Định nghĩa :
Giả sử K là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định trên K được gọi là
• Đồng biến trên K nếu với mọi x1, x2 ∈K, x1< x2=""> f(x1) <>
• Nghịch biến trên K nếu với mọi x1, x2 ∈ K, x1 < x2=""> f(x1) > f(x2)
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu :
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I
• Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f '(x)≥ 0với mọi x ∈ I;
• Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f '(x) ≤ 0 với mọi x ∈ I.
ŀNguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 5 Chương 1 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa : Giả sử K là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định trên K được gọi là • Đồng biến trên K nếu với mọi ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,x x K x x f x f x∈ < ⇒ < ; • Nghịch biến trên K nếu với mọi ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,x x K x x f x f x∈ . 2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I • Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì ( )' 0f x ≥ với mọi x I∈ ; • Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì ( )' 0f x ≤ với mọi x I∈ . 3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong của I ( tức là điểm thuộc I nhưng không phải đầu mút của I ) .Khi đó : • Nếu ( )' 0f x > với mọi x I∈ thì hàm số f đồng biến trên khoảng I ; • Nếu ( )' 0f x < với mọi x I∈ thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I ; • Nếu ( )' 0f x = với mọi x I∈ thì hàm số f không đổi trên khoảng I . Chú ý : • Nếu hàm số f liên tục trên ;a b và có đạo hàm ( )' 0f x > trên khoảng ( );a b thì hàm số f đồng biến trên ;a b . • Nếu hàm số f liên tục trên ;a b và có đạo hàm ( )' 0f x < trên khoảng ( );a b thì hàm số f nghịch biến trên ;a b . • Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn ;a b . * Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng ( );a b thì nó đồng biến trên đoạn ;a b . Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 6 * Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng ( );a b thì nó nghịch biến trên đoạn ;a b . * Nếu hàm số f không đổi trên khoảng ( );a b thì không đổi trên đoạn ;a b . 4. Định lý mở rộng Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . • Nếu '( ) 0f x ≥ với x I∀ ∈ và '( ) 0f x = chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I ; • Nếu '( ) 0f x ≤ với x I∀ ∈ và '( ) 0f x = chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I . 1.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1 : Xét chiều biến thiên của hàm số . Xét chiều biến thiên của hàm số ( )y f x= ta thực hiện các bước sau: • Tìm tập xác định D của hàm số . • Tính đạo hàm ( )' 'y f x= . • Tìm các giá trị của x thuộc D để ( )' 0f x = hoặc ( )'f x không xác định ( ta gọi đó là điểm tới hạn hàm số ). • Xét dấu ( )' 'y f x= trên từng khoảng x thuộc D . • Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện đủ suy ra khoảng đơn điệu của hàm số. Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 2 1. 1 x y x + = − 2 2 1 2. 2 x x y x − + − = + Giải: 2 1. 1 x y x + = − * Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( ) ( );1 1;−∞ ∪ +∞ . * Ta có: ( )2 3 ' 0, 1 1 y x x -= < ∀ ≠ − * Bảng biến thiên: x −∞ 1 +∞ 'y − − y 1 −∞ +∞ 1 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 7 Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( );1−∞ và ( )1;+∞ . 2 2 1 2. 2 x x y x − + − = + * Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( ) ( ); 2 2;−∞ − ∪ − +∞ . * Ta có: ( ) 2 2 4 5 ' , 2 2 x x y x x − − + = ∀ ≠ − + 5 ' 0 1 x y x = − = ⇔ = * Bảng biến thiên : x −∞ 5− 2− 1 +∞ 'y − 0 + + 0 − y +∞ +∞ −∞ −∞ Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng ( )5; 2− − và ( )2;1− , nghịch biến trên các khoảng ( ); 5−∞ − và ( )1;+∞ . Nhận xét: * Đối với hàm số ( . 0) ax b y a c cx d + = ≠ + luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. * Đối với hàm số 2 ' ' ax bx c y a x b + + = + luôn có ít nhất hai khoảng đơn điệu. * Cả hai dạng hàm số trên không thể luôn đơn điệu trênℝ . Bài tập tương tự : Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 2 1 1. 1 x y x − = + 2 4 3 2. 2 x x y x + + = + 1 3. 3 x y x + = 2 3 4. 1 x y x = + 2 2 4 3 5. 2 2 4 x x y x x − + = − − 2 2 2 2 6. 2 1 x x y x x + + = + + Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 3 21. 3 24 26y x x x= − − + + 4 22. 6 8 1y x x x = − + + Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 8 Giải: 3 21. 3 24 26y x x x= − − + + * Hàm số đã cho xác định trên ℝ . * Ta có : 2' 3 6 24y x x= − − + 2 4 ' 0 3 6 24 0 2 x y x x x = − = ⇔ − − + = ⇔ = * Bảng xét dấu của 'y : x −∞ 4− 2 +∞ 'y − 0 + 0 − + Trên khoảng ( )4;2− : ' 0y y> ⇒ đồng biến trên khoảng ( )4;2− , + Trên mỗi khoảng ( ) ( ); 4 , 2;−∞ − +∞ : ' 0y y< ⇒ nghịch biến trên các khoảng ( ); 4 ,−∞ − ( )2;+∞ . Hoặc ta có thể trình bày : * Hàm số đã cho xác định trên ℝ . * Ta có : 2' 3 6 24y x x= − − + 2 4 ' 0 3 6 24 0 2 x y x x x = − = ⇔ − − + = ⇔ = * Bảng biến thiên : x −∞ 4− 2 +∞ 'y − 0 + 0 − y +∞ −∞ Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng ( )4;2− , nghịch biến trên các khoảng ( ); 4−∞ − và ( )2;+∞ . 4 22. 6 8 1y x x x = − + + * Hàm số đã cho xác định trên ℝ . * Ta có: 3 2' 4 12 8 4( 1) ( 2)y x x x x= − + = − + 2 2 ' 0 4( 1) ( 2) 0 1 x y x x x = − = ⇔ − + = ⇔ = * Bảng xét dấu: x −∞ 2− 1 +∞ 'y − 0 + 0 + Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 9 Vậy,hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; )− +∞ và nghịch biến trên khoảng ( ; 2)−∞ − . Nhận xét: * Ta thấy tại 1x = thì 0y = , nhưng qua đó 'y không đổi dấu. * Đối với hàm bậc bốn 4 3 2y ax bx cx dx e= + + + + luôn có ít nhất một khoảng đồng biến và một khoảng nghịch biến. Do vậy với hàm bậc bốn không thể đơn điệu trên ℝ . Bài tập tương tự : Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 3 21. 3 2y x x= − + 3 22. 