Tài liệu ôn thi tốt nghiệp - Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

ŀNguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
5 
Chương 1 
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT 
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 
Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. Định nghĩa : 
Giả sử K là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định 
trên K được gọi là 
• Đồng biến trên K nếu với mọi ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,x x K x x f x f x∈ < ⇒ < ; 
• Nghịch biến trên K nếu với mọi ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,x x K x x f x f x∈ . 
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : 
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I 
• Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì ( )' 0f x ≥ với mọi x I∈ ; 
• Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì ( )' 0f x ≤ với mọi x I∈ . 
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : 
Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm số liên tục 
trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong của I ( tức là điểm thuộc I nhưng 
không phải đầu mút của I ) .Khi đó : 
• Nếu ( )' 0f x > với mọi x I∈ thì hàm số f đồng biến trên khoảng I ; 
• Nếu ( )' 0f x < với mọi x I∈ thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I ; 
• Nếu ( )' 0f x = với mọi x I∈ thì hàm số f không đổi trên khoảng I . 
Chú ý : 
• Nếu hàm số f liên tục trên ;a b   và có đạo hàm ( )' 0f x > trên khoảng 
( );a b thì hàm số f đồng biến trên ;a b   . 
• Nếu hàm số f liên tục trên ;a b   và có đạo hàm ( )' 0f x < trên khoảng 
( );a b thì hàm số f nghịch biến trên ;a b   . 
• Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn ;a b   . 
* Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng ( );a b thì nó đồng biến trên đoạn 
;a b   . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
6 
* Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng ( );a b thì nó nghịch biến trên đoạn 
;a b   . 
* Nếu hàm số f không đổi trên khoảng ( );a b thì không đổi trên đoạn ;a b   . 
4. Định lý mở rộng 
 Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . 
• Nếu '( ) 0f x ≥ với x I∀ ∈ và '( ) 0f x = chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc 
I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I ; 
• Nếu '( ) 0f x ≤ với x I∀ ∈ và '( ) 0f x = chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc 
I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I . 
1.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 
Dạng 1 : Xét chiều biến thiên của hàm số . 
Xét chiều biến thiên của hàm số ( )y f x= ta thực hiện các bước sau: 
• Tìm tập xác định D của hàm số . 
• Tính đạo hàm ( )' 'y f x= . 
• Tìm các giá trị của x thuộc D để ( )' 0f x = hoặc ( )'f x không xác định 
( ta gọi đó là điểm tới hạn hàm số ). 
• Xét dấu ( )' 'y f x= trên từng khoảng x thuộc D . 
• Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện đủ suy ra khoảng đơn điệu của hàm số. 
Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
2
1.
1
x
y
x
+
=
−
2 2 1
2.
2
x x
y
x
− + −
=
+
Giải: 
2
1.
1
x
y
x
+
=
−
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( ) ( );1 1;−∞ ∪ +∞ . 
* Ta có: 
( )2
3
' 0, 1
1
y x
x
 -= < ∀ ≠
−
* Bảng biến thiên: 
x −∞ 1 +∞ 
'y − − 
y 
1 
 −∞ 
+∞ 
 1 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
7 
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( );1−∞ và ( )1;+∞ . 
2 2 1
2.
2
x x
y
x
− + −
=
+
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( ) ( ); 2 2;−∞ − ∪ − +∞ . 
* Ta có: 
( )
2
2
4 5
' , 2
2
x x
y x
x
− − +
= ∀ ≠ −
+
5
' 0
1
x
y
x
 = −
= ⇔ 
=
* Bảng biến thiên : 
x −∞ 5− 2− 1 +∞ 
'y − 0 + + 0 − 
y 
+∞ +∞ 
−∞ −∞ 
Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng ( )5; 2− − và ( )2;1− , nghịch biến trên các 
khoảng ( ); 5−∞ − và ( )1;+∞ . 
