Tích phân và ứng dụng

5. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 
I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản: 
Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C 
a ( hằng số) ax + C 
xα 
1
1
x
C
α
α
+
+
+
( )ax b α+ 
a
1 1( )
1
ax b
C
α
α
++
+
+
1
x
 ln x C+ 1
ax b+
 1 ln ax b C
a
+ + 
xa 
 ln
xa
C
a
+ 
xe xe C+ ax be + 1 ax be C
a
+ + 
sinx -cosx + C sin(ax+b) 
1 cos( )ax b C
a
− + + 
cosx Sinx + C cos(ax+b) 1 sin( )ax b C
a
+ + 
2
1
cos x
 tgx + C 2
1
cos ( )ax b+
 1 ( )tg ax b C
a
+ + 
2
1
sin x
 -cotgx + C 2
1
sin ( )ax b+
 1 cot ( )g ax b C
a
− + + 
'( )
( )
u x
u x
ln ( )u x C+ 
2 2
1
x a−
1 ln
2
x a
C
a x a
−
+
+
tgx 
ln cos x C− + 
2 2
1
x a+
 2 2ln x x a C+ + + 
cotgx ln sin x C+ 
Phương pháp 1: 
• Phân tích tích phân đã cho thành những tích phân đơn giản có công thức trong bảng nguyên 
hàm cơ bản. 
• Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức ... và biến đổi 
lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản. 
Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 
 1. 3 1( ) cos
1
f x x
x x
= +
+ −
. 2. 2
2x 5f(x)
x 4x 3
−
=
− +
. 
Phương pháp 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân 
Ví dụ: Tính các tích phân: 1. 5cos sinx xdx∫ . 2. cos
tgx
dx
x∫
. 3. 1 ln x dx
x
+
∫ . 
II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN 
1. Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [ ];a b . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) 
 thì: [ ]( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −∫ ( Công thức NewTon - Leiptnitz). 
2. Các tính chất của tích phân: 
• Tính chất 1: Nếu hàm số y = f(x) xác định tại a thì : ( ) 0
b
a
f x dx =∫ . 
18
• Tính chất 2: ( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −∫ ∫ . 
• Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên [ ];a b thì: ( )
b
a
cdx c b a= −∫ . 
• Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên [ ];a b và ( ) 0f x ≥ thì ( ) 0
b
a
f x dx ≥∫ . 
• Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ];a b và [ ]( ) ( ) x a;bf x g x≥ ∀ ∈ thì 
 ( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx≥∫ ∫ . 
• Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên [ ];a b và ( ) ( m,M là hai hằng số)m f x M≤ ≤ thì 
 ( ) ( ) ( )
b
a
m b a f x dx M b a− ≤ ≤ −∫ . 
• Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ];a b thì 
 [ ]( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ . 
• Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ];a b và k là một hằng số thì 
 . ( ) . ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx=∫ ∫ . 
• Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ];a b và c là một hằng số thì 
 ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ . 
• Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên [ ];a b cho trước không phụ thuộc vào biến số , 
nghĩa là : ( ) ( ) ( ) ...
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du= = =∫ ∫ ∫ 
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
1) 
1
3
0
x dx
(2x 1)+∫
 2) 
1
0
x dx
2x 1+∫
 3) 
1
0
x 1 xdx−∫ 4)
1
2
0
4x 11 dx
x 5x 6
+
+ +∫
5) 
1
2
0
2x 5 dx
x 4x 4
−
− +∫
 6) 
3 3
2
0
x dx
x 2x 1+ +∫
 7)
6
6 6
0
(sin x cos x)dx
pi
+∫ 8) 
32
0
4sin x dx
1 cosx
pi
+∫
9)
4
2
0
1 sin2xdx
cos x
pi
+
∫ 10) 
2
4
0
cos 2xdx
pi
∫ 11)
2
6
1 sin2x cos2xdx
sin x cosx
pi
pi
+ +
+∫
 12)
1
x
0
1 dx
e 1+∫
. 
13) dxxx )sin(cos4
0
44
∫ −
pi
 14) ∫
+
4
0 2sin21
2cos
pi
dx
x
x 15) ∫
+
2
0 13cos2
3sin
pi
dx
x
x 16) ∫
−
2
0 sin25
cos
pi
dx
x
x 
17) ∫
−+−
0
2
2 32
4 dx
xx
 18) ∫
++−
1
1
2 52xx
dx . 
Bài 2: 
19
1) 
3
2
3
x 1dx
−
−∫ 2) 
4
2
1
x 3x 2dx
−
− +∫ 3) 
5
3
( x 2 x 2 )dx
−
+ − −∫ 4) 
2
2
2
1
2
1x 2dx
x
+ −∫ 
5) 
3
x
0
2 4dx−∫ 6) 
0
1 cos2xdx
pi
+∫ 7) 
2
0
1 sin xdx
pi
+∫ 8) dxxx∫ −
2
0
2 . 
Bài 3: 
1) Tìm các số A,B để f(x) Asin x B= pi + thỏa mãn đồng thời các điều kiện =f '(1) 2 và 
2
0
f(x)dx 4=∫ . 
2) Tìm các giá trị của hằng số a để có đẳng thức : 
2
2 3
0
[a (4 4a)x 4x ]dx 12+ − + =∫ . 
III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : 
 1) DẠNG 1:Tính I = 
b
'
a
f[u(x)].u (x)dx∫ bằng cách đặt t = u(x). 
Công thức đổi biến số dạng 1: [ ] ∫=∫ )(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxuf 
Cách thực hiện: 
Bước 1: Đặt dxxudtxut )()( '=⇒= . 
Bước 2: Đổi cận : )(
)(
aut
but
ax
bx
=
=
⇒
=
=
. 
