Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán

Taøi lieäu oân thi Tø äø äø ä oát nghieäp äää THPT moân Toaùn MATHVN.COM GV: Buøi Vaên Sônø êø êø ê 
MATH.COM.VN - Trang 1 – MATHVN.COM 
CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN 
* PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I (3,0 điểm) 
 - Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số. 
 - Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của 
hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có 
tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)... 
Câu II (3,0 điểm) 
 - Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. 
 - Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. 
 - Tìm nguyên hàm, tính tích phân. 
 - Bài toán tổng hợp. 
Câu III (1,0 điểm) 
 Hình học không gian (tổng hợp): Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; 
tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; diện tích mặt cầu và thể 
tích khối cầu. 
* PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) 
Thí sinh học chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2). 
Theo chương trình Chuẩn 
Câu IV.a (2,0 điểm): Phương pháp tọa độ trong không gian: 
 - Xác định tọa độ của điểm, vectơ. 
 - Mặt cầu. 
 - Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng. 
 - Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng 
và mặt cầu. 
Câu V.a (1,0 điểm) 
 - Số phức: môđun của số phức, các phép toán trên số phức; căn bậc hai của số thực âm; phương 
trình bậc hai hệ số thực có biệt thức Delta âm. 
 - Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. 
Theo chương trình Nâng cao 
Câu IV.b (2,0 điểm): Phương pháp tọa độ trong không gian: 
 - Xác định tọa độ của điểm, vectơ. 
 - Mặt cầu. 
 - Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng. 
 - Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường 
thẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. 
Câu V.b (1,0 điểm) 
 - Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức; căn bậc hai của số phức; phương trình 
bậc hai với hệ số phức; dạng lượng giác của số phức. 
 - Đồì thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax2 + bx +c) /(px+q ) và một số yếu tố liên quan. 
 - Sự tiếp xúc của hai đường cong. 
 - Hệ phương trình mũ và lôgarit. 
 - Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. 
------------- Hết -------------
Taøi lieäu oân thi Tø äø äø ä oát nghieäp äää THPT moân Toaùn MATHVN.COM GV: Buøi Vaên Sônø êø êø ê 
MATH.COM.VN - Trang 2 – MATHVN.COM 
MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ LƯỢNG GIÁC 
I. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ CUNG ĐẶC BIỆT 
Cung/ 
GTLG 
0 
( 00 ) 
6
pi
( 030 ) 
4
pi
( 045 ) 
3
pi
0(60 ) 
2
pi
0(90 ) 
2
3
pi
( 0120 ) 
3
4
pi
( 0135 ) 
5
6
pi
( 0150 ) 
pi 
( 0180 ) 
sin 
0 
1
2
2
2
3
2
1 
3
2
2
2
1
2
0 
cos 
1 
3
2
2
2
1
2
0 
1
2
− 
2
2
− 
3
2
− 
-1 
tan 
0 
3
3
1 
3 
|| 
3− 
-1 
3
3
− 
0 
cot 
|| 
3 
1 
3
3
0 
3
3
− 
-1 
3− 
|| 
II. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
1. Công thức cộng 
 cos( ) cos cos sin sin
 cos( ) cos cos sin sin
 sin( ) sin cos sin cos
 sin( ) sin cos sin cos
tan tan
 tan( ) ,( , , )
1 tan tan 2
tan tan
 tan( ) ,( ,
1 tan tan
pi
pi
− = +
+ = −
− = −
+ = +
+
+ = ≠ + ∈
−
−
− = ≠
+









 ℤ


a b a b a b
a b a b a b
a b a b b a
a b a b b a
a b
a b a b k k
a b
a b
a b a b
a b
, )
2
pi
pi+ ∈ℤk k
2. Công thức nhân đôi 
2 2 2 2
2
 sin 2 2sin cos
 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2 tan
 tan 2
1 tan
a a a
a a a a a
a
a
a
=
= − = − = −
=
−






