Tài liệu ôn thi Đại học – cao đẳng: Bài tập khảo sát hàm số

TRẦN SĨ TÙNG 
---- ›š & ›š ---- 
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 
Năm 2012 
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : 
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 1 
KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
A. Kiến thức cơ bản 
Giả sử hàm số y f x ( )= có tập xác định D. 
· Hàm số f đồng biến trên D Û y x D 0,¢ ³ " Î và y 0 ¢ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm 
thuộc D. 
· Hàm số f nghịch biến trên D Û y x D 0,¢ £ " Î và y 0 ¢ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm 
thuộc D. 
· Nếu y ax bx c a2' ( 0)= + + ¹ thì: 
+ ay x R 0' 0,
0D
ì >³ " Î Û í £î
 + ay x R 0' 0,
0D
ì <£ " Î Û í £î
· Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x ax bx c a2( ) ( 0)= + + ¹ : 
+ Nếu D < 0 thì g x ( ) luôn cùng dấu với a. 
+ Nếu D = 0 thì g x ( ) luôn cùng dấu với a (trừ bx
a 2
= - ) 
+ Nếu D > 0 thì g x ( ) có hai nghiệm x x1 2, và trong khoảng hai nghiệm thì g x ( ) khác dấu 
với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g x ( ) cùng dấu với a. 
· So sánh các nghiệm x x1 2, của tam thức bậc hai g x ax bx c
2( ) = + + với số 0: 
+ x x P 
S
1 2
0
0 0 
0
D ì ³
ï£ í
ï <î
+ x x P 
S
1 2
0
0 0 
0
D ì ³
ïí
ï >î
+ x x P1 20 0< < Û <
· 
a b
g x m x a b g x m
( ; )
( ) , ( ; ) max ( )£ " Î Û £ ; 
a b
g x m x a b g x m
( ; )
( ) , ( ; ) min ( )³ " Î Û ³
B. Một số dạng câu hỏi thường gặp 
1. Tìm điều kiện để hàm số y f x ( )= đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng 
xác định). 
· Hàm số f đồng biến trên D Û y x D 0,¢ ³ " Î và y 0 ¢ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm 
thuộc D. 
· Hàm số f nghịch biến trên D Û y x D 0,¢ £ " Î và y 0 ¢ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm 
thuộc D. 
· Nếu y ax bx c a2' ( 0)= + + ¹ thì: 
+ ay x R 0' 0,
0D
ì >³ " Î Û í £î
 + ay x R 0' 0,
0D
ì <£ " Î Û í £î
2. Tìm điều kiện để hàm số y f x ax bx cx d3 2( )= = + + + đơn điệu trên khoảng ( ; ) a b . 
Ta có: y f x ax bx c2( ) 3 2¢ ¢= = + + . 
a) Hàm số f đồng biến trên ( ; ) a b Û y x 0, ( ; ) ¢ ³ " Î a b và y 0 ¢ = chỉ xảy ra tại một số hữu 
hạn điểm thuộc ( ; ) a b . 
Trường hợp 1: 
 · Nếu bất phương trình f x h m g x( ) 0 ( ) ( )¢ ³ Û ³ (*) 
 thì f đồng biến trên ( ; ) a b Û h m g x
( ; )
( ) max ( )³
a b
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 2 
 · Nếu bất phương trình f x h m g x( ) 0 ( ) ( )¢ ³ Û £ (**) 
 thì f đồng biến trên ( ; )a b Û h m g x
( ; )
( ) min ( )£
a b
 Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f x( ) 0¢ ³ không đưa được về dạng (*) thì đặt t x= -a . 
Khi đó ta có: y g t at a b t a b c2 2( ) 3 2(3 ) 3 2a a a¢ = = + + + + + . 
 – Hàm số f đồng biến trên khoảng a( ; )-¥ Û g t t( ) 0, 0³ " < Û 
a
a
S
P
0
0 0
0 0
0
D
D
ì >
ïïì > >Úí í£ >î ï
³ïî
 – Hàm số f đồng biến trên khoảng a( ; )+¥ Û g t t( ) 0, 0³ " > Û 
a
a
S
P
0
0 0
0 0
0
D
D
ì >
ïïì > >Úí í£ <î ï
³ïî
 b) Hàm số f nghịch biến trên ( ; )a b Û y x0, ( ; )¢ ³ " Î a b và y 0¢ = chỉ xảy ra tại một số hữu 
hạn điểm thuộc ( ; )a b . 
