Tài liệu tham khảo Bất đẳng thức đại số

tài liệu tham khảo 
bất đẳng thức đại số
I.Kiến thức cơn bản:
1.Các bất dẳng thức thông dụng:
a), .
b)Cho , ta có: .
 .
 c).
2.Đẳng thức liên quan:
a).
b) .
II.Các ví dụ :
Ví dụ 1: Chứng minh rằng , ta có : .
 Và .
 (Bất đẳng thức Cô-Si).
Chứng minh:
Ta có . Suy ra .
Vậy .
Và .
Ví dụ 2: Chứng minh rằng , ta có : .
 Và .
 (Bất đẳng thức Cô-Si).
Chứng minh:
Ta có .
Suy ra .
Vậy .
Và .
Ví dụ 3: Chứng minh rằng : .
 Dấu “=” xảy ra khi nào ?
 (Bất đẳng thức Bunhiacôxki ).
Chứng minh:
Ta có .
Suy ra .
Vậy . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
Ví dụ 4: Chứng minh rằng : 
, .
 Dấu “=” xảy ra khi nào ?
 (Bất đẳng thức Bunhiacôxki ).
Chứng minh:
: luôn đúng.
Ví dụ 5: Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng : 
a) .
b) ,với .
c).
d).
Dấu “=” xẩy ra khi nào ?
Ví dụ 6: Cho . Chứng minh rằng : .
Chứng minh:
Ta có . Suy ra .
Vậy . 
Ví dụ 7:Chứng minh rằng ta có : .
 Dấu “=” xảy ra khi nào ?
Chứng minh:
Ta có .
Suy ra . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . 
III.Các bài tập: 
Bài 1. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng :
a) .
b) . Dấu “=” xẩy ra khi nào ? 
Bài 2.Cho . Chứng minh rằng : .
Bài 3. Cho . Chứng minh rằng: .
Bài 4.Chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì, ta luôn có 
 .
(Hướng dẫn: Ta có ).
Bài 5. Cho x, y, z thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng : 
 .
Bài 6. Cho 3 số a, b, c bất kì, chứng minh rằng : 
 a) .
 b).
Hướng dẫn: ,
Dấu “=” xẩy ra khi .
 c);
 d) .
Bài 7.Cho a, b,c > 0. Chứng minh rằng : 
 .
(Hướng dẫn: Ta có ).
Bài 8.a)Cho . Chứng minh rằng : .
b)Cho . Chứng minh rằng : .
Hướng dẫn:
a).
b)áp dụng câu a) cho biểu thức 
áp dụng bất đẳng thức Cô si :
Bài 9.Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
 . Dấu “=” xẩy ra khi nào?
Hướng dẫn: 
Ta có . Suy ra .
Và . Dấu “=” xẩy ra khi a=b=c.
Bài 10.Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng 
 và .
Dấu “=” xẩy ra khi nào?
Bài 11.Cho x, y, z thuộc đoạn [0; 1] . Chứng minh rằng :
 .
Hướng dẫn:
Ta có .
và .
Bài 12.Cho 3 số dương . Chứng minh rằng : 
 .
Hướng dẫn:
Ta có . Suy ra .
Bài 13. Cho và . Chứng minh rằng : .
Hướng dẫn:
Suy ra .
Bài 14. Cho thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng : 
 .
Hướng dẫn:
.
Bài 15.Cho . Chứng minh rằng : .
Hướng dẫn:
mà .
Bài 16. Cho . Chứng minh rằng : 
 . 
Hướng dẫn: áp dụng (x, y >0 ).
Bài 17. Cho . Chứng minh rằng : 
 . 
Hướng dẫn: áp dụng (x, y >0 ).
Bài 18. Cho . Chứng minh rằng : 
 a) ; 
b) .
c). 
d).
Hướng dẫn:
a).
: luôn đúng.
b).
c).
Bài 19. Cho và . Chứng minh rằng : 
a) ; b) .
Hướng dẫn: 
a).
Đặt , với . Suy ra : luôn đúng.
Bài 20.(ĐH2011A)Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn: 
 .
(áp dụng bất đẳng thức : (). Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi hoặc ).
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi hoặc (1).
Đặt , với . Ta có .
Xét hàm số , với . Ta có .
Suy ra . Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi (2).
Suy ra . Từ (1) và (2) suy ra dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi : .
Vậy , khi : .
Bài 21.(ĐH2011B)Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 
 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 .
Hướng dẫn: 
Đặt , ta có .
Với 
.
