
4 2
t x y⇔ = ⇔ = = 
Thí dụ 3 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 6 2( ) 4(1 )3f x x x= + − khi [ ]1,1x∈ − . 
Bài giải 
Đặt 2x t= , thì 0 1t≤ ≤ . Ta có 
6 2 3 3 3 3 2 3 3 24(1 ) 4(1 ) 4(1 3 3 ) 3 12 12 4x x t t t t t t t t t+ − = + − = + − + − = − + − + 
Vậy 
1 2 0 1 1 1 0 1
( ) ( ); ( ) ( )
x t x t
Max f x Max F t Min f x Min F t
− ≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤ ≤ ≤
= = 
Ở đây với 0 13 2( ) 3 12 12 4F t t t t= − + − + t≤ ≤ 
Ta có và có bảng xét dấu sau: 2'( ) 9 24 12F t t t= − + −
Trang 19 
4 
0 
t 0 
F‘(t) 
F(t) 
1 
1 
2 
0 
3
2
9
 Vậy 
1 1 1 1
4( ) 4; ( )
9x x
Max f x Min f x
− ≤ ≤ − ≤ ≤
= = 
III. CỦNG CỐ KIẾN THỨC 
Bài 1 
Tỉm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 23 3x yP = + , khi { }( , ) 0, 0, 1x y D x y x y∈ = ≥ ≥ + = . 
Bài giải: 
Khi ( , ) 1x y D y∈ ⇒ = − x , ở đây 0 1x≤ ≤ , và 2 1 2 33 3 3
3
x x x
xP
−= + = + 
Đặt 3xt = , thì 1 3 (do t≤ ≤ 0 1x≤ ≤ ), và 
3
2 3 3tP t
t t
+= + = 
Xét hàm số 
3 3( ) tf t
t
+= với 1 3 t≤ ≤
Ta có 
3
2
2'( ) tf t
t
−= 3 . Lập bảng xét dấu sau: 
t 
f ’(t) 
f (t) 
1 3
0 
4 1
3 3
2
3 93
4
Từ đó suy ra 
{ } { }
( , ) 1 3
3 3
( , ) 1 3
( ) (1), (3) 4,0 10
3 9( ) 3
2 4
x y D t
x y D t
Max P Max f t Max f f Max
Min P Min f t f
∈ ≤ ≤
∈ ≤ ≤
= = =
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
=
Bài 2. 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: ( ) 1 s inx 1 osx ,f x c x R= + + + ∈ 
Trang 20 
Do ( ) 0,f x x≥ ∀ ∈R nên ta có 2 2( ) ( ); ( ) ( )(1)
x R x R x R x R
Max f x Max f x Min f x Min f x
∈ ∈ ∈ ∈
= = 
Ta thấy 2( ) 2 (s inx+cosx)+2 1+(sinx+cosx)+sinxcosxf x = + 
Đặt 
2t -1s inx+cosx( - 2 t 2) sinxcosx=
2
t = ≤ ≤ ⇒ 
Xét hàm số: 
2 21 2( ) 2 2 1 2 2
2 2
t tF t t t t 1t− + += + + + + = + + 
 2'( ) 1 2 ( 1) 1 2 1F t t t= + + = + + 
Do vậy 
1 2 , 1 2
'( )
1 2 , 2
t
F t
t
⎧ + − ≤ ≤⎪= ⎨ − − ≤ ≤⎪⎩ 1−
Vì thế có bảng biến thiên sau: 
t
F’(t)
F(t)
2− -1 2 
4 2 2− 4 2 2+ 
0
Từ đó có 
( ) ( ){ } { }
2
2
( ) ( ) 2 , 2 4 2 2, 4 2 2 4 2 2
( ) ( ) ( 1) 1
x R t
x R t
Max f x Max F t Max F F Max
Min f x Min F t F
∈ ≤
∈ ≤
= = − = − + = +
= = − = 
Bài 3: (Đại học-Cao đẳng khối A.2003) 
Trang 21 
Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của , , 0 à x+y+z 1. x y z v> ≤ 2 2 22 2
1 1P x y z 2
1
x y z
= + + + + + 
Áp dụng công thức qui biến về véc tơ w wu v u v+ + ≥ + +G G G G G G 
Áp dụng với 1 1, , , , w ,u x v y z 1 ,
x y z
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
G G G ta có 
2
2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1( )x y z x y z
x y zx y z
⎛ ⎞+ + + + + ≥ + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ (1) 
Ta có 
2 2
2 21 1 1 1 1 1( ) 81( ) 80( ) (2)x y z x y z x y z
x y z x y z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + = + + + + + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 
Theo bất đẳng thức CôSi, thì: 
2 2
2 21 1 1 1 1 1 1 1 181( ) 2 81( ) 18( )x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + ≥ + + + + = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
Lại theo bất đẳng thức cơ sở có: 1 1 1( )x y z