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được 
 [ ] ∫=∫= )(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxufI (tiếp tục tính tích phân mới). 
Tính các tích phân sau: 
1) 
2
3 2
0
cos xsin xdx
pi
∫ 2) 
2
5
0
cos xdx
pi
∫ 3)
4
2
0
sin4x dx
1 cos x
pi
+∫
 4)
1
3 2
0
x 1 x dx−∫ 
5) 
2
2 3
0
sin2x(1 sin x) dx
pi
+∫ 6) 
4
4
0
1 dx
cos x
pi
∫ 7) 
e
1
1 lnxdx
x
+
∫ 8) 
4
0
1 dx
cosx
pi
∫ 
9) 
e 2
1
1 ln xdx
x
+
∫ 10)
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx−∫ 11) 
6
2
0
cosx dx
6 5sin x sin x
pi
− +∫
 12) 
3 4
0
tg x dx
cos2x∫
13) 
4
0
cos sin
3 sin2
x x
dx
x
pi
+
+∫
 14) ∫
+
2
0 22 sin4cos
2sin
pi
dx
xx
x 15) ∫
−+ −
5ln
3ln 32 xx ee
dx 16) ∫
+
2
0
2)sin2(
2sin
pi
dx
x
x 
17) ∫
3
4
2sin
)ln(
pi
pi
dx
x
tgx 18) ∫ −
4
0
8 )1(
pi
dxxtg 19) ∫
+
−
2
4
2sin1
cossin
pi
pi
dx
x
xx 20) ∫
+
+2
0 cos31
sin2sin
pi
dx
x
xx 
21) ∫
+
2
0 cos1
cos2sin
pi
dx
x
xx 22) ∫ +
2
0
sin cos)cos(
pi
xdxxe x 23) ∫
−+
2
1 11
dx
x
x 24) ∫
+e dx
x
xx
1
lnln31 
'
20
25) ∫
+
−
4
0
2
2sin1
sin21
pi
dx
x
x 26)
8
2
3
1
1
dx
x x +
∫ 27) 
7 3
3 2
0 1
x
dx
x+
∫ 28) 
3
5 2
0
1x x dx+∫ 
29) 
ln2
x
0
1 dx
e 2+∫
 30) 
7
3
3
0
1
3 1
x
dx
x
+
+∫
 31) 
2
2 3
0
1x x dx+∫ 32) ∫
+
32
5 2 4xx
dx . 
 2) DẠNG 2: Tính I = 
b
a
f(x)dx∫ bằng cách đặt x = (t)ϕ . 
Công thức đổi biến số dạng 2: [ ]∫=∫= β
α
ϕϕ dtttfdxxfI
b
a
)(')()( 
Cách thực hiện: 
Bước 1: Đặt dttdxtx )()( 'ϕϕ =⇒= . 
Bước 2: Đổi cận : 
α
β
=
=
⇒
=
=
t
t
ax
bx
. 
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được 
 [ ]∫=∫= β
α
ϕϕ dtttfdxxfI
b
a
)(')()( (tiếp tục tính tích phân mới). 
Tính các tích phân sau: 
1) 
1
2
0
1 x dx−∫ 2) 
1
2
0
1 dx
1 x+∫
 3) 
1
2
0
1 dx
4 x−∫
 4)
1
2
0
1 dx
x x 1− +∫
5)
1
4 2
0
x dx
x x 1+ +∫
 6) 
2
0
1
1 cos sin
dx
x x
pi
+ +∫
 7) 
2
22
2
0
x dx
1 x−∫
 8) 
2
2 2
1
x 4 x dx−∫ 
9) 
2
3
2
2
1 dx
x x 1−∫
 10) 
3 2
2
1
9 3x dx
x
+
∫ 11) 
1
5
0
1
(1 )
x
dx
x
−
+
∫ 12) 
2
2
2
3
1
1
dx
x x −
∫ 
13) 
2
0
cos
7 cos2
x
dx
x
pi
+∫
 14) 
1 4
6
0
1
1
x
dx
x
+
+∫
 15) 
2
0
cos
1 cos
x
dx
x
pi
+
∫ 16) ∫ ++−
0
1
2 22xx
dx 
17) ∫
++
1
0 311 x
dx 18) ∫
−
−
2
1 5
1 dx
x
xx . 
IV. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: 
Công thức tích phân từng phần: 
 [ ]∫ ∫−=b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').( 
 Hay: [ ]∫ ∫−=b
a
b
a
b
a vduvuudv . 
Cách thực hiện: 
'
21
Bước 1: Đặt )(
)('
)('
)(
xvv
dxxudu
dxxvdv
xuu
=
=
⇒
=
=
. 
Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : [ ]∫ ∫−=b
a
b
a
b
a vduvuudv . . 
 Bước 3: Tính [ ]bavu. và ∫
b
a
vdu . 
Tính các tích phân sau: 
 1) 
2
5
1
ln xdx
x∫
 2) 
2
2
0
x cos xdx
pi
∫ 3) 
1
x
0
e sin xdx∫ 
 4) 
2
0
sin xdx
pi
∫ 5) 
e
2
1
x ln xdx∫ 6) 
3
2
0
x sin xdx
cos x
pi
+
∫ 
 7) 2
0
xsin x cos xdx
pi
∫ 8) 
4
2
0
x(2cos x 1)dx
pi
−∫ 9) 
2
2
1
ln(1 x)dx
x
+
∫ 
 10) 
1
2 2x
0
(x 1) e dx+∫ 11) 
e
2
1
(x ln x) dx∫ 12) 
2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
pi
+∫ 
 13) 2
1
ln
( 1)
e
e
x
dx
x +∫
 14) 
1
2
0
xtg xdx∫ 15) ∫ −
1
0
2)2( dxex x 
 16) ∫ +
1
0
2 )1ln( dxxx 17) ∫
e
dx
x
x
1
ln 18) ∫ +
2
0
3 sin)cos(
pi
xdxxx 
 19) ∫ ++
2
0
)1ln()72( dxxx 20) ∫ −
3
2
2 )ln( dxxx . 
V. MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG 
Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : 
a
a
f(x)dx 0
−
=∫ . 
 2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : 
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx
−
=∫ ∫ . 
Bài 2: CMR nếu f(t) là một hàm số liên tục trên đọan [0,1] thì: 
 a) 
2 2
0 0
f(sin x)dx f(cosx)dx
pi pi
=∫ ∫ . b) 
0 0
xf(sin x)dx f(sin x)dx
2
pi pi
pi
=∫ ∫ . 
ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau: 
1) 
n2
+
n n
0
cos x dx với n Z
cos x sin x
pi
∈
+∫
 2) 
42
4 4
0
cos x dx
cos x sin x
pi
+∫
 3) 
62
6 6
0
sin x dx
sin x cos x
pi
+∫
4) 5
0
xsin xdx
pi
∫ 5) 
2
2
2
4 sin
x cosx
dx
x
pi
pi
−
+
−
∫ 6) 
1 4
2
1
sin
1
x x
dx
x
−
+
+∫
7) 2
0
xsin x dx
4 cos x
pi
−
∫ 8) 
4 3
0
cos sinx x xdx
pi
∫ . 
22
Bài 3:CMR nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì +
0
( ) ( ) với R và a > 0
1x
f x
dx f x dx
a
α α
α
α
−
= ∈
+∫ ∫
; a 1≠ . 
ÁP DỤNG : Tính các tích phân sau: 
1) 
1 4
1 2 1
x
x
dx
−
+∫
 2) 
1 2
1
1
1 2x
x
dx
−
−
+∫
 3) 
2sin
3 1x
x
dx
pi
pi− +
∫ . 
VI .ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: 
Công thức: 
b
a
S f(x) g(x) dx = − ∫ 
Tính diện tích của các hình phẳng sau: 
1) (H1):
2
2
xy 4
4
xy
4 2