Bài 22.(ĐH2009D)Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 23.(ĐH2009B)Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn:
. Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi .
Đặt , với 
Suy ra . Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi .
Suy ra . Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi .
Và . Xét hàm số , ta có .
Suy ra . Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi .
Suy ra . Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng ; khi .
Bài 24.(ĐH2009A)Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn , ta có .
Hướng dẫn:
Ta có .
Suy ra .
và (vì ).
Bài 25.(ĐH2005D)Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng
 .
Bài 26.(ĐH2005A)Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Hướng dẫn:
Ta có . Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x=y=z .
Tương tự ta có : ,
 .
Suy ra .
Bài 27.(ĐH2006A)Cho hai số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện 
 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Hướng dẫn:
Ta có .
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x=y .
Suy ra . Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi .
Và . Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi .
Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 64; khi .
Bài 28.Cho a là số cố định, còn x, y là các số thay đổi. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn: 
a)có nghiệm .
b)Với . Khi đó .
Đặt . Ta có . 
Suy ra .Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi .
Suy ra khi .
Vậy nếu thì giá trị nhỏ nhất của A bằng 0, 
 và nếu thì giá trị nhỏ nhất của A bằng .
Bài tương tự: Cho các số thực x, y thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Bài 29. Cho các số thực x, y thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn:
Ta có và . Suy ra .
và .
Đặt . Suy ra ; .
Bài 30.Cho các số thực x, y thỏa mãn , . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Hướng dẫn:
Ta có .
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi 6-2x=12-3y=2x+3y hay x=0, y=2.
Vậy maxA=36; khi x=0, y=2.
Bài 31.Cho các số thực x, y, z thỏa mãn , , . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Hướng dẫn:
Ta có: . Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x-3=3 hay x=6.
Tương tự . Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi y=8.
 . Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi z=4.
Bài 32.Cho các số thực x, y, z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn:
Ta có . Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x=y=z= . . 
Bài 33.Cho x, y, z > 0 và x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của .
Hướng dẫn:
Ta có . 
Mà .
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x=y=z=.
Suy ra . Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x=y=z=.
Bài 34.Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn: Đặt , , . Ta có xyz=1 và . Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x=y=z=1.
Bài 35.(HSG Tỉnh NA 2007)
a)Chứng minh rằng : .
b)Cho hai số thực x, y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất của biểu thức .
Bài 36.(HSG Tỉnh NA 2006)Cho các số thực x, y thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Bài 37.(HSG Tỉnh NA 2000)Cho hai số thực x, y thỏa mãn và m là số dương cho trước. Tìm giá trị lớn nhất của tổng .
Bài 38.(HSG Tỉnh NA 2008)Cho các số thực dương a, b, c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Hướng dẫn:
Ta có . 
Đặt . Ta có 
. Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi .
Suy ra . Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi .
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng ; khi .
Bài 39.(HSG Tỉnh NA 2009)Cho các số thực dương x, y, z . Chứng minh rằng 
 .
Hướng dẫn: 
Ta có 
. 
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi .
Đặt , với t>0. Ta có : luôn đúng.
Bài 40.(HSG Tỉnh NA 2010B)
a)Cho x, y là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
b)Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Hướng dẫn:
b)Đặt . Ta có . Dấu “=” xẩy ra khi . Suy ra .
Bài 41.(HSG Tỉnh NA2010A)
a)Cho x, y là các số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng .
b)Cho các số thực a, b, c không đồng thời bẳng 0, thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn:
b)Ta có . Suy ra 
. 
Đặt , , . Ta có 
.
Và .
Suy ra .
Xét hàm số , với . Ta có . 
Bài 42.Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn: 
Đặt . Ta có .Với .
Suy ra . Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x=y=z=1.
Bài 43.Cho các số thực dương x, y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 44.Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn .Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức .
Bài 45.Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Hướng dẫn: 
Ta có .
Xét hàm số , với . Ta có .
Bài 46.Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng .
Hướng dẫn:
Xét hàm số , với c>0. Ta có .
Đặt , . Suy ra .
Vậy .
Bài 47.(HSG12A-NA:2011-2012) 
Cho ba số thực thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn: 
 (1). 
Mà	
 	 (2).
Từ (1) và (2) suy ra 
 	(3).	
Từu giả thiết ta có	 	(4).
Mà 	(5).
	 (6).	
Từ (3), (4), (5) và (6) suy ra .
Dấu bằng xẩy ra khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là .
Bài 48.(HSG12B-NA:2011-2012)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
.