x y z
⎛ ⎞ 9+ + + + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠ . Vì thế có: 
2
2 1 1 181( ) 162x y z
x y z
⎛ ⎞+ + + + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠ (3) 
Do (4) 2( ) 1 80( ) 80x y z x y z+ + ≤ ⇒ + + ≤
Từ (3), (4) và (1), (2) suy ra: 82P ≥ (5) 
Lấy 1 82
3
x y z P= = = ⇒ = 
Từ đó đi đến: P = 82Min 
2 2
2 21 1 1 1 1 1 1 1 181( ) 2 81( ) 18( )x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + ≥ + + + + = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
Lại theo bất đẳng thức cơ sở có: 1 1 1( )x y z
x y z
⎛ ⎞ 9+ + + + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠ . Vì thế có: 
2
2 1 1 181( ) 162x y z
x y z
⎛ ⎞+ + + + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠ (3) 
Do (4) 2( ) 1 80( ) 80x y z x y z+ + ≤ ⇒ + + ≤
Trang 22 
Từ (3), (4) và (1), (2) suy ra: 82P ≥ (5) 
Lấy 1 82
3
x y z P= = = ⇒ = 
Từ đó đi đến: P = 82Min 
Bài 4: (Đại học – Cao đẳng khối B. 2002) 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 2( ) 4f x x x= + − 
Ta có: 
2
2 2
4'( ) 1
4 4
x x xf x
x x
− −= − =− − 
Lập bảng xét dấu sau: 
x 
'( )f x 
( )f x 
-2 0 2 2 
+ + - 
2 2 
0 
-2 2 
(Chú ý: khi là biến thiên) '( ) 0f x > 2 x− ≤ ≤ 0
Từ đó có: 
2
ax f(x)=2 2
x
M≤ 
{ } { }
2
 f(x) = min f(-2);f(2) min 2;2 2
x
Min
≤
= − = 
Chú ý: Ta có thể giải bằng phương pháp bất đẳng thức như sau: 
1/ Ta có: do 
2( ) 4 22
( 2) 2
f x x xx
f
⎧⎪ = + − ≥ −≥ − ⇒ ⎨ − = −⎪⎩
Vậy 
2
 f(x) = 2
x
Min
≤
− 
rõ ràng đạt được trên miền . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky: 0x >ax f(x)M
Trang 23 
( ) ( )2 22 2 2 2
2
( )
4 (1 1 ) 4
8 ( ) 2 2x
2x x x
f f x
⎡ ⎤⇒ + − + ≥ + −⎢ ⎥⎣ ⎦
⇒ ≥ ⇒ ≤
x
Lại có: ( 2) 2 2 ax (x)=2 2f m f= ⇒ 
IV. BÀI TẬP VỀ NHÀ 
Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 24 4 4( ) 1 1 1f x x x x= − + − + + trên 
miền { }: 1 1D x x= − ≤ ≤ 
Đáp số: 
x D
ax ( ) 3M f x
∈
=
Bài 2: Tìm giá trị bé nhất của biến thiên: 
1 1 1( 1) x y zP xyz x y
x y z y z x
⎛ ⎞= + + + + + + − − −⎜ ⎟⎝ ⎠ z trên miền { }( , , ) : 0; 0; 0D x y z x y z= > > > 
Đáp số: mi n 6P =
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biến thiên: P xyz= trên miền 
1 1 1( , , ) : 0; 0; 0; 2
1 1 1
D x y z x y z
x y z
⎧ ⎫= ≥ ≥ ≥ + +⎨ ⎬+ + +⎩ ⎭= 
Trang 24 
Đáp số: 1ax P=
8
m 
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của: trên miền 2 (4 )P x y x y= − − { }( , ) : 0; 0; 6D x y x y x y= ≥ ≥ + ≤ 
Đáp số: ; ax P = 4M Min P = - 64
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: 
2 2
2 2
( 4 )x x yP
x y
− −= + trên miền 
{ }2 2( , ) : 0D x y x y= + > 
Đáp số: ; P = - 2 2 2Min − ax P = 2 2 2M −
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: 2 2
2 1
7
x yP
x y
+ += + + ; ,x y R∈ 
Trang 25 
Đáp số: 1ax P = 
2
M ; 5 P = 
14
Min − 
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 
2( ) 3 6 18 3f x x x x= + + − − + − x trên miền { }: 3 6D x x= − ≤ ≤ 
Đáp số: ; 
x D
ax f(x) = 3M∈ x D
9 3 2 f(x) = 
2
Min∈
−
Bài 8: Cho 2 2( ) 4 4 2f x x ax a= − + − a xét trên miền { }: 2 0D x x= − ≤ ≤ . 
Tìm a để 
x D
 f(x) = 2Min∈
Đáp số: a hoặc 1= − 1 3a = +