Tài liệu ôn thi Đại học Toán 12

Phần 1: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
CHỦ ĐỀ 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆUVÀ TÌMCỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
Xét tính đơn điệu của hs y = f(x) nhờ đạo hàm:
Hs y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a;b) y’ 0 (y’ 0) x (a;b)
( y’ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b))
Phương pháp tìm cực trị của hàm số y = f(x):
* PP1: B1: Tìm TXĐ
 B2: Tìm yvà các điểm tới hạn(TXĐ mà y() = 0 hoặc y() không XĐ)
 B3: Lập bảng biến thiên
 B4: Tìm cực trị nếu có
Chú ý: Khi x vượt qua mà đổi dấu từ (+) sang (-) thì tại hs đạt giá trị cực đại
 đổi dấu từ (-) sang (+) thì tại hs đạt giá trị cực tiểu
 không đổi dấu thì tại hs không đạt cực trị.
* PP2: B1: Tìm TXĐ
 B2: Tìm yvà các điểm tới hạn(TXĐ mà y() = 0 hoặc y() không XĐ)
 B3: Tìm y”, y”() và tìm cực trị nếu có
Chú ý: Nếu y”() < 0 thì tại hs đạt giá trị cực đại
 Nếu y”() > 0 thì tại hs đạt giá trị cực tiểu
 Nếu y”() = 0 thì ta chuyển về PP1 để tìm cực trị 
Hàm số y = f(x) có n điểm cực trị = 0 có n nghiệm phân biệt .
f(x) đạt cực đại tại nếu ; f(x) đạt cực tiểu tại nếu 
f(x) có đạo hàm và đạt cực trị bằng c tại 
* BÀI TẬP:
(1) Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của Hs sau:
1/ y = 	2/ y = 16x + 2x - 
3/ y = 	4/ y = 
5/ y = (x + 2)(x – 3)	6/ y = 
7/ y = 	8/ y = 
9/ y = 	10/ y = 
11/ y = 	12/ y = 
13/ y = 	14/ y = 
15/ y = 	16/ y = 
17/ y = 	18/ y = 
19/ y = cosx - sinx	20/ y = 
(2) Chứng minh bất đẳng thức: 
a/ tanx > x ( 0 x + 	 ( 0 < x < )
c/ sinx + tanx > 2x ( 0 < x < )	d/ 	 ( 0 < x < )
e/ ( 0 0 )
(3) Cho hàm số: y = (m: tham số)
 a/ Tùy theo m, hãy xét sự biến thiên của y.
 b/ Tìm m để hàm số nghịch biến trong khoảng (1; 2)
(4) Tìm m để hàm số: 
 a/ y = 	đồng biến trong khoảng (0; +)
 b/ y = 	đồng biến trong khoảng (0; 2)
 Tìm m để hàm số: 
 a/ y = 	nghịch biến trên từng KXĐ của nó
 b/ y = 	nghịch biến trong khoảng (0;2)
 c/ y = 	đồng biến trong khoảng (-; -1)
(6) Tìm m để hs:
	a/ y = 	đạt cực trị tại x = -2 
	b/ y = 	có ba điểm cực trị
	c/ y = 	đạt cực đại tại x = 1
	d/ y = 	đạt cực tiểu tại x = 2
(7) Tìm a ; b để hs : y = + ax+ b 	có một cực trị bằng khi x = 1 
(8) Cho hàm số . 
 a. CMR : với mọi m hàm số đã cho luôn có cực trị .
 b. Hãy xác định m sao cho khoảng cách từ các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất
(9) Cho hàm số .
 Tìm m để hàm số luôn có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của tam giác đều
(10) Tìm m để hàm số có một cực trị
(11) Cho hàm số . Xác định m để hàm số có CĐ, CT thoả mãn 
Lập thành một tam giác đều
Lập thành một tam giác vuông
Lập thành một tam giác có diện tích bằng 4
(12) Cho hàm số . Xác định m để
Hàm số có cực trị
Hàm số có cực đại , cực tiểu với hoành độ thoả mãn x1 + x2 = 4x1x2
Hàm số có cực đại , cực tiểu có hoành độ dương
(13) Cho hàm số . Xác định m để
Hàm số có cực trị
Hàm số có cực tiểu trong khoảng (0;m) (m > 0)
Hàm số có cực đại tại x = 2
(14) Cho hàm số . Xác định m để
Hàm số có cực trị
Với m vừa tìm được ở câu a) , hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số
(15) Cho hàm số . Xác định m để
 Hàm số có cực đại và cực tiểu và 2 điểm cực đại , cực tiểu nằm ở hai phía của trục Ox
(16) Cho hàm số . Xác định m để
 Hàm số có cực đại và cực tiểu và 2 điểm cực đại , cực tiểu nằm ở hai phía của đường thẳng có phương trình 9x – 7y – 1 = 0.
(17) Cho hàm số . Xác định m để
a. Hàm số có cực trị
b. Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.
(18) Tìm a; b để hs : y = có cực đại, cực tiểu là những số dương và x= - là điểm cực đại. 
(19) Cho hàm số: y = với m -1
 a/ Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu. 
 b/ Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong khoảng (0 ; 2).
(20) Cho hàm số: y = 
 a/ Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.
 b/ Tùy theo m, biện luận số nghiệm của phương trình: x + 3 = m 
(21) Cho hàm số: y = 
 a/ Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.
 b/ Tùy theo m, biện luận số nghiệm của phương trình: x + m = m 
(22) Tìm a để hàm số: y = chỉ có cực tiểu mà không có cực đại
(23) Xác định hàm số a sao cho hàm số: y = -2x + 2 + a có cực đại
(24) Cho hàm số: f(x) = trong đó c > 0, n là một số nguyên dương lớn hơn 1
 a/ Khảo sát sự biến thiên của hàm số.
 b/ Từ kết quả trên hãy chứng minh: với a, b R thỏa a + b0, n . 
 Xét xem đẳng thức khi nào xảy ra.
(25) CMR pt: không có nghiệm khi n chẵn và a > 3.
(26) Biện luận theo a số nghiệm của pt: 
(27) Chứng minh: với x.y < 0
(28) Cho x, y, z dương thỏa . C/m: 
CHỦ ĐỀ 2: GIÁ TRỊ CỰC TRỊ VÀ ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ
* HÀM BẬC BA: (C)
 . 
Để Hs có cực trị thì y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt x; x (> 0)
Chia f(x) cho f/(x) ta được 
 Gọi (x;y), (x;y) là hai điểm cực trị, ta có: 
 => Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: .
* HÀM HỮU TỈ: 
 Ta có: 
 Hàm số có cực trị khi phương trình g(x) = = 0 
 có hai nghiệm phân biệt khác x0 = 
 Gọi (x;y), (x;y) là hai điểm cực trị, ta có: 
 => Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: 
* BÀI TẬP:
(29) Tìm cực trị của Hs sau:
a/ y = 	b/ y = 
(30) Cho hàm số : y = 
 a/ Xác định m để đồ thị có 2 điểm cực trị.
 b/ Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị.
(31) Cho hàm số : y = 
 a/ Chứng minh rằng với mọi m, hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu. 
 b/ Định m để giá trị cực đại và giá cực tiểu có cùng dấu. 
 c/ Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị.
(32) Cho hàm số : y = 
 Tìm m để hàm số y có cực đại, cực tiểu thỏa mãn : 
(33) Cho hàm số : y = 
 Tìm m để hàm số y có cực đại, cực tiểu thỏa mãn : 
(34) Cho hàm số : y = 
 Xác định m để :
 a/ Hàm số có 2 cực trị.
 b/ Hàm số có 2 cực trị cùng dấu
 c/ Phương trình = 0 có ba nghiệm phân biệt.
(35) Cho y = f(x) = 
 a/ Các số a, b thỏa mãn điều kiện gì để hàm số có cực đại và cực tiểu.
 b/ Chứng minh với mọi a, b phương trình: = 0 
 không thể có 3 nghiệm phân biệt.
CHỦ ĐỀ 3: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ (C) : y = f(x)
	1/ Phương pháp tìm tiệm cận:
Đứng:
Ngang:
Xiên:
	2/ BÀI TẬP:
(36) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
y = 	d) y = 2x +
y = 	e) y = 	
y = 	g) y = 
 Tùy theo m, tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
y = 	b) y = 
(38) Tìm m để đồ thị hs:
y = có tiệm cận xiên đi qua điiểm A(-1; -3)
y = có tiệm cận xiên tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8
y = có tiệm cận vuông góc với tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0
(39) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm trên đồ thị hàm số :
 y = đến hai tiệm cận không phụ thuộc vào vị trí của điểm đó.
(40) Cho hs : y = có đồ thị (C)
 Tìm M (C) sao cho tổng khoảng cách từ M tới hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất
(41) Tìm a, b, c để hs: y = có một cực trị bằng 1 khi x = 1 và t/c xiên vuông góc với đường thẳng y = (1- x)
CHỦ ĐỀ 4: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HS y = f(x)
B1: Tập xác định
B2: Giới hạn- Tiệm cận (nếu có)
B3: Chiều biến thiên: (Tìm y’; nghiệm của y’; lập bảng biến thiên)
B4: Điểm uốn (Tìm y’’ ; xét dấu y’’ ; suy ra khoảng lồi lõm và điểm uốn)
B5: Vẽ đồ thị: (Tìm điểm đặc biệt, vẽ tiệm cận, vẽ đồ thị hs, nx dạng đồ thị)
CHỦ ĐỀ 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐỒ THỊ
Cho 2 đường: (C1) : y = f(x) và (C2) : y = g(x). 
Pt hoành độ giao điểm của hai đường là : f(x) = g(x) (*)
Số nghiệm của Pt (*) là số giao điiểm của hai đường (C1) & (C2)
Điều kiện tiếp xúc: để (C1) tiếp xúc (C2), điều kiện là hệ Pt : có nghiệm
* BÀI TẬP:
(42) Cho (C) : y = x- 5x + 4
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để (C) tiếp xúc với (P) : y = x+ m . Tìm tọa độ các tiếp điểm
(43) Cho (C) : y = x- (m+ 10)x + 9
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs với m = 0
 b) CMR với m 0, đồ thị luôn cắt Ox tại 4 điểm phân biệt. Trong các giao điểm đó có hai điểm nằm trong khoảng (-3 ; 3) và có hai điểm nằm ngoài khoảng (-3 ; 3)
(44) Cho (C) : y = 2x+ 3(m – 3)x+ 11 – 3m 
 a) Tìm pt các đường thẳng qua A(; 4) và tiếp xúc với đồ thị (C) của hs
 b) Tìm m để (C) có 2 cực trị, đồng thời các điểm cực trị M; M và B(0 ; -1) thẳng hàng 
(45) Cho (C) : y = 2x- x 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để (d): y = m cắt (C) tại ba điểm có hoành độ x; x; x. Tính tổng:?
(46) Cho (C) : y = 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx + 2m - 1 cắt (C) tại hai điểm trên cùng một nhánh. 
(47) Cho hs : y = 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) CMR đường thẳng (d): 2x – y + m = 0 luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B trên 2 nhánh của (C) 
c) Tìm m để đoạn AB ngắn nhất
(48) Cho (C) : y = 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để đường thẳng (d): y = – x + 3m cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB = . Tìm tọa độ của A ; B
(49) Cho (C) : y = 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx – m + 5 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A(x;y), B(x;y). Tìm hệ thức giữa x; x độc lập với m
(50) Cho hàm số 
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + 2 – 2m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt. 
(51) Cho (C) : y = 
a) Tìm m để tiệm cận xiên đi qua điểm M(2 ;0). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs với m tìm được.
b) Tìm m để đường thẳng y = x – 1 luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A(x;y), B(x;y). Tìm hệ thức giữa y ; y không phụ thuộc vào m
(52) Cho (C) : y = 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Gọi A là điểm cực đại của (C). Tìm m để đường thẳng (d) : x + 2y – 2m = 0 cắt (C) tại hai điểm B ; C sao cho ABC vuông ở A.
(53) Cho (C) : y = 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm trên (C) hai điểm A ; B sao cho đường thẳng AB cùng phương với y = - x ; đồng thời độ dài AB ngắn nhất
(54) Cho (C) : y = 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A ; B sao choOAB có diện tích bằng (đvdt)
CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI Đ/CONG y = f(x)
1. Điều kiện tiếp xúc : Cho hai hs : y = f(x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt là (C) và (C’).
 (C) tiếp xúc với (C’) có nghiệm x (x là hoành độ tiếp điểm) 
2. Các dạng bài tập về Phương trình tiếp tuyến (pttt) :
Dạng 1 : Viết pttt với (C) : y = f(x) tại điểm 
PPG : - Tìm y’(x) => Pttt : y = y’(x).(x - x) + y
Dạng 2 : Viết pttt với (C) : y = f(x) biết tt đi qua điểm 
PPG : - Pttt có dạng : y = k.(x - x) + y
 - Áp dụng điều kiện tiếp xúc để tìm k => Pttt
Dạng 3 : Viết pttt với (C) : y = f(x) biết tt có hệ số góc bằng k
PPG : - Pttt có dạng : y = k.x + b
 - Áp dụng điều kiện tiếp xúc để tìm b => Pttt
* BÀI TẬP :
(55) a. Cho hàm số 
Viết pttt của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với 
 b. Cho hàm số 
Viết pttt của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với 
 c. Cho hàm số . Viết pttt kẻ từ gốc toạ độ đến đồ thị của hàm số
 d. Cho hàm số . Viết pttt đi qua điểm A(-6;5) với đồ thị của hàm số
(56) Cho hàm số . 
 a. Viết pttt đi qua điểm O(0 ; 0) với đồ thị của hàm số
 b. Tìm các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên
(57) a. Cho hàm số Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất?
 b. Tìm các điểm trên đồ thị của hàm số sao cho tiếp tuyến tại đó vuông gó ... a hàm số : 
Tìm GTLN & GTNN của hàm số trên đoạn [0;3]
Tìm GTLN & GTNN của hàm số 
Tìm GTLN & GTNN của hàm số : trên đoạn 
Tìm GTLN & GTNN của hàm số : trên đoạn 
Tìm GTLN & GTNN của hàm số : trên đoạn [-1 ; 2]
Tìm GTLN & GTNN của hàm số : a) ; b) 
Tìm GTLN & GTNN của hàm số : a) ; 
 b) 
12) Tìm GTLN & GTNN của hàm số : a) ; b) 
13) Xác định m để GTNN của hàm số : trên [- 2 ; 0] bằng 2
14) Xác định m để GTNN của hàm số trên đoạn 
15) Xác định m để GTNN của 
16) Xác định m để GTNN của hàm số 
17) Xác định m để GTNN của hàm số trên đoạn 
18) Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện .
Xác định m để GTNN của biểu thức 
19) Gọi (x, y) là nghiệm của hệ phương trình . Tìm GTLN của biểu thức khi m thay đổi.
20) Xác định m để GTNN của hàm số trên đoạn 
Phần I: Tứ Diện lăng trụ
Bai 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.
Bai 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD = a; SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. 
1. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB).
2. Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Bài 50: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, . Gọi M là trung điểm của SB. 
1. Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC). 
2. Tính thể tích khối tứ diện MABC.
Bài 49: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và 
a. Tính độ dài các cạnh còn lại của tứ diện và chứng minh rằng tam giác ABC vuông.
b. Chứng minh 
Bài 47: Cho hình chóp tam giác S.ABC, SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1.
1. Tính thể tích hình chóp theo x, y.
2. Với x, y nào thì thể tích hình chóp lớn nhất?
Bài 45: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật .
Lấy M, N lần lượt trên các cạnh SB, SD sao cho .
1. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỷ số .
2. Tính thể tích hình chóp S.AMPN theo thể tích V của hình chóp S.ABCD.
Bai 4: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O', bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO'AB.
Bai 5: Cho hai nửa đường thẳng Ax, By chéo nhau và vuông góc nhau. Có AB là đường vuông góc chung, AB = a. Ta lấy các điểm M trên Ax, N trên By với AM = x, BN = y.
1. Chứng minh rằng các mặt của tứ diện ABMN là các tam giác vuông.
2. Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện ABMN theo x, y.
Bai 6: Cho hình lăng trụ đứng   có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc .Gọi M là trung điểm cạnh AA' và N là trung điểm cạnh CC'. Chứng minh rằng bốn điểm B', M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN là hình vuông.
Bai 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, góc nhọn tạo bởi hai đường chéo AC và BD là , các tam giác SAC và SBD là các tam giác đều cạnh a. Tính thể tích hình chóp theo a.
Bai 9: Cho ABC là tam giác vuông tại C. Trên đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S (khác với A). Chứng minh rằng các mặt của thiết diện S.ABC đều là tam giác vuông .
Bai 10 : Cho hình nón có đường cao h. Một mặt phẳng đi qua đỉnh S của hình nón tạo với mặt đáy hình nón một góc , đi qua hai đường sinh SA, SB của hình nón và cắt mặt đáy của hình nón theo dây cung AB, cung AB có số đo bằng . Tính diện tích thiết diện SAB.
Bai 15 : Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABD); AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (ACD).
Bai 16 : Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài cạnh đáy  bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng  mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Bai 18 : Cho tứ diện ABCD có: AC = AD = BC = BD = a, AB = 2m , CD = 2n.
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và CD .
a. Chứng minh rằng IK là đoạn thẳng vuông góc chung của 2 cạnh đối nhau AB và CD.
b. Tính IK theo a, m và n.   
Bai 19 : Cho hình lập phương cạnh . Gọi là tâm của hình vuông .
Tính thể tích khối tứ diện .
Bai 20 : Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên  . Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và A'B'.
1. Tính thể tích khối đa diện ABA'B'C'
2. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (CEB')
Bai 21 : Cho khối lăng trụ đứng có đáy là một tam giác vuông tại . Đường chéo của mặt bên tạo với mặt phẳng một góc .
a. Tính độ dài đoạn .
b. Tính thể tích của khối lăng trụ .
Bai 22 : Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, góc ACB = , BC = a , SA = . Gọi M là trung điểm cạnh SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích khối tứ diện MABC.
Bai 23 : Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC vuông tại A , góc vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA tạo với đáy (ABC) một góc . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B trên SA, SC.
a. Tính thể tích của hình chóp S.ABC
b. Chứng minh rằng A, B, C, E, F cùng thuộc một mặt cầu, xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Bai 24 : Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng 
Bai 25 : Cho tứ diện . Một mặt phẳng  song song với và , cắt các cạnh tương ứng tại các điểm .
1.Chứng minh rằng tứ giác là hình bình hành.
2.Xác định vị trí của để cho diện tích của tứ giác đạt giá trị lớn nhất.
Bai 27 : Cho hình chóp có đáy ABCD là hình chữ nhật. Lấy M, N lần lượt trên các SB, SD sao cho: .
1. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỷ số .
2. Tính thể tích hình chóp theo thể tích V của hình chóp .
Bai 28 : Cho góc tam diện vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lấy lần lượt các điểm A, B, C có .
1. Chứng minh rằng tam giác ABC có 3 góc nhọn.
2. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Hãy tính OH theo a, b, c.
2. Chứng minh rằng bình phương diện tích của tam giác ABC bằng tổng bình phương diện tích các mặt còn lại của tứ diện .
Bai 30 : Cho khối lăng trụ tam giác mà mặt bên có diện tích bằng 4. Khoảng cách giữa cạnh và mặt bằng 7.
Tính thể tích khối lăng trụ .
Bai 31: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh SB vuông góc với đáy (ABC). Qua B kẻ BH vuông góc với SA, BK vuông góc với SC. Chứng minh SC vuông góc với (BHK) và tính diện tích tam giác BHK biết rằng và .
Bai 32: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng a. Giả sử M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D', D'C', C'C, AA'.
1. Chứng minh rằng 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một mặt phẳng. Tính chu vi của tứ giác MNPQ theo a.
2. Tính diện tích của tứ giác MNPQ theo a.
Bai 33: Cho tứ diện đều ABCD cạnh  bằng a.
1. Giả sử I là một điểm thay đổi ở trên cạnh CD. Hãy xác định vị trí của I để diện tích tam giác IAB là nhỏ nhất.
2. Giả sử M là một điểm thuộc cạnh AB. Qua điểm M dựng mặt phẳng song song với AC và BD. Mặt phẳng này cắt các cạnh AD, DC, CB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MNPQ là lớn nhất.
Bai 34: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình chữ nhật với: . Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng .
a) Tính thể tích của hình chóp S.ABCD.
b) Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng minh rằng SN vuông góc với mặt phẳng (MEF).
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Bai 35: Cho tứ diện O.ABC có cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và . Kí hiệu K, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của CE với mặt phẳng (OMN).
a) Chứng minh rằng: CE vuông góc với mặt phẳng (OMN).
b) Tính diện tích của tứ giác OMIN theo a.
Bai 36: cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh bằng a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh rằng SI vuông (SCD), SJ vuông (SAB).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng SH vuông AC.
c) Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông SA. Tính AM theo a.
Bai 37: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a; và vuông góc với đáy.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
b) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC).
Bai 38: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a , SA = a và vuông góc với đáy. Gọi M.N là trung điểm AB và AC.
a) Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC) .
b) Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SMN) và (SBC) .
Bai 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a ; AD = 2a . Tam giác SAB vuông cân tại A . M điểm trên cạnh AD ( M khác A và B ) . Mặt phẳng   qua M và song song với mặt phẳng (SAB) cắt BC ; SC ; SD lần lượt tại N;P;Q .
a) Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuông .
b) Đặt AM = x . Tính diện tích hình thang  MNPQ theo a ; x
Bai 40: Cho  hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O , SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I, M theo thứ tự là trung điểm của SC, AB.
a) Tính khoảng cách từ I đến CM.
b) Tính khoảng cách từ S đến CM.
Bài 41: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD) ; SC = 2a. Hai điểm M, N lần lượt thuộc SB và SD sao cho . Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại P .
Tính thể tích hình chóp S.MANP theo a
Bài 42: Trong mặt phẳng (P) , cho một hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là một điểm bất kì nằm trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A.
Gọi M, N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB , CD và đặt CM = m, CN = n. Tìm một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và (SAN) tạo với nhau một góc .
Bài 43: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' = a :
1. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD' và B'C'.
2. Gọi M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số AM / MD = 3.
Hãy tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( AB'C).
3. Tính thể tích tứ diện A.B'D'C'.
Bài 44: Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn C bán kính a, chiều cao ; và cho hình chóp đỉnh S, đáy là một đa giác lồi ngoại tiếp C.
1. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp ( mặt cầu ở bên trong hình chóp, tiếp xúc với đáy và với các mặt bên của hình chóp ).
2. Biết thể tích khối chóp bằng 4 lần thể tích khối nón, hãy tính diện tích toàn phần của hình chóp.
Bài 46: Cho góc tam diện vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lấy lần lượt các điểm A, B, C có OA = a, OB = b, OC = c ( a, b, c > 0).
1. Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.
2. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Hãy tính OH theo a, b, c.
3. Chứng minh rằng bình phương diện tích tam giác ABC bằng tổng bình phương diện tích các mặt còn lại của tứ diện O.ABC
Bài 48: Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a với A (0 ; 0; 0) , B (a; 0 ; 0) , D (0 ; a; 0) và đỉnh S (0; 0; a). Gọi M là trung điểm của đoạn SA, hãy tính :
1. Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (CDM).
2. Góc giữa đường thẳng SB và DM.