3. Công thức hạ bậc 
2 2
2
1 cos2 1 cos 2
 cos tan
2 1 cos 2
1 cos 2
 sin
2
a a
a a
a
a
a
+ −
= =
+
−
=

 



4. Công thức biến đổi tích thành tổng 
[ ]
[ ]
[ ]
1
 cos cos cos( ) cos( )
2
1
 sin sin cos( ) cos( )
2
1
 sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= − + +
= − − +
= − + +






6. Các hằng đẳng thức lượng giác 
2 2
2
2
2
2
 sin 1
1
 1 tan , ,
2
1
 1 cot , ,
sin
 tan .cot 1, ,
2
a cos a
a a k k
cos a
a a k k
a
k
a a a k
pi
pi
pi
pi
+ =
+ = ≠ + ∈
+ = ≠ ∈
= ≠ ∈



 ℤ

 ℤ

 ℤ
5. Công thức biến đổi tổng thành tích 
 cos cos 2cos .cos
2 2
 cos cos 2sin .sin
2 2
 sin sin 2sin .cos
2 2
 sin sin 2cos .sin
2 2
sin( )
 tan tan
cos cos
sin( )
 cot cot
cos cos
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
+ −
+ =
+ −
− = −
+ −
+ =
+ −
− =
+
+ =
−
+ =












Taøi lieäu oân thi Tø äø äø ä oát nghieäp äää THPT moân Toaùn MATHVN.COM GV: Buøi Vaên Sônø êø êø ê 
MATH.COM.VN - Trang 3 – MATHVN.COM 
III. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 
Phương trình sinx = a Phương trình cosx = a 
 

2
sin sin ;
2
α pi
α
pi α pi
 = +
= = ⇔ ∈
= − +
ℤ
x k
x a k
x k
 

sin 2
sin ;
sin 2
x arc a k
x a k
x arc a k
pi
pi pi
 = +
= ⇔ ∈
= − +
ℤ 
 
 s s 2 ;α α pi= = ⇔ = ± + ∈ℤco x a co x k k 
 
 2 ;cosx a x arccosa k kpi= ⇔ = ± + ∈ℤ 
Phương trình tanx = a (ĐK: ,
2
x k k Z
pi
pi≠ + ∈ ) Phương trình cotx = a (ĐK: ,x k k Zpi≠ ∈ ) 
 
 tan tan ;α α pi= = ⇔ = + ∈ℤx a x k k 
 
 tan arctan ;x a x a k kpi= ⇔ = + ∈ℤ 
 
 cot t ;α α pi= = ⇔ = + ∈ℤx a co x k k 
 
 cot cot ;x a x arc a k kpi= ⇔ = + ∈ℤ 
IV. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 
1. Phương trình asinx + bcosx = c 
asinx + bcosx = c 2 2 sin( )a b x cα⇔ + + = . Trong đó 
2 2 2 2
;sina bcos
a b a b
α α= =
+ +
2. Phương trình 2 2a x b x x c x d+ + =sin sin cos cos 
 - Kiểm tra xem cosx = 0 có là nghiệm của phương trình không ?. 
 - Nếu cos 0x ≠ , chia cả 2 vế của phương trình cho 2cos x , ta được: 2 2tan (1 tan )a x btanx c d x+ + = + 
IV. MỘT SỐ CÔNG THỨC HAY DÙNG 
2 2 2 2
2
3 3
 sin cos 2 sin 2
4 4
 cos4x = 2cos 2 1 1 sin 2 sin 2 cos 2
 (sinx cosx) 1 sin 2
1
 sin cos (sin cos ) 1 sin 2
2
x x x cos x
x x x x x
x
x x x x x
pi pi   
+ = + = −   
   
− = − = −
± = ±
 
+ = + − 
 








6
3 3
4 4 2
4 4 2 2
6 2
1
 sin cos (sin cos ) 1 sin 2
2
1
 sin cos 1 sin 2
2
 sin cos sin cos
3
 sin cos 1 sin 2
4
x x x x x
x x x
x x x x
x x x
 
− = − + 
 
+ = −
− = −
+ = −








BẢNG ĐẠO HÀM 

 
'( )xα = 1.xαα − 

 
'1
x
 
 
 
= 2
1
x
− 

 
'( )x = 1
2 x

 (sinx)’ = cosx 

 (cosx)’ = - sinx 

 (tanx)’ = 2
1
cos x

 (cotx)’ = 2
1
sin x
− 

 
'( )uα = 1. '.u uαα − 

 
'1
u
 
 
 
= 2
'u
u
− 

 
'( )u = '
2
u
u

 (sinu)’ = u’.cosu 

 (cosu)’ = -u’.sinu 

 (tanu)’ = 2
'
cos
u
u

 (cotu)’ = 2
'
sin
u
u
− 

 
')( xe = ex 

 
')( xa = ax.lna 

 (ln| x |)’ = 
x
1

 (loga| x |)’ = 1lnx a 

 
')( ue = u’.eu 

 
')( ua = u’.au.lna 

 (ln| u |)’ = 
u
u'

 (loga| u |)’ = 
au
u
ln
'
 
 (u ± v)’ = u’ ± v’ 
 
 (uv)’ = u’v + v’u 
 
 (ku)’ = k.u’ 
 

'
u
v
 
 
 
 = 2
' 'u v v u
v
−
 
 2
. .
' ( )
ax b a d b cy y
cx d cx d
+ −
= ⇒ =
+ +
Taøi lieäu oân thi Tø äø äø ä oát nghieäp äää THPT moân Toaùn MATHVN.COM GV: Buøi Vaên Sônø êø êø ê 
MATH.COM.VN - Trang 4 – MATHVN.COM 
Chương I KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
I. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 3, BẬC 4 
1. Các bước khảo sát 
 - Tập xác định: D = R ; 
 - Tính đạo hàm y’, giải phương trình y’ = 0 và tìm các điểm cực trị ; 
 - Tính các giới hạn lim
x
y
→−∞
 ; lim
x
y
→+∞
 ; 
 - Lập BBT, nhận xét về tính đơn điệu và cực trị của đồ thị hàm số ; 
 - Vẽ đồ thị. 
 Tìm điểm đặc biệt: Tâm đối xứng của đồ thị, giao với các trục Ox, Oy  
2. Các dạng của đồ thị 
Hàm số bậc 3 Hàm số bậc 4 
Có cực đại và cực tiểu Có cực đại và cực tiểu 
a > 0 a 0 a < 0 
Không có cực trị Có cực đại hoặc cực tiểu 
a > 0 a 0 a < 0 
3. Các ví dụ 
Hàm số bậc ba Hàm số bậc bốn 
Ví dụ : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 
3 23 4y x x= + − 
Giải 
* Taäp xaùc ñònh: D = R 
* Đạo hàm: 2' 3 6 3 ( 2)y x x x x= + = + 
 Cho 
0 4
' 0 3 ( 2) 0
2 0
x y
y x x
x y
= ⇒ = −
= ⇔ + = ⇔ 
= − ⇒ =
* Giới hạn: lim
x
y
→−∞
= −∞ ; lim
x
y
→+∞
= +∞ 
* Baûng bieán thieân: 
Ví dụ : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 
4 22 3y x x= − − 
Giải 
* Taäp xaùc ñònh: D = R 
* Đạo hàm: 3 2' 4 4 4 ( 1)y x x x x= − = − 
 Cho 2
1 4
' 0 4 ( 1) 0
0 3
x y
y x x
x y
= ± ⇒ = −
= ⇔ − = ⇔ 
= ⇒ = −
* Giới hạn: lim
x
y
→−∞
= +∞ ; lim
x
y
→+∞
= +∞ 
* Baûng bieán thieân: 
PHẦN GIẢI TÍCH 
Taøi lieäu oân thi Tø äø äø ä oát nghieäp äää THPT moân Toaùn MATHVN.COM GV: Buøi Vaên Sônø êø êø ê 
MATH.COM.VN - Trang 5 – MATHVN.COM 
x −∞ -2 0 + ∞ 
y’ + 0 - 0 + 
y 0 +∞ 
−∞ -4 
* Nhận xét : 
 + HS đồng biến trên ( ; 2)€−∞ − và (0; )+∞ , nghịch 
biến trên (-2 ; 0). 
 + HS đạt cực đại tại x = -2 ; yCĐ = 0, đạt cực tiểu 
tại x = 0 ; yCT = -4. 
* Đồ thị: 
 + Ñoà thò nhaän ñieåm I(-1 ; -2) laøm taâm ñoái xöùng. 
 + Cho 1 0x y= ⇒ = . 
 + Cho 3 4x y= − ⇒ = − . 
x −∞ -1 0 1 + ∞ 
y’ - 0 + 0 - 0 + 
y +∞ -3 +∞ 
 -4 -4 
* Nhận xét: 
 + HS đồng biến trên ( 1;0)− và (1; )+∞ , nghịch 
biến trên ( ; 1)−∞ − và (0;1) . 
 + HS đạt cực đại tại x = 0 ; yCĐ = -3, đạt cực tiểu 
tại x = 1± ; yCT = -4. 
* Đồ thị: 
 + Cho 2 5x y= − ⇒ = . 
 + Cho 2 5x y= ⇒ = . 
II. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC ax by
cx d
+
=
+
, 
d
x
c
 
 
 
≠ − 
Các bước khảo sát Ví dụ 
* TXĐ: D = \ dR
c
 
 
 
− . 
* Tính đạo hàm ' 2( )
ad bcy
cx d
−
=
+
. 
* Giới hạn, tiệm cận. 
 lim ?
d
x
c
y
+
→−
= , lim ?
d
x
c
y
−
→−
= ⇒ Tiệm cận đứng: dx
c
= − . 
 lim
x
ay
c→+∞
= , lim
x
ay
c→−∞
= ⇒Tiệm cận ngang: y = a
c
. 
* Lập bảng biến thiên. 
y’ > 0 y’ < 0 
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 
1
1
xy
x
+
=
−
Giải 
* Tập xác định: \{1}D = ℝ 
* Đạo hàm: 2
2
' 0( 1)y x
−
= <
−
x D∀ ∈ . 
* Giới hạn, tiệm cận: 
+ Vì 
1 1
1 1lim ; lim
1 1x x
x x
x x+ −→ →
+ +
= −∞ = +∞
− −
 neân TCÑ: x = 1. 
+ Vì 1lim 1
1x
x
x→±∞
+
=
−
 neân tieäm caän ngang laø y = 1. 
* Baûng bieán thieân: 
x −∞ 1 + ∞ 
y’ - - 
y 1 +∞ 
 −∞ 1 
Taøi lieäu oân thi Tø äø äø ä oát nghieäp äää THPT moân Toaùn MATHVN.COM GV: Buøi Vaên Sônø êø êø ê 
MATH.COM.VN - Trang 6 – MATHVN.COM 
* Vẽ đồ thị. 
Tìm điểm đặc biệt: giao với trục Ox, Oy. 
Lưu ý: 
- Đồ thị đối xứng qua điểm I là giao điểm của 
TCĐ và TCN. 
- Trục hoành: y = 0. 
- Trục tung: x = 0. 
* Nhận xét: 
+ HS luôn nghịch biến trên ( );1−∞ và ( )1;+∞ . 
+ HS không có cực trị. 
* Đồ thị: 
 + Cho 0 1x y= ⇒ = − . 
 + Cho 0 1y x= ⇒ = − . 
BÀI TẬP 
Bài tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 
1. 3 23 1y x x= + − 
2. 3 23 1y x x= − + 
3. 3 23y x x= + 
4. 3 23 2y x x= − + 
5. 3 22 3y x x= − 
6. 3 26 9y x x x= − + 
7. 3 23y x x= − + 
8. 3 22 3 1y x x= − + + 
9. 3 23 1y x x= − + − 
10. 3 3 2y x x= − + − 
11. 3 23 2= − − +y x x 
12. 3 23 4= − + −y x x 
13. 3 26 9 1= − + −y x x x 
Bài tập 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 
1. 4 22 1y x x= − − 
2. 2 42y x x= − 
3 ... 2 = 0. 
Dạng 5: Song song với mp(Q): Ax + By + Cz + D 
= 0 và tiếp xúc với (S): 
( ) ( ) ( )2 2 2 2x a y b z c R− + − + − = . 
Phương pháp 
- Mp(P) có dạng : Ax + By + Cz + d = 0 
- Khi đó (P) tiếp xúc với (S) ( , ( ))d I P R⇔ = 
2 2 2
Aa Bb Cc d
R
A B C
+ + +
⇔ =
+ +
. 
- Giải tìm được d, thay vào phương trình mp(P) để 
được phương trình mặt phẳng cần tìm. 
Ví dụ : Lập phương trình mặt phẳng (P) song song 
với mp(Q): 2x + 2y – z + 1 = 0 và tiếp xúc với 
mặt cầu (S): ( ) ( ) ( )− + + + + =2 2 21 2 1 4x y z . 
Giải 
Mặt cầu (S) có tâm I(1 ; - 2; - 1), bán kính R = 2. 
Do mp(P) song song mp(Q) nên mp(P) có phương 
trình dạng: 2x + 2y – z + D = 0. 
Mà mp(P) tiếp xúc với (S) nên 
( , ( )) =d I P R ( ) ( )
( )22 2
2.1 2. 2 1
2
2 2 1
D+ − − − +
⇔ =
+ + −
5
1 6
7
D
D
D
=
⇔ + = ⇔ 
= −
Vậy mp(P): 2x + 2y – z + 5 = 0 
 và 2x + 2y – z - 7 = 0. 
Taøi lieäu oân thi Tø äø äø ä oát nghieäp äää THPT moân Toaùn MATHVN.COM GV: Buøi Vaên Sônø êø êø ê 
MATH.COM.VN - Trang 34 – MATHVN.COM 
Bài 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
1. Phương trình tham số của đường thẳng 
 Đường thẳng (d) đi qua điểm M 0 0 0( ; ; )x y z và có 
VTCP a
 ( 1 2 3; ;a a a ). 
 VTCP a

 là vectơ có giá song song hoặc trùng 
với (d). 
2. Phương trình chính tắc của đường thẳng 
 Đường thẳng (d) đi qua điểm 0 0 0 0( ; ; )M x y z và có 
VTCP a
 ( 1 2 3; ;a a a ). 
0 0 0
1 2 3
− − −
= =
x x y y z z
a a a
3. Phương trình đoạn thẳng AB 
 Cho ( ; ; )A A AA x y z , ( ; ; )B B BB x y z ta có phương 
trình đoạn thẳng AB là: 
A A A
B A B A B A
x x y y z z
x x y y z z
− − −
= =
− − −
4. Điều kiện để 2 đường thẳng song song, cắt 
nhau, chéo nhau 
 Gọi 1 2 3( ; ; )a a a a=

 và ' ' '1 2 3' ( ; ; )a a a a=

 lần lượt là 
VTCP của d và d’, lấy điểm 0 0 0( ; ; )M x y z d∈ . Khi 
đó: 


'// '
'
a kad d
M d



=
⇔
∉
 
 ; ''
'
a kad d
M d



=
≡ ⇔
∈
 

d cắt d’ 
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
' '
'
' '
'
' '
'
x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a







+ = +
⇔ + = +
+ = +
 có đúng 1 n0. 

d chéo d’ a 'ka⇔ ≠
 
 và 
' '
0 1 0 1
' '
0 2 0 2
' '
0 3 0 3
'
'
'
x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a
 + = +

+ = +
 + = +
vô nghiệm. 
5. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt 
phẳng 
 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng 
( )α : Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng 
d: 
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t
= +

= +

= +
. 
Xét phương trình: 
0 1 0 2 0 3( ) ( ) ( ) 0A x a t B y a t C z a t D+ + + + + + = (1) 
• Nếu (1) vô nghiệm ⇒ d // ( )α . 
• Nếu (1) vô số nghiệm ⇒ d ≡ ( )α . 
• Nếu (1) có một nghiệm ⇒ d cắt ( )α tại 
điểm M( 0 1 0 2 0 3; ;x a t y a t z a t+ + + ). 
6. Điều kiện để đường thẳng (d) ( )α⊥ 
 Cho VTCP của (d) là a , VTPT của ( )α là n 
( ) ( ) ; 0 (0;0;0)d a nα  ⊥ ⇔ = = 
  
. 
7. Góc giữa 2 đường thẳng 1( )d và 2( )d 
 Trên 1( )d lấy VTCP 1 1 2 3( ; ; )a a a a=

. 
 Trên 2( )d lấy VTCP 2 1 2 3( ; ; )a b b b=

. 
8. Góc giữa đường thẳng (d) và mp ( )α 
 Trên ( )d lấy VTCP 1 2 3( ; ; )a a a a=

. 
 Trên ( )α lấy VTPT ( ; ; )n A B C=

. 
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t
= +

= +

= +
 ; t ∈ℝ 
1 1 2 2 3 3
1 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
| |
cos( ; )
.
a b a b a bd d
a a a b b b
+ +
=
+ + + +
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
| |
sin( ; )
.
a A a B a Cd
a a a A B C
α
+ +
=
+ + + +
Taøi lieäu oân thi Tø äø äø ä oát nghieäp äää THPT moân Toaùn MATHVN.COM GV: Buøi Vaên Sônø êø êø ê 
MATH.COM.VN - Trang 35 – MATHVN.COM 
LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
Dạng toán Ví dụ 
Dạng 1: Qua một điểm 0 0 0( ; ; )M x y z và có vectơ 
chỉ phương ( ); ;u a b c= . 
Phương pháp: Phương trình tham số đường thẳng 
(d) là: 
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +

= +

= +
 (t là tham số) 
Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua 
hai điểm A(- 1 ; 0; 2) ; B(1; -1 ; 1) 
Giải: Ta có ( )2; 1; 1= − −AB là VTCP của đường 
thẳng (d) và (d) đi qua A(- 1 ; 0; 2). 
Vậy phương trình tham số đường thẳng (d) là: 
d: 
1 2
0
2
= − +

= −

= −
x t
y t
z t
(t là tham số). 
Dạng 2: Đi qua một điểm 1 1 1( ; ; )M x y z và song song 
với đường thẳng (d’): 
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +

= +

= +
Phương pháp 
- Ta có VTCP của (d’) là ( )
'
; ;du a b c=

- Hai đường thẳng song song nhau nên chúng có 
cùng VTCP . Do đó VTCP của (d) là 
( )
'
; ;d du u a b c= =
 
Vậy phương trình đường thẳng (d): 
1
1
1
x x at
y y bt
z z ct
= +

= +

= +
Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng (d) qua điểm 
M(2; -1; 0) và song song với đường thẳng 
d’: 
1
2
3
x t
y t
z
= +

= −

=
 (t là tham số). 
Giải 
Đường thẳng (d’) có VTCP là ( )
'
1; 2;0= −

du . 
Vì d // d’ nên (d) có VTCP là ( )1; 2;0du = −

. 
Vậy phương trình tham số đường thẳng (d) là: 
d: 
2
1 2
0
= +

= − −

=
x t
y t
z
 (t là tham số) 
Dạng 3: Đi qua một điểm 1 1 1( ; ; )M x y z và vuông 
góc với mp(P): Ax + By + Cz + D = 0. 
Phương pháp 
- Ta có VTPT của mp(P) là ( ); ;n A B C= . 
- Đường thẳng (d) vuông góc với mp(P) nên có 
VTCP là ( ); ;u n A B C= =  
- Vậy phương trình đường thẳng (d): 
1
1
1
x x At
y y Bt
z z Ct
= +

= +

= +
Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng (d) qua điểm 
M(1 ; 2 ; -1) và vuông góc với mp(P): 
2x + 3y – 4 = 0 . 
Giải 
Mp(P) có VTPT là ( )2;3;0=Pn . Vì đường thẳng 
(d) vuông góc mp(P) nên có VTCP là ( )2;3;0du =

. 
Vậy phương trình tham số đường thẳng (d) là: 
d: 
1 2
2 3
1
= +

= +

= −
x t
y t
z
 (t là tham số) 
Dạng 4: Đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc 
của đường thẳng (d): 
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +

= +

= +
 lên mp(P): 
Ax + By + Cz + D = 0. 
Phương pháp 
- Đường thẳng d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng 
(P) và mặt phẳng (Q) chứa (d) và vuông góc với 
Ví dụ: Viết phương trình hình chiếu d’ của đường 
thẳng (d): 
2
1
3
=

= −

= +
x
y t
z t
 lên mp(P): x - y -2 = 0. 
Giải 
Gọi mp(Q) chứa (d) và vuông góc với (P). 
Mà đường thẳng (d) đi qua M(2 ; 1; 3) và có VTCP 
là ( )0; 1;1= −du 
Taøi lieäu oân thi Tø äø äø ä oát nghieäp äää THPT moân Toaùn MATHVN.COM GV: Buøi Vaên Sônø êø êø ê 
MATH.COM.VN - Trang 36 – MATHVN.COM 
(P). Khi đó mp(Q) lập như Dạng 3. Giả sử có 
phương trình A’x + B’y + C’z + D’ = 0. 
- Nên những điểm nằm trên d’ thỏa hệ: 
0
' ' ' ' 0
+ + + =

+ + + =
Ax By Cz D
A x B y C z D
 (*) . 
- Cho x = t, (hoặc y = t, hoặc z = t), thay vào hệ 
phương trình (*) giải hệ tìm được y và z theo t 
(hoặc x, z theo t, hoặc x, y theo t). 
- Từ đó có x, y, z theo t chính là phương trình hình 
chiếu. 
Mặt phẳng (P) có VTPT là ( )1; 1;0= −Pn . Do đó 
mp(Q) qua M(2 ; 1; 3), nhận ( ); 1;1;1 = = 
  
d Pn u n 
làm VTPT có phương trình là: x + y + z - 6 = 0. 
Nên tọa độ những điểm thuộc d’ thỏa mãn hệ: 
6 0
2 0
+ + − =

− − =
x y z
x y
. 
Cho x = t, suy ra y = -2 + t và z = 8 – 2t 
Vậy phương trình hình chiếu (d’) là: 2
8 2
=

= − +

= −
x t
y t
z t
. 
 TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d): 
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +

= +

= +
 và mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 
Phương pháp: Tọa độ giao điểm (x ; y ; z) là nghiệm của hệ phương trình: 
0
0
0
 (1)
 (2)
 (3)
0 (4)
= +

= +

= +
 + + + =
x x at
y y bt
z z ct
Ax By Cz D
. 
Thay (1), (2), (3) vào phương trình (4) ta tìm được t . 
Thay t vừa tìm được vào (1), (2), (3) ta được tọa độ giao điểm. 
Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d): 
2
1
3
=

= −

= +
x t
y t
z t
 và mp(P): x + y + z – 10 = 0. 
Giải 
Tọa độ giao điểm (x ; y ; z) là nghiệm của hệ phương trình: 
2 (1)
1 (2)
3 (3)
10 0 (4)
=

= −

= +
 + + − =
x t
y t
z t
x y z
Thay (1), (2), (3) vào phương trình (4), ta được: 
(2t) + (1 – t) + (3 + t) – 10 = 0 ⇒ t = 3 . 
Thay t = 3 vào (1), (2), (3) ta được x = 6 ; y = -2 ; z = 6. 
Vậy tọa độ giao điểm là M(6 ; - 2 ; 6). 
Taøi lieäu oân thi Tø äø äø ä oát nghieäp äää THPT moân Toaùn MATHVN.COM GV: Buøi Vaên Sônø êø êø ê 
MATH.COM.VN - Trang 37 – MATHVN.COM 
TỌA ĐỘ HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MẶT PHẲNG 
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm ( )0 0 0; ;M x y z lên mp(P): Ax + By + Cz + D = 0. 
Phương pháp 
- Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm ( )0 0 0; ;M x y z và vuông góc với mp(P). Khi đó phương 
trình đường thẳng (d) là: 
0
0
0
= +

= +

= +
x x At
y y Bt
z z Ct
 . 
- Tọa độ hình chiếu chính là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) với mp(P). 
Ví dụ: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm ( )2; 1;0−M lên mp(P): x + 2y – z + 2 = 0. 
Hướng dẫn 
Đường thẳng (d) đi qua ( )2; 1;0−M và vuông góc với mp(P): x + 2y – z + 2 = 0 có phương trình là: 
2
1 2
= +

= − +

= −
x t
y t
z t
. Tọa độ hình chiếu H(x ; y ; z) là nghiệm của hệ: 
2 1/ 3
1 2 5 / 3
5 / 3
2 2 0 1/ 3
x t t
y t x
z t y
x y z z
= + = − 
 
= − + = 
⇔ 
= − = − 
 + − + = = 
. 
Vậy toạ độ giao điểm là H(5/3 ; -5/3 ; 1/3). 
TỌA ĐỘ HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA MỘT ĐIỂM LÊN ĐƯỜNG THẲNG 
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm ( ); ;M M MM x y z lên đường thẳng (d): 
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +

= +

= +
. 
Phương pháp 
- Lập phương trình mp(P) đi qua điểm ( ); ;M M MM x y z và vuông góc với đường thẳng (d). Khi đó phương 
trình mp(P) là: ( ) ( ) ( ) 0M M Ma x x b y y c z z− + − + − = . 
- Tọa độ hình chiếu chính là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) với mp(P). 
Ví dụ: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm ( )1;2; 1−M lên đường thẳng (d): 
1 3
2 2
2 2
= − +

= − −

= +
x t
y t
z t
. 
Hướng dẫn 
 Mp(P) đi qua ( )1;2; 1−M và vuông góc với (d) có phương trình là: 3x – 2y + 2z + 3 = 0. 
 Tọa độ hình chiếu H(x ; y ; z) là nghiệm của hệ: 
1 3
2
2 2
3 2 2 3 0
= − +

= − −

= +

− + + =
x t
y t
z t
x y z
. KQ 13 22 14; ;
5 15 15
H  − − 
 
---------------------------------------- Hết chương III --------------------------------------- 
Taøi lieäu oân thi Tø äø äø ä oát nghieäp äää THPT moân Toaùn MATHVN.COM GV: Buøi Vaên Sônø êø êø ê 
MATH.COM.VN - Trang 38 – MATHVN.COM 
Lôøi Nhaén 
1. Để ôn tập có trọng tâm, các em cần ôn tập bám sát theo các dạng toán mà cấu trúc đề thi đã 
đưa ra. 
2. Làm các bài tập trong SGK tương tự các dạng trên để khắc sâu phương pháp giải từng dạng 
toán. 
3. Dành thời gian để giải một số đề thi thử (theo cấu trúc của Bộ GD&ĐT) để rèn luyện thêm. 
Khi làm bài cần tập trung và làm bài nghiêm túc theo đúng thời gian đã quy định (150 phút). 
4. Sau mỗi lần giải đề cần tự đánh giá xem phần nào đã đạt yêu cầu, phần nào chưa đạt, còn 
yếu để lần sau cố gắng hơn. 
5. Trong quá trình biên soạn không thể tránh được các thiếu sót. Rất mong các em học sinh 
thông cảm, phát hiện và góp ý giúp thầy hoàn thiện bộ tài liệu này để có thể lưu hành cho các 
năm sau. 
Chuùc caùc em oân taäp toát !ù ùù ùù ù