___________________________________________________________________
khai thác một số bất đẳng thức quen thuộc 
i.Phương pháp biến đổi tương đương:
Bài toán 1: Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng: .
1.1)Cho a, b là các số thực dương . Chứng minh rằng .
Hướng dẫn: 
Ta có . Suy ra .
1.2)Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
 . 
Hướng dẫn: 
Ta chứng minh . Thật vậy: 
.
Mà : luôn đúng.
1.3)Cho x, y, z là những số thực dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
.
1.4)Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn: 
Đặt . Ta có .Với .
Suy ra . Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x=y=z=1.
Bài toán 1.5: 
a)Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng 
 .
b)Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng 
 .
1.6)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
 .
Hướng dẫn: 
Ta có . Mà .
Suy ra .
Vậy .
1.7)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn:
Đặt , , . Ta có . Suy ra . 
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi hay . 
Suy ra . Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi hay . 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng , khi .
1.8)Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 .
Hướng dẫn: 
Đặt , , . Ta có . Suy ra . 
Bài toán 1.9: Cho a, b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng 
 .
Hướng dẫn:
.
 .
: luôn đúng.
1.10)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
 .
Hướng dẫn:
.
1.11)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn:
Đặt . Ta có và .
Bài toán 1.12:Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng 
 và .
Dấu “=” xẩy ra khi nào?
1.13)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
a).
b).
1.14)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
 và .
1.15)Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
1.16)Cho x, y là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài toán 1.17: Cho . Chứng minh rằng : 
 . 
Hướng dẫn: áp dụng (x, y >0 ).
1.18)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
.
1.19)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
.
1.20)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Hướng dẫn:
Suy ra . Dấu “=” xẩy ra khi .
Bài toán 1.21.Chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì, ta luôn có 
 .
(Hướng dẫn: Ta có ).
1.22)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn .Chứng minh rằng 
 .
1.23)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn .Chứng minh rằng 
 .
Bài toán 1.24:Cho a, b,c > 0. Chứng minh rằng : 
 .
(Hướng dẫn: Ta có ).
1.25)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn .Chứng minh rằng : 
 .
1.26)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn .Chứng minh rằng : 
 .
Bài toán 1.27:Cho . Chứng minh rằng : 
 .
Hướng dẫn:
Ta có .
: luôn đúng.
và .
1.28)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn .Chứng minh rằng : 
 .
1.29)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn .Chứng minh rằng : 
 .
II.Phương pháp đưa về hàm số một biến:
2.1)Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn:
Đặt , với .Ta có : .
Và .
2.2)Cho các số thực x, y, z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn: 
Đặt , với . Suy ra .
2.3)Cho các số thực a, b thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn:
Ta có . 
Đặt , với . Suy ra 
hay . Và , với .
2.4)Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
 thức .
Hướng dẫn: 
Ta có .
Đặt , với .
Và , với .
2.5)Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn:
. Đặt . Với .
2.6)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
 . Dấu “=” xẩy ra khi nào ?
Hướng dẫn:
. Dấu “=” xẩy ra khi 
Đặt . Với hay .Dấu “=” xẩy ra khi .
Xét hàm số , với .
2.7)Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn:
. Dấu “=” xẩy ra khi .
Đặt . Ta có với .
2.8)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn:
. Dấu “=” xẩy ra khi .
Đặt . Ta có 
và với .
2.9)Cho x, y là các số thực dương. Chứng minh rằng 
.
Hướng dẫn:
.
.
Đặt . Xét hàm số , với .
2.10)Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn:
. 
Đặt . Với . Ta có và 
Suy ra hay . Và , với .
2.11)Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
2.12)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn:
Đặt .
2.13)Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn:
Đặt , với hay .
Ta có , với .
.
,.
Suy ra khi hay .
và khi hay và .
2.14)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn .Chứng minh rằng . Dấu “=” xẩy ra khi nào ?
2.15)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
2.16)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
2.17)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
2.18)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
2.19)Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn:
Ta có 
.
và . Suy ra 
. Đặt , với .
Khi đó ,với .
.
Suy ra khi x=y=2; và khi .
2.20)Cho x, y là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn:
Ta có 
.
Và 2. Đặt , với .
Khi đó ,với 
.
.
Suy ra khi .
 khi hoặc 
 hoặc hoặc 
 .
2.21)Cho các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn:
Ta có 
.
và . Đặt , với .
2.22)Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn:
Ta có và 
.
Suy ra .
Đặt , với .Ta có =.
Xét hàm số =,với .
.
Suy ra khi ; khi .