Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán Năm học : 2009 - 2010

Tổng số 15 tiết: 
	- Các tiết: 84,85, 86, 87, 88, 89, 90 GIẢI TÍCH
	- Các tiết : 49, 50 HÌNH HỌC
	- 5 tiết tăng cường cho ôn tập
A/ GIẢI TÍCH
PHẦN I. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
VẤN ĐỀ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
 I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Nắm được định nghĩa của tính đơn điệu của hàm số.
2. Định lý. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.
 + Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến trên I
 + Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f nghịch biến trên I
 II.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) y = x3 – 3x2 + 2 b) y = -x4 + 4x2 – 3 c) d) 
e) f) g) y = x – ex 
Baøi 2.. Tìm m ñeå haøm soá luoân luoân ñoàng bieán treân taäp xaùc ñònh
VẤN ĐỀ II: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
 I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Khái niệm cực trị của hàm số
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
3. Hai quy tắc tìm cực trị của hàm số:
a. Quy tắc 1: 
+ Tìm .
+ Tìm các xi (i = 1,2,) tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
	 + Xét dấu . Nếu đổi dấu khi x đi qua điểm xi thì hàm số đạt cực trị tại xi 
b. Quy tắc 2: 
+Tính .
+ Tìm các nghiệm xi (i = 1,2,) của phương trình .
+ Tìm và tính.
* Nếu thì hàm số đạt đại tại điểm xi
* Nếu thì hàm số đạt tiểu tại điểm xi
II.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Dùng quy tắc 1, tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y = 3x2 – 2x3 b) c) d) 
Bài 2. Dùng quy tắc 2, tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y = x4 – 2x2 + 3 b) y = 3x5 – 125x3 + 2160x c) y = sin2x – x
Bài 3. Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu (ĐS m < 3)
Bài 4. Định a, b để hàm số đạt cực trị bằng -2 tại x = 1
Baøi 5. Tìm m ñeå haøm soá (m laø tham soá) có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực trị trái dấu 
VẤN ĐỀ III: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
 I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa
2. Quy tắc tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn 
+Tìm các thuộc đoạn tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
+ Tính .
+ So sánh các giá trị tìm được.
Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của f trên đoạn , số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của f trên đoạn . 
 II.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm só :
a) 	 b) trên 
c) trên [-3;2]	d) trên [-8;6] 
e) y = x2.ex trên [-3;2] 	f) 
VẤN ĐỀ IV: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
 I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
 Cho hàm số y = f(x)
 1. Nếu đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .
 2. Nếu đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .
 II.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Tìm các tiệm cận của các đường cong sau:
a) b) c) d) 
VẤN ĐỀ V: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
 I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Xét sự biên thiên của hàm số.
a. Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm số.
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có).
b. Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:
Tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có), điền các kết quả vào bảng.
3. Vẽ đồ thị của hàm số
+ Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có)
+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ.
Bài toán 1. Giao điểm của hai đồ thị
	Giaû söû hai haøm soá y = f(x), y = g(x) laàn löôït coù hai ñoà thò (C1) vaø (C2). 
	Haõy tìm caùc giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2).
	Caùch giaûi: * Giaûi phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm f(x) = g(x) ta coù nghieäm x0
	 	 * Thay x0 vaøo moät trong hai haøm soá ta coù y0.
	 	 * Toïa ñoä giao ñieåm laø M(x0,y0).
 	 Nhaän xeùt: Soá giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2) bằng soá nghieäm phöông trình f(x) = g(x) .
	2. Sự tiếp xúc của hai đường cong
Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trìnhcó nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó.
	Giaû söû hai haøm soá laàn löôït coù hai ñoà thò (C1) vaø (C2). 
	Baøi toaùn 2: Vieát phöông trình tieáp tuyeán.
	Cho haøm soá y = f(x) coù ñoà thò (C). Haõy vieát phöông trình tieáp tuyeán d cuûa (C) bieát:
 	1) Ñöôøng thaúng d tieáp xuùc (C) taïi M(x0;y0). 
	Caùch giaûi: Tìm f’(x) vaø aùp duïng coâng thöùc tieáp tuyeán:
 y – y0 = f’(x0)(x – x0).
	2) Ñöôøng thaúng d coù heä soá goùc k.
	Caùch giaûi: Giaûi phöông trình f’(x) = k coù nghieäm x0 laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm aùp duïng caâu 1)
	3) Ñöôøng thaúng d ñi qua A(xA;yA).