3 3 2y x x x= + + + 4 213. 2 1 4 y x x= − + − 4 24. 2 3y x x= + − 5 345. 8 5 y x x= − + + 5 4 21 3 36. 2 2 5 4 2 y x x x x= − + − 7 6 577. 9 7 12 5 y x x x= − + + Ví dụ 3 : Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 21. 2y x x= − 2 32. 3y x x= − 23. 1y x x= − 24. 1 2 3 3y x x x= + − + + Giải: 21. 2y x x= − . * Hàm số đã cho xác định trên mỗi nửa khoảng ( );0 2; −∞ ∪ +∞ . * Ta có: ( ) ( ) 2 1 ' , ;0 2; 2 x y x x x − = ∀ ∈ −∞ ∪ +∞ − . Hàm số không có đạo hàm tại các điểm 0, 2x x= = . Cách 1 : + Trên khoảng ( );0−∞ : ' 0y < ⇒ hàm số nghịch biến trên khoảng ( );0−∞ , + Trên khoảng ( )2;+∞ : ' 0y > ⇒ hàm số đồng biến trên khoảng ( )2;+∞ . Cách 2 : Bảng biến thiên : x −∞ 0 2 +∞ 'y − || || + y Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 10 Vậy , hàm số nghịch biến trên khoảng ( );0−∞ và đồng biến trên khoảng ( )2;+∞ 2 32. 3y x x= − * Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng ( ;3]−∞ . * Ta có: ( ) ( ) 2 2 3 3(2 ) ' , ;0 0;3 2 3 x x y x x x − = ∀ ∈ −∞ ∪ − . Hàm số không có đạo hàm tại các điểm 0, 3x x= = . Suy ra, trên mỗi khoảng ( );0−∞ và ( )0;3 : ' 0 2y x= ⇔ = Bảng biến thiên: x −∞ 0 2 3 +∞ 'y − || + 0 − || y Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) , nghịch biến trên các khoảng ( ;0)−∞ và (2;3) . 23. 1y x x= − * Hàm số đã cho xác định trên đoạn 1;1 − . * Ta có: ( ) 2 2 1 2 ' , 1;1 1 x y x x − = ∀ ∈ − − Hàm số không có đạo hàm tại các điểm 1, 1x x= − = . Trên khoảng ( )1;1− : 2' 0 2 y x= ⇔ = ± Bảng biến thiên: x −∞ 1− 2 2 − 2 2 1 +∞ 'y || − 0 + 0 − || y Hàm số đồng biến trên khoảng 2 2 ; 2 2 − , nghịch biến trên mỗi khoảng 2 1; 2 − − và 2 ;1 2 . Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 11 24. 1 2 3 3y x x x= + − + + * Hàm số đã cho xác định trên ℝ . * Ta có: 2 2 3 ' 1 3 3 x y x x + = − + + ( ) 2 22 3 2' 0 3 3 2 3 1 3 3 2 3 x y x x x x x x x ≥ − = ⇔ + + = + ⇔ ⇔ = − + + = + Bảng biến thiên : x −∞ 1− +∞ 'y + 0 − y Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 1)−∞ − , nghịch biến trên khoảng ( 1; )− +∞ . Bài tập tương tự : Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 21. 2y x x= − 22. 1 4 3y x x x= + − − + 33. 3 5y x= − 3 24. 2y x x= − ( ) 25. 4 3 6 1y x x= − + 22 3 6. 3 2 x x y x − + = + 2 2 7. 3 x y x x + = − + Ví dụ 4 :Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 2| 2 3 |y x x= − − Giải: 2 2 2 2 3 khi 1 3 | 2 3 | 2 3 khi 1 3 x x x x y x x x x x − − ≤ − ∨ ≥ = − − = − + + − < < * Hàm số đã cho xác định trên ℝ . * Ta có: 2 2 khi 1 3 ' 2 2 khi 1 3 x x x y x x − = − + − < < Hàm số không có đạo hàm tại 1x = − và 3x = . + Trên khoảng ( )1;3− : ' 0 1y x= ⇔ = ; + Trên khoảng ( ); 1−∞ − : ' 0y < ; + Trên khoảng ( )3;+∞ : ' 0y > . Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 12 Bảng biến thiên: x −∞ 1− 1 3 +∞ 'y − || + 0 − || + y Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng( 1;1)− và (3; )+∞ , nghịch biến trên mỗi khoảng ( ; 1)−∞ − và (1;3) . Bài tập tương tự : Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 21. 