 Trường hợp 1: 
 · Nếu bất phương trình f x h m g x( ) 0 ( ) ( )¢ £ Û ³ (*) 
 thì f nghịch biến trên ( ; )a b Û h m g x
( ; )
( ) max ( )³
a b
 · Nếu bất phương trình f x h m g x( ) 0 ( ) ( )¢ ³ Û £ (**) 
 thì f nghịch biến trên ( ; )a b Û h m g x
( ; )
( ) min ( )£
a b
 Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f x( ) 0¢ £ không đưa được về dạng (*) thì đặt t x= -a . 
Khi đó ta có: y g t at a b t a b c2 2( ) 3 2(3 ) 3 2a a a¢ = = + + + + + . 
 – Hàm số f nghịch biến trên khoảng a( ; )-¥ Û g t t( ) 0, 0£ " < Û 
a
a
S
P
0
0 0
0 0
0
D
D
ì <
ïïì Úí í£ >î ï
³ïî
 – Hàm số f nghịch biến trên khoảng a( ; )+¥ Û g t t( ) 0, 0£ " > Û 
a
a
S
P
0
0 0
0 0
0
D
D
ì <
ïïì Úí í£ <î ï
³ïî
 3. Tìm điều kiện để hàm số y f x ax bx cx d3 2( )= = + + + đơn điệu trên khoảng có độ dài 
bằng k cho trước. 
 · f đơn điệu trên khoảng x x1 2( ; ) Û y 0¢ = có 2 nghiệm phân biệt x x1 2, Û 
a 0
0D
ì ¹
í >î
 (1) 
 · Biến đổi x x d1 2- = thành x x x x d
2 2
1 2 1 2( ) 4+ - = (2) 
 · Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. 
 · Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. 
 4. Tìm điều kiện để hàm số ax bx cy a d
dx e
2
(2), ( , 0)+ += ¹
+
 a) Đồng biến trên ( ; )a-¥ . 
 b) Đồng biến trên ( ; )a +¥ . 
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 3 
 c) Đồng biến trên ( ; )a b . 
 Tập xác định: eD R
d
\
ì ü-
= í ý
î þ
, 
( ) ( )
adx aex be dc f xy
dx e dx e
2
2 2
2 ( )' + + -= =
+ +
 5. Tìm điều kiện để hàm số ax bx cy a d
dx e
2
(2), ( , 0)+ += ¹
+
 a) Nghịch biến trên ( ; )a-¥ . 
 b) Nghịch biến trên ( ; )a +¥ . 
 c) Nghịch biến trên ( ; )a b . 
 Tập xác định: eD R
d
\
ì ü-
= í ý
î þ
, 
( ) ( )
adx aex be dc f xy
dx e dx e
2
2 2
2 ( )' + + -= =
+ +
Trường hợp 1 Trường hợp 2 
Nếu: f x g x h m i( ) 0 ( ) ( ) ( )³ Û ³ Nếu bpt: f x( ) 0³ không đưa được về dạng (i) 
thì ta đặt: t x a= - . 
