Tài liệu Ôn tập Hình học học kì 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương
I
 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ 
 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Á1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
I. Định nghĩa	
 Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a,b)
 1) f tăng trên (a,b) nếu với mọi x1, x2 Î(a,b) mà x1 < x2 thì f(x1) < f(x2).
 2) f giảm trên (a,b) nếu với mọi x1, x2 Î(a,b) mà x1 f(x2).
II. Định lý:
 Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a,b).
Nếu f’(x) > 0 "xÎ(a, b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a, b).
Nếu f’(x) < 0 "xÎ(a, b) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a, b).
(Nếu f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a, b) thì định lý vẫn còn đúng).
Á2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
1.Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a,b) và điểm x0 Î(a,b) .
 đgl điểm cực đại và 
 đgl điểm cực tiểu và 
2. Điều kiện để hàm số có cực trị:
 Định lý fermat:
 Nếu hàm số y = f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm tại x0 Î(a,b) và đạt cực trị tại điểm đó thì f’(x) = 0.
 Định lí 1:
 Gsử hsố ltục trên chứa điểm và có đhàm trên các khoảng và .
 Khi đó:
    a. Nếu và thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm .
    b. Nếu và thì hàm số đạt cực đại tại điểm .
Nói một cách vắn tắt: Nếu khi đi qua , đạo hàm đổi dấu thì điểm là điểm cực trị 
 ( dương sang âm là cực đại, âm sang dương là cực tiểu ). 
   Định lí 2. 
 Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x0 và f’(x0) = 0, f''(xo) ¹ 0 thì xo là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa
1) Nếu f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
2) Nếu f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
 Nói cách khác:
1) f’(x0) = 0, f”(x0) > 0 Þ x0 là điểm cực tiểu.
2) f’(x0) = 0, f”(x0) < 0 Þ x0 là điểm cực đại.
Á3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
1) Định nghĩa :
 Cho hàm số y = f(x) xác định trên D
 Số M gọi là GTLN của hàm số y = f(x) trên D nếu:
	(ký hiệu M=maxf(x) )
 Số m gọi là GTNN của hàm số y = f(x) trên D nếu:
	(ký hiệu m=minf(x) )
2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b)
+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b)
+ Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại (cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b)
Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b].
+ Tìm các điểm tới hạn x1,x2, ..., xn của f(x) trên [a,b].
+ Tính f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
Á4. TIỆM CẬN
 Cho haøm soá y = f(x) (C )
1/ Ñöôøng thaúng x = x0 ñgl ñöôøng tcñ cuûa (C) neáu ít nhaát 1 trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn :  ; 
2/ Ñöôøng thaúng y = y0 ñgl ñöôøng tcn cuûa (C) neáu ít nhaát 1 trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn :   hoaëc 
Á5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1) Các bước khảo sát hàm số :
Các bước khảo sát hàm đa thức
Các bước khảo sát hàm hữu tỷ
B1: Taäp xaùc ñònh: D = R .
B2: Tìm 
B3: Tính y’, tìm nghieäm cuûa phöông trình y’ = 0
B4: Laäp baûng bieán thieân 
x
 Ghi txñ vaø nghieäm cuûa ptrình y / = 0
f’(x)
 Xeùt daáu y/
f(x)
 Ghi khoaûng taêng, giaûm , ctrò cuûa hsoá
B5: Suy ra: tính ñôn ñieäu vaø cöïc trò cuûa haøm soá 
B6: Tìm ñieåm ñaëc bieät .
B7:Veõ ñoà thò
 Sô ñoà khaûo saùt haøm: 
B1: D = R\
B2: Tcn laø: . Tcñ laø x = .
B3: Tính y’= tính ñôn ñieäu cuûa hsoá
B4: Laäp baûng bieán thieân.
x
Ghi mieàn xaùc ñònh cuûa haøm soá
f’(x)
 Xeùt daáu y/
f(x)
Ghi khoaûng taêng giaûm cuûa haøm soá
B5:Tìm giao ñieåm cuûa ñthò vôùi caùc truïc toaï ñoä ,coù theå laáy theâm moät soá ñieåm khaùc ñeå deã veõ.