5 4y x x= − + 22. 3 7 6 9y x x x= − + + − + 23. 1 2 5 7y x x x= − + − + − 2 24. 7 10y x x x= + − + Ví dụ 5 : Xét chiều biến thiên của hàm số sau: 2 sin cos2y x x= + trên đoạn 0;π . Giải : * Hàm số đã cho xác định trên đoạn 0;π * Ta có: ( )' 2 cos 1 2 sin , 0;y x x x π = − ∈ . Trên đoạn 0;π : 0; cos 0' 0 1 sin 2 x x y x π ∈ == ⇔ ⇔ = 5 2 6 6 x x x π π π = ∨ = ∨ = . Bảng biến thiên: x 0 6 π 2 π 5 6 π π 'y + 0 − 0 + 0 − y Dựa vào bảng biến thiên suy ra : hàm số đồng biến trên các khoảng 0; 6 π và 5 ; 2 6 π π , nghịch biến trên các khoảng ; 6 2 π π và 5 ; 6 π π . Bài tập tương tự : Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 13 1. sin 3y x= trên khoảng 0; 3 π . 2. cotx y x = trên khoảng ( )0;π . 3. ( )1 1sin 4 2 3 cos2 8 4 y x x= − − trên khoảng 0; 2 π . 4. 3 sin 3 cos 6 3 y x x π π = − + + trên đoạn 0;π . Ví dụ 6: Chứng minh rằng hàm số = +2sin cosy x x đồng biến trên đoạn π 0; 3 và nghịch biến trên đoạn π π ; 3 . Giải : * Hàm số đã cho xác định trên đoạn 0;π * Ta có: ( ) ( )π= − ∈' sin 2 cos 1 , 0;y x x x Vì ( )0; sin 0x xπ∈ ⇒ > nên trên ( ) 10; : ' 0 cos 2 3 y x x π π = ⇔ = ⇔ = . + Trên khoảng 0; 3 π : ' 0y > nên hàm số đồng biến trên đoạn π 0; 3 ; + Trên khoảng ; 3 π π : ' 0y < nên hàm số nghịch biến trên đoạn π π ; 3 . Bài tập tương tự : 1. Chứng minh rằng hàm số ( ) ( ) ( )sin sinf x x x x xπ= − − − đồng biến trên đoạn 0; 2 π . 2. Chứng minh rằng hàm số cos2 2 3y x x= − + nghịch biến trên ℝ . 3. Chứng minh rằng hàm số t n 2 x y a= đồng biến trên các khoảng ( )0;π và ( );2 .π π ... i đó (3)có 2 nghiệm phân biệt 1 2 , 0x x ≠ và 1 2 1k k = − ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 22 2 0 0 0 9 1 48 0 3 6 3 6 1 9 18 36 1 a a a a x x x x x x x x x x x x ≠ ≠ ⇔ ∆ > ⇔ − + > + + = − + + + = − ( ) 1 2 1 2 2 1 3 3 81 81 1 108 1 0 3( -1) vì = - 3 ; = 2 a a a a a a a x x a x x − ≠ ⇔ − − − + = + vaø a 0 1 13 3 2727 1 0 a a a a a − ≠ ⇔ ⇔ = − + = vaø 0 Vậy 1 ,0 27 M Ox ∈ thỏa bài toán . Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 174 Bài toán 2 : Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) ( ):C y f x= tại điểm ( )( )0 0;M x f x có dạng : ( ) ( ) ( )0 0 0'y f x x x f x= − + . Ví dụ 1 :Tìm tọa độ tiếp điểm của đồ thị 4 ( ) : 1 x C y x − = − với tiếp tuyến ( )t , biết rằng tiếp tuyến ( )t tạo với đường thẳng ( ) : 2 2010d y x= − + 1 góc 045 . Giải : { }\ 1D• = ℝ • Ta có : ( )2 3 ' , 1 1 y x x = ≠ − • Gọi ( )( )0 0;M x f x là tọa độ tiếp điểm cần tìm thì hệ số góc tiếp tuyến ( )t là ( ) 02 0 3 , 1 1 k x x = ≠ − . • Vì ( )t và( )d tạo nhau 1 góc 045 khi 0 1 2 t n 45 3 1 2 3 k k a k k + = −= ⇔ − = ( )20 1 3 1 * 3 31 k x = − ⇔ = − − điều này không xảy ra . ( ) 2 0 02 0 3 * 3 3 2 0 1 k x x x = ⇔ = ⇔ − = − ( ) ( ) 0 0 0 0 0 4 0;4 2 2 2; 2 x y M x y M = ⇒ = ⇒ ⇔ = ⇒ = − ⇒ − Ví dụ 2 : Cho hàm số 2 3 2 x y x + = − , có đồ thị ( )C . Tìm tất cả các tham số m để đường