Khi đó bpt: f x( ) 0³ trở thành: g t( ) 0³ , với: 
g t adt a d e t ad ae be dc2 2( ) 2 ( ) 2a a a= + + + + + - 
a) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )a-¥ 
e
d
g x h m x( ) ( ),
a
a
ì-ï ³Û í
ï ³ " <î
e
d
h m g x
( ; ]
( ) min ( )
a
a
-¥
ì-
³ïÛ í
£ï
î
a) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )a-¥ 
e
d
g t t ii( ) 0, 0 ( )
a
ì-ï ³Û í
ï ³ " <î
a
aii
S
P
0
0 0( )
0 0
0
ì >
ïïì > D >Û Úí íD £ >î ï
³ïî
b) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )a +¥ 
e
d
g x h m x( ) ( ),
a
a
ì-ï £Û í
ï ³ " >î
e
d
h m g x
[ ; )
( ) min ( )
a
a
+¥
ì-
£ïÛ í
£ï
î
b) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )a +¥ 
e
d
g t t iii( ) 0, 0 ( )
a
ì-ï £Û í
ï ³ " >î
a
aiii
S
P
0
0 0( )
0 0
0
ì >
ïïì > D >Û Úí íD £ <î ï
³ïî
c) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )a b 
 ( )
e
d
g x h m x
;
( ) ( ), ( ; )
a b
a b
ì-ï ÏÛ í
ï ³ " Îî
 ( )
e
d
h m g x
[ ; ]
;
( ) min ( )
a b
a b
ì-
ÏïÛ í
£ï
î
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 4 
Trường hợp 1 Trường hợp 2 
Nếu f x g x h m i( ) 0 ( ) ( ) ( )£ Û ³ Nếu bpt: f x( ) 0³ không đưa được về dạng (i) 
thì ta đặt: t x a= - . 
Khi đó bpt: f x( ) 0£ trở thành: g t( ) 0£ , với: 
g t adt a d e t ad ae be dc2 2( ) 2 ( ) 2a a a= + + + + + - 
a) (2) nghịch biến trên khoảng ( ; )a-¥ 
e
d
g x h m x( ) ( ),
a
a
ì-ï ³Û í
ï ³ " <î
e
d
h m g x
( ; ]
( ) min ( )
a
a
-¥
ì-
³ïÛ í
£ï
î
a) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )a-¥ 
e
d
g t t ii( ) 0, 0 ( )
a
ì-ï ³Û í
ï £ " <î
a
aii
S
P
0
0 0( )
0 0
0
ì <
ïïì Û Úí íD £ >î ï
³ïî
b) (2) nghịch biến trên khoảng ( ; )a +¥ 
e
d
g x h m x( ) ( ),
a
a
ì-ï £Û í
ï ³ " >î
e
d
h m g x
[ ; )
( ) min ( )
a
a
+¥
ì-
£ïÛ í
£ï
î
b) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )a +¥ 
e
d
g t t iii( ) 0, 0 ( )
a
ì-ï £Û í
ï £ " >î
a
aiii
S
P
0
0 0( )
0 0
0
ì <
ïïì Û Úí íD £ <î ï
³ïî
c) (2) đồng biến trong khoảng ( ; )a b 
 ( )
e
d
g x h m x
;
( ) ( ), ( ; )
a b
a b
ì-ï ÏÛ í
ï ³ " Îî
 ( )
e
d
h m g x
[ ; ]
;
( ) min ( )
a b
a b
ì-
ÏïÛ í
£ï
î
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 5 
 Câu 1. Cho hàm số y m x mx m x3 21 ( 1) (3 2)
3
= - + + - (1) 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m 2= . 
 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. 
 · Tập xác định: D = R. y m x mx m2( 1) 2 3 2¢= - + + - . 
 (1) đồng biến trên R Û y x0,¢³ " Û m 2³ 
Câu 2. Cho hàm số y x x mx3 23 4= + - - (1) 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 0= . 
 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( ;0)-¥ . 
 · Tập xác định: D = R. y x x m23 6¢= + - . y¢ có m3( 3)D¢ = + . 
 + Nếu m 3£ - thì 0D¢ £ Þ y x0,¢ ³ " Þ hàm số đồng biến trên R Þ m 3£ - thoả YCBT. 
 + Nếu m 3> - thì 0D¢ > Þ PT y 0¢ = có 2 nghiệm phân biệt x x x x1 2 1 2, ( )< . Khi đó hàm số 
đồng biến trên các khoảng x x1 2( ; ),( ; )-¥ +¥ . 
 Do đó hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0)-¥ Û x x1 20 £ < Û P
S
0
0
0
D¢ì >ï
³í
ï >î
 Û 
m
m
3
0
2 0
ì > -ï
- ³í
ï- >î
 (VN) 
 Vậy: m 3£ - . 
Câu 3. Cho hàm số y x m x m m x3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1= - + + + + có đồ thị (Cm). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 
 2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; )+¥ 
 · Tập xác định: D = R. y x m x m m2' 6 6(2 1) 6 ( 1)= - + + + có m m m2 2(2 1) 4( ) 1 0D = + - + = > 
 x my
x m
' 0
1
é == Û ê = +ë
. Hàm số đồng biến trên các khoảng m m( ; ), ( 1; )-¥ + +¥ 
 Do đó: hàm số đồng biến trên (2; )+¥ Û m 1 2+ £ Û m 1£ 
Câu 4. Cho hàm số y x m x m x m3 2(1 2 ) (2 ) 2= + - + - + + . 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 
 2) Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng K (0; )= +¥ . 
 · Hàm đồng biến trên (0; )+¥ y x m x m23 (1 2 ) (22 ) 0¢Û += - + - ³ với x 0 )( ;" Î +¥ 
 xf x m
x
x2 23( )
4 1
2+
Û = ³
+
+ với x 0 )( ;" Î +¥ 
 Ta có: xx xx x xf x
x
2
2
2
6( 1) 112( ) 0 2
( )
0 1;
24 1
¢ =
+ -
+ - = = -= Û =
+
Û 
 Lập BBT của hàm f x( ) trên (0; )+¥ , từ đó ta đi đến kết luận: f m m1 5
2 4
æ ö
³ Û ³ç ÷
è ø
. 
 Câu hỏi tương tự: 
 a) y m x m x m x3 21 ( 1) (2 1) 3(2 1) 1
3
= + - - + - + m( 1)¹ - , K ( ; 1)= -¥ - . ĐS: m 4
11
³ 
 b) y m x m x m x3 21 ( 1) (2 1) 3(2 1) 1
3
= + - - + - + m( 1)¹ - , K (1; )= +¥ . ĐS: 0m ³ 
 c) y m x m x m x3 21 ( 1) (2 1) 3(2 1) 1
3
= + - - + - + m( 1)¹ - , K ( 1;1)= - . ĐS: m 1
2
³ 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 6 
 Câu 5. Cho hàm số y m x m x x2 3 21 ( 1) ( 1) 2 1
3
= - + - - + (1) m( 1)¹ ± . 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 
 2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K ( ;2)= -¥ . 
 · Tập xác định: D = R; y m x m x2 2( 1) 2( 1) 2¢ = - + - - . 
 Đặt t x –2= ta được: y g t m t m m t m m2 2 2 2( ) ( 1) (4 2 6) 4 4 10¢ = = - + + - + + - 
 Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng ( ;2)-¥ g t t( ) 0, 0Û £ " < 
 TH1: a 0
0
ì <
íD £î
 Û m
m m
2
2
1 0
3 2 1 0
ìï - <
í
- - £ïî
 TH2: 
a
S
P
0
0
0
0
ì <
ïïD >
í >ï
³ïî
 Û 
m
m m
m m
m
m
2
2
2
1 0
3 2 1 0
4 4 10 0
2 3 0
1
ì - <
ï
- - >ïï
í + - £
ï- -ï >
ï +î
 Vậy: Với m1 1
3
-
£ < thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng ( ;2)-¥ . 
Câu 6. Cho hàm số y m x m x x2 3 21 ( 1) ( 1) 2 1
3
= - + - - + (1) m( 1)¹ ± . 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 
 2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K (2; )= +¥ . 
 · Tập xác định: D = R; y m x m x2 2( 1) 2( 1) 2¢ = - + - - . 
 Đặt t x –2= ta được: y g t m t m m t m m2 2 2 2( ) ( 1) (4 2 6) 4 4 10¢ = = - + + - + + - 
 Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2; )+¥ g t t( ) 0, 0Û £ " > 
 TH1: a 0
0
ì <
íD £î
 Û m
m m
2
2
1 0
3 2 1 0
ìï - <
í
- - £ïî
 TH2: 
a
S
P
0
0
0
0
ì <
ïïD >
í <ï
³ïî
 Û 
m
m m
m m
m
m
2
2
2
1 0
3 2 1 0
4 4 10 0
2 3 0
1
ì - <
ï
- - >ïï
í + - £
ï- -ï <
ï +î
 Vậy: Với m1 1- < < thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2; )+¥ 
Câu 7. Cho hàm số y x x mx m3 23= + + + (1), (m là tham số). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và ... 3 3
æ ö
= + + - +ç ÷
è ø
uuur
, BM a a a a3 21 51; 3
3 3
æ ö
= - + - +ç ÷
è ø
uuur
 AM BM AM BM. 0^ Û =
uuur uuur
 Û a a a a2 41( 5)( 1) ( 5) ( 1) 0
9
+ - + + - = 
 Û a a311 ( 1) ( 5) 0
9
+ - + = Û a a a a4 3 22 12 14 4 0 (*)+ - + + = 
 Đặt y a a a a4 3 22 12 14 4 0= + - + + = , có tập xác định D = R. 
 y a a a3 24 6 12 14¢ = + - + ; y 0¢ = có 1 nghiệm thực a y0 0
7 2043
2 16
» - Þ » - 
 Dựa vào BBT ta suy ra (*) luôn có 2 nghiệm khác 1 và –5. 
 Vậy luôn tồn tại 2 điểm thuộc (C) cùng nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. 
Câu 5. Cho hàm số y x x4 22 1= - + . 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm toạ độ hai điểm P, Q thuộc (C) sao cho đường thẳng PQ song song với trục hoành và 
khoảng cách từ điểm cực đại của (C) đến đường thẳng PQ bằng 8. 
 · Điểm cực đại của (C) là A(0;1) . PT đường thẳng PQ có dạng: y m m( 0)= ³ . 
 Vì d A PQ( , ) 8= nên m 9= . Khi đó hoành độ các điểm P, Q là nghiệm của phương trình: 
 x x x4 22 8 0 2- - = Û = ± . 
 Vậy: P Q( 2;9), (2;9)- hoặc P Q(2;9), ( 2;9)- . 
Câu 6. Cho hàm số y x mx m4 2 1= + - - (Cm). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –2. 
 2) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (Cm) luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, B. Tìm m 
để các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau. 
 · Hai điểm cố định A(1; 0), B(–1; 0). Ta có: y x mx34 2¢ = + . 
 Các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau Û y y(1). ( 1) 1¢ ¢ - = - Û m 2(4 2 ) 1+ = 
 Û m m3 5;
2 2
= - = - . 
Câu 7. Cho hàm số xy
x
2
2 1
+
=
-
. 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2; 0) và B(0; 2). 
 · PT đường trung trực đọan AB: y x= . 
 Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoành độ là nghiệm của PT: 
 x x
x
2
2 1
+
=
-
 Û x x x x2 1 5 1 51 0 ;
2 2
- +
- - = Û = = 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 80 
 Hai điểm cần tìm là: 1 5 1 5 1 5 1 5, ; ,
2 2 2 2
æ ö æ ö- - + +
ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Câu 8. Cho hàm số xy
x
3 4
2
-
=
-
 (C). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm các điểm thuộc (C) cách đều 2 tiệm cận. 
 · Gọi M x y( ; ) Î (C) và cách đều 2 tiệm cận x = 2 và y = 3. 
 Ta có: x xx y x x
x x
3 42 3 2 2 2
2 2
-
- = - Û - = - Û - =
- -
x xx
xx
1( 2)
42
é =Û = ± - Û ê =- ë
 Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là : M1( 1; 1) và M2(4; 6) 
Câu 9. Cho hàm số xy
x
2 1
1
+
=
+
 (C). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất. 
 · Gọi M x y0 0( ; ) Î (C), ( x0 1¹ - ) thì 
x
y
x x
0
0
0 0
2 1 12
1 1
+
= = -
+ +
 Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì: 
 MA x MB y
x0 0 0
11 , 2
1
= + = - =
+
 Áp dụng BĐT Cô-si ta có: MA MB MA MB x
x0 0
12 . 2 1 . 2
1
+ ³ = + =
+
 Þ MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi xx
xx
0
0
00
011
21
é =
+ = Û ê = -+ ë
. 
 Vậy ta có hai điểm cần tìm là (0; 1) và (–2; 3). 
 Câu hỏi tương tự: 
 a) xy
x
2 1
1
-
=
+
 ĐS: x0 1 3= - ± b) 
xy
x
3 5
2
-
=
-
 ĐS: M M(1;2), (3;4) 
Câu 10. Cho hàm số xy
x
2 1
1
-
=
+
 (C). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và 
giao điểm hai đường tiệm cận có tích các hệ số góc bằng –9. 
 · Giao điểm 2 tiệm cận là I( 1;2)- . 
 Gọi M IIM
M I
y y
M x C k
x x x x0 20 0
3 3;2 ( )
1 ( 1)
-æ ö -
- Î Þ = =ç ÷+ - +è ø
 + Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: 
( )
Mk y x
x
0 2
0
3( )
1
¢= =
+
 + YCBT M IMk k. 9Û = - Û 
x 
x
0
0
0
2
é =
ê = -ë
. Vậy có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; –3) và M(–2; 5) 
Câu 11. Cho hàm số xy
x
2
1
+
=
-
. 
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 81 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d x y: 2 2 0+ - = bằng 
k 6 5
5
= . 
 · Gọi mM m C
m
2; ( )
1
æ ö+
Îç ÷-è ø
. Ta có: d M d m m m26 5( , ) 2 3 4 6 1
5
= Û - + = - 
 Û m m m m5 12; ; 2;
2 2
= = = - = Þ M M M M5 1(2;4); ;3 ; ( 2;0); ; 5
2 2
æ ö æ ö
- -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
. 
 Câu hỏi tương tự:. 
 a) xy d x y k
x
3 1 12; : 3 4 1 0;
2 5
-
= - + = =
-
. ĐS: M M M M16 15 7 11(1; 2); ; ; 2; ; ;6
3 4 4 3
æ ö æ ö æ ö
- -ç ÷ç ÷ ç ÷
è øè ø è ø
. 
Câu 12. Cho hàm số xy
x
2 1
1
+
=
+
. 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d x y: 4 8 0- + = 
là ngắn nhất. 
 · Gọi D là tiếp tuyến của (C) song song với d 
 Þ PTTT của (C) là xy1
5:
4 4
D = + hoặc xy2
13:
4 4
D = + 
 Các tiếp điểm tương ứng: M M1 2
3 51; , 3;
2 2
æ ö æ ö
-ç ÷ ç ÷
è ø è ø
. Ta tính được d M d M1 2( , ) ( , )D D< . 
 Þ M1
31;
2
æ ö
ç ÷
è ø
 là điểm cần tìm. 
 Cách 2: Giả sử xM x C
x
2 1; ( )
1
æ ö+
Îç ÷+è ø
. Tính f d M d( , )= . Sử dụng phương pháp hàm số để tìm 
fmin . 
Câu 13. Cho hàm số xy
x
2 1
1
-
=
+
. 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm tọa độ điểm M Î (C) sao cho khoảng cách từ điểm I( 1; 2)- tới tiếp tuyến của (C) tại 
M là lớn nhất. 
 · Giả sử M x C
x0 0
3; 2 ( )
1
æ ö
- Îç ÷ç ÷+è ø
. PTTT D của (C) tại M là: 
 y x x
x x 020 0
3 32 ( )
1 ( 1)
- + = -
+ +
 Û x x x y x20 0 03( ) ( 1) ( 2) 3( 1) 0- - + - - + = 
 Khoảng cách từ I( 1;2)- tới tiếp tuyến D là: 
( )
x x x
d
xx x
x
0 0 0
4 4 200 02
0
3( 1 ) 3( 1) 6 1 6
99 ( 1)9 1 ( 1)
( 1)
- - - + +
= = =
+ ++ + + +
+
. 
 Theo BĐT Cô–si: x
x
2
02
0
9 ( 1) 2 9 6
( 1)
+ + ³ =
+
 Þ d 6£ . 
 Khoảng cách d lớn nhất bằng 6 khi x x x
x
2 2
0 0 02
0
9 ( 1) ( 1) 3 1 3
( 1)
= + Û + = Û = - ±
+
. 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 82 
 Vậy có hai điểm cần tìm là: ( )M 1 3;2 3- + - hoặc ( )M 1 3;2 3- - + 
Câu 14. Cho hàm số xy
x
2 4
1
-
=
+
. 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) và N(–1; –1). 
 · MN (2; 1)= -
uuuur
 Þ Phương trình MN: x y2 3 0+ + = . 
 Phương trình đường thẳng (d) ^ MN có dạng: y x m2= + . 
 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): 
 x x m
x
2 4 2
1
-
= +
+
 Û x mx m x22 4 0 ( 1)+ + + = ¹ - (1) 
 (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Û m m2 8 32 0D = - - > (2) 
 Khi đó A x x m B x x m1 1 2 2( ;2 ), ( ;2 )+ + với x x1 2, là các nghiệm của (1) 
 Trung điểm của AB là x xI x x m1 2 1 2;2
æ ö+
+ +ç ÷
è ø
º m mI ;
4 2
æ ö
-ç ÷
è ø
 (theo định lý Vi-et) 
 A, B đối xứng nhau qua MN Û I Î MN Û m 4= - 
 Suy ra (1) Û xx x
x
2 02 4 0
2
é =- = Û ê =ë
 Þ A(0; –4), B(2; 0). 
Câu 15. Cho hàm số xy
x
2
1
=
-
. 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC vuông cân tại 
đỉnh A với A(2; 0). 
 · Ta có C y
x
2
( ) : 2
1
= +
-
. Gọi B b C c
b c
2 2
;2 , ;2
1 1
+ +
- -
æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 với b c1< < . 
 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C lên trục Ox. 
 Ta có: · · · · · · ·AB AC BAC CAK BAH CAK ACK BAH ACK0 0; 90 90+ = + Þ= = Þ = = 
 và: · · {AH CKBHA CKA ABH CAK HB AK090 D D == = Þ = Þ = 
 Hay: {b bc cc
b
2
2 2
11
2 32 2
1
- = +
= -- Û
=+ = -
-
ì
ïï
í
ï
ïî
 . 
 Vậy B C( 1;1), (3;3)- 
Câu 16. Cho hàm số xy
x
3
1
-
=
+
 . 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm trên hai nhánh của đồ thị (C) hai điểm A và B sao cho AB ngắn nhất. 
 · Tập xác định D = R {\ 1}- . Tiệm cận đứng x 1= - . 
 Giả sử A a B b
a b
4 41 ;1 , 1 ;1
æ ö æ ö
- - + - + -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 (với a b0, 0> > ) là 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C) 
 AB a b a b ab ab
a b aba b a b
2
2 2 2
2 2 2 2
1 1 16 16 64( ) 16 ( ) 1 4 1 4 32æ ö é ù é ù= + + + = + + ³ + = + ³ç ÷ ê ú ê úè ø ë û ë û
H K
B
A
C
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 83 
 AB nhỏ nhất Û 
a b a bAB a b
ab a
ab
4
44 2 4164 4
ì = ì =ï= Û Û Û = =í í= =îïî
 Khi đó: ( ) ( )A B4 44 41 4;1 64 , 1 4;1 64- - + - + - . 
 Câu hỏi tương tự: 
 a) xy
x
4 9
3
-
=
-
. ĐS: ( ) ( )A B3 3;4 3 , 3 3;4 3- - + + 
Câu 17. Cho hàm số xy
x
1
2
- +
=
-
. 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm trên đồ thị (C), các điểm A, B sao cho độ dài đoạn AB bằng 4 và đường thẳng AB 
vuông góc với đường thẳng d y x: = . 
 · PT đường thẳng AB có dạng: y x m= - + . PT hoành độ giao điểm của (C) và AB: 
 x x m
x
1
2
- +
= - +
-
 Û g x x m x m x2( ) ( 3) 2 1 0 (1) ( 2)= - + + + = ¹ 
 Để có 2 điểm A, B thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2 Û g
g
0
(2) 0
Dì >
í
¹î
 Û m m
m m
2( 3) 4(2 1) 0
4 ( 3).2 2 1 0
ì + - + >í - + + + ¹î
 Û m" . 
 Ta có: A B
A B
x x m
x x m
3
. 2 1
ì + = +
í = +î
. Mặt khác A A B By x m y x m;= - + = - + 
 Do đó: AB = 4 Û B A B Ax x y y
2 2( ) ( ) 16- + - = Û m m2 2 3 0- - = Û m
m
1
3
é = -
ê =ë
. 
 + Với m 3= , thay vào (1) ta được: x yx x
x y
2 3 2 26 7 0
3 2 2
é = + Þ = -- + = Û ê
= - Þ =ë
 Þ A B(3 2; 2), (3 2; 2)+ - - hoặc A B(3 2; 2), (3 2; 2)- + - 
 + Với m 1= - , thay vào (1) ta được: x yx x
x y
2 1 2 2 22 1 0
1 2 2 2
é = + Þ = - -- - = Û ê
= - Þ = - +ë
 Þ A B(1 2; 2 2); (1 2; 2 2)+ - - - - + hoặc A B(1 2; 2 2); (1 2; 2 2)- - + + - - 
Câu 18. Cho hàm số x xy
x
23 5 14
6 1
+ +
=
+
 có đồ thị (C). 
 Tìm tất các các điểm trên (C) có toạ độ nguyên. 
 · Ta có: y x
x
1 532 3
4 6 1
æ ö
= + +ç ÷+è ø
. 
 Điểm M x y C( ; ) ( )Î có toạ độ nguyên Û 
x Z
y x Z
x
1 532 3
4 6 1
ì Î
ï
æ öí = + + Îç ÷ï +è øî
 Û 
x Z
x Z
x
x
x
532 3
6 1
532 3 4
6 1
ì Î
ïæ ö
ï + + Îç ÷í +è ø
ïæ ö
+ +ïç ÷+è øî
M
 Û 
x Z
Z
x
x
x
53
6 1
532 3 4
6 1
ì Î
ï
ï Î
í +
ïæ ö
+ +ç ÷ï +è øî
M
 Û 
x Z
x x
x
x
6 1 1 6 1 53
532 3 4
6 1
ì Î
ï + = ± Ú + = ±ï
íæ öï + +ç ÷ï +è øî
M
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 84 
Û x y
x y
0 14 
9 4
é = Þ = 
ê = - Þ = -ë 
. Vậy có hai điểm thoả YCBT: (0;14), ( 9; 4) - - . 
Câu 19. Cho hàm số x xy 
x
2 3 6 
2
- +
= 
-
 có đồ thị (C). 
Tìm những cặp điểm trên đồ thị (C) đối xứng nhau qua điểm I 1 ;1
2
æ ö
ç ÷
è ø
. 
· Gọi M x y N x y C1 1 2 2( ; ), ( ; ) ( )Î đối xứng nhau qua điểm I 
1 ;1
2
æ ö
ç ÷
è ø
. 
Khi đó ta có: x x x x N x y
y y y y
1 2 2 1
1 1
1 2 2 1
1 1 (1 ;2 )
2 2
ì ì+ = = -
Û Þ - -í í+ = = -î î
. 
Vì M x y N x y C1 1 2 2( ; ), ( ; ) ( )Î nên ta có: 
x x
y 
x
x x
y 
x
2 
1 1
1
1
2
1 1
1
1
3 6
2
4
2
1
ì - +
ï = 
-ï
í
- +ï - =ï - -î
Û x y
x y
1 1
1 1
2; 4
3; 6
é = - = -
ê = =ë
. 
 Vậy trên (C) có đúng một cặp điểm thoả YCBT: M N( 2; 4), (3;6) - - . 
Câu 20. Cho hàm số x xy 
x
2 1 
1
+ +
= 
+
 có đồ thị (C). 
Tìm những cặp điểm trên đồ thị (C) đối xứng nhau qua đường thẳng d x y:16 17 33 0+ + = . 
· ĐS: A B21 135; , 3;
4 4
æ ö æ ö
- -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
. 
Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này. 
transitung_tv@yahoo.com 
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại :