Tài liệu ôn tập Lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

Phần I: LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT
I.Lũy thừa:
1. Định nghĩa:
 , 
	 xác định khi (k Î ) xác định "x Î (k Î )
2. Các tính chất : Tất cả các loại lũy thừa đều có tính chất tương tự sau đây(Chỉ khác điều kiện):
Cho và Ta có:
II.Hàm số lũy thừa:
Đạo hàm của hàm số lũy thừa: ; 
III. Lôgarit: 	 
 Các tính chất : Với . Ta có các tính chất:
 Đặc biệt : 
 Công thức đặc biệt: 
IV. Hàm số mũ: Có dạng : ( a > 0 , a1 ).
Ÿ Tập xác định : Ÿ Tập giá trị : 
Ÿ Tính đơn điệu:
 + a > 1 : đồng biến trên .
 + 0 < a < 1 : nghịch biến trên . 
Ÿ Đồ thị hàm số mũ :
Ÿ Đạo hàm hàm số mũ:
 (a > 0, a ≠ 1) 
V. Hàm số lôgarít: Dạng ( a > 0 , a 1)
 Ÿ Tập xác định : Ÿ Tập giá trị: 
 Ÿ Tính đơn điệu:
 + a > 1 : đồng biến trên (Tức là: )
 + 0 < a < 1 : nghịch biến trên (Tức là: ) 
 Ÿ Đồ thị của hàm số lôgarít: 
 Ÿ Đạo hàm hàm số lôgarit:
MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN (Xem thêm).
Dạng 1: Rút gọn biểu thức, tính giá trị biểu thức:
Hướng giải: Sử dụng các công thức đã biết, rút gọn các biểu thức.
Ví dụ 1: Tính theo a khi biết .
ðPhân tích: Tìm mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận à Biểu diễn và qua .
Ta có: 
 Vậy: .
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức 
Phân tích: à Nên rút gọn các biểu thức nhỏ.(Cũng có thể giải theo hướng qui đồng hai phân thức trong ngoặc phía sau). 
Giải:
Dạng 2: So sánh hai số dưới dạng lũy thừa, lôgarit:
Hướng giải:
Sử dụng tính chất của hàm số mũ (lôgarit) có cơ số a:: hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên tập xác định.
Nếu cùng cơ số: Ta so sánh trực tiếp dựa vào cơ số lớn hơn 1 hay nhỏ hơn 1.
Nếu khác cơ số, ta so sánh thông qua một số thứ ba.
Ví dụ: a. So sánh các cặp số và b. So sánh các cặp số: và 
a.Vì nên hàm số là hàm số đồng biến. Do đó: hay .
Ta cũng có: nên hàm số là hàm số nghịch biến. Do đó: hay
Từ đó ta rút ra: 
b. Ta có: 
Dạng 3: Đạo hàm hàm số mũ, lôgarit:
Hướng giải: Sử dụng các công thức đạo hàm đã nêu ở trên.
Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số: a. b.
Giải:
a. .
b. 
BÀI TẬP: Tính đạo hàm của các hàm số:
1) y = x.ex 	 2) y = x7.ex	3) y = (x – 3)ex 	 4) y = ex.sin3x
5) y = (2x2 -3x – 4)ex 6) y = sin(ex)	7) y = cos( )	 8) y = 44x – 1
9) y = x.lnx	 10) y = x2lnx - 	 11) ln( )	 12) y = log3(x2- 1)
13) y = ln2(2x – 1)	 14) y = x.sinx.lnx	 15) y = lnx.lgx – lna.loga(x2 + 2x + 3)
Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Chú ý: Trước khi giải một phương trình, bất phương trình; cần chú ý đặt điều kiện cho phương trình, bất phương trình (nếu có).
Phương trình mũ:
Cách giải tổng quát : Biến đổi phương trình để đưa các hàm số có mặt trong phương trình về cùng một cơ số.
Một số phương pháp thường sử dụng:
I. Phương trình mũ cơ bản: Điều kiện: 
Trường hợp 1: : Phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2: : Nên suy nghĩ theo hai hướng ( Có thể luôn thực hiện theo hướng thứ hai):
	F Nếu m = an thì ta có: 
	F Nếu thì ta có: 
Ví dụ: Giải phương trình: 
a. b.
Nhận xét: Trong hai phương trình, không có phương trình nào cần đặt điều kiện.
Phân tích câu a) à Có thể biến đổi các biểu thức vế trái để cùng có chung nhân tử à Đặt nhân tử chung, rút gọnà Đưa về dạng cơ bản.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b. Phân tích: có thể biến đổi vế trái: để đưa các lũy thừa về cùng số mũ x à đưa về dạng cơ bản.
II. Đưa về cùng cơ số:
Hướng giải:
 - Biến đổi các hàm số có mặt trong phương trình về cùng cơ số, sau đó rút gọn, đưa về dạng cơ bản hoặc về dạng: (Thường gặp)
- Nếu cơ số a thay đổi thì: (Ít gặp).
Ví dụ: Giải phương trình: 
Nhận xét: Hai vế của phương trình có thể biến đổi để đưa về cùng cơ số 3.
Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 1; x = -3.
BÀI TẬP: Giải các phương trình sau:
	a) 	 b) 	 c) 
	d) 	 e) 52x + 1 – 3. 52x -1 = 110	 f) 
	g) 2x + 2x -1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 + 3x - 2	 	 h) (1,25)1 – x = 
III. Đặt ẩn số phụ:
Hướng giải: Thường biến đổi để phương trình chỉ còn một hàm số mũ duy nhất (nhưng không thể biến đổi gọn hơn để đưa về các dạng cơ bản đã biết ở trên) và đặt nó làm ẩn phụ để đưa việc giải phương trình đã cho về giải phương trình đại số. (Chú ý chỉ lấy nghiệm dương đối với ẩn số phụ).
Một số dạng thường gặp:
Loại 1: Phương trình có dạng 
 Khi đó ta đặt: t = af(x) điều kiện: t > 0 . Ta được một phương trình đại số ẩn t, giải pt đại số này ta biết được nghiệm của phương trình ẩn t. 
 Nếu có nghiệm t thì cần xét xem có thỏa điều kiện t > 0 hay không. Nếu thỏa điều kiện thì giải phương trình để tìm nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ: 
Đặt t = . Điều kiện t > 0. Ta có 
F Với t = 2 ta có =2
F Với t = 4 ta có = 4. 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: và 
BÀI TẬP: Giải phương trình.
1) 4x + 2x+1 – 8 = 0	 2) 4x+1 – 6. 2x+1 + 8 = 0	 3) 34x+8 – 4. 32x+5 + 27	
4) 	 6) 	 8) 
9) 4cos2x + = 3 	 
Loại 2: Phương trình đưa được về dạng: 
Hướng giải: Đặt .
Ví dụ 1: Giải phương trình 
Đặt Ta được phương trình: 
F Với t =125 ta có .
F Với t = 5 ta có 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 1 và x = 3.
Ví dụ 2: Giải phương trình (1)
Ta có . Đặt 
Trở thành: 
F Vớt ta có: .
F Vớt ta có: .
Lưu ý: Một số những cặp số là nghịch đảo của nhau. Ví dụ: 
BÀI TẬP: Giải phương trình.
1) 	 2) 	
Loại 3: Phương trình có dạng: 
Hướng giải: Chia cả hai vế cho ta được phương trình + + = 0
 Ta đặt: t =điều kiện: t > 0, giải phương trình ẩn t, sau đó tìm nghiệm x.
Chú ý: Cũng có thể chia hai vế phương trình cho: hoặc: .
Ví dụ: Giải phương trình .
BÀI TẬP CHUNG: Giải các phương trình:
	a) 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0 b) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0 	
 c) d) 	
 e) f) 
IV.Phương pháp lôgarit hóa hai vế (thường sử dụng trong trường hợp hai vế không cùng cơ số).
Hướng giải: Biến đổi phương trình về dạng: 
Lưu ý: Ta thường lôgarit hóa hai vế với cơ số a hoặc b.
Ví dụ: Giải phương trình: 
Nhận xét: Ta không thể biến đổi phương trình để đưa về cùng cơ số, hoặc chỉ còn một hàm số mũ duy nhất, vì vậy cách giải ở đây là lấy lôgarit hóa hai vế.
Lấy lôgarit theo cơ số 2 hai vế của phương trình ta được:
BÀI TẬP: Giải các phương trình
a) 2x - 2 = 3	 b) 3x + 1 = 5x – 2	 c) 3x – 3 = 
d) 	 e) 	 f) 52x + 1 - 7x + 1 = 52x + 7x
V. Đoán nhận một nghiệm và chứng minh nghiệm đó duy nhất bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ.
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). ( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho 
 f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) 
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b) . 
( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)) 
Ví dụ: Giải phương trình:.
Dễ nhận thấy x = 5 là nghiệm của phương trình đã cho.
Ta có: Hàm số mũ: là hàm số giảm trên do cơ số: .
 Hàm số bậc nhất: là hàm số tăng trên do hệ số a = 1 > 0.
Vậy: x = 5 là nghiệm duy nhất của phương trình.
BÀI TẬP: Giải các phương trình:
a) 3x + 4 x = 5x	 b) 3x – 12x = 4x	 c) 1 + 3x/2 = 2x
Phương trình Lôgarit:
1. Phương trình lôgarit cơ bản:
 Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: , trong đó m là số đã cho.
Phương trình có điều kiện xác định là x > 0 ().
Với mọi , phương trình có nghiệm duy nhất .
Ví dụ: Giải phương trình: .
Điều kiện: (Đối với phương trình, ta có thể đặt điều kiện mà không cần giải điều kiện đó. Sau khi giải phương trình tìm được kết quả, ta thử nghiệm).
Ta có: 
So với điều kiện, ta thấy phương trình có hai nghiệm: 
2. Phương pháp đưa về cùng cơ số: Biến đổi phương trình để đưa về dạng cơ bản đã nêu hoặc là dạng: 
Ví dụ 1: Giải phương trình (1) 
Điều kiện: 
(1) 
Vậy phương trình có nghiệm 
Ví dụ 2: Giải phương trình 
Điều kiện: 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: 
BÀI TẬP: Giải các phương trình sau :
1) 2) log2(9x – 2+7) – 2 = log2( 3x – 2 + 1)	
3) 	 4) log4(x + 2) – log4(x -2) = 2 log46	
5) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3) 6) log4x + log2x + 2log16x = 5	
7) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0 
3. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Hướng giải: Biến đổi để trong phương trình chỉ còn một hàm lôgarit duy nhất, sau đó ta đặt nó làm ẩn phụ (Chú ý điều kiện), chuyển phương trình đã cho thành phương trình đại số. 
Ví dụ1: Giải phương trình .
Phân tích: Ta nhận thấy trong phương trình chỉ có một hàm số lôgarit duy nhất, đó là . Vì vậy ta giải pt bằng cách đặt 
Đặt đk và .Ta được phương trình: 
 F Với t = 2 ta có 
 F Với t = 3 ta có 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 100; x = 1000.
Ví dụ 2: Giải phương trình 
Điều kiện: 
Đặt , ta được phương trinh: 
 F Với t =1 ta có 
 F Với ta có . Kết luận:.... 
BÀI TẬP: Giải các phương trình sau :
1) 2) 	
	3) 	 4) log2x + 
	5) 	
4. Phương pháp biến đổi phương trình về dạng tích:
Ví dụ: Giải phương trình sau : 
Giải: Điều kiện: 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 7 và x = 4.
5. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
 * Ta thường sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). ( Do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho 
 f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C). 
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b) . 
( Do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)). 
Ví dụ: Giải phương trình: 
Phân tích: Trước tiên ta cần đặt điều kiện cho phương trình. Do hai hàm số lôgarit không cùng cơ số nhưng có thể biến đổi cho vế trái là tổng của hai hàm số đồng biến( cơ số lớn hơn 1) à Áp dụng tính chất 1.
Giải: Điều kiện: 
Ta có: 
Dễ thấy phương trình có một nghiệm 
Do các cơ số 2 và 3 đều lớn hơn 1 nên các hàm số đều đồng biến trên khoảng . Do đó hàm số: đồng biến trên khoảng .
Mặt khác là hàm hằng. Do đó phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm x = 3.
Phần 3: BẤT PHƯƠNGTRÌNH MŨ, LÔGARIT
Bất phương trình mũ:
Xét bất phương trình dạng: 
 Ÿ Nếu : Bất phương trình có tập nghiệm 
 Ÿ Nếu : 
Một số bất phương trình cơ bản:	
Tổng quát ta có:
1.Phương pháp đưa về cùng cơ số:
Hướng giải: Ta biến đổi các hàm số mũ trong bpt về cùng một cơ số, sau đó đưa về các dạng cơ bản ở trên. (Nếu có thể thì nên đưa về cơ số a >1).
Giải bất phương trình: 
Giải:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 
b) Điều kiện: 
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm là: .
BÀI TẬP : Giải các bất phương trình sau :
 1) 2) 
2. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Hướng giải: Biến đổi bất phương trình sao cho trong bpt chỉ còn một hàm số mũ duy nhất (nhưng không thể biến đổi đưa về các dạng cơ bản đã biết). Ta giải bằng cách đặt nó làm ẩn phụ.
Ví dụ: Giải bất phương trình: 
. Đặt Ta được bất phương trình: So với điều kiện, ta có: hay: 
Vậy bất phương trình có tập nghiệm: 
BÀI TẬP: 
1.Giải các bất phương trình sau:
 1) 2) 
 3) 4) 
 5) 6) 
2. Giải các bất phương trình:
	 a) 16x – 4 ≥ 8	b) 	 c) 
	 d) 	e) 	 f) 52x + 2 > 3. 5x
3. Giải các bất phương trình:
	 a) 22x + 6 + 2x + 7 > 17	b) 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ 3	 c) 
	 d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x 	e) 2. 16x – 24x – 42x – 2 ≤ 15 	 f) 4x +1 -16x ≥ 2log48
	 g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x 	
Bất phương trình lôgarit:
1. Dạng cơ bản: ( a > 0 , )
Điều kiện : x > 0
2. Phương pháp đưa về cùng cơ số: 
Hướng giải: Ta biến đổi các hàm số lôgarit trong bpt về cùng một cơ số, sau đó đưa về các dạng cơ bản ở trên. (Nếu có thể thì nên đưa về cơ số a >1).
Ví dụ: Giải các bất phương trình sau: 
a. b.
Giải:
a.Điều kiện: 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 
b.Điều kiện: 
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là: 
3. Phương pháp đặt ẩn số phụ: 
Hướng giải: Biến đổi bất phương trình sao cho trong bpt chỉ còn một hàm số lôgarit duy nhất (nhưng không thể biến đổi đưa về các dạng cơ bản đã biết). Ta giải bằng cách đặt nó làm ẩn phụ.
Ví dụ: Giải bất phương trình: 
Giải: Điều kiện: 
Đặt: , ta thu được bất phương trình: 
 F Với ta có: 
 F Với ta có: 
Kết hợp với điều kiện đề bài, ta được tập nghiệm của bất phương trình là: .
BÀI TẬP:
Bài 1: Giải các bất phương trình:
	1) log4(x + 7) > log4(1 – x) 	2) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4
	3) log2( x2 – 4x – 5) < 4	4) log1/2(log3x) ≥ 0
	5) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3	6) 	
Bài 2: Giải các bất phương trình:
 1) 2) 
	3) log3(x + 2) ≥ 2 – x	 4) log5(2x + 1) < 5 – 2x