	Caùch giaûi: * Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d qua A laø: y = k(x – xA) + yA
 	* Ñieàu kieän ñeå d tieáp xuùc (C) laø heä:
 	 Phaûi coù nghieäm vaø nghieäm chính laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm vaø heä soá goùc k.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
	Baøi 1: Cho haøm soá: y = 
 	1) Khaûo saùt veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá
 	2) Tìm m đñeå ñöôøng thaúng y = -x + m caét ñoà thò (C) taïi hai ñieåm phaân bieät.ø 
	Baøi 2: Cho haøm soá: y = -x3 - 3x2 + 2.
	 1)Khaûo saùt veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá.
	 2)Bieän luaän baèng ñoà thò soá nghieäm cuûa phöông trình: x3 +3x2 + 1 + m = 0 (1).
 3) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi điểm là nghiệm phương trình y’’ = 0. 
Baøi 3: Cho haøm soá f(x) = 
 	1) Khaûo saùt veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá
 	2)Tìm ñieåm thuoäc ñoà thò coù toaï ñoä nguyeân
Baøi 4: Cho haøm soá y= x4+2(m-2)x2+m2-5m+5 . (Cm), m laø tham soá
 	 1)Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C1) cuûa haøm soá khi m=1
 	 2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C1), bieát raèng tieáp tuyeán ñoù ñi qua ñieåm A(0; 1).
 	 3)Tìm m ñeå ñoà thò cuûa haøm soá caét truïc O x taïi 4 ñieåm phaân bieät ;
.............................................................................................................................................................
PHẦN II. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
A. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Các kiến thức cần nhớ:
1) Hàm số mũ y = ax: 	
- TXĐ: R, ax > 0 với mọi x.
- Hàm số đồng biến trên R nếu a > 1, nghịch biến trên R nếu 0 < a < 1.
	- Các tính chất của lũy thừa.
2) Dạng cơ bản: 
3) Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ:
- Đưa về cùng cơ số	
- Lôgarít hai vế (dạng: )
- Dùng ẩn phụ để đưa về dạng cơ bản	
Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình:
	a) 	b) 	
c) 	d) 
Bài 2: Giải các phương trình:
a) b)	c) 3 
Bài 3: Giải các bất phương trình:
	a) 	b) 	
c) 	d) 
B. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Kiến thức cơ bản:
	- Định nghĩa: 
	- Hàm số: y = logax có tập xác định: x > 0, . Tập giá trị: R
	- Tính chất: Hàm số đồng biến nếu a > 1, nghịch biến nếu 
	- Các công thức biến đổi:
	loga(b1.b2)= loga|b1| + loga|b2|	
	- Phương trình và bất phương trình cơ bản:
	- Phương pháp giải thường dùng:
	+ Đưa về cùng cơ số
	+ Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình, bất phương trình cơ bản.
Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình:
	a) log2(x2 + 3x + 2) + log2(x2 + 7x + 12) = 3 + log23
	b) log3(2 - x) - log3(2 + x) - log3x + 1 = 0	
c) 	d) 
Bài 2: Giải các phương trình:
a) 	b) 
	Bài 4: Giải các bất phương trình:
	a) log3(x + 2) > log81(x+2)	b) 	
c) 	d) 
PHẦN III. : NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN
I. NGUYEÂN HAØM
 A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Ñònh nghóa: Haøm soá f xaùc ñònh treân K. Haøm soá F ñöôïc goïi laø cuûa f treân K neáu
.
Chuù yù : Hoï taát caû caùc nguyeân haøm cuûa f treân K.
2. Nguyeân haøm cuûa moät soá haøm soá thöôøng gaëp:
	1); 	2) 
	3) 	 
4) Vôùi k laø haèng soá khaùc 0.
	a. ;	b. ;
	c. ;	d. ;
5) a. ; 	b. .
3. Caùc phöông phaùp tính nguyeân haøm 
a.Ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn sè: 	 
a.Ph­¬ng ph¸p tích phaân töøng phaàn:	 
BAØI TAÄP AÙP DUÏNG
Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau
1. ;	 2. ;	3. ;
4. ;	 5. ;	6. ;
7. ;	 8. ;	9. ;
II. TÍCH PHAÂN
1.Ñònh nghóa 	
2. Tính chaát Vôùi f(x), g(x) lieân tuïc treân khoaûng K vaø a, b, c laø ba soá baát kyø thuoäc K. Khi ñoù ta coù:
	1) = 0;	2) = - ;
	3) +=; 	4) =;	5) = k.; k
2. Caùc phöông phaùp tính tích phaân 
a.Ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn sè: 
a.Ph­¬ng ph¸p tích phaân töøng phaàn: 
BAØI TAÄP AÙP DUÏNG
Bµi 1: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
;	;	;
;	;	;
	.
Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
;	;	;
	;	;	.
;	;	;
Baøi 3. Tính caùc tích phaân sau
;	;	;
;	;	;
Bµi 4: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
;	;	;	;
;	;	;	;
	 III. ÖÙNG DUÏNG CUÛA TÍCH PHAÂN
1. DIEÄN TÍCH CUÛA HÌNH PHAÚNG
a. Haøm soá lieân tuïc treân ñoaïnthì dieän tích S cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá , truïc hoaønh vaø ñöôøng thaúng laø 
b. Dieän tích S cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò caùc haøm soá ,lieân tuïc treân ñoaïnvaø hai ñöôøng thaúng laø: 
2. THEÅ TÍCH CUÛA VAÄT THEÅ
Haøm soá lieân tuïc, khoâng aâm treân ñoaïn. Hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá , truïc hoaønh vaø hai ñöôøng thaúng , quay quanh truïc hoaønh taïo neân moät khoái troøn xoay coù theå tích laø: 
BAØI TAÄP AÙP DUÏNG.
Baøi 1. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ (C) cña hµm sè y = 2 - x2 víi ®­êng th¼ng (d): y = x.
Baøi 2. Cho hµm sè y = (C) . TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña nã t¹i A(0,1).
Baøi 3. Cho hµm sè y = (C) . TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ c¸c trôc Ox; Oy vµ ®­êng th¼ng x = 2.
Baøi 4 TÝnh thÓ tÝch vËt trßn xoay t¹o nªn bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng y = 2x - x2 , y = 0 khi ta quay quanh:Trôc Ox.
Baøi 5 TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay ®­îc t¹o thµnh do h×nh ph¼ng (D) giíi h¹n bëi :
y = , x = 1 vµ y = 0 ( ) khi ta quay quanh (D) quanh Ox.
PHẦN IV: SỐ PHỨC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Tập hợp số phức: C
2. Số phức (dạng đại số) :
 z = a + bi (a, b, i là đơn vị ảo, i2 = -1); a là phần thực, b là phần ảo của z
z là số thực phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
z là phần ảo phần thực của z bằng 0 (a = 0)
3. Hai số phức bằng nhau: 
a + bi = a’ + b’i
4. Biểu diễn hình học : Số phức z = a + bi (a, b được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) hay bởi trong mp(Oxy) (mp phức) y
 M(a+bi)
 0 x
5. Cộng và trừ số phức : 
 . (a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i
 . (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i (a, b, a’, b’
Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi (a, b 
z biểu diễn , z’ biểu diễn thì z + z’ biểu diễn bởi và z – z’ biểu diễn bởi 
6. Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’.
7. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là 
 a) 
 b) z là số thực ; z là số ảo 
8. Môđun của số phức : z = a + bi 
 a) 
 b) 
 c) 
9. Chia hai số phức :
 a) Số phức nghịch đảo của z (z: 
 b) Thương của z’ chia cho z (z: 
 c) Với z, 
10. Phương trình bậc hai az2 + bz + c = 0 (A, B, C là số phức cho trước, A ).
B. BÀI TẬP
Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :
 	a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) 	
 b) (1 + i)2 – (1 – i)2 	
 c) (2 + i)3 – (3 – i)3 	
 d) 	
Bài 2: Tìm z
 	a) b) 	
Bài 3: Phân tích ra thứa số :
a) a2 + 1	b) 2a2 + 3	c) 4a4 + 9b2 	 
Bài 4: Thực hiện phép tính :
 	a) b) c) d) 	
 	e) 	f) 
Bài 5: Giải các phương trình sau trong C.
 a) b) 	
 c) x2 – 3x + 4 = 0 	 d) x2 – x + 3 = 0 
B/ HÌNH HỌC
Phần 1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Các công thức tính thể tích
Bài tập
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy , cạnh bên SB bằng a. Tín ... ù taâm naèm treân truïc Oz, tieáp xuùc vôùi maët phaúng (Oxy) vaø coù baùn kính baèng 3.
HD:	- Goïi I laø taâm maët caàu: I(0; 0; z0), ta coù baùn kính maët caàu R = OI
	- R = |z0| = 3 
Baøi 7: Vieát phöông trình maët caàu qua ba ñieåm M(0; 8; 0), N(4; 6; 2), P(0; 12; 4) coù taâm naèm treân mp (Oyz).
HD:	- Goïi I laø taâm maët caàu: I(0; y0; z0)
- Ta coù IM = IN = IP
Baøi 8: Laäp phöông trình maët caàu qua ba ñieåm A(0; 1; 0), B(1; 0; 0), C(0; 0; 1) vaø taâm I coù toïa ñoä thoûa maõn phương trình: x + y + z – 3 = 0.
PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG
A. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT
 1) Vectô goïi laø vectô phaùp tuyeán cuûa (P) neáu naèm treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi (P)
 2) Hai vectô khoâng cuøng phöông có giá song song hoặc nằm trong (P).
 Với thì (P) có vtpt là : 
 3) PT: Ax + By + Cz + D = 0, goïi laø toång quaùt cuûa mp, vtpt cuûa mp 
 4) Maët phaúng qua ñieåm M0(x0; y0; z0) coù vtpt coù phöông trình daïng:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
 5) Maët phaúng qua ñieåm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) vôùi coù phöông trình 
 (goïi laø phöông trình maët phaúng theo ñoaïn chaén).
 6) Cho hai maët phaúng (P): Ax + By + Cz + D = 0 vaø (P’): A’x + B’y + C’z + D’ = 0
	a) (P) vaø (P’) caét nhau 
	b) (P) // (Q) 
	c) (P) (Q) 
 7) Khoaûng caùch töø M0(x0; y0; z0) ñeán maët phaúng (P): Ax + By + Cz + D = 0
B. CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP
Daïng1: Laäp phöông trình cuûa maët phaúng qua moät ñieåm bieát vtpt hoaëc caëp vtcp
Phöông phaùp: - Xaùc ñònh vtpt vaø ñieåm maø maët phaúng ñi qua
 - Ptmp qua M0(x0; y0; z0) coù vtpt = (A; B; C) laø: A(x – x0)+B(y – y0)+C(x – x0) = 0
Chuù yù: - Neáu hai vectô có giá song song hoặc nằm trong (P) thì laø moät vtpt cuûa (P).
 - Maët phaúng qua ba ñieåm A, B, C coù vtpt 
Baøi 1: Vieát phöông trình cuûa mp (P)
a) Qua ñieåm E(1; -2; 3) vaø song song vôùi maët phaúng (Q): 2x + 2y – 5z = -1. 
b) Qua ñieåm M(1; -2; 4) vaø vuoâng goùc vôùi 2 mp : 3x –2y + 2z + 7 = 0; 5x – 4y + 3z + 1 = 0.
c) Qua hai ñieåm A(0; 1; 0), B(2; 3; 1) vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng x + 2y – z = 0.
d) Qua ba ñieåm M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1)
e) Qua ba ñieåm A(2; 0 ; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 4).
ÑS:	a) 2x + 2y – 5z + 10 = 0	b) 2x + y – 2z + 8 = 0	c) 4x – 3y – 2z + 3 = 0
d) x – 4y + 5z – 2 = 0	e) 6x + 4y + 3z – 12 = 0
Baøi 2: Cho boán ñieåm A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). 
Chöùng minh A, B, C, D laø boán ñænh cuûa moät töù dieän 
Vieát phöông trình maët phaúng (BCD). 
Vieát phöông trình maët phaúng qua A vaø vuoâng goùc vôùi BD.
d) Vieát phöông trình maët phaúng qua A, B vaø song song vôùi CD
HD: a) Ba vectô khoâng ñoàng phaúng
b) - mp(BCD) qua B(1; 6; 2) coù caëp vtcp 
- pt mp(BCD): 6x + 5y + 3z -42 = 0
c) - Maët phaúng qua A(5; 1; 3) vuoâng goùc vôùi BD coù vtpt 
	- pt: 3x – 6y + 4z -21 = 0
d) 	- mp qua A, B vaø song song vôùi CD coù caëp vtcp
	- pt: 10x + 9y +5z – 74 = 0
Daïng 2: Phöông trình maët phaúng theo ñoaïn chaén 
Baøi 1: Cho phöông trình: m3x + (m – 1)3 y + z – m(m – 1) = 0 (1).
a) Chöùng minh raèng vôùi moïi m phöông trình (1) laø phöông trình cuûa moät maët phaúng.
b) Maët phaúng (1) vôùi m vaø m caét caùc truïc toaï ñoä Ox, Oy, Oz taïi caùc ñieåm A, B, C. Chöùng minh raèng theå tích khoái töù dieän OABC khoâng ñoåi.
HD :	a) Ta coù m6 + (m – 1)6 + 1 > 0 vôùi moïi m neân (1) laø phöông trình cuûa moät maët phaúng
	b) 
	VOABC = OA.OB.OC= 
Baøi 2: Cho goùc tam dieän vuoâng Oxyz. A, B, C, laàn löôït laø caùc ñieåm di ñoäng treân Ox; Oy; Oz thoaû maõn heä thöùc . 
Chöùng minh raèng mp(ABC) luoân luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh.
Tính khoaûng caùch töø ñieåm O ñeán maët phaúng (ABC).
HD:a) - Choïn heä toïa ñoä Oxyz. Goïi OA = a; OB = b; OC = c, (a > 0, b > 0, c > 0)
	 - Phöông trình (ABC): 	mp(ABC) qua M(2008; 2008; 2008) coá ñònh.
 b) Khoaûng caùch töø O ñeán (ABC): 	
Baøi 3: Vieát phöông trình maët phaúng song song vôùi maët 4x – 3y -12z + 1 = 0 vaø tieáp xuùc vôùi maët caàu coù phöông trình: x2 + y2 + z2 – 2x – 4 y – 6x – 2 = 0.
 HD: - Goïi (P) laø maët phaúng caàn tìm, pt cuûa (P): 4x – 3y – 12z + D = 0, 
	 - Maët caàu coù taâm I(1; 2; 3) baùn kính R = 4
	 - Maët phaúng (P) tieáp xuùc vôùi maët caàu khi 
	 - (P): 4x – 3y – 12z + 90 = 0; (P): 4x – 3y – 12z – 14 = 0
Baøi 4: Laäp pt maët caàu coù taâm I(1; 4; -7) vaø tieáp xuùc vôùi maët phaúng (P): 6x + 6y –7z + 42 = 0.
 HD : - Baùn kính maët caàu baèng khoaûng caùch töø I ñeán (P)
	 - phöông trình maët caàu : (x – 1)2 + (y – 4)2+ (z + 7)2 = 121
Baøi 5: Vieát phöông trình cuûa maët phaúng qua caùc hình chieáu cuûa A(2; 3; 4) treân caùc truïc toïa ñoä.
 ÑS: 
Daïng 3: Caùc baøi toaùn vaän duïng vò trí töông ñoái, khoaûng caùch, goùc
Baøi 1: Cho hai ñieåm A(0; 0; -3), B(2; 0; -1) vaø maët phaúng (P): 3x – 8y + 7z – 1 = 0. Tìm toïa ñoä ñieåm C naèm treân maët (P) sao cho tam giaùc ABC ñeàu.
 HD: - Giaû söû C(x; y; z) 
Baøi 2: Vieát phöông trình maët phaúng (P), bieát (P) qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (Q): x – y + z – 4 = 0 vaø (R): 3x – y + z – 1 = 0 ñoàng thôøi chöùa ñieåm M(2; 1; -1)
 HD: - Goïi d laø giao tuyeán cuûa (Q) vaø (R).
 - Choïn hai ñieåm thuoäc d
 - Maët phaúng qua 3 ñieåm M, M1, M2 laø (P). ÑS: (P): 15x – 7y + 7z – 16 = 0
Baøi 3: Vieát phöông trình maët phaúng (P), bieát (P) qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (Q): y + 2z – 4 = 0 vaø (R): x + y - z + 3 = 0 ñoàng thôøi song song vôùi (S): x + y + z – 2 = 0
 HD: - Goïi d laø giao tuyeán cuûa (Q) vaø (R).
 - Choïn hai ñieåm thuoäc d
 - Maët phaúng (P) coù phöông trình daïng: x + y + z + D = 0,
	 - (P) chöùa M1, M2 neân toïa ñoä M1, M2 nghieäm ñuùng heä phöông trình: VN
	 - Khoâng toàn taïi maët phaúng thoûa maõn ñieàu kieän baøi toaùn
Baøi 4: Vieát phöông trình maët phaúng (P), bieát (P) qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (Q): 3x – y + z – 2 = 0 vaø (R): x + 4y – 5 = 0 ñoàng thôøi vuoâng goùc vôùi (S): 2x – z + 7 = 0
 HD: - Goïi d laø giao tuyeán cuûa (Q) vaø (R).
 - Choïn hai ñieåm thuoäc d
 - Maët phaúng (S) coù vtpt (P) coù vtpt . 
	 - pt (P): x – 22y + 2z +21 = 0
Baøi 5: Cho hai maët phaúng (P): 3x –y + 4z + 2 = 0; (Q): 3x –y + 4z + 8 = 0 vaø (R): x + y + z + 3 = 0
Tính khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng (P) vaø (Q)
Tìm taäp hôïp nhöõng ñieåm caùch ñeàu hai maët phaúng (P) vaø (Q).
Tìm taäp hôïp nhöõng ñieåm caùch ñeàu hai maët phaúng (P) vaø (R).
 HD: a) - Ta coù (P) // (Q) neân d((P); (Q)) baèng khoaûng caùch töø moät ñieåm baát kyø treân (P) ñeán (Q)
 - Choïn ñieåm A(0; 2; 0) thuoäc (P)
	 b) - Goïi M(x; y; z) laø ñieåm caùch ñeàu (P) vaø (Q)
 - Ta coù d(M; (P)) = d(M; (Q)) taäp hôïp caùc ñieåm M laø: 3x – y + 4z + 5 = 0
Baøi 6: Vieát phöông trình maët phaúng qua ñieåm M0(1; 1; 1), caét caùc tia Ox, Oy, Oz taïi caùc ñieåm A, B, C sao cho töù dieän OABC coù theå tích nhoû nhaát. 
 HD: - Giaû söû A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) vôùi a> 0, b > 0, c > 0
Phöông trình (ABC): . Do M thuoäc (ABC) neân 
VOABC = maø 
VOABC lôùn nhaát baèng 27 khi a = b = c = 3
Pt cuûa (ABC): x + y + z – 3 = 0
PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG 
 I. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT 
	1. Phöông trình ñöôøng thaúng
Ñöôøng thaúng qua ñieåm M0(x0; y0; z0) coù vtcp =(a; b; c) coù :
 	a) Phöông trình tham soá : .
b) Phöông trình chính taéc : 
Chuù yù: Giao tuyeán cuûa hai maët phaúng A1x + B1y + C1z + D1 = 0 vaø A2 x + B2y + C2z + D2 = 0 
(A1:B1:C1 A2:B2:C2) laø ñöôøng thaúng coù vtcp  
2. Vò trí töông ñoái cuûa caùc ñöôøng thaúng
Cho ñöôøng thaúng d1 qua ñieåm M1(x1; y1; z1) coù vtcp = (a1; b1; c1) 
 vaø ñöôøng thaúng d2 qua ñieåm M2(x2; y2; z2) coù vtcp = (a2; b2; c2)
	a) d1 vaø d2 caét nhau 
	b) d1 // d2 a1:b1:c1 = a2:b2:c2 (x2 – x1):(y2 – y1):(z2 – z1)
	c) d1d2a1:b1:c1 = a2:b2:c2 = (x2 – x1):(y2 – y1):(z2 – z1)
	d) d1 cheùo d2
3. Khoaûng caùch
a) Khoaûng caùch töø ñieåm M ñeán ñöôøng thaúng d qua M0 coù vtcp laø: 
b) Khoaûng giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau d1 vaø d2
Vôùi d1 qua M1 coù vtcp vaø d2 qua M2 coù vtcp laø: 
II. BAØI TAÄP 
Láûp âæåìng thàóng d qua âiãøm A vaì vuäng goïc våïi màût phàóng (P) trong mäùi træåìng håüp sau: 
 a) A(2; 0; 3) vaì (P): 2x -3y + 5z - 4 = 0; b) A(2; 1; 3) vaì (P): x + 2y + 3z - 4 = 0.
Viãút phương trình đường thẳng qua âiãøm M(3; 2; 1) vuäng goïc vaì càõt âæåìng thàóng d: .
	HD:	- Vieát pt mp(P) qua ñieåm M vaø vuoâng goùc vôùi d. (P): 2x + 4y + z – 15 = 0 
	- Tìm toïa ñoä giao ñieåm N cuûa d vôùi (P). 
- Toïa ñoä N laø nghieäm cuûa hpt 
- MN laø ñöôøng thaúng caàn tìm. PT cuûa MN: 
 Cho hai âæåìng thàóng :; : , cheùo nhau vaø M0(1; 0; 5). Vieát phöông trình 
ñöôøng thaúng d qua M0 vaø vuoâng goùc vôùi hai ñöôøng thaúng vaø .
	HD:	- Ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi vtcp cuûa
 vaø vtcp cuûa 
	- vtcp cuûa d laø 
	- pt cuûa d: 
Cho màût phàóng (P): x + 2y - z + 5 = 0 vaì âæåìng thàóng : . 
a) Chöùng minh caét (P). Tìm toïa ñoä giao ñieåm M cuûavaø (P).
b) Viãút phæång trçnh hçnh chiãúu d’ cuía lãn màût phàóng (P).
HD: a) Ñöôøng thaúng caét (P) khi vtcp cuûa vaø vtpt cuûa (P) khoâng vuoâng goùc 
	- Ta coù vtcp cuûa laø , vtpt cuûa (P) laø 
	- Vaäy caét (P)
	- Giao ñieåm M coù toïa ñoä laø nghieäm cuûa hpt 	
b)	- Goïi vaø (Q) laø mp chöùa vuoâng goùc (P) 
Ta coù d’ laø giao tuyeán cuûa (P) vaø (Q) d’ vuoâng goùc 
vôùi hai vectô ñoàng thôøi qua giao ñieåm
 cuûa vaø (P)
 d’ coù vtcp 
Cho hai đường thẳng :; : 
 Chứng tỏ , chéo nhau . Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng ñoù.
HD: - coù vtcp , coù vtcp khoâng cuøng phöông cheùo nhau hoaëc caét nhau.
 - qua M1(1;-4; 3), qua M2(0; 3; - 2) 
Ta coù cheùo nhau.
Khoaûng caùch giöõa laø : 
Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với 
 (P): x + y + z - 1 = 0 và cắt cả
 	 : vaø :. 
	HD:	- (P) coù vtpt 
- qua M1(1; -1; 0) coù vtcp 
- Goïi (Q) laø maët phaúng qua M1 coù caëp vtcp
	- pt (Q): x + 3y – 3z + 2 = 0
- laø giao ñieåm cuûa vôùi (Q). Ñöôøng thaúng qua M vuoâng goùc vôùi (P) laø ñöôøng thaúng d
	- Ñöôøng thaúng d qua M coù vtcp neân coù d coù pt: 
Cho hai ñöôøng thaúng : vaø : 
a) Xeùt vò trí töông ñoái cuûa vaø .
b) Tính khoaûng caùch töø ñieåm M(1; 2; 0) ñeán 
c) Viết phương trình đường thẳng qua M0(0; 1; 1) vuông góc với cắt . 
Cho hai đường thẳng : ; : cheùo nhau. 
 Viết phương trình đường vuông góc chung của và . 
HD: - qua M1(2;-1;2) coù vtcp 
 - qua M2(11; 0; 1) coù vtcp 
 - Goïi , (P) laø mp chöùa coù caëp vtcp 
 - Vieát phöông trình cuûa (P) 
	 - Tìm giao ñieåm M cuûavôùi (P)
 - Vieát cuûa d qua M coù vtcp 
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d qua ñieåm A(1; 1; 1) vaì vuoâng goùc vôùi giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P): 3x – y + 4z + 1 = 0 vaø (Q): 2x + 3y + z + 7 = 0 
Cho hai đường thẳng : và : . 
a) Chöùng minh vaø cheùo nhau. Vieát phöông trình maët phaúng chöùa song song vôùi 
b) Tính khoaûng caùch giöõa vaì . Tìm goùc giöõa vaì .
c) Xeùt M1(2; 1; 0), M2(11; 0; 1). Goïi laàn löôït laøvtcp cuûa , . Tính theå tích khoái hoäp coù caùc kích thöôùc vaø M1M2.
viết phương trình đường thẳng qua G của tam giác ABC và vuông góc với (ABC)cuía tam giaïc ABC biết: A(1; 3; 2), B(1; 2; 1), C(1; 1; 1).
Lập phương trình chính tắc của , biết vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P): x + y + z = 0 và cắt 2 đường thẳng d: ; d':