Tài liệu ôn thi Đại học môn Toán - GV: Nguyễn Văn Quang

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN , GTNN CỦA HÀM SỐ .
*Định nghĩa GTLN ,GTNN của hàm số y=f(x): Số m và M theo thứ tự được gọi là GTNN và GTLN của hàm số y=f(x) xác định trên tập D nếu và tồn tại x0,x1D sao cho f(x0)=m và f(x1)=M.
A-PP ước lượng giá trị hàm số : PP này ta sử dụng một số bđt cơ bản và bđt quen thuộc (như bđt Cô-si) để ước lượng giá trị của hàm số y=f(x) , từ đó sử dụng định nghĩa của GTNN và GTLN suy ra kq cần tìm
Ví dụ : (ĐH KTQD -2000) Tìm ø GTLN của hàm số f(x) = trên .
HD : . Dấu “=” xảy ra 
Vậy Max f(x) = tại x=.
B-PP xác định miền giá trị : Cho hàm số y=f(x) xác định trên tập X . Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f(x) ta tìm miền giá trị của hàm số y , tức là tìm điều kiện của tham số y để pt f(x) = y (ẩn x) có nghiệm trên tập X .
Ví dụ :Tìm GTLN,GTNN của hàm số y = 3sin2x+6sinxcosx-5cos2x+.
HD:Thu gọn hàm số đã cho ta được y = 4sin2x-4cos2x+1 xác định trên tập R.
Ta tìm y để pt 4sin2x-4cos2x=y-1 (1) có nghiệm ;
pt(1) có nghiệm . Vậy Max y = 1+4, Min y = 1-4.
C-Ứng dụng của đạo hàm :(PP xét chiều biến thiên của hàm số )
 I- Bài toán 1: PP khảo sát trực tiếp :
	B1: Tìm miền xác định.
	B2:Tính y’ rồi giải pt y’=0.
	B3: Lập bảng biến thiên .
	B4: Kết luận về GTLN, GTNN của hàm số dựa trên bảng biến thiên .
Ví dụ 1:Tìm GTNN của hàm số y = x2 + với x>0 .
Giải :Xét hàm số trên tập . Ta có y’=2x-; y’=02x-=0x=1
Lập bảng biến thiên (HS tự lập) . Dựa trên bảng biến thiên ta có Min y =3 đạt được khi x=1.
II-Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đọan : PP( Xem SGK)
Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = .
Giải :đk: . Do hàm số tuần hoàn với chu kì 2 nên ta chỉ cần xét hàm số đã cho trên.Ta có y’=, y’ = 0
Ta có f(0) = 1 ; f()=1;f. 
Vậy min y = 1 đạt được khi x=2khoặc x=+2k ; max y = đạt được khi x=+2k.
III-Bài toán 3 : PP khảo sát gián tiếp :
B1: Biến đổi pt về dạng mới để xác định ẩn phụ: y = F
B2: Đặt ẩn phụ : t = tacó : 
Điều kiện của ẩn t là Dt .
y=F(t)
B3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=F(t) trên Dt .
Ví dụ :Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A = 
Giải : Đặt t = , đk : . Ta được :A = 
Miền xác định D=
Đạo hàm f’(t) = hàm số đồng biến trên D.
Khi đó 
Bài tập chọn lọc luyện thi 
1)(ĐH-B-2003) Tìm GTLN,GTNN của hàm số y = x+
HD:TXĐ: D = .
Ta có y(-2)=-2;y. Vậy 
2) (ĐH-D-2003) Tìm GTLN,GTNN của hàm số y = trên .
HD: y’=. Ta có y(-1)=0;y(1)=;y(2)=. 
Vậy và 
3)(ĐH-B-2004) Tìm GTLN,GTNN của hàm số y =trên đoạn 
HD: y’=( nhận). Ta có : y(1)=0;y(e2) = 4/e2 ; y(e3) = 9/e3.
Vậy và .
4) (ĐH-A-2006). Cho hai số thực thay đổi và thỏa đk . 
Tìm GTLN,GTNN của biểu thức A=.
HD: Từ gt suy ra . Đặt a=ta được a+b=a2-ab+b2.(1)
A=a3+b3 =(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)2. Từ (1) suy ra a+b=(a+b)2-3ab.
.
5) (ĐH-B-2006).Cho x,y là các số thực thay đổi . 
Tìm GTNN của biểu thức A=.
HD:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét các điểm M(x-1;y) và N(x+1;y). Do OM+ONMN nên :
Với ;f’(y)=0. 
Lập bảng biến thiên f(y) trên , từ đó ta được 
Với .Do vậy A . Vậy 
6) (ĐH-A-2007). Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz=1. 
Tìm GTNN của biểu thức :P=++.
HD:Ta có;;P++
Đặt a=; b=;c=;;
Vậy P(++)=
Dấu “=” xảy ra . Vậy Min P = 2 .
7) (ĐH-B-2007). Cho x>0,y>0,z>0 thay đổi. Tìm GTNN của:P=++.
HD: Biến đổi P=. Do x2+y2+z2 = ++xy+yz+zx nên P ; Xét hàm số f(t) = với t>0. Từ BBT của f(t) suy ra . Suy ra P . Vậy Min P = 9/2 .
8)(ĐH SPHN-A-2002) Tìm GTLN,GTNN của hàm số y = 
HD : Đặt t=sin2x , t.Ta được y =1+. Ta có y’=. 
Từ BBT của hsố y ta được : max y =8/5 và min y = 4/3.
9) (ĐH TCKT -2000) . Tìm GTLN,GTNN của hàm số y =2sin8x+cos42x.HD: Đặt t = cos2x , đk . Khi đó:y = 2.f’(t) =4. Ta có f(-1)=3 ;f(1)=1; f. Vậy và .
10) (ĐH QGHN , HVNH –D – 2001) Tùy theo giá trị của tham số m , hãy tìm GTNN của biểu thức : P=(x+my-2)2+(4x+2(m-2)y-1)2 . 
HD: . Hệ này có nghiệm 
Khi Min P =0 .
Khi m= -2 thì P= (x-2y-2)2+(4x-8y-1)2 . Đặt t = x-2y-2 ta được P=t2+(4t+7)2 =7 Đẳng thức xảy ra . Khi đó Min P = .
11) (ĐH GTVT 2000) Tùy theo giá trị của tham số m , hãy tìm GTNN của biểu thức : 
P=(x-2y+1)2+(2x+my+5)2 . HD: Giải tương tự bài 10 .
12) Tìm GTLN,GTNN của hàm số y =.
HD: đk .Ta có y = sin22x-2sin2x+5. Đặt t = sin2x , t ta được y(t)=t2-2t+5.
y’ = 2t-2 ; y’=0t=1.Từ BBT của hàm số y(t)=t2-2t+5 trênta thấy hàm số nghịch biến trên nên Max y =y(-1)=8; min y =y(1)=4.
13) Tìm GTNN của y = +. HD: ta có 4x2-12x+13 = (2x-3)2+4 và có 4x2-28x+53 = (2x-7)2+4.Do đó y = +
Trong mp Oxy xét điểm M(2x;0) chạy trên Ox,hai điểm A(3;2) và B(7;2) cố định.Ta được y = MA+MB. Khi đó btoán đã cho trở thành : Xác định vị trí của M trên Ox sao cho MA+MB đạt GTNN.
-Lấy A’ đối xứng với A , nối A’B cắt Ox tại H . Ta có y =MA+MB=MA’+MBA’B=2BH =2.2 Dấu “=” xảy ra . Vậy Min y =khi x= 5/ 2 .
14)Tìm GTLN,GTNN của hàm số y = -sin3x-3sin3x+3 .HD: đặt t=sinx, t.Ta được y=t3-3t+3 = g(t) Ta có g’(t) = 3t2-3 ;g’(t)=0;g(-1)=5;g(1)=1Vậy Miny=1;maxy =5.
15)Tìm GTNN của biểu thức A = . HD: Ta có A =3-4.
Dấu hiệu : +=1 . Ta đặt sint = và cost=.Ta được :
A=3cos2t-4sintcost = 2sin2t-cos2t+.Vì2sin2t-cos2tnên -1 A4. vậy MinA =-1;MaxA=4