Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán năm 2020 - Lê Trung Kiên

Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
BLOG TOÁN 
Tµi liÖu «n thi 
THPT quèc gia 
N¨m 2020 
Họ và tên học sinh: . 
Lớp: . 
Trang 1 
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Lời nói đầu ! 
Xin lấy một đoạn trích từ tiểu thuyết trinh thám rất nổi tiếng 
“ Phía sau nghi can X” của tác giả Higashino Keigo làm lời 
nói đầu, đây cũng là suy nghĩ của rất nhiều thầy, cô giáo dạy 
toán, chúc các em học sinh tìm được niềm yêu thích học toán, 
học toán vui vẻ và thắng lợi trong các kì thi sắp tới ! 
- Thưa thầy, có những trường đại học không thi đầu vào bằng môn toán. Ai 
thi vào những trường đó thì điểm môn toán thế nào mà chẳng được hả thầy. 
Ishigami nhìn về phía có tiếng nói. Cậu học sinh tên là Morioka. Cậu ta đưa 
tay gãi gãi gáy và nói với các bạn xung quanh:”Mọi người nhỉ!” 
Tuy không phải là giáo viên chủ nhiệm nhưng Ishigami cũng biết cậu 
Morioka nhỏ con này là thủ lĩnh của lớp. cậu ta bị nhắc nhở nhiều lần vì lén 
dùng xe máy đi học. 
- Em sẽ thi trường như thế hả Morioka? – Ishigami hỏi. 
- Nếu thi thì em sẽ chọn trường như thế tuy bây giờ em chưa muốn học lên 
đại học. nhưng dù thế nào thì lên lớp mười hai, em sẽ không học môn toán 
nữa. Điểm toán sẽ chẳng quan trọng gì đối với em. Ngay cả thầy cũng mệt vì 
phải dạy những đứa dốt như bọn em rồi. Thôi thì chúng ta, nói thế nào nhỉ, 
hãy cư xử như người lớn với nhau. 
Cả lờp cười ồ lên trước câu nói cuối cùng của Morioka. Ishigami mỉm cười. 
- Nếu em nghĩ tới các thầy thì hãy đỗ trong kì thi lại lần tới. Phạm vi chỉ có 
phần vi phân và tích phân thôi. Chẳng có gì đáng kể cả. 
Morioka tặc lưỡi một cái rất to. Cậu ta thu hai chân đang dạng ra hai bên 
rồi vắt tréo lên nhau. 
- Vi phân với tích phân thì có ích cho việc gì ạ? Có vẻ như chỉ phí thời gian. 
Ishigami đang quay lên bảng, định chữa bài thi cuối kì nhưng anh quay lại 
khi nghe thấy câu nói của Morioka. Đó là câu hỏi anh không thể bỏ qua. 
- Em thích xe máy, đúng không nhỉ? Em đã xem đua xe bao giờ chưa? 
Morioka bối rối gật đầu trước câu hỏi bất ngờ của Ishigami. 
- Các tay đua không chạy xe với một vận tốc nhất định. Họ luôn luôn thay 
đổi vận tốc, không chỉ để thích ứng với địa hình và hướng gió mà còn vì 
những lý do mang tính chiến thuật nữa. Việc phán đoán ngay tức thì xem 
chỗ nào nên giảm tốc, chỗ nào nên tăng tốc và tăng như thế nào sẽ quyết 
định việc thắng hay thua. Em có hiểu không? 
- Em hiểu, nhưng việc đó thì có liên quan gì tới toán học? 
- Mức tăng tốc này chính là phép vi phân của vận tốc tại thời điểm đó. Còn 
cự ly đua chính là phép tích phân của vận tốc liên tục thay đổi. trong một 
cuộc đua, tất nhiên xe nào cũng chạy cùng một cự ly nhưng để giành chiến 
Trang 2 
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
thắng thì việc tính vi phân vận tốc sẽ là yếu tố rất quan trọng. Thế nào, có 
phải vi phân và tích phân không có ích cho việc gì không? 
Mặt Morioka có vẻ bối rối, có lẽ cậu không hiểu điều Ishigami vừa nói lắm. 
- Nhưng mà những tay đua họ có nghĩ đến việc đó không? Tích phân với cả 
vi phân ấy. em nghĩ thắng hay thua là bằng kinh nghiệm và cảm giác thôi. 
- Tất nhiên. Nhưng những nhân viên hỗ trợ cho các tay đua thì có nghĩ đến 
đấy. để lên chiến lược cho tay đua, họ sẽ phải mô phỏng thật chi tiết nhiều 
lần xem tăng tốc ở đoạn nào và tăng tốc như thế nào thì có thể giành phần 
thắng. khi ấy họ phải dùng đến phép tích phân và vi phân. Có lẽ bản thân họ 
cũng không biết là mình đang sử dụng tích phân và vi phân nhưng việc học 
sử dụng phần mềm có ứng dụng vi phân và tích phân là sự thật. 
- Nếu thế thì chỉ cần người làm ra phần mềm đó học toán thôi phải không ạ? 
- Có lẽ vậy, nhưng không hẳn là em sẽ không trở thành người như vậy phải 
không Morioka? 
Morioka ưỡn người ra đằng sau. 
- Em không trở thành người như thế đâu. 
- Không phải là em thì sẽ là ai đó đang có mặt ở đây. Giờ toán là để cho một 
ai đó như thế. – Ishigami nhìn xuống cả lớp. – Thầy nói cho các em biết, 
những điều thầy đang dạy các em mới chỉ là cánh cửa để bước vào thế giới 
toán học mà thôi. Nếu các em không biết cánh cửa đó ở đâu thì các em 
không thể đi vào bên trong được. tất nhiên, em nào không thích thì không 
cần vào. Thầy kiểm tra các em là chỉ muốn xem các em có biết cổng vào ở 
chỗ nào hay không thôi. 
“Suy nghĩ, suy nghĩ, suy nghĩ nữa”. 
“Nghiên cứu khoa học giống như khoan gỗ, có người thích khoan gỗ mỏng, 
còn tôi thích khoan gỗ dày”. 
 Anbe Anhxtanh 
Trang 3 
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Chủ đề 1: Khảo sát hàm số và các vấn 
đề liên quan 
1.Bảng các đạo hàm 
 n n 1x n.x    n n 1u n.u .u  
  1x
2 x
    uu
2 u
  
2
1 1
x x
     
 2
1 u
u u
      
 x 1  , c 0  , 
 k.u k.u  
 u v u v     
 uv u v uv    
2
u u v uv
v v
      
 s inx cos x   sin u u .cos u  
 cos x s inx    cos u u .sin u   
  2
1tan x
cos x
    2
utan u
cos u
  
  2
1cot x
sin x
    2
ucot u
sin u
   
2. Xét dấu biểu thức. 
 Định lý về dấu của nhị thức 
bậc nhất    y f x =ax b a 0   
X  b
a
  
Y  af x 0 0  af x 0 
 Định lý về dấu của tam thức bậc 
hai  2y ax bx c a 0    
 22 bb 4ac b ac ,b
4 2
            
+) Nếu  0 0    phương trình 
y 0 vô nghiệm. 
X   
Y  af x 0 
+) Nếu  0 0    phương trình y=0 
có nghiệm kép 1,2
bx
2a
  
x  b
2a
  
y  af x 0 0  af x 0 
+) Nếu 0   0  phương trình 
y 0 có hai nghiệm phân biệt 
b bx
2a a
        , sắp xếp hai 
nghiệm 1 2x x 
x  1x 2x  
y  af x 0 0  af x 0 0  af x 0 
 Định lý vi-et: Khi phương trình 
bậc hai 
 2ax bx c 0 a 0    có hai nghiệm 
1 2x ; x ta có 
1 2
1 2
bx x
a
cx .x
a
   

 
3. Phương trình tiếp tuyến ( 3PT ) 
 3PT với đồ thị hàm số  y f x 
tại điểm  0 0M x ; y có hệ số góc là 
 0f x 
 3PT với đồ thị hàm số  y f x 
tại điểm  0 0M x ; y có dạng : 
   0 0 0y f x x x y   ,  0 0y f x 
M được gọi là tiếp điểm 
0x được gọi là hoành độ của tiếp điểm 
0y được gọi là tung độ của tiếp điểm 
 0f ' x được gọi là hệ số góc của tiếp 
tuyến. 
 Nếu 3PT song song với đường 
thẳng y ax b  thì  0f x a  
 Nếu 3PT vuông góc với đường 
thẳng y ax b  thì  0 1f x a   
Trang 4 
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
 Nếu 3PT tạo với trục 0x một góc 
 thì  0f x tan    
 Nếu 3PT cắt hai trục tọa độ tạo 
thành một tam giác vuông cân thì 
 0f x 1   
4. Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số 
 Tìm tập xác định của hàm số 
 Tính đạo hàn  f x , tìm các 
điểm  ix i 1, 2...n mà tại đó đạo hàm 
bằng không hoặc không xác định. 
 Sắp xếp ix theo thứ tự tăng dần 
và lập bảng biến thiên. 
 Nêu các kết luận về sự đồng biến 
nghịch biến của hàm số 
5. Quy tắc 1 tìm cực trị hàm số 
 Tìm tập xác định của hàm số 
 Tính  f x , tìm các 
điểm  ix i 1, 2...n mà tại đó đạo hàm 
bằng không hoặc không xác định. 
 Sắp xếp ix theo thứ tự tăng dần 
và lập bảng biến thiên 
 Từ bảng biến thiên suy ra các 
điểm cực trị của hàm số. 
6. Quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số 
 Tìm tập xác định 
 Tính  f x , giải phương trình 
 f x 0  và kí hiệu  ix i 1, 2...n là các 
nghiệm của nó. 
 Tính  f x và  if x 
 Nếu  0f x 0  thì 0x là điểm 
cực tiểu. 
 Nếu  0f x 0  thì 0x là điểm 
cực đại. 
Chú ý nếu  0 0 f x thì ta không kết 
luận được về tính cực trị hàm số tại 0x 
7.Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm 
số liên tục trên một đoạn. 
 Tìm các điểm 1 2 nx ; x ; ...; x trên 
 a;b mà tại đó  f x 0  hoặc không 
xác định. 
 Tính 
         1 2 nf a ; f x ; f x ;...; f x ;f b . 
 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ 
nhất m trong các số trên. Khi đó: 
 
 
 
 
a;ba;b
M max f x , m min f x  
Chú ý: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số 
trên một khoảng, nửa khoảng ta có thể 
lập bảng biến thiên của hàm số trên 
khoảng, nửa khoảng đó và từ đó kết 
luận. Không phải hàm số nào cũng có 
GTLN, GTNN. 
8. Đường tiệm cận 
 Đường tiệm cân ngang: 0y y là 
tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 
 y f x nếu:   0xlim f x y  
 Đường tiệm cận đứng: 0x x là 
tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
 y f x nếu 
0x x
lim

  
9. Tương giao của hai đồ thị. 
 Xét hai hàm số  y f x và 
 y g x tọa độ giao điểm của đồ thị hai 
hàm số là nghiệm của hệ phương trình. 
 
 
y f x
y g x

 
 Đường thẳng y ax b  là 3PT 
của đồ thị hàm số  y f x , khi và chỉ khi 
phương trình 
 
 
f x ax b
f x a
 
  
 có nghiệm. 
Trang 5 
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
10. Một số hàm số thường gặp: 
10.1 Haøm soá baäc ba 3 2 ( 0)y ax bx cx d a     : 
  Taäp xaùc ñònh D = R. 
  Caùc daïng ñoà thò: 
 a > 0 a < 0 
y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân 
bieät 
  ’ = b2 – 3ac > 0 
y’ = 0 coù nghieäm keùp 
  ’ = b2 – 3ac = 0 
y’ = 0 voâ nghieäm 
  ’ = b2 – 3ac < 0 
Một số công thức cần nhớ: 
 2' 3 2y a bx c   
 Hàm số không có cực trị: 2 3 0b ac  
 Hàm số có hai điểm cực trị: 2 3 0b ac  
 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị trái dấu (Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về 
2 phía 0y): 0ac  
 Hàm số có hai cực trị cùng dấu( đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về một phía 
 trục 0y): 2' 3 2y a bx c   có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 
1 2
' 0
. 0x x
 
 
 Hàm số có hai cực trị cùng dương ( đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về bên phải 
trục 0y: 2' 3 2y a bx c   có hai nghiệm dương phân biệt 1 2
1 2
' 0
0
0
x x
x x
 
 
  
y 
x 
0 
I 
y 
x 
0 
I 
y 
x 
0 
I 
y 
x 
0 
I 
Trang 6 
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
 Hàm số có hai cực trị cùng âm (đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về bên trái trục 
0y ): 2' 3 2y a bx c   có hai nghiệm âm phân biệt 1 2
1 2
' 0
0
0
x x
x x
 
 
  
 Phương trình 0y  có ba nghiệm tạo thành một cấp số cộng: Phương trình có ba 
nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là: 
3
b
a
 
 Phương trình 0y  có ba nghiệm tạo thành một cấp số nhân: Phương trình có ba 
nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là: 3 d
a
 
 Khoảng cách giữa 2 điểm cực trị của hàm số: 
3 24 16 3,
9
e e b ace
a a
  
10.2. Haøm soá truøng phöông 4 2 ( 0)y ax bx c a    : 
  Taäp xaùc ñònh D = R. 
  Ñoà thò ... öôøng thaúng d. 
  Caùch 2: Goïi (P) = 0 1M d( , ) , (Q) = 
0 2M d( , ) . Khi ñoù d = (P)  (Q). Do ñoù, moät 
VTCP cuûa d coù theå choïn laø    P Qu n n,
   . 
Loaïi 9: d naèm trong maët phaúng (P) vaø caét caû hai 
ñöôøng thaúng d1, d2: 
 Tìm caùc giao ñieåm A = d1  (P), B = d2  
(P). Khi ñoù d chính laø ñöôøng thaúng AB. 
Loaïi 10: d song song vôùi  vaø caét caû hai ñöôøng 
thaúng d1, d2: 
 Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa  vaø 
d1, maët phaúng (Q) chöùa  vaø d2. 
 Khi ñoù d = (P)  (Q). 
Loaïi 11: d laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa hai 
ñöôøng thaúng d1, d2 cheùo nhau: 
  Caùch 1: Goïi M  d1, N  d2. Töø ñieàu kieän 
1
2
MN d
MN d
 
 
, ta tìm ñöôïc M, N. 
 Khi ñoù, d laø ñöôøng thaúng MN. 
  Caùch 2: 
 – Vì d  d1 vaø d  d2 neân moät VTCP cuûa d 
coù theå laø: 
1 2
   d du u u,
  
. 
 – Laäp phöông trình maët phaúng (P) chöùa d 
vaø d1, baèng caùch: 
 + Laáy moät ñieåm A treân d1. 
 + Moät VTPT cuûa (P) coù theå laø: 
1
   dPn u u,
  . 
 – Töông töï laäp phöông trình maët phaúng 
(Q) chöùa d vaø d2. 
 Khi ñoù d = (P)  (Q). 
Loaïi 12: d laø hình chieáu cuûa ñöôøng thaúng  leân 
maët phaúng (P): 
 d qua điểm M là giao của  và (P) 
 VTCT của d là: 
      d P Pu u n n, ,
    . 
 Loaïi 13: d ñi qua ñieåm M, vuoâng goùc vôùi d1 
vaø caét d2: 
Trang 25 
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
  Caùch 1: Goïi N laø giao ñieåm cuûa d vaø d2. Töø 
ñieàu kieän MN  d1, ta tìm ñöôïc N. 
 Khi ñoù, d laø ñöôøng thaúng MN. 
  Caùch 2: 
 – Vieát phöông trình maët phaúng (P) qua M 
vaø vuoâng goùc vôùi d1. 
 – Vieát phöông trình maët phaúng (Q) chöùa 
M vaø d2. 
 Khi ñoù d = (P)  (Q). 
7. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng 
 Khoảng cách từ  0 0 oM x ; y ;z 
đến mặt phẳng  :Ax By Cz D 0     là 
   0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
d M;
A B C
  
 
 
8. Góc 
 Nếu  :Ax By Cz D 0     
thì   có một VTPT  n A;B;C

 Nếu d: 
0 1
0 2
0 3
x x u t
y y u t
z x u t
 
  
  
 hoặc 
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
u u u
    thì d có một VTCP 
 1 2 3u u ;u ;u

    d d 'cos d;d ' cos u ;u   
          cos ; cos n ;n      
     dsin d; cos u ;n    
9. Vị trí tương đối của hai đường thẳng 
 Để xét vị trí tương đối của hai 
đường thẳng 
0 1
0 2
0 3
x x u t
d : y y u t
z z u t
 
  
  
, có VTCP  1 2 3u u ;u ;u

, qua 
 0 0 0M x ; y ;z 
0 1
0 2
0 3
x x ' u ' t '
d ' : y y ' u ' t '
z z ' u ' t '
 
  
  
 ,có VTCP  1 2 3u ' u ' ;u ' ;u '

 ta 
làm theo các bước: 
 Bước 1. Nếu u ' ku
M d '
 
 
 
 thì d trùng d’ 
 Nếu u ' ku
M d '
 
 
 
 thì d song song với d’. 
Nếu u ' ku
 
 chuyển sang bước 2. 
Bước 2. Xét hê phương trình 
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
x u t x ' u ' t '
y u t y ' u ' t '
z u t z ' u ' t '
  
   
   
-Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì d và d’ chéo 
nhau 
- Nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất t, t’ thì 
hai đường thẳng cắt nhau. 
10. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt 
phẳng 
Cho 
0 1
0 2
0 3
x x u t
d : y y u t
z z u t
 
  
  
 và 
 :Ax By Cz D 0     để xét vị trí tương đối 
của d và   ta xét hệ phương trình 
0 1
0 2
0 3
x x u t
y y u t
z z u t
Ax By Cz D 0
 
  
  
    
-Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì d song song 
  
-Nếu hệ phương trình có vô số nghiệm thì d nằm 
trong   
-Nếu hệ phương trình có một nghiệm thì d cắt   
Trang 26 
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Chủ đề 11: Phép dời hình và phép biến hình 
trong mặt phẳng 
1.Phép biến hình: Qui taéc ñaët töông öùng moãi 
ñieåm M cuûa maët phaúng vôùi moät ñieåm xaùc ñònh 
duy nhaát M cuûa maët phaúng ñoù ñgl pheùp bieán 
hình trong maët phaúng. 
 Neáu kí hieäu pheùp bieán hình laø F thì ta vieát 
F(M) = M hay M = F(M). M ñgl aûnh cuûa M qua 
pheùp bieán hình F. 
 Cho hình H. Khi ñoù: 
 H = {M = F(M) / M  H} 
ñgl aûnh cuûa H qua F. 
 Pheùp bieán hình bieán moãi ñieåm M thaønh chính 
noù ñgl pheùp ñoàng nhaát. 
2.Phép tịnh tiến véc tơ v

v vT : (P) (P),M M ' T (M) MM ' v    
 
 
v
x ' x a
T : M(x; y) M '(x '; y ')
y ' y b
    
  
3.Phép quay tâm O góc  
 
 
O;Q : (P) (P),O O,M O M '
OM OM '
OM,OM '
  
   
 
4.Phép dời hình, hai hình bằng nhau: 
 F là phép dời hình  
F : M M ', N N ' MN M ' N '   
 Các phép đồng nhất, phép tịnh 
tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép 
quay là phép dời hình. 
 Phép biến hình có được bằng 
cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là 
một phép dời hình. 
 Hai hình được gọi là bằng nhau 
nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình 
kia. 
5. Phép vị tự tâm O tỉ số k 
 Cho điểm O và số k 0 . Phép 
biến hình biến mỗi điểm M thành M ' sao cho 
OM ' k.OM
 
 được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k 
kí hiệu  O;kV 
6. Phép đồng dạng 
 Định nghĩa: Phép biến hình F 
được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k>0), nếu với 
hai điểm bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của 
chúng luôn có M’N’=k.MN 
 Nếu thực hiện liên tiếp phép 
đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p, ta 
được phép đồng dạng tỉ số pk 
 Hai hình được gọi là đồng dạng 
với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình 
này thành hình kia. 
Trang 27 
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Chủ đề 12: Phương pháp tọa độ trong mặt 
phẳng 
1. Tọa độ véc tơ, các phép toán véc tơ 
 Cho hai điểm  A AA x ; y và 
 B BB x ; y . Ta có:  B A B AAB x x ; y y  

 Cho  1 2 1 2u u ;u , v(v ; v )
 
. Khi đó 
   1 2 1 2 1 2u v u u ; v v ;ku ku ;ku ,k    
  
 
1 1
2 2
u v
u v
u v
   
 
2. Tọa độ trung điểm, trọng tâm 
 Cho A, B, C.    A A B BA x ; y ,B x ; y , 
C CC(x ; y ) . Tọa độ trung điểm I của AB, trọng 
tâm G của tam giác ABC được tính theo công 
thức. 
A B
I
A B
I
x xx
2
y yy
2
 
  
, 
A B C
G
A B C
G
x x xx
3
y y yy
3
  
   
3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng 
 Trong mặt phẳng tọa độ cho 
 1 2a a ;a và  1 2b b ;b

. Khi đó tích vô hướng 
của hai véc tơ a và b

 là: 
1 2 1 2a.b a .a b .b 
 
 Hai véc tơ 1 2a (a ;a )
 
và  1 2b b ;b

 0

 vuông góc với nhau khi và chỉ 
khi 1 2 1 2a.b a .a b .b 0  
 
 Độ dài của véc tơ  1 2a a ;a 
được tính theo công thức: 
2 2
1 2a a a 
 
 Khoảng cách giữa hai điểm 
   A A B BA x ;y ;B x ;y được dính bởi công thức: 
   2 2B A B AAB x x y y    
 Cho a và b

 đều khác véc tơ 0

thì ta có:  os 
 
 1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
a .b a .b
c a; b
a a . b b
4. Phương trình tham số của đường thẳng. 
 Đường thẳng  qua điểm  0 0M x ; y 
có VTCP  1 2u u ;u

 thì  có phương trình tham số 
0 1
0 2
x x u t
: , t
y y u t
 
   
 (1) 
 Một số chú ý: 
1.VTCP là véc tơ 0

 có giá song song hoặc 
trùng với đường thẳng. 
2.Nếu  có VTPT  n a;b

 thì  có VTCP 
 u b;a 

3.Nếu  có hệ số góc k thì  có một VTCP 
 u 1;k

4.Nếu phương trình đường thẳng cho ở dạng (1) 
thì nó có một VTCP  1 2u u ;u

5.Hai đường thẳng song song có cùng VTCP 
6.Hai đường thẳng vuông góc thì VTPT của 
đường này là VTCP của đường thẳng kia. 
5. Phương trình tổng quát của đường thẳng 
 Phương trình : ax+by+c=0 (2) đgl 
phương trình tổng quát của đường thẳng 
 Đường thẳng  qua điểm  0 0M x ; y 
có VTPT  n a;b

 thì  có phương trình tổng 
quát    0 0: a x x b y y 0     
 Một số chú ý: 
1.VTPT là véc tơ 0

và vuông góc với VTCP. 
2.Nếu  có VTCP  u a;b

 thì  có VTPT 
 n b;a 

 . 
3.Nếu  có hệ số góc k thì  có một VTPT 
 u k; 1 

 Phương trình đường thẳng  qua 
 0 0M x ; y có hệ số góc k có dạng 
 0 0y k x x y   
4.Nếu phương trình đường thẳng cho ở dạng (2) 
thì nó có một VTPT  n a;b

Trang 28 
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
5.Hai đường thẳng song song có cùng VTPT. 
Phương trình : ax+by+c=0 , nếu '  thì 
phương trình ' : ax+by+m=0 , m c 
6.Hai đường thẳng vuông góc thì VTCP của 
đường này là VTPT của đường thẳng kia. 
6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng 
Xét hai đường thẳng: 
1: a1x + b1y + c1 = 0 và 2: a2x + b2y + c2 = 0 
Tọa độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ : 
1 1 1
2 2 2
0 ( )
0
a x b y c I
a x b y c
   
   
 1 cắt 2  (I) có 1 nghiệm 
 1 // 2  (I) vô nghiệm 
 1  2  (I) có VSN. 
7. Góc giữa hai đường thẳng 
 Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau là góc 
không tù tạo bởi hai đường thẳng đó 
+ 1  2  (1, 2) = 900 
+ 1 // 2  (1, 2) = 00 
00  (1, 2)  900 
 Cho 1: a1x + b1y + c1 = 0 
 2: a2x + b2y + c2 = 0 
  = (1, 2). 
cos = 1 2cos(n ,n )
  = 1 2
1 2
n .n
n . n
 
  
 cos = 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a a b b
a b . a b

 
 1  2  a1a2 + b1b2 = 0 
 1: y = k1x + m1 
 2: y = k2x + m2 
 1  2  k1.k2 1  
8. Khoảng các từ một điểm đến một đường thẳng 
Cho : ax + by + c = 0 và M0(x0; y0). 
  0 0
2 2
ax by c
d M;
a b
 
 

  0d M;0x y ;   0d M;0y x 
9. Phương trình đường tròn 
 Phương trình đường tròn (C) tâm 
I(a; b), bán kính R: 
(x – a)2 + (y – b)2 = R2 
 Phương trình đường tròn (C) tâm 
O(0; 0), bán kính R: x2 + y 2 = R2 
Phương trình: 
x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 
với a2 + b2 – c > 0 là phương trình đường tròn 
tâm I(a; b), bán kính R = 2 2a b c  . 
 Cho (C) có tâm I(a; b), M(x0; y0)  (C). Phương 
trình tiếp tuyến với (C) tại M0(x0; y0): 
(x0–a)(x–x0) + (y0–b)(y–y0)=0 
 Nhận xét : 
 là tiếp tuyến của (C)  d(I, ) = R 
10. Phương trình Elip 
Cho 2 điểm cố định F1, F2 và một độ dài không 
đổi 2a lớn hơn F1F2. 
M  (E)  F1M + F2M = 2a 
F1, F2: các tiêu điểm 
 F1F2 = 2c: Tiêu cự . 
Phương trình  E :
2 2
2 2
1x y
a b
  (b2 = a2 – c2) 
(E) có các trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối 
xứng là O. 
Các đỉnh A1(–a; 0), A2(a; 0) 
 B1(0; –b), B2(0; b) 
A1A2 = 2a : Trục lớn 
B1B2 = 2b : Trục nhỏ. 
   1 2F c;0 ; F c;0 
Mục Lục 
0, Lời nói đầu Trang 1 
1, Khảo sát hàm số Trang 3 
2, Mũ-Loga Trang 9 
3, Nguyên hàm -tích phân Trang 13 
4, Số phức Trang 14 
5, Lượng giác Trang 15 
6, Tổ hợp-Xác suất Trang 17 
7, Dãy số, cấp số Trang 18 
8, Giới hạn Trang 19 
9, Hình học không gian Trang 20 
10, Phương pháp tọa độ 
trong không gian Trang 22 
11, Phép dời hình và phép 
biến hình trong mặt phẳng Trang 26 
12, Phương pháp tọa độ 
trong mặt phẳng Trang 27