Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT và Đại học - Chương 1 : Đạo hàm

Chương 1:	ĐẠO HÀM
1) KIẾN THỨC CƠ BẢN:
	+ Qui tắc tính đạo hàm:
	(uvw)’ = u’ v’w’
	(uv)’ = u’v + uv’
	+ Công thức đạo hàm:
Hàm số cơ bản
Hàm số hợp
c’ = 0
x’ = 1
(kx)’ = k
()’ = n
’ = 
 = 
(sinx)’ = cosx
(cosu)’ = -sinx
()’ = 
()’ = n.u’
’ = 
 = 
(sinu)’ = u’.cosu
(cosu)’= -u’. sinu
()’ = .u’
	+ Các đạo hàm thường gặp:
BÀI TẬP 
I) TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG CÔNG THỨC:
1) y = 	2) y= (x2+1)(x3+1)(x4+1)	3) y= (x2 – 3x+4)(x3-2x2+5x-3)
4) y = (x3 -3x3+3x+1)2 -2(x-1)3.	5) y = (x+1)2(x+2)3(x+3)4 	6) y = 
7) y = 	8) y = (x2 – 1 )6 , 	9) y = , 
10) y = (x-5)	11) y = 	12) y = ; 
13) y = 	14) y = , 	15) y = 
16) y = 	17) y = 	18) y = sin x3 + cos x4
19) y = sin3 x	 20) y = 	21) y = cos x – cos 3 x ; 
22) y = 3sin2x – sin3 x 	23) y = ; 	24) y = 
25) y = sin(cos x) + cos (sin x)	26) y = sin(sin(sin x))	27) y = x2. sin x2 - cos 22x ; 
28) y = sin5 3x + cos 5 3x ; 	29) y = 	30) y = (2-x2) cos x + 2xsin x
31) y = sin(cos2x) .cos (sin2x) ; 	32) y = ; 	33) y = tg(x/2) -cotg(x/4)
II) TOÁN CHỨNG MINH: 
1) f(x) = sinx + sin3x + sin5x : Gpt f '(x) = 0 
2) y = . CMR : 4(1+x2) f "(x) + 4xf '(x) - f(x) = 0
3) y = xsinx. CMR : x.y –2(y' -sinx ) + x2y'' = 0
4) y = . Chứng minh rằng: 
III) ĐẠO HÀM CẤP CAO: 
1) f(x) = . Tính f (30)(x)	2) f(x) = . Tính f (n)(x)	3) f(x) = sin ax . Tính f (n)(x)
4) f(x) = . Tính f (n)(x)	5) f(x) = cos ax . Tính f (n)(x)	6) f(x) =. Tính f ’’(x)
7) f(x) = x2.sin x . Tính f ’’’(x)	8) f(x) = x2.cos ax . Tính f (n)(x)
9) f(x) = . Tính f (n)(x) 	10) f(x) = . Tính f (n)(x)
IV) VI PHÂN: 
 	Cho hm số y = -2 . CMR : dy – dx = 0
V) CÁC PHÉP TOÁN ĐẠO HÀM: 
1) y = sin x + . GPT :f’(x) = 0	
2) f(x) = sin 3 2x , g(x) = 4cos 2x -5sin 4x . GPT: f ’(x) = g(x) 
Chương 2: HÀM SỐ
Chuyên đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ 
1. Hàm bậc 3 : y = ax3+bx2 +cx+d (a0)
- TXĐ : D= R
- y/ = ? 
- Cho y/ = 0, giải tìm nghiệm
- Tính đơn điệu, cực trị của hàm số
- Giới hạn: ?
-Bảng biến thiên
-Điểm đặc biệt 
-Đồ thị 
x
CT
CĐ
x2
x1
y’
y
0
0
+
+
-
x
CĐ
CT
x2
x1
y’
y
0
0
-
-
+
a < 0
a < 0
a < 0
a < 0
 x - x0 + x - x0 +
 y’ + 0 + y’ - 0 -
 + 
 y - 	 y + 
	 -
a > 0
a < 0
 x - + x - +
 y’ + y’ -
 + 
 y - 	 y + 
	 -
Ví dụ: (Đề thi TNTHPT 2009- GDTX) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 4 
Thang điểm chấm:
Đáp án
Điểm
Tập xác định: D = R
0,25
y’ = 3x2 - 6x
y’ = 0 3x2 - 6x = 0 
Hàm số đồng biến trên khoảng (-; 0), (2; +) và nghịch biến trên khoảng (0;2)
Hàm số đạt CĐ tại x = 0 và yCĐ = 4
Hàm số đạt CT tại x = 2 và yCĐ = 0
0,5
; 
0,25
Bảng biến thiên:
 x - 0 2 +
 y’ + 0 - 0 + 
 y 4 +
 - 0
0,5
Đồ thị: y
x = 0 y = 4
 y = 0 x = -1, x= 2 4
 0 2 x
2.Hàm trùng phương: y= ax4 + bx2 + c (a0)
- TXĐ : D= R
- y/ = ?
- Cho y/ = 0 giải tìm nghiệm
- Tính đơn điệu, cực trị của hàm số
- Giới hạn: ?
-Bảng biến thiên:
-Bảng xét dấu y//
-Điểm đặt biệt 
a > 0
a < 0
-Đồ thị
 x - x1 x2 x3 + x - x1 x2 x3 +
 y’ - 0 + 0 - 0 + y’ + 0 - 0 + 0 -
 + + CĐ CĐ
 y	 CT CĐ CT	 y	 
 - CT -
 a > 0 a < 0
 x - x0 + x - x0 +
 y’ - 0 + y’ + 0 -
 y + + y CĐ
 CT - - 
3.Hàm hữu tỷ bậc 1/bậc 1 : y =
-TXĐ: 
-TCĐ: x = -d/c 
-TCN: y = a/c
- y/ = 
- Tính đơn điệu, cực trị của hàm số
-Bảng biến thiên: 
-ĐĐB:
-Đồ thị: 
 x - -d/c + x - -d/c + 
 y’ + + y’ - - 
 + a/c a/c + 
 Y y 
 a/c - 	 	 - a/c
Ví dụ: (Đề thi TNTHPT 2009) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 
Thang điểm chấm:
Đáp án
Điểm
Tập xác định: D = R\{2}
0,25
y’ = -
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-; 2) và (2; +)
Hàm số không có cực trị
0,5
Tiệm cận:
TCN: y = 2 vì , 
TCĐ: x = 2 vì , 
0,5
Bảng biến thiên:
 x - 2 +
 y’ - - 
 y 2 +
 - 2 
0,25
Đồ thị:
x = 0 y = -
y = 0 x = -
 -1/2
 -1/2
0,5
Các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
1. y = 2x3 - 3x2 + 1	2. y = x3 - 3x + 5	3. y = x3 + 3x2 + 1
4. y = x3 - 3x2 + 1	5. y = x3 - 3x	6. y = x3 - x + 
7. y = x3 + 3x2 - 9x + 5	8. y = 2x3 + 3x2 - 12x - 1	9. y = - x3 + 3x2.
10. y = x4 - 2x2 + 1	11. y = x4 - 4x2 + 1	12. y = -x4 + 2x2 + 1
13. y = 	14. y = 	15. y = - x4 + 2x2.
16. y = x3 - x	17. y = x3 - x2.	18. y = y = x3 - 3x
19. y = - x4 + 2x2 + 3	20. y = -	21. y = 2x3 + 3x2 - 1
22. y = 	23. y = 	24. y = 
25. y = 	26. y = 	27. y = 
28. y = 	29. y = 	30. 
31. y = -x3 + 3x -2 	32. y = x4 – 2x2 +3	33. y = x3 + 3x2 + 1
Chuyên đề 2: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
1. Lý thuyết:
a) Định lý Lagrange:
Nếu hàm số f liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b) thì tồn tại ít nhất một điểm c Î (a,b) sao cho: = f’(c)
b) Tính đơn điệu của hàm số:
 Hàm số f(x) có đạo hàm trên (a,b):
 · f’(x) = 0; "x Î (a,b) Û f(x) = c "x Î (a,b).
 · Nếu f’(x) = 0 tại một số điểm hữu hạn thuộc (a, b) thì:
 + f’(x) ³ 0 Û f tăng trên (a,b).
 + f’(x) £ 0 Û f giảm trên (a,b).
c) Điều kiện để hs đơn điệu trên khoảng cho trước 
Tìm m để hs y = f(x,m) tăng ( giảm ) trên khoảng K
- Định m để f / (x,m) 
*Chú ý :
-Định lí về dấu của tam thức bậc 2 và so sanh các số với các nghiệm của tam thức 
-Chẳng hạn : f(x) = ax2 +bx + c
i) af(< 0x2 < < x2 
ii) af() = 0 x1= (x2 =)
iii) f(x) 
iii) f(x) 
2. Bài tập:
TÌM CÁC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU:
1) Xét tính đơn điệu của các hàm số:
a) y = 3x2 - 8x3.	b) y = 16x + 2x2 - - x4	c) y = x3 - 6x2 + 9x
d) y = x4 +8x2 + 5	e) y= x4 +8x3 + 5	f) y = 
2) Xét tính đơn điệu của các hàm số:
a) y = 	c) y = 	c) y = 
d) y = 	e) y = 
3) Xét tính đơn điệu của các hàm số:
a) f(x) = 	b) y = 	c) y = 
3) Xét tính đơn điệu của các hàm số:	
a) y = 	b) y = 	c) y = 
d) y = x - sinx trên [0; 2]	e) y= x + 2cosx trên 
TÌM M ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU:
1) Tìm m để cho hàm số y = tăng trên R. ĐS: m 4
3) Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định: 
a) y = ĐS : 0 	b) y = ĐS: m< 0
4) Xác định m để hàm số y = đồng biến trên R
5) Cho hàm số: y = x3 - 3(2m+1)x2 + (12m + 5)x + 2. Xác định m để hàm số đồng biến trên 
6) Xác định m để hàm số sau luôn nghịch biến: y = (m - 3)x - (2m + 1)cosx
HD : y/ =m-3-(2m+1)sinx,Đặt t= sinxf(t)= m-3-(2m +1) t
7) Cho hàm số: y= mx3-(m-1)x2+3(m-2)x+ .Tìm m để hàm số đồng biến trên R
8) ( ĐH N Thương -1997) Tìm m để hàm số : y= x3+ 3x2+(m+1) x nghịch biến trên R
9) (ĐHT lợi - 1997) .Tìm m để hàm số y =x3 + mx2+ (3m-2) x nghịch biến trên R
10) (ĐHKT- 1996) Tìm m để hàm số y = x3-mx2-(2m2-7m+7)x+2(m-1)(2m-3) đồng biến TXĐ 
11) (ĐHKT-1997) Tì m để hàm số y = đồng biến trên TXĐ của nó
12) (ĐHĐN - 1998) Tìm m để hàm số y = đồng biến trên TXĐ của nó 
13) (ĐHY Thái Bình-2000) Tìm m để hàm số y= x3 - 3x2 + 3mx + 3m + 4 đồng biến với mọi x
14) (VHQS -2000) Tìm m để hàm số y= x3 +(m-1)x2 + (m2-4)x +9 đồng biến với mọi x
15) Sử dụng tính đơn điệu để giải pt ; hpt ;bpt 
a) Gpt : x5 + x3 -+ 4 = 0 HD: ĐK : x Đặt f(x) = VP f/ (x) >0 Và f(-1)=0 x= -1 là nghiệm duy nhất 
b) (ĐHNT TP HCM -1997) Gpt : 
HD: Đặt f(x) = và f(1) = 0 suy ra x= 1
c) Gbpt: 
HD: ĐK: x Đặt f(x) = VT và f(3) = 8 f(x) <f(3) 
d) Tìm x, y thõa hệ : 
HD: : Đặt f(t) = t -cotgt; t f/ (t) >0 f(x) = f(y) ĐS x= y =
e) Chứng minh các bất đẳng thứ sau:
i) > lnx ; "x > 1
HD: f(x) = - lnx >0 ; "x > 1 
ii) ln(x + 1) > ; "x > 0
HD: f(x) = ln(x + 1) - ; "x > 0
iii) 2sinx + 2sinx ³ 2x+1 ; 0 < x < 
HD: 
Chuyên đề 3: 	CỰC TRỊ
1. Điều kiện cần để hàm số có cực trị:
Định lý Fermat:
Nếu f(x) có đạo hàm tại x0 và f(x) đạt cực trị tại x0 thì f’(x0) = 0.
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:
a) Dấu hiệu thứ nhất:
Cho y = f(x) có đạo hàm trên (a,b), x0 Î (a,b) và f’(x0) = 0.
Nếu khi qua x0 và f’(x) đổi dấu thì f(x) đạt cực trị tại x0.
x
 a x0 b
x
	a	x0	b
f’(x)
	-	0	+
f’(x)
-	0	+
f(x)
	a	x0	b
 CT
f(x)
 CĐ
Cách thực hiện: Lập bảng biến thiên từ đó suy ra điểm CĐ và CT
b) Dấu hiệu thứ hai: Cho y = f(x) có f’’(x) liên tục trên (a,b) và f’(x) = 0; x0 Î (a,b).
- Nếu f’’(x) > 0 thì y = f(x) đạt cực tiểu tại x0.
- Nếu f’’(x) > 0 thì y = f(x) đạt cực đại tại x0.
Cách thực hiện :
Bước 1: f / (x) = 0 x0
Bước 2: f // (x) = ?
Bước 3: -Nếu là hoành độ điểm CT
 	-Nếu là hoành độ điểm CĐ
 -Nếu thì xi chưa thể khẳng định là hoành độ điểm cực trị hay không ta phải sử dụng dấu hiệu I
1.Cực trị hàm bậc ba y = f(x) = ax3 +bx2+cx +d:
1. TXĐ: D = R
2. y / = 3ax2 + 2bx + c
3. Để hàm số y = f(x) có cực trị y = f(x) có CĐ ,CT y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt 
Kỹ năng tính cực trị : 
-Trường hợp 1: Nếu xCĐ;xCT là các số đơn giản thì ta thay trực tiếp vào y = f(x)
-Trường hợp 1: Nếu xCĐ;xCT là các số phức tạp (vô tỷ ) thì ta tính yCĐ, yCT theo thuật toán sau :
Bước 1: Thực hiện chia f(x) cho f/(x) ta có : 
 f(x) f /(x) f(x) = f / (x) .q(x) + r(x) 
 r(x) q(x) bậc 3 bậc 2 bậc 1 bậc 1
Bước 2: Do 
*Chú ý : Đường thẳng qua 2 điểm CĐ, CT có pt : y = r(x) 
2) Hàm số trùng phương y= ax4 + bx2 + c, a 0
	1. TXĐ: D = R
	2. y’ = 4ax3 + 2bx = x(4ax2 + 2b) 
	3. y’ = 0 
TH1: hàm số có 2 CT và 1 CĐ 
TH2: hàm số có 2 CĐ và 1 CT 
TH3: hàm số có đúng 1 CT 
TH4: hàm số có đúng 1 CĐ 
Bài tập :
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ:
1. Tìm cực trị của các hàm số:
a) y = x4 - 8x3 + 4	b) y = x4 - 5x2 + 3	c) y = x3 - 32 - 24x + 7
d) y = (x+1)3 (5-x)	e) y = (x+2)2(x-3)3.
2. Tìm cực trị của các hàm số:
a) 	b) y = 	c) y = 
d) y = x - 6	e) y = (7-x)	f) y = 
TÌM M ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ TẠI ĐIỂM x0: 
1. Tìm m để hàm số y = x3 +(m2 - m+2)x2 +(3m2+1)x + m - 5 đạt CT tại x = -2
2. Tìm m để hàm số y = x3 - 3mx2 +(m-1)x + 2 đạt CT tại x = 2
3. Tìm m để hàm số y = x3 +(m2 - m+2)x2 +(3m2+1)x đạt CĐ tại x = -2
4. Tìm m để hs : y = 1/3 x3 + (m2 - m+2)x2 + (3m2+1)x +m - 5 Đạt CTiểu tại x = 2 .
5. (CĐSP -TPHCM-1999) Tìm m để hàm số f(x) = x3 -3mx2+(m-1)x +2 đạt CTiểu tại x= 2
TÌM M ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ:
1.Cho hàm số y = 1/3 x3 +mx2+(m+6)x - (2m+1) . Tìm m để hàm số có CĐ ,CT : ĐS : m3
2. (Phân viện báo chí TPHCM -2001) 
Cho hàm số y= (m+2) x3 +3x2+mx - 5 . Tìm m để hàm số có CĐ ,CT : ĐS : -3<m-2<1
3. (Học viện ngân hàng TPHCM -2001) CMR y = 2 x3 -3(2m+1)x2+6m(m+1)x+1 luôn có CĐ ,CT với mọi m tại x1, x2 và x1 - x2 không phụ thuộc vào m. ĐS : x1 = m+1 ; x2= m
4. (ĐHBK-HN -2000) Tìm m để hàm số f(x) = mx3 +3mx2-(m-1)x -1 không có cực trị .
5. Tìm m để hs : y = 1/3 x3 + (m+3)x2 +4(m+3)x +m2- m Đạt CTrị tại x1, x2 thoã ĐK -1<x1<x2
HD: 
6. Tìm m để hàm số : y = 1/3 x3 + (m-2)x2 +(5m+4)x +m2+1 Đạt CTrị tại x1, x2 thõa ĐK x1 < - 1 < x2
 ĐS: m<-3
7. Cho hàm số y = x3 + mx2 -(1+n2)x - 5(m+n). CMR: hàm số đã cho luôn có cực trị với mọi m và n
8. Xác định m để hàm số y = x3 - mx2 + (m-)x + 5 có cực trị tại x = 1. Khi đó hàm số đạt CĐ hay CT? Tính cực trị đó.
*Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị (Dành cho thi đại học)
1. Viết pt đường thẳng qua 2 điể cực trị của hàm số y= x3- 3x2 -6x + 8 : ĐS: y= -6x + 6
2. Tìm m để hàm số y= 2x3 +3(m-1)x2 +6m(1-2m)x có CĐ ,CT nằm trên đt y= 4x 
HD: Bước 1: y/ = 0 có 2 nghiệm 
	Bước 2 : y= y/ g(x) + r(x) = -(3m-1)2x +m(m-1)(1-2m)
	Bước 3: Đồng nhất r(x) và y = -4x ĐS m= 1
3. Tìm để hàm số y= x3+mx2 +7x+3 có đồ thị đi qua CĐ,CT vuông góc (d) : y= 3x -7
HD: r(x) = 2/9(21-m2)x +3-7m/9 r(x) (d) m=
4. (ĐHTSản Nha Trang -1999) Cho hàm số y= 2x3 - 3(m+1) x2 +12(m2+m)x +1 .Tìm m để hàm số có CĐ,CT . Viết ptđt qua 2 điểm CĐ,CT
5. (H ...  độ 
	Hàm số có dạng :Y+yo=f(X+xo) Y=F(X)	 (1)
Bước 2: Đồ thị của hàm số y=f(x) nhận điểm I(xo;yo) làm tâm đối xứng
	hàm số Y=F(X) là hàm số lẻ 
	 hệ số bậc chẳng của hàm số bị triệt tiêu.
Bài toán 3:Tìm tâm đối xứng của đồ thị của hàm số y=f(x)
Bước 1:Giả sử điểm I(xo;yo) là tâm đối xứng
	Công thức biến đổi toạ độ 
	Hàm số có dạng :Y+yo=f(X+xo) Y=F(X)	 (1)
Bước 2: Đồ thị của hàm số y=f(x) nhận điểm I(xo;yo) làm tâm đối xứng
	hàm số Y=F(X) là hàm số lẻ 
	 hệ số bậc chẳng của hàm số bị triệt tiêu => xo,yo .
Bài toán 4:Tìm hai điểm A,B thuộc đồ thị hàm số y=f(x) đối xứng qua điểm I(xo;yo).
Bước 1:Lấy hai điểm A(xA;yA) ,B(xB;yB) thuộc đồ thị của hàm số .
Bước 2:Hai điểm A,B đối xứng qua I => toạ độ A,B.
Bài toán 5:Tìm phương trình của đường cong đối xứng với (C) :y=f(x) qua điểm I(xo;yo).
Bước 1:Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C) :y=f(x) qua điểm I(xo;yo).
 Khi đó mỗi điểm M(x;y)(H) M1(x1;y1) (C) sao cho M đối xứng với M1 qua I(xo;yo)
	x1,y1 thoả mản : (*)	
Bước 2: Khử x1,y1 từ hệ (*) ta được phương trình của đường cong (H)
Bài tập:
Bài 1:Chứng minh rằng đồ thị của hàn số y=x3-3x2+1 nhận điểm I(1;-1) làm tâm đối xứng 
Bài 2:Chứng minh rằng đồ thị của hàn số nhận điểm I(1;1) làm tâm đối xứng 
Bài 3:Xác định m để đồ thị hàm số y=-1/m x3+3mx2-2 nhận I(1;0) làm tâm đối xứng .
Bài 4:Cho hàm số .Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ
Bài 5 :Cho hàm số có đồ thị (C) .Tìm phương trình của đường cong đối xứng với đồ thị của (C) qua điểm I(1;1).
Bài 6:Cho hàm số .Chứng tỏ rằng đồ thị của hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng .
Bài 7:Cho hàm số .Chứng tỏ rằng đồ thị của hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng .
Bài 8:Cho hàm số .Xác định m để đồ thị hàm số nhận I(2;1) làm tâm đối xứng .
Bài 9:Cho hàm số Bài 4:Cho hàm số .Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ.
Bài 10:Cho hàm số y = x3-3mx2+(m2-1)x +1-m2 .Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ.
B.TRỤC ĐỐI XỨNG:
Bài toán 1:
Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y=f(x) nhận đường thẳng x=a làm trục đối xứng 
Phương pháp chung :
Bước 1 :Dùng công thức đổi trục 
Hàm số có dạng Y=f(X+a) Y=F(X).
Bước 2:Nhận xét rằng hàm số Y=F(X) là hàm số chẳng .
Bài toán 2:
Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y=f(x) nhận đường thẳng x=a làm trục đối xứng .
Phương pháp chung :
Bước 1 :Dùng công thức đổi trục 
Hàm số có dạng Y=f(X+a) Y=F(X).
Bước 2: Đồ thị hàm số y=f(x) nhận đường thẳng x=a làm tâm đối xứng Y=F(X) là hàm chẳn
Bài toán 3: 
Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y=f(x) nhận đường thẳngy=ax+b làm trục đối xứng 
Phương pháp chung :
Bước1:Gọi ()(d):y=ax+b => phương trình của đường thẳng ():y=x+m
d
A
B
Bước 2:Giả sử () cắt đồ thị của hàm số tại hai điểm A,B .Khi đó hoành độ của A,B là nghiệm của phương trình : f(x)= x+m f(x) +x-m=0
Sử dụng hệ thức Viét ta được 
Bước 3:Gọi I là trung điểm của A,B ta có :
Thay toạ độ của I vào (d) =>nhận xét I thuộc (d)
Vậy đường thẳng (d) là trục đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x).
Trong bài toán này ta không cần tìm điều kiện của m để phương trình f(x) +x- m = 0 có nghiệm 
Bài toán 4:
Tìm hai điểm A,B thuộc đồt thị hàm số y=f(x) đối xứng qua đường thảng (d) có phương trình y=ax+b
Phương pháp chung :
Bước 1:Tìm miền xác định D của hàm số y=f(x).
Bước2:Gọi ()(d):y= ax + b => phương trình của đường thẳng ():y =x+m
Bước 3:Giả sử () cắt đồ thị của hàm số tại hai điểm A,B .Khi đó hoành độ của A,B là nghiệm của phương trình : f(x)= x + m f(x) +x-m=0(1)
Để tồn tại A,B thì (1) có hai nghiệm phân biệt thuộc D điều kiện của tham số 
Sử dụng hệ thức Viét ta được 
Bước 4:Gọi I là trung điểm của A,B ta có :
Hai điểm A,b đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) điểm I thuộc (d) điều kiện của m.
Thay m vào (1)ta có được hoành độ của A,B là xA,xB
Khi đó :A(xA; xA+m),B(xB; xB+m).
Bài toán 5: 
Tìm đường cong đối xứng với (C):y=f(x) qua đường thẳng y= a.
Phương pháp chung :
Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C):y=f(x) qua đường thẳng y=a.
Bước 1:Mỗi điểm M(x;y) thuộc (H) tồn tại M1(x1;y1)thuộc (C) sao cho M đối xứng với M1qua đường thẳng y=a tồn tại x1,y1 thoả mản : (*)
Bước 2:Khử x1,y1 từ hệ (*) ta được phương trình của đường cong (H).
 Bài tập :
Bài 1:Chứng tỏ rằng đồ thị của hàm số y= x4-4x3 - 2x2+ 12x-1 có trục đối xứng .Từ đó tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành.
Bài 2: Xác định m để đồ thị hàm số y= x4 + 4mx3 -2x2 + 12mx có trục đối xứng song song với Oy.
Bài 3:Cho hàm số .Chứng minh rằng đồ thị của hàm số nhận đường thẳng y=x+2 làm trục đối xứng .
Bài4:Cho hàm số .Tìm hai điểm A,B trên đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng(d):y=x-1.
Bài 5:Cho hàm số (C).Tìm phương trình của đường cong đối xứng với đồ thị (C) qua đường thẳng y= 2.
Bài 6:Cho hàm số .Tìm hai điểm A,B nằm trên đồ thị và đối xứng với nhau qua đường thẳng (d):y= x+1.
Bài 7: Cho hàm số .Tìm hai điểm A,B nằm trên đồ thị và đối xứng với nhau qua đường thẳng (d):y= x+1.
Bài 8: Cho hàm số .Tìm hai điểm A,B nằm trên đồ thị và đối xứng với nhau qua đường thẳng (d):y= x.
Bài 9:Chứng tỏ phương trình với m>1 có hai nghiệm phân biệt có tổng không đổi 
Chuyên Đề 9: ĐỒ THỊ CỦA HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bài toán 1:Từ đồ thị của hàm số y=f(x) suy ra đồ thị của hàm số .
Phương pháp chung :
Tacó : 
Do đó đồ thi của hàm số gồm:
*Phần đồ thị của hàm số y=f(x) ở trên trục hoành
*Đối xứng phần đồ thị của hàm số y=f(x) ở dưới trục hoành qua trục hoành .
Bài tập :
Bài 1:Khảo sát vẽ đồ thị của hàm số y=x4-2x2-1(C).Từ đó vẽ đồ thị của hàm số (C’) .
Dùng đồ thị (C’) biện luận theo a số nghiệm của phương trình :
Bài2 :Khảo sát vẽ đồ thị của hàm số C).
Từ đó vẽ đồ thị của hàm số (C’) .
Bài 3:Khảo sát vẽ đồ thị của hàm số y=x3-3x2-6(C)..
Dùng đồ thị (C’) biện luận theo a số nghiệm của phương trình : 
Bài4 :Khảo sát vẽ đồ thị của hàm số C).
Từ đó vẽ đồ thị của hàm số (C’) .
Bài toán 2:Từ đồ thị của hàm số y=f(x) suy ra đồ thị của hàm số .
Phương pháp chung :
Tacó : và đồ thị của hàm số chẳn nên có trục dối xứng là Oy.
Do đó đồ thi của hàm số gồm:
*Phần đồ thị của hàm số y=f(x) ở bên phải Oy.
*Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy.
Bài tập:
Bài 1:Khảo sát vẽ đồ thị của hàm số y=x3+x-1(C).Từ đó vẽ đồ thị của hàm số (C’) Bài 2 :Khảo sát vẽ đồ thị của hàm số C).Từ đó vẽ đồ thị của hàm số (C’) . Dùng đồ thị (C’) biện luận theo m số nghiệm của phương trình : .
Bài 3 :Khảo sát vẽ đồ thị của hàm số C).Từ đó vẽ đồ thị của hàm số (C’)
Bài 4 :Khảo sát vẽ đồ thị của hàm số C).Từ đó vẽ đồ thị của hàm số (C’)
Bài toán 3:Từ đồ thị của hàm số y=f(x).g(x) (C) suy ra đồ thị của hàm số .g(x) (C’) .
Phương pháp chung :
Tacó : 
Do đó đồ thi của hàm số .g(x) gồm:
*Phần đồ thị(C) của hàm số y=f(x).g(x) trên miền 
*Đối xứng phần đồ(C)thị của hàm số y=f(x).g(x) trên miền qua trục hoành .
Bài tập :
Bài 1:Khảo sát vẽ đồ thị của hàm số y=2x3-3x2+1(C).Từ đó vẽ đồ thị của hàm số (C’)	
Bài 2 :Khảo sát vẽ đồ thị của hàm số C).Từ đó vẽ đồ thị của hàm số (C’)
Bài 3 :Khảo sát vẽ đồ thị của hàm số C).Từ đó vẽ đồ thị của hàm số (C’)
Dùng đồ thị (C’) biện luận số nghiệm của phương trình :
Bài 4:Khảo sát vẽ đồ thị của hàm số y=2x3-3x2+2(C).Từ đó vẽ đồ thị của hàm số (C’) Dùng đồ thị (C’) biện luận số nghiệm của phương trình : 
Bài toán4:Từ đồ thị của hàm số y=f(x) suy ra đồ thị của hàm số .
Phương pháp chung :
Nhận xét rằng điểm M(xo;yo)thuộc đồ thị => M(xo;-yo) cũng thuộc đồ thị nên đồ thị nhận Ox làm trục đối xứng 
Ta có : : thì y=f(x)
Do đó đồ thi của hàm số gồm:
*Phần đồ thị của hàm số y=f(x) ở trên trục hoành
*Đối xứng phần đồ thị trên qua trục hoành qua trục hoành	
Bài tập :
Bài 1:Khảo sát vẽ đồ thị của hàm số y=x4-2x2+1(C).Từ đó vẽ đồ thị của hàm số (C’)	
Bài 2:Khảo sát vẽ đồ thị của hàm số (C).Từ đó vẽ đồ thị của hàm số : (C’)	
Chuyên đề 10: Họ đồ thị đi qua các điểm cố định
1. Lý thuyết:
Cho hàm số f(x,m) (cm). Tìm điểm cố định của đồ thị (cm).
* A(x0,y0)m2 + B(x0,y0)m + C(x0,y0) = 0, "m Û 
Số nghiệm của hệ này chính là số điểm cố định của (Cm).
2. Các ví dụ:
1) Tìm điểm cố định của đồ thị (cm):
a) y = 2x3 - 3(m + 3)x2 + 18mx - 8. 	b) y = 2mx4 - mx2 - 4x + 1.
c) y = x3 - (m + 1)x2 - (12m2 - 3m + 2)x +2m(2m - 1).
d) y = (n ¹ 0, m ¹ -6)	e) y = 
2) Cho hàm số y = (Cm).
Tìm những điểm trên đường thẳng (D) : y = 1 mà (cm) không đi qua dùng bất kỳ giá trị m nào.
3) Tìm những điểm mà (cm) không đi qua "m Î R.
a) y = 	; b) y = 
4) Chứng minh rằng: (cm) : y = (m ¹ -1) tiếp xúc với đường thẳng cố định tại một điểm cố định.
Chuyên đề 11: Tập hợp điểm
1. Lý thuyết:
Để giải bài toán tập hợp điểm ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để tồn tại quỹ tích (giả sử: M(x,y)).
Bước 2: Tính x và y theo tham số (m): 
Bước 3: Khử tham số giữa x và y.
Bước 4: Giới hạn quỹ tích.
2. Các ví dụ:
1) Cho hàm số y = : (c) và đường thẳng (d) : y = + x + m.
a) Xác định m để (d) cắt (C) tại 2 giao điểm phân biệt A, B.
b) Tìm tập hợp quỹ tích trung điểm M của [AB] khi m thay đổi.
2) Cho (tt) : y = và (d) : y = kx + 4k + 1
Với giá trị nào của k, (d) cắt (tt) tại 2 điểm phân biệt A, B. Trong trường hợp này, tìm tập hợp trung điểm I của [AB] khi k thay đổi.
3) Cho hàm số y = 4x3 - 3x - 1 (C).
Tìm m để đường thẳng (d) qua A(-1,-2) có hệ số góc m, cắt (c) tại 3 điểm phân biệt. Tìm tập hợp trung điểm K của đoạn nối hai điểm lưu động khi m thay đổi.
4) Cho hàm số y = x4 - 2x2 + 4x (C).và y = ax (d)
Với giá trị nào của a, (c) và (d) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt. Tìm tập hợp trung điểm J của đoạn nối giao điểm lưu động khi a thay đổi.
Chuyên đề 12: Tập xác định của hàm số
-Phương pháp : Tìm tập xác định của hàm số y= f(x) là tìm tập hợp tất cả các gía trị của biến số x sao cho f(x) có nghĩa .
-Chú ý : 
- y= có nghĩa khi Q(x) 
- y= có nghĩa khi f(x) 
- y= logaf(x) có nghĩa khi 
- y= tg có nghĩa khi 
- y= Cotg có nghĩa khi 
Bài tập :Tìm tập xác định của các hàm số sau :
1. y= ĐS : x 
2. Tìm tập xác định hàm số :y= . ĐS: x Nhớ : logab.logbc=logac
3 . Tìm tập xác định hàm số : y=	ĐS :
5.y= . Xác định m để y xác định với mọi x (Đại Học Ngoại Thương)
	HD: Đặt t = sin2x t
6. Tìm tập xác định hàm số :y= 
7. Tìm tập xác định hàm số :y= ln[1-lg(x2-5x+16)]
8. Tìm tập xác định hàm số : y = 
9.Tìm m để hàm số: y= xác định với mọi x
10. Tìm tập xác định hàm số:y= ĐS(1;+)
11. Tìm tập xác định hàm số :log(x+3)(3-) ĐS(-2;4)
12. Tìm tập xác định hàm số: log2(x2+2/x/-1) ĐS:(
Chuyên đề 13: Tập giá trị của hàm số
* Phương pháp : 
Cho hs y= f(x) có tập xác định D thì tập gía trị của hs là tập hợp T=
*Bài tập:
1. Tìm tập giá trị hs: y= HD: (2y-3) x = y +5 ĐS : y
2. Tìm tập giá trị hs: y= HD: Đưa về pt bậc 2 , : y ĐS: [1/3;3]
3.Tìm tập giá trị hs : : y= x4-6x2+2 ĐS: [-7;2]
4. Tìm GTLN,GTNN củahàm số : y= 
 HD: ysinx +(y-2)cosx = 2y ĐS: Maxy=;Miny= 
5. Tìm GTLN,GTNN củahàm số: y= acos2x + bsin2x + sinxcosx
HD: y= , Dùng BĐT”BSC” cho 4 số ĐS 
6. ( ĐHSP Qui Nhơn –1999) Tìm GTLN,GTNN củahàm số: y= 
 HD: sinx-ycosx=2y , 
7. Tìm GTLN,GTNN của hàm số:y= 
HD: t = tgx/2 ; (y-1)t2 –(y-2)t+(3y-2) Buộc pt có nghiệm ĐS: