Tài liệu ôn tập Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2020 - Cao Thành Thái

1
Chủ đề
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Tổng số tiết: 8 tiết + 2 tiết BDY
I. MỤC TIÊU
Œ Kiến thức
Biết định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng.
Biết các định nghĩa liên quan đến cực trị của hàm số.
Biết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Biết định nghĩa tiệm cận đứng, tiệm cậng ngang của đồ thị hàm số.
Biết sơ đồ khảo sát các hàm số thường gặp.
 Kĩ năng
Tìm được các khoảng đồng biến, nghịch biến của một hàm số.
Tìm được cực trị của hàm số và các bài toán liên quan.
Tính được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số trên một đoạn, một khoảng, tập xác định của nó.
Tìm được tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của một đồ thị hàm số cho trước.
Đọc được đồ thị và giải được các bài toán liên quan.
Ž Thái độ
Rèn luyện tư duy logic.
Nghiêm chỉnh, cẩn thận trong tính toán.
II. CHUẨN BỊ
Œ Giáo viên: giáo án, hệ thống câu hỏi gợi mở, bài tập rèn luyện và câu hỏi trắc nghiệm.
 Học sinh: hệ thống lại kiến thức liên quan, máy tính cầm tay.
III. PHƯƠNG PHÁP
Vấn đáp, đàm thoại, tạo vấn đề và giải quyết vấn đề.
IV. TIẾN TRÌNH GIỜ DẠY
Œ Ổn định lớp
 Kiểm tra bài cũ: lồng vào các hoạt động giải bài tập.
Ž Bài giảng
DẠNG TOÁN
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Kiến thức cơ bản
Kí hiệu là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số xác định trên ta có:
Hàm số được gọi là đồng biến (tăng) trên nếu: 
Hàm số được gọi là nghịch biến (giảm) trên nếu: 	
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên được gọi chung là đơn điệu trên 
* Nhận xét:
Hàm số đồng biến trên K Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải. 
Hàm số nghịch biến trên K Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
Nếu hàm số đồng biến trên khoảng 
Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng 
Nếu hàm số không đổi trên khoảng 
Nếu đồng biến trên khoảng 
Nếu nghịch biến trên khoảng 
Nếu thay đổi khoảng bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
Cho hàm số có . Hàm số đồng biến trên khoảng.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Cho hàm số có . Hàm số nghịch biến trên khoảng.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Cho hàm số có . Hàm số nghịch biến trên khoảng.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Cho hàm số có bảng biến thiên như hình sau 
Hàm số đồng biến trên khoảng
	A. 	B. 	C. 	D. 
Cho hàm số có bảng biến thiên như hình sau 
Hàm số nghịch biến trên khoảng
	A. 	B. 	C. 	D. 
Cho hàm số có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình sau 
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. 
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Cho hàm sốcó đồ thị hàm số như hình vẽ. Khẳng định nào sai?
A. Hàm số nghịch biến trong khoảng.
B. Hàm số đồng biến trong khoảng.
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng và .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ 
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Hàm số đồng biến trên khoảng
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hàm số nghịch biến trên:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hàm số đồng biến trên:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hàm số nghịch biến trên khoảng
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hàm số nghịch biến trên khoảng
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hàm số đồng biến trên khoảng
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hàm số nghịch biến trên khoảng
	A. 	B. 	C. 	D. 
Tìm khoảng đồng biến của hàm số: ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hàm số luôn đồng biến trên khoảng 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hàm số nghịch biến trên:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hàm số đồng biến trên:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hàm số đồng biến trên:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Khoảng đồng biến của hàm số là:
	A. và 	B. và 	C. và 	D. và 
Hỏi hàm số nghịch biến trong khoảng nào?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng:
A. Hàm số luôn nghịch biến trên 
B. Hàm số luôn đồng biến trên 
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng và 
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng và . 
Hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng:
A. Hàm số luôn nghịch biến trên 
B. Hàm số luôn đồng biến trên 
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng và 
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng và . 
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
A. 	B. 	C. 	D. 
Cho hàm số có đồ thị hàm như hình sau
Hàm số đồng biến trên khoảng
A. 	B. 
C. 	D. 
Cho hàm số có đồ thị hàm như hình sau
Hàm số đồng biến trên khoảng
A. 
B. 
C. 	
D. 
DẠNG TOÁN
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số xác định trên tập K và . Ta nói:
 là điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa sao cho và . Khi đó được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.
 là điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa sao cho và . Khi đó được gọi là giá trị cực đại của hàm số.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị. 
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.
Nếu là điểm cực trị của hàm số thì điểm được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số .
* Nhận xét: 
Giá trị cực đại (cực tiểu) nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trên tập D; chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trên một khoảng nào đó chứa hay nói cách khác khi điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng (a;b) chứa sao cho là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trên khoảng 
Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập. Hàm số có thể không có cực trị trên một tập cho trước.
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 
Định lí 1: 
Giả sử hàm số đạt cực trị tại điểm . Khi đó, nếu có đạo hàm tại điểm thì 
Chú ý:
Đạo hàm có thể bằng tại điểm nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm . 
Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2: 
Giả sử hàm số đạt cực trị tại điểm . Khi đó, nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì . 
Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là một điểm cực đại của hàm số 
Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là một điểm cực tiểu của hàm số 
2.4. Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1: 
Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm 
Bước 2: Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu . Nếu đổi dấu khi đi qua thì hàm số đạt cực trị tại .
Định lí 3: 
Giả sử có đạo hàm cấp 2 trong khoảng với Khi đó:
Nếu thì hàm số đạt cực đại tại 
Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại 
Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 2: 
Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm 
Bước 2: Tìm các nghiệm của phương trình 
Bước 3: Tính và tính 
Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm 
Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 
Cho hàm số có đạo hàm , . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
	A. .	B. .	C. .	D. 
Cho hàm số xác định liên tục và liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
Điểm cực đại của hàm số là
	A. 	B. 	C. 	D. 
Cho hàm số xác định liên tục và liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
Điểm cực tiểu của hàm số là
	A. 	B. 	C. 	D. 
Cho hàm số xác định liên tục và liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực đại của hàm số là
	A. 	B. 	C. 	D. 
Cho hàm số xác định liên tục và liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
Cực tiểu của hàm số là
	A. 	B. 	C. 	D. 
Cho hàm số xác định liên tục và liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
Điểm cực đại của đồ thị hàm số là
	A. 	B. 	C. 	D. 
Cho hàm số xác định liên tục và liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là
	A. 	B. 	C. 	D. 
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. 
Số điểm cực trị là:
	A. 1	B. 0	
	C. 2	D. 3
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. 
Hàm số đạt cực đại tại điểm 
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. 
Giá trị cực đại của hàm số đã cho là: 
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Hàm số có điểm cực tiểu tại:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hàm số có điểm cực đại là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hàm số có điểm cực tiểu là:
	A. 	B. 	C. 	D. Không có
Hàm số đạt cực đại tại điểm
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hàm số đạt cực đại tại điểm
	A. 	B. 	C. 	D. 
Số điểm cực trị của hàm số là:
	A. 1	B. 0	C. 2	D. 3
Số điểm cực trị của hàm số là:
	A. 1	B. 0	C. 2	D. 3
Số điểm cực trị của hàm số là:
	A. 1	B. 0	C. 2	D. 3
Số điểm cực trị của hàm số là:
	A. 1	B. 0	C. 2	D. 3
Số điểm cực trị của hàm số là:
	A. 1	B. 0	C. 2	D. 3
Số điểm cực trị của hàm số là:
	A. 1	B. 0	C. 2	D. 3
Hàm số nào sau đây không có cực trị?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Giá trị cực tiểu của hàm số là:
	A. 1	B. 0	C. 2	D. -2
Giá trị cực đại của hàm số là:
	A. 1	B. 0	C. 2	D. -2
Giá trị cực tiểu của hàm số là:
	A. 1	B. -4	C. 2	D. -1
Giá trị cực đại của hàm số là:
	A. 1	B. 0	C. 2	D. -1
Giá trị cực tiểu của hàm số là:
	A. 1	B. 0	C. 2	D. 3
Giá trị cực đại của hàm số là:
	A. 1	B. 5	C. 2	D. 3
Giá trị cực tiểu của hàm số là:
	A. 1	B. 5	C. 2	D. 3
Giá trị cực đại của hàm số là:
	A. 1	B. 5	C. 6	D. 3
Đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại điểm
	A. 	B. 	C. 	D. 
Đồ thị hàm số đạt cực đại tại điểm
	A. 	B. 	C. 	D. 
Đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại điểm
	A. 	B. 	C. 	D. 
Đồ thị hàm số đạt cực đại tại điểm
	A. 	B. 	C. 	D. 
Đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại điểm
	A. 	B. 	C. 	D. 
Đồ thị hàm số đạt cực đại tại điểm
	A. 	B. 	C. 	D. 
Cho hàm số Khẳng định nào sau đây sai?
	A. Hàm số đạt cực đại tại 	B. Hàm số đạt cực tiểu tại 
	C. Hàm số không có cực trị	D. Hàm số có 2 điểm cực trị.
Hàm số nào sau đây chỉ có cực đại mà không có cực tiểu?
	A. 	B. 	C. 	D. 
DẠNG TOÁN
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa.
Cho hàm số xác định trên tập 
Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên nếu: . Kí hiệu: .
Số gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nếu: . Kí hiệu: .
2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN
Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp
Bước 1: Tính và tìm các điểm mà tại đó hoặc hàm số không có đạo hàm. 
Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
Bước 1: 
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 
Tìm các điểm trên khoảng , tại đó hoặc không xác định.
Bước 2: Tính 
Bước 3: Khi đó:
Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
Bước 1: Tính đạo hàm .
Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình và tất cả các điểm làm cho không xác định.
Bước 3. Tính , , , .
Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận , . 
Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).
Chú ý:
 Nếu đồng biến trên thì .
Nếu nghịch biến trên thì 
Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.
Kết luận nào là đúng về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
	A. Có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất; 
	B. Có giá ... ý:
Nếu tồn tại đường thẳng qua và song song với thì: .
Nếu , thì: .
b. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Các bước thực hiện:
Bước 1.	Tìm hình chiếu của lên .
Tìm mặt phẳng qua O và vuông góc với .
Tìm .
Trong mặt phẳng , kẻ tại H.
Þ H là hình chiếu vuông góc của O lên .
Bước 2.	Khi đó là khoảng cách từ O đến .
@ Chú ý:
Chọn mặt phẳng sao cho dễ tìm giao tuyến với.
Nếu đã có đường thẳng thì kẻ cắt tại H.
Nếu thì: .
Nếu cắt tại I thì: 
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 
Trường hợp a ^ b:
Dựng mặt phẳng chứa a và vuông góc với b tại B.
Trong dựng BA ^ a tại A.
Þ	 là đoạn vuông góc chung.
Trường hợp a và b không vuông góc với nhau.
Cách 1: (Hình a)	
Dựng mp chứa a và song song với b.
Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM¢ ^ (a) tại M¢
Từ M¢ dựng b¢// b cắt a tại A.
Từ A dựng cắt b tại B.
Þ	AB là đoạn vuông góc chung.
Cách 2: (Hình b)	
Dựng mặt phẳng tại O, cắt b tại I
Dựng hình chiếu vuông góc b¢ của b lên 
Trong mp, vẽ OH ^ b¢ tại H.
Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B
Từ B dựng đường thẳng song song với cắt a tại A.
Þ	AB là đoạn vuông góc chung.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 
Cách 1.	Dùng đường vuông góc chung:
Tìm đoạn vuông góc chung AB của .
Cách 2.	Dựng mặt phẳng chứa a và song song với b. Khi đó:
Cách 3.	Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b. Khi đó: 
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
A .	B. .	C. .	D. .
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Góc giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng . Khoảng cách giữa hai đường thẳng GC và SA bằng:
A. 	B. .	C. .	D. .
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Góc giữa đường thẳng BG với mặt phẳng (ABCD) bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
A. .	B. 	C. .	D. 
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, . M là trung điểm của cạnh BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SDM) với (SBC) bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc, và diện tích tam giác SBC bằng . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
A. . 	B. .	C. 	D. 
Cho hình chóp tam giác có vuông góc với mặt đáy, tam giác vuông cân tại B, , góc giữa với bằng . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng với .
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, góc OCB bằng , góc ABO bằng và . Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM. Tính góc giữa hai đường thẳng CM và OA.
A. .	B. .	B. .	D. .
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, góc OCB bằng , góc ABO bằng và . Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM. Tính góc giữa hai mặt phẳng (OCM) và (ABC).
A. 	B. 	C. 	D. 
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Góc giữa đường thẳng AC và mp(OBC) bằng , , . Gọi M là trung điểm của cạnh OB. Góc giữa đường thẳng OA với mặt phẳng (ACM bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho tứ diện có đôi một vuông góc. Góc giữa đường thẳng và bằng , , . Gọi là trung điểm của cạnh . Tính góc giữa hai mặt phẳng và bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ABCD vuông tại A và B. Biết , . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, gọi M là trung điểm của AD. Tính khoảng cách h từ M đến mặt phẳng .
A..	B. .	C. .	D. .
Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, . Cạnh OA vuông góc với mặt phẳng (OBC), , gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và OM.
A. .	B. .	C..	D. .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng , . Gọi F là trung điểm SC, tính góc giữa hai đường thẳng BF và AC.
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy và . Gọi M là trung điểm của SC. Tính côsin của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng .
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và . Tính góc giữa hai mặt phẳng và .
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc . Các mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm SD, thể tích khối chóp S.ABCD là . Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng theo a.
A..	B..	C..	D..
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh 2a, góc . Các mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt đáy. Thể tích khối chóp S.ABCD là . Hãy tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.
A. .	B..	C. .	D. .
DẠNG TOÁN
GÓC
Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa:
Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau và là góc nhỏ nhất trong bốn góc mà và cắt nhau tạo nên.
Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau và trong không gian là góc giữa hai đường thẳng và cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với và.
Chú ý: góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn (hoặc vuông).
2. Phương pháp
Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác.
Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hướng: nếu và lần lượt là hai vecto chỉ phương ( hoặc vecto pháp tuyến ) của hai đường thẳng và thì góc của hai đường thẳng này được xác định bởi công thức
3. Định nghĩa
Góc giữa hai mặt phẳng và là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Nếu hai mặt phẳng đó song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng .
4. Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau
Phương pháp 1: Dựng hai đường thẳng , lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng và . Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng và là . Tính góc .
Phương pháp 2:
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Dựng hai đường thẳng , lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm trên . Khi đó: .
Hay ta xác định mặt phẳng phụ vuông góc với giao tuyến mà , . Suy ra .
Phương pháp 3: (trường hợp đặc biệt)
Nếu có một đoạn thẳng nối hai điểm , mà thì qua hoặc ta dựng đường thẳng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng tại . Khi đó .
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
A. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
B. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.
C. Góc giữa hai đường thẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng và khi song song với (hoặc trùng với ).
D. Góc giữa hai đường thẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng và thì song song với .
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
A. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.
B. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng khi và song song (hoặc trùng với ).
C. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thì mặt phẳng song song với mặt phẳng .
D. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thì và song song.
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
A. Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn.
B. Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng khi mặt phẳng song song với mặt phẳng (hoặc trùng với ).
C. Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng thì mặt phẳng song song với mặt phẳng .
D. Cả ba mệnh đề trên đều đúng.
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, . Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là . Khi đó nhận giá trị nào trong các giá trị sau:
A. .	B. 	C. .	D. .
Cho hình lập phương . Xét mặt phẳng , trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Góc giữa mặt phẳng và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng nhau.
B. Góc giữa mặt phẳng và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng nhau.
C. Góc giữa mặt phẳng và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng mà .
D. Cả ba mệnh đề trên đều sai.
Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông và có một mặt bên vuông góc với đáy. Xét bốn mặt phẳng chứa bốn mặt bên và mặt phẳng chứa mặt đáy. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Có hai cặp mặt phẳng vuông góc nhau.
B. Có ba cặp mặt phẳng vuông góc nhau.
C. Có bốn cặp mặt phẳng vuông góc nhau.
D. Có năm cặp mặt phẳng vuông góc nhau.
Cho hình lập phương , hãy xác định góc giữa cặp vectơ ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu và cùng vuông góc với thì .
B. Nếu , thì .
C. Nếu góc giữa và bằng góc giữa và thì .
D. Nếu và cùng nằm trong mặt phẳng và thì góc giữa và bằng góc giữa và .
Cho hình chóp có . Hãy xác định góc giữa và 
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho tứ diện có hai mặt là các tam giác đều. Góc giữa và là
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hình hộp . Giả sử tam giác là các tam giác nhọn. Góc giữa hai đường thẳng và là góc nào sau đây?
B. .	B. .	C. .	D. .
Trong các mện đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai.
B. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
C. Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Cho tứ diện. Gọi , , lần lượt là trung điểm của , và . Khi đó góc giữa và là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho một hình thoi cạnh và một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa hình thoi sao cho và vuông góc với . Tính góc giữa và 
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho tứ diện .Gọi , , lần lượt là trung điểm của , và . Cho và . Tính góc 
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hình chóp có , , đều cạnh . Tính góc giữa và 
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hình chóp có , , đều cạnh . Tính ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho tứ diện đều cạnh . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và . Tính ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh ; và . Tính góc giữa hai mặt phẳng và ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hình chóp có cạnh đáy bằng ; và . Tính góc giữa hai mặt phẳng và ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho ba tia , , trong không gian sao cho , , Trên ba tia ấy lần lượt lấy các điểm , , sao cho . Gọi , lần lượt là góc giữa mặt phẳng với mặt phẳng và mặt phẳng . Tính ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh ; và . Tính góc giữa hai đường thẳng và 
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh ; và . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Tính góc giữa hai đường thẳng và 
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho tứ diện có . Gọi , , lần lượt là trung điểm của , , . Biết .Tính góc giữa hai đường thẳng và 
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hình lập phương cạnh . Gọi , lần lượt là trung điểm của , . Tính góc giữa hai đường thẳng và 
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hình lập phương cạnh . Tính góc giữa hai đường thẳng và 
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hình lập phương cạnh . Gọi , , lần lượt là trung điểm của , , . Tính góc giữa hai đường thẳng và 
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hình lập phương cạnh . Gọi , , lần lượt là trung điểm của , , . Tính góc giữa hai đường thẳng và 
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh ; và . Tính góc tạo bởi và mặt phẳng .
A. .	B. .	C. .	D. .