B6:Veõ ñoà thò
Các dạng đồ thị hàm số: 
Hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0) 
F Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a ¹ 0)
y
I
x
y
O
Dạng 2: h/số nghịch biến
Dạng 1: h/số đồng biến
x
O
I
F Hàm số nhất biến : 
Sự tương giao của hai đồ thị
 Xét sự tương giao của hai đồ thị và 
Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị 
Số điểm chung của và bằng số nghiệm của 
Nếu phương trình vô nghiệm thì hai đồ thị không có điểm chung
Nếu phương trình có nghiệm kép thì hai đồ thị tiếp xúc nhau
Nếu phương trình có bao nhiêu nghiệm thì hai đồ thị có bấy nhiêu điểm chung
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
Á1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
VẤN ĐỀ1: Xét sự biến thiên của hàm số
B1: Tìm tập xác định
B2: Tính , cho giải tìm 
B3: Vẽ bảng biến thiên suy ra tính đơn điệu của hàm số
Nếu hàm số đồng biến
Nếu hàm số đồng biến
Nếu hàm số không đổi dấu trên TXĐ
Ví dụ . Xét sự đồng biến và nghịc biến của hàm số:
1/ 2/ 3/ 
4/ 5/ 6/ 
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định
Phương pháp: Dựa vào định lí.
Ví dụ 1. Chứng minh hàm số nghịch biến trên đoạn [1; 2]
Ví dụ 2:
Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng [3; +).
Hàm số nghịch biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2]
Ví dụ 3. Chứng minh rằng
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Hàm số nghịch biến trên R
VẤN ĐỀ 3:Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT
Phương pháp
+ Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn.
+ f ( x) đồng biến trên [a; b] thì f(a) ≤ f(x) ≤ f(b)
+ f(x) nghịch biến trên [a; b] thì 
Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x
Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 
Chứng minh rằng 
Ví dụ 2. Cho hàm số 
a.Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng 
b. Chứng minh 
Á2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
VẤN ĐỀ 1. Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc I.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
B3. Lập bảng biến thiên.
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị
Qui tắc II.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu là xi là các nghiệm của nó.
B3: Tính f ”(xi)
B4: Dựa vào dấu của f ” (xi) suy ra cực trị
( f ”(xi) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại xi; ( f ”(xi) < 0 thì hàm số có cực đại tại xi)
* Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp.
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số 
Qui tắc I.
TXĐ: R
Vậy x = -3 là điểm cực đại và ycđ = 71
 x= 2 là điểm cực tiểu và yct = - 54 
Qui tắc II
TXĐ: R
y”= 12x + 6
y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và
 yct = - 54
y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -3 và 
ycđ = 71
Ví dụ 1. Xeùt tính ñ.ñieäu vaø tìm các điểm cực trị của hàm số
 1/ 2/ 3/ 4/ 
Ví dụ 2. Áp dụng ñkieän ñuû 2, tìm các điểm cực trị của hàm số
1/ 2/ 3/ y = cos2x 4/ y = (1+cosx).sinx
VẤN ĐỀ 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị
 Để tìm điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a
 B1: Tính y’ = f’(x)
 B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm được m
 B3: Thử lại gtrị a có tmãn đkiện đã nêu không ( vì hsố đạt cực trị tại a thì f’(a) = 0 không kể CĐ hay CT)
Ví dụ . Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + ( m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2
Ta có: .
Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0 
Với m = 1 ta được hàm số: y = x3 – 3x2 + 2 
 có : tại x = 2 hàm số đạt giá trị cực tiểu 
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
Ví dụ 1 Xác định m để hàm số 
 1/
 2/ 
 3/ 
 4/ 
VẤN ĐỀ 3: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Bài toán: ‘Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào đó.’
Phương pháp
B1: Tìm m để hàm số có cực trị.
B2: Vận dụng các kiến thức khác Chú ý: 
Hsố có cực trị khi và chỉ khi ptrình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Cực trị của hàm phân thức . Giả sử x0 là điểm cực trị của y, thì giá trị của y(x0) có thể được tính bằng hai cách: hoặc 
Ví dụ . Xác định m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
Hướng dẫn.
a. Ta có: D = R
 .
Để hàm số có cực trị thì phương trình: 
 Hay : 
b. TXĐ: D = R\ {-2}
Ví dụ 1: Ñònh m ñeå haøm soá
 1/ y = coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu.
 2/ 
 a/ đạt cực tiểu tại .
 b/ đạt cực ñaïi tại .
 3/ đạt cực đại tại .
 4/ ñaït cöïc tieåu vôùi yCT = 3
 5/ y = mx4 + (m2-9).x2 + 10 coù 3 ñieåm cöïc trò
Á3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên :
B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x)
B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên
 Trong đó tại x0 thì f’(x0) bằng 0 hoặc không xác định
Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng 
Dễ thấy hàm số liên tục trên 
. 
Dễ thấy 
Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số không có giá trị lớn nhất.
Ví dụ 1 Tìm giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa caùc haøm soá :
1) y= x2 + (x > 0) 2) 3) 4) y = 4x3 – 3x4
5) 6) bieát x > 0, y > 0 vaø x + y = 
VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]:
B1: Tìm caùc giaù trò xi (i = 1, 2, ..., n) laøm cho ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng xaùc ñònh .
B2: Tính 
B3: GTLN = max{} 
 GTNN = Min{}
Ví dụ . Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [-4; 0]
Ví dụ 1:Tìm giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa caùc haøm soá :
1/ trên [-4; 0] 7/ treân [-1; 2] 
2/ treân [-4; 4] 8/ 
3/ treân [-5; -3] 9/ 
4/ 10/ treân [-1; 1]
5/ treân 11/ treân 
6/ 12/ treân [1; e3]
Á4. TIỆM CẬN
Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau
1/. 	 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 
Á5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1: C¸c bµi to¸n vÒ hµm bËc ba
Bµi 1(TNTHPT – 2008)
 Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè.
BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 
Bµi 2 (TN THPT- lÇn 2 – 2008)
 Cho hµm sè y = x3 - 3x2
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè ®· cho.
T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm ph©n biÖt.
Bài 3 (TNTHPT - 2007)
 Cho hàm số y = có đồ thị là (C) .
	a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
	b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm A(2 ;4) .
Bài 4 (TNTHPT - 2006) 
 Cho hàm số y = có đồ thị (C) .
	a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
	b/ Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm phương trình : - m = 0 .
Bài 5  (TNTHPT – 2004- PB)
 Cho hàm số y = có đồ thị là (C) .
 a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
 b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm cã hoµnh ®é lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh y’’=0 .
 c/ Với gtrị nào của m thì đthẳng y = x + m2 - m đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối cđại và cực tiểu .
Bài 6 (TNTHPT – 2004 - KPB)
 Cho hàm số y = .
	a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m =1 .
	b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 .
Bµi 7 
 Cho hµm sè y = x3 - 3x2 + 4m
Chøng minh ®å thÞ hµm sè lu«n cã 2 cùc trÞ.
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè khi m = 1
Bµi 9 (§H-B- 2007)
Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =1
T×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i cùc tiÓu vµ c¸c ®iÓm cùc trÞ c¸ch ®Òu ®iÓm O.
Bµi 10 (§H - D - 2004)
Cho hµm sè y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 2
T×m m ®Ó nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh y’’= 0 thuéc ®­êng th¼ng y = x+ 1
Bµi 11
 Cho hµm sè y = (x -1)(x2 + mx + m)
T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè víi m = 4
Bµi 12
 Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =2
Víi gi¸ trÞ nµo cña m hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu.
Bµi 13 Cho hµm sè y = 
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè khi m =1
T×m m ®Ó hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1
VẤN ĐỀ 2: C¸c bµi to¸n vÒ hµm TRÙNG PHƯƠNG
Mét sè tÝnh chÊt cña hµm trïng ph­¬ng
Hµm sè lu«n cã cùc trÞ víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè sao cho 
Hsè ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i, cùc tiÓu cã ba nghiÖm ph©n biÖt 
§å thÞ hµm sè lu«n nhËn O ... uyến ứng với cạnh huyền SC nên AI = IS = IC.(1)
BC ^ AB và BC ^ SA Þ BC ^ SB Þ D SBC vuông tại B, IB là trung tuyến ứng với cạnh huyền SCnên IB = IS = IC (2). Tương tự ta cũng có ID = IS = IC(3). Từ (1), (2), (3) ta có I cách đều tất cả các đỉnh hình chóp nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
Bài tập 2. Cho hchóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, .Tam giác SAC đều và nằm trong mphẳng vuông góc với đáy.
Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Giải:
Trong mp( SAC), dựng SH ^ AC tại H Þ SH ^ (ABC).
 , trong đó B là diện tích DABC, h = SH.. 
Trong tam giác đều SAC có AC = 2a Þ . Vậy (đvtt)
Bài tập 3. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 45o. 
Tính thể tích khối chóp .
Tính diện tích xung quanh của mặt nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Giải: 
 a) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD Þ SO ^ (ABCD).
Þ 
 b) Áp dụng công thức trong đó r = OA, l =SA= a.
 Thay vào công thức ta được: (đvdt)
Bài tập 4: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.
Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Tính diện tích của mặt trụ tròn xoay ngoại tiếp hình trụ
 Giải:
a) Ta có , trong đó B là diện tích đáy của lăng trụ, h là chiều cao lăng trụ .Vì tam giác ABC đều, có cạnh bằng a nên . h = AA’ = a Þ (đvtt)
b) Diện tích xung quanh mặt trụ được tính theo công thức 
r là bán kính đường tròn ngoại tiếp DABC Þ , l =AA’ =a 
nên diện tích cần tìm la: (đvdt)
Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a và SA ^(ABC). 
Tam giác ABC vuông cân tại B, 
Tính thể tích khối chóp S.ABC
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 
Gọi I và H lần lượt là trung điểm SC và SB. Tính thể tích khối chóp S.AIH 
Giải:
a) 
 b) Gọi I là trung điểm SC
 SA ^AC nên A thuộc mặt cầu đường kính SC
 BC ^ SA và BC ^ Ab nên BC ^ SB Þ B thuộc mặt cầu đường kính SC. 
Như vậy tâm mặt cầu là trung điểm I của SC còn bán kính mặt cầu là . 
Ta có 
 c) Áp dụng công thức 
Bài tập 6:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. 
 a) Tính thể tích khối lập phương
 b) Tính bán kính mặt cầu qua 8 đỉnh của lập phương
c) Chứng minh hai khối chóp B’.ABD’ và D.C’D’B có bằng nhau 
a) V = a3 (đvtt)
b) Gọi O là điểm đồng quy của 4 đường chéo AC’, DB’, A’C, BD’ Þ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp lập phương.
 Bán kính mặt cầu là 
c) Hai khối chóp trên là ảnh của nhau qua phép đối xứng mặt phẳng (ABC’D’) Þ đpcm
Giải:
Bài 7: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, các cạnh bên SA, SB, SC đều tạo với đáy một góc 60o.
Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Tính khỏang cách từ điểm A đến mp(SBC).
Giải
 a) Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC), ta có H là trọng tâm tam giác ABC
 AH là hình chiếu của SA lên mp(ABC) nên g(SAH) = 60o
 Ta có: AE = , AH = , HE = 
 SH = AH.tan 60o = . Vậy VSABC = 
b)Gọi AK là khỏang cách từ A đến mp(SBC) 
 Ta có: VSABC = VASBC =
 SE2 = SH2 + HE2 = a2 + 
 SSBC = . Vậy SK = 
Bài 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 60o .Tính thể tích khối chóp SABC.
Giải
Hạ SH, kẽ HEAB, HFBC, HJAC suy ra SEAB, SFBC, SJAC
Ta có nên HE =HF = HJ = r
( r là bán kính đường tròn ngọai tiếp )
 Ta có SABC = với p = 
 Nên SABC = 
 Mặt khác SABC = p.r . Tam giác vuông SHE: SH = r.tan 600 = 
 Vậy VSABC = .
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450.
Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
Tính thể tích khối chóp SABC.
Giải
a) Kẽ SH BC vì mp(SAC)mp(ABC) nên SHmp(ABC). Gọi I, J là hình chiếu của H lên AB và BC SIAB, SJBC, theo giả thiết 
Ta có: nên BH là đường phân giác của , từ đó suy ra H là trung điểm của AC.
b) Ta có HI = HJ = SH = .VSABC = 
Bài 10: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng h và góc của hai đường chéo của hai mặt bên kề nhau phát xuất từ một đỉnh là . Tính thể tích của lăng trụ.
Giải
Gọi x là cạnh của đáy, ta có B’D’ = x
 .Vậy V = x2.h = 
Bài 11: Cho hình nón đỉnh S có đường sinh là a, góc giữa đường sinh và đáy là .
Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón.
Một mặt phẳng hợp với đáy một góc 600 và cắt hình nón theo hai đường sinh SA và SB. Tính diện tích tam giác SAB và khỏang cách từ tâm của đáy hình nón đến mặt phẳng này.
Giải.
Tính V và Sxq.
 vuông SAO : SO = a.sin, AO = a.cos
V = và Sxq = 
+ Tính SSAB 
 Kẻ OH, do đó 
vuông SOH : , OH = SO.cot.60 =
 vuông AOH : AH2 = AO2 – OH2 = a2.cos2 
Vậy SSAB = 
 + Tính d(O,(SAB))
Kẻ OK
 vuông OKH : OK = OH.sin 600 = 
Bài 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
a)Tính khỏang cách từ điểm A tới mặt phẳng BCD.
b)Tính khỏang cách giữa hai cạnh đối diện AB và CD.
c) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Giải
a/ Gọi G là trọng tâm tam giác đều BCD 
và E = BC ∩ DG , F = CD ∩ BG 
Ta có : BF = DE = AF = a = và 
Chứng minh tương tự ta có BCAG
Vậy AG(BCD) và AG là khỏang cách từ A đến (BCD).
Ta có: AG2 = AB2 – BG2 = a2 - . Vậy AG = 
b) Gọi H là trung điểm AB . Vì CD nên CD. Mặt khác FA = FB nên FH. Vậy FH là khỏang cách giữa hai cạnh đối AB và CD.
Ta có HF2 = AF2 – AH2 = . Vậy HF = 
HF cắt SG tai W thì W là tâm, Bán kính R = 
Một Số Đề Mẫu Thi Học Kì I – Toán 12CB
ĐỀ SỐ 1
Câu 1 (3,0 điểm)
Cho hàm số: , gọi đồ thị hàm số là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Câu 2 (1,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
Câu 3 ( 2,0 điểm) Giải các phương trình sau:	
a) b) 	
Câu 4 ( 1,0 điểm) Tính 
Câu 5 ( 3,0 điểm) 
Cho hchóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh bằng a, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). 
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.	
b) Xác định tâm O và tính bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.
-----HẾT----
ĐỀ SỐ 2
Câu I: (3,0 điểm)
Cho hàm số (1)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 
2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: . 
3) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm có hoành độ x0 = 2 . 
Câu II: (3,0 điểm) 
1) Rút gọn biểu thức: A = 	 
2) Giải các phương trình sau: a) b) 
Câu III: (1,0 điểm)
Cho hchóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, cạnh SA vuông góc với đáy, góc ABC bằng, BC = a và SA = . Tính thể tích của khối chóp đó. 
Câu IV : (3,0 điểm)
	1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [1 ; 3].
2) Cho hình nón có đỉnh S, mặt đáy là hình tròn tâm O, đường kính AB = 2R và tam giác SAB vuông.
	a) Tính thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón đó.
b) Giả sử M là một điểm thuộc đường tròn đáy sao cho góc BAM = 300. Tính diện tích thiết diện của hình nón tạo bởi mặt phẳng (SAM).
------------------Hết----------------------
ĐỀ SỐ 3
Câu I (2,5 điểm): Cho hàm số 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d: y = 2x - 2009.
Câu II (1điểm): Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [1;3].
Câu III (1,5 điểm): Giải các phương trình
 1. 2. 