Nhận xét: 
* Đối với hàm số ( . 0)
ax b
y a c
cx d
+
= ≠
+
 luôn đồng biến hoặc luôn nghịch 
biến trên từng khoảng xác định của nó. 
* Đối với hàm số 
2
' '
ax bx c
y
a x b
+ +
=
+
 luôn có ít nhất hai khoảng đơn điệu. 
* Cả hai dạng hàm số trên không thể luôn đơn điệu trênℝ . 
Bài tập tương tự : 
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
2 1
1.
1
x
y
x
−
=
+
2 4 3
2.
2
x x
y
x
+ +
=
+
1
3.
3
x
y
x
+
= 
2
3
4.
1
x
y
x
=
+
2
2
4 3
5.
2 2 4
x x
y
x x
− +
=
− −
2
2
2 2
6.
2 1
x x
y
x x
+ +
=
+ +
Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
3 21. 3 24 26y x x x= − − + + 4 22. 6 8 1y x x x = − + + 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
8 
Giải: 
3 21. 3 24 26y x x x= − − + + 
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ . 
* Ta có : 2' 3 6 24y x x= − − + 
2
4
' 0 3 6 24 0
2
x
y x x
x
 = −
= ⇔ − − + = ⇔ 
=
* Bảng xét dấu của 'y : 
x −∞ 4− 2 +∞ 
'y − 0 + 0 − 
+ Trên khoảng ( )4;2− : ' 0y y> ⇒ đồng biến trên khoảng ( )4;2− , 
+ Trên mỗi khoảng ( ) ( ); 4 , 2;−∞ − +∞ : ' 0y y< ⇒ nghịch biến trên các 
khoảng ( ); 4 ,−∞ − ( )2;+∞ . 
Hoặc ta có thể trình bày : 
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ . 
* Ta có : 2' 3 6 24y x x= − − + 
2
4
' 0 3 6 24 0
2
x
y x x
x
 = −
= ⇔ − − + = ⇔ 
=
* Bảng biến thiên : 
x −∞ 4− 2 +∞ 
'y − 0 + 0 − 
y 
+∞ 
 −∞ 
Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng ( )4;2− , nghịch biến trên các khoảng 
( ); 4−∞ − và ( )2;+∞ . 
4 22. 6 8 1y x x x = − + + 
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ . 
* Ta có: 3 2' 4 12 8 4( 1) ( 2)y x x x x= − + = − + 
2
2
' 0 4( 1) ( 2) 0
1
x
y x x
x
 = −
= ⇔ − + = ⇔ 
=
* Bảng xét dấu: 
x −∞ 2− 1 +∞ 
'y − 0 + 0 + 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
9 
Vậy,hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; )− +∞ và nghịch biến trên khoảng 
( ; 2)−∞ − . 
Nhận xét: 
* Ta thấy tại 1x = thì 0y = , nhưng qua đó 'y không đổi dấu. 
* Đối với hàm bậc bốn 4 3 2y ax bx cx dx e= + + + + luôn có ít nhất một 
khoảng đồng biến và một khoảng nghịch biến. Do vậy với hàm bậc bốn 
không thể đơn điệu trên ℝ . 
Bài tập tương tự : 
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
3 21. 3 2y x x= − + 
3 22. 3 3 2y x x x= + + + 
4 213. 2 1
4
y x x= − + − 
4 24. 2 3y x x= + − 
5 345. 8
5
y x x= − + + 
5 4 21 3 36. 2 2
5 4 2
y x x x x= − + − 
7 6 577. 9 7 12
5
y x x x= − + + 
Ví dụ 3 : Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
21. 2y x x= − 
2 32. 3y x x= − 
23. 1y x x= − 
24. 1 2 3 3y x x x= + − + + 
Giải: 
21. 2y x x= − . 
* Hàm số đã cho xác định trên mỗi nửa khoảng ( );0 2; −∞ ∪ +∞  . 
* Ta có: ( ) ( )
2
1
' , ;0 2;
2
x
y x
x x
−
= ∀ ∈ −∞ ∪ +∞
−
. 
Hàm số không có đạo hàm tại các điểm 0, 2x x= = . 
Cách 1 : 
+ Trên khoảng ( );0−∞ : ' 0y < ⇒ hàm số nghịch biến trên khoảng ( );0−∞ , 
+ Trên khoảng ( )2;+∞ : ' 0y > ⇒ hàm số đồng biến trên khoảng ( )2;+∞ . 
Cách 2 : 
Bảng biến thiên : 
x −∞ 0 2 +∞ 
'y − || || + 
y 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
10 
Vậy , hàm số nghịch biến trên khoảng ( );0−∞ và đồng biến trên khoảng ( )2;+∞ 
2 32. 3y x x= − 
* Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng ( ;3]−∞ . 
* Ta có: ( ) ( )
2
2 3
3(2 )
' , ;0 0;3
2 3
x x
y x
x x
−
= ∀ ∈ −∞ ∪
−
. 
Hàm số không có đạo hàm tại các điểm 0, 3x x= = . 
Suy ra, trên mỗi khoảng ( );0−∞ và ( )0;3 : ' 0 2y x= ⇔ = 
Bảng biến thiên: 
x −∞ 0 2 3 +∞ 
'y − || + 0 − || 
y 
Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) , nghịch biến trên các khoảng ( ;0)−∞ và 
(2;3) . 
23. 1y x x= − 
* Hàm số đã cho xác định trên đoạn 1;1 −  . 
* Ta có: ( )
2
2
1 2
' , 1;1
1
x
y x
x
−
= ∀ ∈ −
−
Hàm số không có đạo hàm tại các điểm 1, 1x x= − = . 
Trên khoảng ( )1;1− : 2' 0
2
y x= ⇔ = ± 
Bảng biến thiên: 
x 
−∞ 1− 
2
2
− 
2
2
 1 +∞ 
'y || − 0 + 0 − || 
y 
Hàm số đồng biến trên khoảng 
2 2
;
2 2
 