= −



=
 2) (H2) : 
2y x 4x 3
y x 3
 = − +

= +
 3) (H3):
3x 1y
x 1
y 0
x 0
− −
=
−

=

=


4) (H4):
2
2
y x
x y
 =

= −
5) (H5): 2
y x
y 2 x
 =

= −
 6) (H6):
2y x 5 0
x y 3 0
 + − =

+ − =
 7) (H7):
ln xy
2 x
y 0
x e
x 1

=

=

=

=
 8) (H8) : 
2
2
y x 2x
y x 4x
 = −

= − +
9) (H9):
2 3 3y x x
2 2
y x

= + −

 =
 10) (H10):
2y 2y x 0
x y 0
 − + =

+ =
 11) 





−=
=
)(
2:)(
:)(
Ox
xyd
xyC
 12) 





=∆
=
=
1:)(
2:)(
:)(
x
yd
eyC x
. 
VII. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY. 
Công thức: 
 [ ] dxxfV b
a
2
)(∫= pi 
Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0. 
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox. 
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y x;y 2 x;y 0= = − = . 
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy. 
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : 2y (x 2)= − và y = 4. 
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox. 
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : 2 24 ; 2y x y x= − = + . 
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox. 
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 
2
2
1 ;
1 2
x
y y
x
= =
+
. 
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox. 
a b0=y
)(:)( xfyC =ax =
bx =
x
y
O
23