Câu IV (2 điểm): 
 Cho hchóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = 2, OB = 3, OC = 4.
Tính thể tích khối chóp O.ABC.
Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp O.ABC.
Câu V 
Tìm các tiệm cận đồ thị hàm số: 
Giải bất phương trình: 
---------Hết-------- 
ĐỀ SỐ 4
Bài 1(3 điểm )
Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 - 4 (1 )
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số (1 ).
2/ Dựa vào đồ thị (C ) hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x 3 + 3x 2 – 4 - m = 0 .
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 1 .
Bài 2 (1,0 điểm ) 
 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
Bài 3 ( 1, 5 điểm )
1/ Giải các phương trình sau : 
a/ b/ 
2/ Giải bất phương trình : 
Bài 4 ( 0,75 điểm ) 
 Cho hàm số . Tìm x để y ’ ≥ 0
Bài 5 ( 1 điểm ) 
Cho hàm số (2)
1/ Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho .
2/ Chứng minh rằng với mọi số thực k thì đường thẳng y =x –k cắt đồ thị hàm số (2 ) tại hai điểm phân biệt .
Bài 6 (2,75 điểm) 
 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là một hình chữ nhật , AB = a , AD = 2a , SA ^ (ABCD) và SA = 2a .
1/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD .
2/ Cmr 5 điểm S , A , B , C , D cùng nằm trên một mặt cầu . Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu này .
3/ Quay đường gấp khúc BAS quanh cạnh AB ta được một hình nón .Hãy tính diện tích xquanh của hình nón này .
4/ Tính bán kính của mặt cầu có tâm là điểm A và tiếp xúc với mặt phẳng (SCD) .
--------------------------------------------
ĐỀ SỐ 5
ĐỀ SỐ 6
ĐỀ SỐ 7
ĐỀ SỐ 9
ĐỀ SỐ 10
ĐỀ SỐ 11
Bài 1(3 điểm): Cho hàm số y = x3 - 3x - 1 
	1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 	
	2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = . 	
	3. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình x3 - 3x + ‏׀m‏׀ - 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. 
Bài 2 (2 điểm):
	1. Cho hàm số y = f(x) = 2xex - ln(cosx). Tính f ”(0). 	
	2. Giải phương trình . 	
Bài 3 (2 điểm): Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600.
	1. Tính chiều cao SH, thể tích của hình chóp. 	
	2. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 	
Bài 4 (2 điểm):
	1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 5]. 
	2. Giải bất phương trình . 	
Bài 5 (1 điểm):
	Một hình nón có chiều cao 10 cm. Thiết diện qua trục là một tam giác đều. Tính tỷ số diện tích xung quanh của hình nón và diện tích mặt cầu nội tiếp hình nón. 	
ĐỀ SỐ 12
Câu I: (3 điểm)
 Cho hàm số (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(3;1)
Câu II: (2 điểm)
Tính giá trị của biểu thức 
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 
Câu III: (2 điểm)
 1. Giải phương trình 
 2. Giải bất phương trình 
Câu III: (3 điểm)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 600 .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 5 điểm S, A, B, C, D.
--------------------HẾT--------------------
ĐỀ SỐ 17
BÀI 1: Cho hàm số có đồ thị (C).
	1.(2điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
 2.(1.25điểm) Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 4 , viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A. Tiếp tuyến này cắt lại đồ thị (C) tại điểm B (B khác A) , tìm tọa độ điểm B.
BÀI 2.(1điểm) Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [1;e2 ] 
BÀI 3 . Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a , I là trung điểm của AB , là đường thẳng qua I và vuông góc với mp(ABCD).Trên lấy một điểm S sao cho SI = .
	1.(0.75điểm) Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a.
	2.(1điểm) Gọi (N) là hình nón tròn xoay thu được khi quay đường gấp khúc SAI xung quanh SI . Tính diện tích xung quanh của hình nón (N) theo a.
	3.(1điểm) Xác định tâm và tính theo a bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 
BÀI 4 Giải các phương trình sau :
	1.(1điểm) .
	2.(1điểm) .
BÀI 5 .(1điểm) Giải bất phương trình sau 
 .
.