thẳng ( ) : 2t y x m= + cắt ( )C tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến tại đó song song với nhau. Giải : Đường thẳng ( ) : 2t y x m= + cắt ( )C tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến tại đó song song với nhau khi và chỉ khi phương trình 2 3 2 2 x x m x + = + − có hai Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 175 nghiệm phân biệt 1 2 ,x x thỏa mãn điều kiện ( ) ( )1 2' 'y x y x= . Khi đó phương trình ( ) ( )22 6 2 3 0g x x m x m= + − − − = có 2 nghiệm phân biệt 1 2,x x khác 2 và thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) 1 22 2 1 2 7 7 4 2 2 x x x x − = − ⇔ + = − − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 6 8 2 3 0 2 2.2 6 .2 2 3 0 2 6 4 2 m m g m m m m ∆ = − + + > ⇔ = + − − − ≠ ⇔ = − − = . Ví dụ 3: Cho hàm số 2 1 x y x = + có đồ thị là ( )C . Tìm trên đồ thị ( )C những điểm M , sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai trục tọa độ ,Ox Oy tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho diện tích tam giác AOB có diện tích bằng 1 4 . Giải : Gọi ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 ; ' 1 1 x M x y C y y x x ∈ ⇒ = ⇒ = + + Phương trình tiếp tuyến ( )t của ( )C tại M là : ( ) ( ) 2 0 0 2 2 0 0 22 1 1 x y x x x = + + + . Tiếp tuyến ( )t cắt hai trục tọa độ ,Ox Oy tại hai điểm phân biệt ( )20; 0A x− , ( ) 2 0 2 0 2 0; 1 x B x + sao cho diện tích tam giác AOB có diện tích bằng 1 4 khi đó ( ) ( ) 2 2 2 20 0 0 02 0 21 1 1 1 . . . . 4 1 0 2 4 2 21 x OAOB OAOB x x x x = ⇔ = ⇔ = ⇔ − + = + ( ) 2 0 0 0 2 0 0 0 1 1 2 1 0 ; 2 2 2 2 1 0 1 1;1 x x x M x x x M + + = = − ⇒ − − ⇔ − − = = ⇒ . Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán 1 ; 2 2 M − − , ( )1;1M . Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 176 Ví dụ 4 : Chứng minh rằng nếu các tiếp tuyến ( )( ),d t của đồ thị ( ) :C 3 26 9y x x x= − + song song với nhau thì hai tiếp điểm ,A B đối xứng nhau qua (2;2)M . Giải : Gọi ( )( ) ( )( )3 2 3 21 1 1 1 1 2 2 2 2 2, 6 9 , , 6 9A x y x x x x B x y x x x x= − + = − + là tọa độ tiếp điểm của ( )( ),d t và đồ thị ( )C . ( )d và ( )t song song với nhau khi ( ) ( ) 2 21 2 1 1 2 2 1 2' ' 3 12 9 3 12 9 4y x y x x x x x x x= ⇔ − + = − + ⇔ + = . Với 1 2 4x x+ = thì tồn tại ( ) ( ) 3 1 1 3 2 2 2 3 2 0 : 2 3 2 x t y x t t t x t y x t t = − ⇒ = − + > = + ⇒ = − + + Dễ thấy trung điểm đoạn AB có tọa độ ( ) ( ) 1 2 0 1 2 0 2 2 2 2 x x x y x y x y + = = + = = . Do đó hai tiếp điểm ,A B đối xứng nhau qua (2;2)M . Ví dụ 5 : Cho hàm số 22 1 x y x = − .Tìm 0; 2 π α ∈ sao cho điểm ( )1 sin ;9M α+ nằm trên đồ thị ( )C . Chứng minh rằng, tiếp tuyến của ( )C tại điểm M cắt hai tiệm cận của ( )C tại hai điểm ,A B đối xứng nhau qua điểm M . Giải : Vì ( )1 sin ;9M α+ nằm trên đồ thị ( )C nên: ( )2 2 1 sin2 1 sin 29 2 sin 5 sin 2 0 1 sin 1 sin 2 αα α α α α =+ = ⇔ − + = ⇔ + − = Vì 0; 2 π α ∈ nên 1 3 sin ;9 2 6 2 M π α α = ⇒ = ⇒ Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M