 −
 
 
, nghịch biến trên mỗi khoảng 
2
1;
2
 
 − −
 
 
 và 
2
;1
2
 
 
 
 
. 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
11 
24. 1 2 3 3y x x x= + − + + 
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ . 
* Ta có: 
2
2 3
' 1
3 3
x
y
x x
+
= −
+ +
( )
2
22
3
2' 0 3 3 2 3 1
3 3 2 3
x
y x x x x
x x x

≥ −
= ⇔ + + = + ⇔ ⇔ = −
 + + = +
Bảng biến thiên : 
x −∞ 1− +∞ 
'y + 0 − 
y 
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 1)−∞ − , nghịch biến trên khoảng ( 1; )− +∞ . 
Bài tập tương tự : 
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
21. 2y x x= − 
22. 1 4 3y x x x= + − − + 
33. 3 5y x= − 
3 24. 2y x x= − 
( ) 25. 4 3 6 1y x x= − + 
22 3
6.
3 2
x x
y
x
− +
=
+
2
2
7.
3
x
y
x x
+
=
− +
Ví dụ 4 :Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 2| 2 3 |y x x= − − 
Giải: 
2
2
2
2 3 khi 1 3
| 2 3 |
2 3 khi 1 3
x x x x
y x x
x x x
 − − ≤ − ∨ ≥
= − − = 
− + + − < <
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ . 
* Ta có: 
2 2 khi 1 3
'
2 2 khi 1 3
x x x
y
x x
 − 
= − + − < <
Hàm số không có đạo hàm tại 1x = − và 3x = . 
+ Trên khoảng ( )1;3− : ' 0 1y x= ⇔ = ; 
+ Trên khoảng ( ); 1−∞ − : ' 0y < ; 
+ Trên khoảng ( )3;+∞ : ' 0y > . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
12 
Bảng biến thiên: 
x −∞ 1− 1 3 +∞ 
'y − || + 0 − || + 
y 
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng( 1;1)− và (3; )+∞ , nghịch biến trên mỗi 
khoảng ( ; 1)−∞ − và (1;3) . 
Bài tập tương tự : 
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
21. 5 4y x x= − + 
22. 3 7 6 9y x x x= − + + − + 
23. 1 2 5 7y x x x= − + − + − 
2 24. 7 10y x x x= + − + 
Ví dụ 5 : 
Xét chiều biến thiên của hàm số sau: 2 sin cos2y x x= + trên đoạn 0;π   . 
Giải : 
* Hàm số đã cho xác định trên đoạn 0;π   
* Ta có: ( )' 2 cos 1 2 sin , 0;y x x x π = − ∈   . 
Trên đoạn 0;π   : 
0;
cos 0' 0
1
sin
2
x
x
y
x
π  ∈  
 == ⇔ ⇔
 =
5
2 6 6
x x x
π π π
= ∨ = ∨ = . 
Bảng biến thiên: 
x 
 0 
6
π
2
π
5
6
π
 π 
'y + 0 − 0 + 0 − 
y 
Dựa vào bảng biến thiên suy ra : hàm số đồng biến trên các khoảng 0;
6
π 
 
 
và 
5
;
2 6
π π 
 
 
, nghịch biến trên các khoảng ;
6 2
π π 
 
 
 và 
5
;
6
π
π
 
 
 
. 
Bài tập tương tự : 
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
13 
1. sin 3y x= trên khoảng 0;
3
π 
 
 
. 
2. 
cotx
y
x
= trên khoảng ( )0;π . 
3. ( )1 1sin 4 2 3 cos2
8 4
y x x= − − trên khoảng 0;
2
π 
 
 
. 
4. 3 sin 3 cos
6 3
y x x
π π   
= − + +   
   
 trên đoạn 0;π   . 
Ví dụ 6: Chứng minh rằng hàm số = +2sin cosy x x đồng biến trên đoạn 
π 
 
 
0;
3
và nghịch biến trên đoạn
π
π
 
 
 
;
3
. 
Giải : 
* Hàm số đã cho xác định trên đoạn 0;π   
* Ta có: ( ) ( )π= − ∈' sin 2 cos 1 , 0;y x x x 
Vì ( )0; sin 0x xπ∈ ⇒ > nên trên ( ) 10; : ' 0 cos
2 3
y x x
π
π = ⇔ = ⇔ = . 
+ Trên khoảng 0;
3
π 
 
 
: ' 0y > nên hàm số đồng biến trên đoạn 
π 
 
 
0;
3
; 
+ Trên khoảng ;
3
π
π
 
 
 
: ' 0y < nên hàm số nghịch biến trên đoạn 
π
π
 
 
 
;
3
. 
Bài tập tương tự : 
1. Chứng minh rằng hàm số ( ) ( ) ( )sin sinf x x x x xπ= − − − đồng biến trên 
đoạn 0;
2
π 
 
 
. 
2. Chứng minh rằng hàm số cos2 2 3y x x= − + nghịch biến trên ℝ . 
3. Chứng minh rằng hàm số t n
2
x
y a= đồng biến trên các khoảng ( )0;π và 
( );2 .π π ... i đó (3)có 2 nghiệm phân biệt 
1 2
, 0x x ≠ và 
1 2
1k k = − 
( )
( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
22 2
0
0
0 9 1 48 0
3 6 3 6 1 9 18 36 1
a
a
a a
x x x x x x x x x x x x
  ≠ ≠ 
 
⇔ ∆ > ⇔ − + > 
    + + = −  + + + = −       
( )
1 2 1 2
2
1
3
3
81 81 1 108 1 0
3( -1)
vì = - 3 ; =
2
a a
a a a a
a
x x a x x

 − ≠

⇔ − − − + =
 
 + 
 
vaø a 0
1
13
3
2727 1 0
a a a
a
a

 − ≠
⇔ ⇔ =
− + =
vaø 0
Vậy 
1
,0
27
M Ox
 
∈ 
 
 thỏa bài toán . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
174 
Bài toán 2 : 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) ( ):C y f x= tại điểm ( )( )0 0;M x f x có 
dạng : ( ) ( ) ( )0 0 0'y f x x x f x= − + . 
Ví dụ 1 :Tìm tọa độ tiếp điểm của đồ thị 
4
( ) :
1
x
C y
x
−
=
−
 với tiếp tuyến ( )t , 
biết rằng tiếp tuyến ( )t tạo với đường thẳng ( ) : 2 2010d y x= − + 1 góc 045 . 
Giải : 
{ }\ 1D• = ℝ 
• Ta có : 
( )2
3
' , 1
1
y x
x
= ≠
−
• Gọi ( )( )0 0;M x f x là tọa độ tiếp điểm cần tìm thì hệ số góc tiếp tuyến ( )t là 
( )
02
0
3
, 1
1
k x
x
= ≠
−
. 
• Vì ( )t và( )d tạo nhau 1 góc 045 khi 0
1
2
t n 45 3
1 2 3
k k
a
k k

+ = −= ⇔
− =
( )20
1 3 1
*
3 31
k
x
= − ⇔ = −
−
 điều này không xảy ra . 
( )
2
0 02
0
3
* 3 3 2 0
1
k x x
x
= ⇔ = ⇔ − =
−
( )
( )
0 0
0 0
0 4 0;4
2 2 2; 2
x y M
x y M
 = ⇒ = ⇒
⇔
= ⇒ = − ⇒ −
Ví dụ 2 : Cho hàm số 
2 3
2
x
y
x
+
=
−
, có đồ thị ( )C . Tìm tất cả các tham số 
m để đường thẳng ( ) : 2t y x m= + cắt ( )C tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp 
tuyến tại đó song song với nhau. 
Giải : 
Đường thẳng ( ) : 2t y x m= + cắt ( )C tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến tại 
đó song song với nhau khi và chỉ khi phương trình 
2 3
2
2
x
x m
x
+
= +
−
 có hai 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
175 
nghiệm phân biệt 
1 2
,x x thỏa mãn điều kiện ( ) ( )1 2' 'y x y x= . Khi đó phương 
trình ( ) ( )22 6 2 3 0g x x m x m= + − − − = có 2 nghiệm phân biệt 1 2,x x khác 2 
và thỏa mãn điều kiện 
( ) ( )
1 22 2
1 2
7 7
4
2 2
x x
x x
− = − ⇔ + =
− −
( ) ( )
( ) ( )
2
2
6 8 2 3 0
2 2.2 6 .2 2 3 0 2
6
4
2
m m
g m m m
m

∆ = − + + >

⇔ = + − − − ≠ ⇔ =
 −
− =

. 
Ví dụ 3: Cho hàm số 
2
1
x
y
x
=
+
 có đồ thị là ( )C . Tìm trên đồ thị ( )C những 
điểm M , sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai trục tọa độ ,Ox Oy tại hai điểm 
phân biệt ,A B sao cho diện tích tam giác AOB có diện tích bằng 
1
4
. 
Giải : 
Gọi ( ) ( )
( )
0
0 0 0 0 2
0
0
2 2
; '
1 1
x
M x y C y y
x x
∈ ⇒ = ⇒ =
+ +
Phương trình tiếp tuyến ( )t của ( )C tại M là : 
( ) ( )
2
0
0 2 2
0 0
22
1 1
x
y x
x x
= +
+ +
. 
Tiếp tuyến ( )t cắt hai trục tọa độ ,Ox Oy tại hai điểm phân biệt ( )20; 0A x− , 
( )
2
0
2
0
2
0;
1
x
B
x
 
 
  + 
 sao cho diện tích tam giác AOB có diện tích bằng 
1
4
 khi đó 
( )
( )
2
2
2 20
0 0 02
0
21 1 1 1
. . . . 4 1 0
2 4 2 21
x
OAOB OAOB x x x
x
= ⇔ = ⇔ = ⇔ − + =
+
( )
2
0 0 0
2
0 0
0
1 1
2 1 0 ; 2
2 2
2 1 0
1 1;1
x x x M
x x
x M
   + + = = − ⇒ − −  
⇔  − − =  = ⇒
. 
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán 
1
; 2
2
M
 
− − 
 
, ( )1;1M . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
176 
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng nếu các tiếp tuyến ( )( ),d t của đồ thị ( ) :C 
3 26 9y x x x= − + song song với nhau thì hai tiếp điểm ,A B đối xứng nhau 
qua (2;2)M . 
Giải : 
Gọi ( )( ) ( )( )3 2 3 21 1 1 1 1 2 2 2 2 2, 6 9 , , 6 9A x y x x x x B x y x x x x= − + = − + là tọa độ 
tiếp điểm của ( )( ),d t và đồ thị ( )C . ( )d và ( )t song song với nhau khi 
( ) ( ) 2 21 2 1 1 2 2 1 2' ' 3 12 9 3 12 9 4y x y x x x x x x x= ⇔ − + = − + ⇔ + = . 
Với 
1 2
4x x+ = thì tồn tại 
( )
( )
3
1 1
3
2 2
2 3 2
0 :
2 3 2
x t y x t t
t
x t y x t t
 = − ⇒ = − +
> 
= + ⇒ = − + +
Dễ thấy trung điểm đoạn AB có tọa độ ( ) ( )
1 2
0
1 2
0
2
2
2
2
x x
x
y x y x
y
 +
= =
 + = =
. 
Do đó hai tiếp điểm ,A B đối xứng nhau qua (2;2)M . 
Ví dụ 5 : Cho hàm số 
22
1
x
y
x
=
−
.Tìm 0;
2
π
α  ∈  
 
 sao cho điểm 
( )1 sin ;9M α+ nằm trên đồ thị ( )C . Chứng minh rằng, tiếp tuyến của 
( )C tại điểm M cắt hai tiệm cận của ( )C tại hai điểm ,A B đối xứng nhau qua 
điểm M . 
Giải : 
Vì ( )1 sin ;9M α+ nằm trên đồ thị ( )C nên: 
( )2 2
1
sin2 1 sin
29 2 sin 5 sin 2 0
1 sin 1 sin 2
αα
α α
α α
 =+ = ⇔ − + = ⇔
+ − =
Vì 0;
2
π
α  ∈  
 
 nên 
1 3
sin ;9
2 6 2
M
π
α α  = ⇒ = ⇒  
 
Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M là: 
3 3
' 9
2 2
y y x
   = − +   
   
hay ( ) : 6 18d y x= − + . 
Tiếp tuyến ( )d cắt tiệm cận đứng 1x = tại: ( )1;12A 
Tiếp tuyến ( )d cắt tiệm cận xiên tai điểm B có tọa độ là nghiệm 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
177 
( );x y hệ phương trình: ( )
6 18 2
2;6
2 2 6
y x x
B
y x y
= − + =  
⇔ ⇒ = + =  
Dễ thấy: 
3
2 2
9
2
A B
M
A B
M
x x
x
y y
y
+ = =
 + = =

Suy ra, ,A B đối xứng nhau qua điểm M (đpcm). 
Ví dụ 6: Gọi ( )d là tiếp tuyến của đồ thị 2 3( ) :
2
x
C y
x
−
=
−
tạiM cắt các đường 
tiệm cận tại hai điểm phân biệt ,A B . Tìm tọa độ điểm M sao cho đường 
tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất , với I là giao điểm hai 
tiệm cận . 
Giải : 
Gọi ( ) ( )
( )
0
0 0 0 0 2
0
0
2 3 1
; , '
2 2
x
M x y C y y
x x
−
∈ ⇒ = = −
− −
Phương trình tiếp tuyến ( )d của ( )C tạiM :
( )
0
02
0
0
2 31
( )
22
x
y x x
xx
−−
= − +
−−
( )d cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm phân biệt 0
0
2 2
2; ,
2
x
A
x
 −
  − 
( )02 2;2B x − . 
Dễ thấy M là trung điểm AB và ( )2;2I là giao điểm hai đường tiệm cận. 
Tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 
2
2 2 20
0 0 2
0 0
2 3 1
( 2) 2 ( 2) 2
2 ( 2)
x
S IM x x
x x
π π π π
    − = = − + − = − + ≥    − −     
Dấu đẳng thức xảy ra khi 2
0 2
0
1
( 2)
( 2)
x
x
− =
−
0 0
0 0
1 1
3 3
x y
x y
 = ⇒ =
⇔ 
= ⇒ =
Vậy ( )1;1M ( )3;3M thỏa mãn bài toán. 
Bài toán 3 : 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) ( ):C y f x= đi qua điểm ( )1 1;M x y 
Cách 1 : 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
178 
• Phương trình đường thẳng ( )d đi qua điểmM có hệ số góc là k có dạng : 
( )1 1y k x x y= − + . 
• ( )d tiếp xúc với đồ thị ( )C khi hệ sau ( ) ( )( )
1 1
'
f x k x x y
f x k
 = − +

=
 có nghiệm. 
Cách 2 : 
• Gọi ( )0 0;N x y là tọa độ tiếp điểm của đồ thị ( )C và tiếp tuyến ( )d qua điểm 
M , nên ( )d cũng có dạng ( )0 0 0'y y x x y= − + . 
• ( )d đi qua điểm M nên có phương trình : ( ) ( )1 0 1 0 0' *y y x x y= − + 
• Từ phương trình ( )* ta tìm được tọa độ điểm ( )0 0;N x y , từ đây ta tìm được 
phương trình đường thẳng ( )d . 
Ví dụ 2: Cho hàm số : 
4
2 53
2 2
x
y x= − + có đồ thị là ( )C . Giả sử 
( )M C∈ có hoành độ a . Với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của ( )C tại M 
cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt khác M . 
Giải : 
Vì ( )M C∈ nên 
4
2 5; 3
2 2M
a
M a y a
 
= − + 
 
Tiếp tuyến tại M có hệ số góc ' 32 6
M
y a a= − 
Tiếp tuyến tại M có dạng : 
( )
4
' 3 2 5( ) : (2 6 )( ) 3
2 2Mx M M
a
y y x x y d y a a x a a= − + ⇒ = − − + − + 
Tiếp tuyến ( )d của ( )C tại M cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt khác M khi 
phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt : 
4 4
2 3 25 53 (2 6 )( ) 3
2 2 2 2
x a
x a a x a a− + = − − + − + hay phương trình 
2 2 3( ) ( 2 3 6) 0x a x ax a− + + − = có 3 nghiệm phân biệt , nghĩa là phương trình 
( ) 2 32 3 6 0g x x ax a= + + − = có hai nghiệm phân biệt và khác a . 
' 2 2 2
( )
2 2
(3 6) 0 3 0 3
( ) 6 6 0 1 1
g x
a a a a
g a a a a
 ∆ = − − > − < <  
⇔ ⇔ ⇔  
= − ≠ ≠ ≠ ±    
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
179 
Vậy giá trị a cần tìm 
3
1
a
a
 <

≠ ±
Bài tập tương tự : 
1. Tìm m để tiếp tuyến đi qua điểm ( )2; 2M m + của đồ thị hàm số 
3 3y x x m= − + phải đi qua gốc tọa độ O . 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1. 
)a Tìm ,a b biết rằng đồ thị của hàm số ( )
2
1
ax bx
f x
x
−
=
−
đi qua điểm 
5
1;
2
A
 
− 
 
và tiếp tuyến tại ( )0;0O có hệ số góc bằng 3− . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ 
thị ứng với giá trị ,a b vừa tìm được. 
)b Tìm ,a b biết rằng đồ thị của hàm số ( ) 22f x x ax b= + + tiếp xúc với 
hypebol )a Tìm ,a b biết rằng đồ thị của hàm số 
1
y
x
= tại điểm 
1
;2
2
M
 
 
 
2. 
)a Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm ( )1; 2A − và tiếp xúc với 
parabol 2 2y x x= − 
)b Chứng minh hai đường cong 3 2
5
2, 2
4
y x x y x x= + − = + − tiếp xúc nhau 
tại M , viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đó . 
)c Chứng minh rằg các đồ thị của ba hàm số 
( ) ( )2 3 23 6, 4,f x x x g x x x= − + + = − + ( ) 2 7 8h x x x= + + tiếp xúc nhau tại 
điểm ( )1;2A − . 
)d Chứng minh rằng các đồ thị của ai hàm số 
( ) ( )
2 3 3
,
2 2 2
x x
f x x g x
x
= + =
+
tiếp xúc nhau . Xác định tiếp điểm và viết 
phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm đó . 
)e Chứng minh rằng các đồ thị của ai hàm số ( ) ( )3 2, 1f x x x g x x= − = − tiếp 
xúc nhau . Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai 
đường cong tại điểm đó . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
180 
3. Cho họ đường cong ( ) 3 2: 3 4mC y x x mx m= − + + − (m là tham số). 
Đường thẳng ( ) : 3d y x= − cắt một đường cong bất kỳ ( )C của họ ( )mC tại 3 
điểm phân biệt , ,A B C (theo thứ tự), tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại B của 
( )C lần lượt cắt đường cong tại điểm thứ hai là M và N . Tìm m để tứ giác 
AMBN là hình thoi. 
4. Cho đường cong ( ) 4 2: 4 3C y x x= − + − .Tìm m và n để đường thẳng 
( ) :d y mx n= + cắt đường cong ( )C tại 4 điểm phân biệt , , ,A B C D ( theo thứ 
tự ) sao cho 
1
2
AB CD BC= = . 
Hướng dẫn : 
1. 
)a 
( ) ( )
( )
2
1 1 5 2
1 1 2 3
' 0 3
a a
b
f
 − − −  = − = ⇔ − − = − = −
)b 
9
6,
2
a b= − = 
2. )a ( ) ( ) ( ) ( ): 1 2 2 2 4 , 2 2d y m x m y x m y x= − − ⇒ = = − = − = − 
)b 
1 5 9
; , 2
2 4 4
M y x
 
− = − 
 
)c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2, ' 1 ' 1 ' 1 5f g h f g h− = − = − = − = − = − = , chứng tỏ tại 
( )1;2A − các đồ thị của ba hàm số có tiếp tuyến chung , nói khác hơn là các đồ 
thị của ba hàm số tiếp xúc nhau tại điểm ( )1;2A − . 
)d ( ) 30;0 ,
2
O y x= 
Cám ơn các bạn đã đọc tài liệu và góp ý để tài liệu hoàn chỉnh . Tài liệu dài 
500 trang, trên đây là phần rút gọn và là những dạng toán phù hợp học sinh 
mọi miền. Tài liệu miễn phí hoàn toàn , không có mục đích thương mại. 
Thư từ góp ý gởi về Email: [email protected] cám ơn. 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
181