là: 3 3 ' 9 2 2 y y x = − + hay ( ) : 6 18d y x= − + . Tiếp tuyến ( )d cắt tiệm cận đứng 1x = tại: ( )1;12A Tiếp tuyến ( )d cắt tiệm cận xiên tai điểm B có tọa độ là nghiệm Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 177 ( );x y hệ phương trình: ( ) 6 18 2 2;6 2 2 6 y x x B y x y = − + = ⇔ ⇒ = + = Dễ thấy: 3 2 2 9 2 A B M A B M x x x y y y + = = + = = Suy ra, ,A B đối xứng nhau qua điểm M (đpcm). Ví dụ 6: Gọi ( )d là tiếp tuyến của đồ thị 2 3( ) : 2 x C y x − = − tạiM cắt các đường tiệm cận tại hai điểm phân biệt ,A B . Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất , với I là giao điểm hai tiệm cận . Giải : Gọi ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 2 0 0 2 3 1 ; , ' 2 2 x M x y C y y x x − ∈ ⇒ = = − − − Phương trình tiếp tuyến ( )d của ( )C tạiM : ( ) 0 02 0 0 2 31 ( ) 22 x y x x xx −− = − + −− ( )d cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm phân biệt 0 0 2 2 2; , 2 x A x − − ( )02 2;2B x − . Dễ thấy M là trung điểm AB và ( )2;2I là giao điểm hai đường tiệm cận. Tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 2 2 2 20 0 0 2 0 0 2 3 1 ( 2) 2 ( 2) 2 2 ( 2) x S IM x x x x π π π π − = = − + − = − + ≥ − − Dấu đẳng thức xảy ra khi 2 0 2 0 1 ( 2) ( 2) x x − = − 0 0 0 0 1 1 3 3 x y x y = ⇒ = ⇔ = ⇒ = Vậy ( )1;1M ( )3;3M thỏa mãn bài toán. Bài toán 3 : Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) ( ):C y f x= đi qua điểm ( )1 1;M x y Cách 1 : Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 178 • Phương trình đường thẳng ( )d đi qua điểmM có hệ số góc là k có dạng : ( )1 1y k x x y= − + . • ( )d tiếp xúc với đồ thị ( )C khi hệ sau ( ) ( )( ) 1 1 ' f x k x x y f x k = − + = có nghiệm. Cách 2 : • Gọi ( )0 0;N x y là tọa độ tiếp điểm của đồ thị ( )C và tiếp tuyến ( )d qua điểm M , nên ( )d cũng có dạng ( )0 0 0'y y x x y= − + . • ( )d đi qua điểm M nên có phương trình : ( ) ( )1 0 1 0 0' *y y x x y= − + • Từ phương trình ( )* ta tìm được tọa độ điểm ( )0 0;N x y , từ đây ta tìm được phương trình đường thẳng ( )d . Ví dụ 2: Cho hàm số : 4 2 53 2 2 x y x= − + có đồ thị là ( )C . Giả sử ( )M C∈ có hoành độ a . Với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của ( )C tại M cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt khác M . Giải : Vì ( )M C∈ nên 4 2 5; 3 2 2M a M a y a = − + Tiếp tuyến tại M có hệ số góc ' 32 6 M y a a= − Tiếp tuyến tại M có dạng : ( ) 4 ' 3 2 5( ) : (2 6 )( ) 3 2 2Mx M M a y y x x y d y a a x a a= − + ⇒ = − − + − + Tiếp tuyến ( )d của ( )C tại M cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt khác M khi phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt : 4 4 2 3 25 53 (2 6 )( ) 3 2 2 2 2 x a x a a x a a− + = − − + − + hay phương trình 2 2 3( ) ( 2 3 6) 0x a x ax a− + + − = có 3 nghiệm phân biệt , nghĩa là phương trình ( ) 2 32 3 6 0g x x ax a= + + − = có hai nghiệm phân biệt và khác a . ' 2 2 2 ( ) 2 2 (3 6) 0 3 0 3 ( ) 6 6 0 1 1 g x a a a a g a a a a ∆ = − − > − < < ⇔ ⇔ ⇔ = − ≠ ≠ ≠ ± Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 179 Vậy giá trị a cần tìm 3 1 a a < ≠ ± Bài tập tương tự : 1. Tìm m để tiếp tuyến đi qua điểm ( )2; 2M m + của đồ thị hàm số 3 3y x x m= − + phải đi qua gốc tọa độ O . BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1. )a Tìm ,a b biết rằng đồ thị của hàm số ( ) 2 1 ax bx f x x − = − đi qua điểm 5 1; 2 A − và tiếp tuyến tại ( )0;0O có hệ số góc bằng 3− . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ứng với giá trị ,a b vừa tìm được. )b Tìm ,a b biết rằng đồ thị của hàm số ( ) 22f x x ax b= + + tiếp xúc với hypebol )a Tìm ,a b biết rằng đồ thị của hàm số 1 y x = tại điểm 1 ;2 2 M 2. )a Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm ( )1; 2A − và tiếp xúc với parabol 2 2y x x= − )b Chứng minh hai đường cong 3 2 5 2, 2 4 y x x y x x= + − = + − tiếp xúc nhau tại M , viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đó . )c Chứng minh rằg các đồ thị của ba hàm số ( ) ( )2 3 23 6, 4,f x x x g x x x= − + + = − + ( ) 2 7 8h x x x= + + tiếp xúc nhau tại điểm ( )1;2A − . )d Chứng minh rằng các đồ thị của ai hàm số ( ) ( ) 2 3 3 , 2 2 2 x x f x x g x x = + = + tiếp xúc nhau . Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm đó . )e Chứng minh rằng các đồ thị của ai hàm số ( ) ( )3 2, 1f x x x g x x= − = − tiếp xúc nhau . Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm đó . Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 180 3. Cho họ đường cong ( ) 3 2: 3 4mC y x x mx m= − + + − (m là tham số). Đường thẳng ( ) : 3d y x= − cắt một đường cong bất kỳ ( )C của họ ( )mC tại 3 điểm phân biệt , ,A B C (theo thứ tự), tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại B của ( )C lần lượt cắt đường cong tại điểm thứ hai là M và N . Tìm m để tứ giác AMBN là hình thoi. 4. Cho đường cong ( ) 4 2: 4 3C y x x= − + − .Tìm m và n để đường thẳng ( ) :d y mx n= + cắt đường cong ( )C tại 4 điểm phân biệt , , ,A B C D ( theo thứ tự ) sao cho 1 2 AB CD BC= = . Hướng dẫn : 1. )a ( ) ( ) ( ) 2 1 1 5 2 1 1 2 3 ' 0 3 a a b f − − − = − = ⇔ − − = − = − )b 9 6, 2 a b= − = 2. )a ( ) ( ) ( ) ( ): 1 2 2 2 4 , 2 2d y m x m y x m y x= − − ⇒ = = − = − = − )b 1 5 9 ; , 2 2 4 4 M y x − = − )c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2, ' 1 ' 1 ' 1 5f g h f g h− = − = − = − = − = − = , chứng tỏ tại ( )1;2A − các đồ thị của ba hàm số có tiếp tuyến chung , nói khác hơn là các đồ thị của ba hàm số tiếp xúc nhau tại điểm ( )1;2A − . )d ( ) 30;0 , 2 O y x= Cám ơn các bạn đã đọc tài liệu và góp ý để tài liệu hoàn chỉnh . Tài liệu dài 500 trang, trên đây là phần rút gọn và là những dạng toán phù hợp học sinh mọi miền. Tài liệu miễn phí hoàn toàn , không có mục đích thương mại. Thư từ góp ý gởi về Email: phukhanh@moet.edu.vn cám ơn. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 181
Tài liệu đính kèm: