Tài liệu ôn tập Hình học 12

HÌNH HỌC PHẲNG
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
VẤN ĐỀ 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, gọi lần lượt là vectơ đơn vị của Ox, Oy ta có:
1) .
2) .
2. Tính chất và công thức. Cho , ta có:
1) . 2) .
3) .
4) . 
5) .
6) 
 .
7) .
8) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k 
9) Điểm I là trung điểm của đoạn AB thì I
10) Tọa độ trọng tâm G của là 
VẤN ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
1. Phương trình đường thẳng
a) Phương trình tổng quát 
Phương trình tổng quát của đường thẳng (d) có dạng .
1) hoặc là vectơ chỉ phương (VTCP) của (d).
2) là vectơ pháp tuyến (VTPT) của (d).
3) (d) đi qua và thì (d): .
b) Phương trình tham số (ptts) 
(d) đi qua và có VTCP thì .
c) Phương trình chính tắc (ptct) 
(d) đi qua và có VTCP thì .
Nếu a1 = 0 (hoặc a2 = 0) ta viết , với quy ước 
d) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm 
 hoặc .
e) Phương trình đoạn chắn 
Cho (d) đi qua thì .
2. Một số tính chất
Cho hai đường thẳng và .
 a) Vị trí tương đối của hai đường thẳng
1) (d) cắt (d’) . Hoặc .
2) (d) song song (d’) hoặc .
3) (d) trùng (d’) .
 b) Chùm đường thẳng
Giả sử (d) cắt (d’) tại I, đường thẳng đi qua I thì thuộc chùm đường thẳng tâm I và .
 c) Góc giữa hai đường thẳng
Gọi là góc và VTPT của (d) và (d’), ta có:
.
 d) Khoảng cách từ đến (d)
.
 e) Phương trình hai đường phân giác của các góc hợp bởi (d) và (d’)
.
3. Một số tính chất khác
Cho hai điểm và đường thẳng (d): Ax + By + C = 0, ta có:
1) hoặc nằm trên (d).
2) nằm khác phía so với (d).
3) nằm cùng phía so với (d).
VẤN ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
1. Phương trình đường tròn
Cho đường tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính R.
 a) Phương trình chính tắc (C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2.
 b) Phương trình tổng quát (C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, .
2. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Cho (d): Ax + By + C = 0 và (C) tâm I bán kính R, ta có 3 vị trí tương đối sau đây:
1) (d) tiếp xúc (C) d(I; (d)) = R.
2) (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt d(I; (d)) < R. 
3) (d) không cắt (C) d(I; (d)) > R.
3. Vị trí tương đối của hai đường tròn
Cho (C1) tâm I1 bán kính R1 và (C2) tâm I2 bán kính R2, ta có 5 vị trí tương đối sau đây:
1) (C1) và (C2) ngoài nhau I1I2 > R1 + R2. 
2) (C1) tiếp xúc ngoài với (C2) I1I2 = R1 + R2.
3) (C1) cắt (C2) tại hai điểm phân biệt .
4) (C1) tiếp xúc trong với (C2) .
5) (C1) và (C2) chứa nhau .
4. Phương tích. Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 và điểm M0(x0; y0), vẽ cát tuyến M0AB và tiếp tuyến M0M với (C) ta có phương tích của điểm M0 đối với (C) là:
1) P
 .
2) P.
Nhận xét:
1) P . 
2) P thì nằm trong (C).
3) P thì nằm ngoài (C).
5. Trục đẳng phương
Cho (C1): x2 + y2 – 2a1x – 2b1y + c1 = 0 và (C2): x2 + y2 – 2a2x – 2b2y + c2 = 0.
Phương trình trục đẳng phương của (C1) và (C2) là: x2 + y2 – 2a1x – 2b1y + c1 = x2 + y2 – 2a2x – 2b2y + c2
 2(a1 – a2)x + 2(b1 – b2)y – (c1 – c2) = 0.
6. Tiếp tuyến tại điểm M0(x0; y0) thuộc (C)
a) Dạng chính tắc: (x – a)(x0 – a) + (y – b)(y0 – b) = R2.
b) Dạng tổng quát: x.x0 + y.y0 – a(x + x0) – b(y + y0) + c = 0.
VẤN ĐỀ 4. CÁC ĐƯỜNG CONIC
I. ELIP
1. Định nghĩa
Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c và hằng số 2a (a > c > 0).
Tập (E) là một elip nếu .
1) F1, F2 là 2 tiêu điểm. 
2) F1F2 = 2c là tiêu cự. 
3) A1(– a; 0), A2(a; 0), B1(0;–b), B2(0; b) là 4 đỉnh của elip.
2. Phương trình chính tắc
Cho elip (E) có hai tiêu điểm F1(–c; 0) và F2(c; 0) nằm trên trục hoành thì (E) có phương trình chính tắc là:
.
Trong đó, b2 = a2 – c2 và a > b > 0.
3. Bán kính qua tiêu điểm
Cho điểm M thuộc ta có: , .
4. Tâm sai: .
5. Đường chuẩn của elip: .
6. Tiếp tuyến với elip
a) Tiếp tuyến tại điểm M0(x0; y0)
Cho . Phương trình tiếp tuyến với (E) tại là: .
b) Điều kiện tiếp xúc
Cho đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 và elip ta có:
(d) tiếp xúc (E) a2A2 + b2B2 = C2 .
II. HYPERPOL
1. Định nghĩa
Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c và hằng số 2a (c > a > 0).
Tập (H) là một hyperpol nếu .
1) F1(– c; 0), F2(c; 0) là 2 tiêu điểm. 
2) F1F2 = 2c là tiêu cự. 
3) A1(– a; 0), A2(a; 0) là 2 đỉnh thuộc trục thực. B1(0;–b), B2(0; b) là 2 đỉnh thuộc trục ảo.
2. Phương trình chính tắc (H):
, c2 = a2 + b2.
3. Bán kính qua tiêu điểm
1) M thuộc nhánh phải (xM > 0):
MF1 = exM + a, MF2 = exM – a.
2) M thuộc nhánh trái (xM < 0):
MF1 = – exM – a, MF2 = – exM + a.
4. Tâm sai: .
5. Đường chuẩn: .
6. Tiệm cận: .
7. Tiếp tuyến tại .
8. Điều kiện tiếp xúc với đường thẳng: a2A2 – b2B2 = C2 .
Chú ý: là hyperpol liên hợp của .
III. PARAPOL
1. Định nghĩa
Cho đường thẳng cố định và điểm cố định.
Tập (P) là một parapol nếu .
1) là tiêu điểm, là đường chuẩn. 
2) là tham số tiêu.
3) O(0; 0) là đỉnh và MF là bán kính qua tiêu điểm của M (M thuộc parapol).
2. Phương trình chính tắc (P): y2 = 2px (p > 0).
3. Tâm sai: e = 1. 
4. Đường chuẩn: .
5. Tiếp tuyến tại M(x0; y0) thuộc (P):
y0y = p(x0 + x).
6. Điều kiện tiếp xúc: 2AC = B2p.
7. Các dạng parapol khác: y2 = – 2px, x2 = 2py, x2 = – 2py (p > 0).
B. BÀI TẬP
BÀI 1 : 
1) Cho DABC có M(–1 ; 1) là trung điểm cạnh BC, hai cạnh còn lại có phương trình lần lượt là (AC) : x + y – 2 = 0, (AB) : 2x + 6y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của DABC và viết phương trình cạnh BC.
2) Viết phương trình đường tròn (C ) có bán kính R = 2 tiếp xúc với trục hoành và có tâm I nằm trên đường thẳng (d) : x + y – 3 = 0.	 
BÀI 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình : x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0. 
1) Viết phương trình đường thẳng đi qua M(2 ; 4) cắt đường tròn (C) tại 2 điểm A, B sao cho M là trung điểm đoạn AB.
	 2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến ấy song song với đường thẳng có phương trình : 2x + 2y – 7 = 0.
3) Chứng tỏ đường tròn (C) và đường tròn (C ’) : x2 + y2 – 4x – 6y + 4 = 0 tiếp xúc nhau. Viết phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm.
BÀI 3 : Trong mặt phẳng Oxy cho (E) có phương trình : x2 + 4y2 = 4. 
1) Xác định tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm và tâm sai của (E).
	 2) Đường thẳng đi qua một tiêu điểm của (E) và song song với Oy cắt (E) tại 2 điểm M và N. Tính độ dài đoạn thẳng MN
3) Tìm giá trị của k để đường thẳng (D) : y = x + k cắt (E).
4) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) đi qua điểm B(0 ; 2).
BÀI 4 : Trong mặt phẳng Oxy cho (E) có phương trình : .
1) Xác định tọa độ các tiêu điểm, độ dài các trục của (E).
2) Chứng minh OM2 + MF1.MF2 là một số không đổi với F1, F2 là hai tiêu điểm của (E) và M Ỵ (E).
3) Tìm các điểm M thuộc (E) thỏa MF1 = 2.MF2 với F1, F2 là hai tiêu điểm của (E).
4) Tìm các điểm M Ỵ (E) nhìn hai tiêu điểm của (E) dưới một góc vuông.
BÀI 5 : Trong mp Oxy, cho Cho (H) có phương trình : 9x2 – 16y2 = 144.
1) Tìm tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm và tính tâm sai của (H).
2) Lập phương trình đường tròn (C) đường kính F1F2 và tìm giao điểm của (C) và (H).
3) Tìm các giá trị của k để đường thẳng y = kx cắt (H).
4) Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H).
BÀI 6 : Trong mặt phẳng Oxy cho (E) có phương trình : .
1) Xác định tọa độ các tiêu điểm, độ dài các trục của (E).
2) Tìm các điểm M thuộc (E) thỏa MF1 = 2.MF2 với F1, F2 là hai tiêu điểm của (E).
3) Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc (E) ta đều có 2 £ OM £ 3.
4) Tìm các điểm M thuộc (E) nhìn đoạn F1F2 dưới một góc 60°.
BÀI 7: Cho Parabol có phương trình (P) : y2 = 8x
1) Tìm tọa độ tiêu điểm của (P) và viết phương trình đường chuẩn của (P).
2) Tìm điểm M trên (P) cách tiêu điểm F một đoạn bằng 10.
3) Chọn điểm M tìm được có tung độ dương. Tìm điểm A trên (P) sao cho DAFM vuông tại F.
4) Biện luận theo m số giao điểm của (P) với đường thẳng y = x + m. Khi đường thẳng y = x + m cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N. Hãy tìm tập hợp các trung điểm của đoạn MN.
BÀI 8 : Trong mặt phẳng Oxy cho (E) có phương trình : 4x2 + 9y2 = 36.
1) Xác định tọa độ các tiêu điểm, độ dài các trục của (E).
2) Cho thêm elip (E ’) : . Viết phương trình đường tròn qua các giao điểm của hai elip.
3) Cho 2 đường thẳng (D) : ax – by = 0 và (D’) : bx + ay = 0 (a2 + b2 > 0). Tìm giao điểm E, F của (D) với (E) và giao điểm P, Q của (D’) với (E). Tính diện tích tứ giác EPFQ theo a, b.
4) Cho điểm M(1 ; 1). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
BÀI 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho họ đường thẳng phụ thuộc tham số a : (x – 1)cosa + (y – 1)sina – 1 = 0
1) Tìm tập hợp các điểm của mặt phẳng không thuộc bất kỳ đường thẳng nào của họ.
2) Chứng minh rằng mọi đường thẳng của họ đều tiếp xúc với một đường tròn cố định.
BÀI 10 :1)Lập ph. trình các cạnh của ABC, biết đỉnh A(1 ; 3) và hai đường trung tuyến xuất phát từ B và C có ph.trình là: x– 2y +1= 0 và y –1= 0.
2) Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm : A(2 ; 2), B(3 ; 3), C(4 ; 2).
 a) Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C.
 b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn xuất phát từ gốc tọa độ.
BÀI 11 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y2 = 8x. 
1) Tìm tọa độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của (P). 
2) Viết p.trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M thuộc (P) có tung độ bằng 4. 
3) Giả sử đường thẳng (d) đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là x2, x2. Chứng minh:AB = x1 +x2 + 4.
BÀI 12 : Trong mặt phẳng Oxy cho Elip (E) : 9x2 + 25y2 = 225.
1) Viết phương trình chính tắc và xác định các tiêu điểm, tâm sai của (E).
2) Một đường tròn (T) có tâm I(0 ; 1) và đi qua điểm A(4 ; 2). Viết phương trình đường tròn và chứng tỏ (T) đi qua hai tiêu điểm của (E).
3) Gọi A, B là 2 điểm thuộc (E) sao cho OA ^ OB. Chứng minh rằng : có giá trị không đổi.
BÀI 13: 
1) Cho DABC có đỉnh A(2 ; –1) và hai đường phân giác trong của góc B, góc C có phương trình lần lượt là (dB) : x – 2y + 1 = 0 và (dC) : x + y + 3 = 0. Lập phương trình cạnh BC.	 
2) Tìm điểm M Ỵ (H) : 5x2 – 4y2 = 20 nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 120°.
BÀI 14 : Trong mặt phẳng Oxy cho (E) : x2 + 3y2 = 12
1) Tính độ dài trục lớn, trục nhỏ, tọ ... 0), C(1 ; 1 ; 8).
1) Viết phương trình đường thẳng AC.
2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (a).
3)Viết phương trình mặt cầu tâm D, bán kính R = 5. Chứng minh rằng mặt cầu này cắt mp(a).
BÀI 6 : Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng có phương trình :
(a) : 2x – y + z + 2 = 0 , (a’) : x + y + 2z – 1 = 0 và điểm M (0 ; 1 ; –2).
1) Chứng tỏ rằng (a) và (a’) cắt nhau. Viết phương trình tham số của giao tuyến của 2 mặt phẳng (a) và (a’).
2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (a) và (a’). Tính khoảng cách từ M đến giao tuyến của hai mặt phẳng đó.
BÀI 7 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ :
d : và d’ : 
1) Tìm vectơ chỉ phương của d và d’.
2) Chứng tỏ rằng d và d’ là hai đường thẳng chéo nhau.
3) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (a) đi qua điểm N(1; 0;1) và song song d và d’.
BÀI 8 : Cho 2 đường thẳng có phương trình sau :
d : và d’ : 
1) Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.
2) Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d’.
BÀI 9 : Trong Oxyz cho : A(5 ; 1 ; 3), B(1 ; 6 ; 2), C(5 ; 0 ; 4), D(4 ; 0 ; 6).
1) Viết phương trình phương trình tổng quát của các mp(ACD) và (BCD).
2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (a) đi qua điểm A và vuông góc với các mặt phẳng (ACD) và (BCD). Tìm tọa độ giao điểm M của ba mặt phẳng (ACD), (BCD) và (a).
BÀI 10: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (a) có phương trình : 
3x – 2y + 5z + 2 = 0 và hai điểm A(1 ; 0 ; –1), B(2 ; 1 ; 2).
1) Chứng tỏ rằng A Ỵ (a) và B Ï (a)
2) Viết phương trình đường thẳng d qua B và vuông góc với mp(a).
3) Tìm góc giữa đường thẳng AB và mp(a).
BÀI 11 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng : 
d : và d’ : 
1) Chứng tỏ rằng d và d’ vuông góc với nhau.
2) Hai đường thẳng d và d’ có cắt nhau không ?
BÀI 12 : Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng :
 d : và d’ : 
1) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả 2 đường thẳng d, d’.
2) Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với 2 đường thẳng d, d’ và cách đều d và d’.
BÀI 13 : Trong không gian Oxyz, cho : 
đường thẳng d : và mặt phẳng (a) : 3x + 5y – z – 2 = 0
BÀI 14 : Trong không gian Oxyz cho 4 điểm : A(2 ; –2 ; 0), B(3 ; 0 ; –3), C(0 ; –2 ; –2), M(1 ; 1 ; –1).
1) Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua 3 điểm A, B, C.
2) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mp(a).
3) Viết phương trình mặt cầu tâm M, tiếp xúc với mặt phẳng (a).
BÀI 15 : Cho hai đường thẳng : (D1) : , (D2) : 
1) Chứng tỏ rằng : (D1) và (D2) chéo nhau.
2) Viết phương trình đường vuông góc chung (d) của (D1) và (D2)
3) Tìm khoảng cách giữa (D1) và (D2).
BÀI 16 : Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S có phương trình :
(x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 16 và điểm A(1 ; 2 ; 3).
1) Chứng tỏ mặt cầu S và đường thẳng OA cắt nhau tại hai điểm phân biệt M và N.
2) Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S tại hai điểm M và N nói trên.
BÀI 17 : Trong không gian Oxyz cho điểm M(–3 ; 1 ; 2) và mặt phẳng (P) : 2x + 3y + z – 13 = 0
1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P). Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng (P).
2) Xét vị trí tương đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu S tâm M bán kính R khi R thay đổi.
3) Viết phương trình mặt cầu tâm M bán kính R = 4 chứng tỏ mặt cầu này cắt mặt phẳng (P) và tìm bán kính đường tròn giao tuyến.
BÀI 18: Cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 + 2x – 4y – 6z + 5 = 0. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) biết :
1) Đi qua tiếp điểm M(1 ; 1 ; 1).
2) Chứa đường thẳng (d) : 
3)Vuông góc với đường thẳng (d) : 
BÀI 19 : Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng :
(d1) : và (d2) : 
1) Chứng minh rằng (d1) và (d2) chéo nhau.
2) Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua (d2) và song song với (d1).
3) Viết phương trình đường vuông góc chung của (d1) và (d2).
BÀI 20 : Trong không gian Oxyz cho : 
A(–2 ; 0 ; 1), B(0 ; 10 ; 3), C(2 ; 0 ;–1) và D (5 ; 3 ;–1).
1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C.
2) Viết phương trình đường thẳng qua điểm D và vuông góc với mp(P).
3) Viết phương trình mặt cầu tâm D tiếp xúc với mặt phẳng (P).
BÀI 21 : Trong không gian Oxyz cho điểm A(1 ; 2 ; 1) và đường thẳng (d) : 
1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa (d).
2) Tính khoảng cách từ A đến (d).
BÀI 22 : 
Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:
 	(D1) : và (D2) : 
1) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (D1) và song song với đường thẳng (D2).
2) Cho điểm M(2 ; 1 ; 4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đt (D2) sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.
BÀI 23 : Trong mặt phẳng Oxy cho điểm F(2 ; 0) và đường thẳng (D) có phương trình : 4x – 3y + 2 = 0
1) Lập phương trình Parabol (P) có tiêu điểm F và có đỉnh là gốc tọa độ.
2) Tính khoảng cách từ F đến (D) rồi lập phương trình đường tròn tâm F và tiếp xúc với (D). Tìm tọa độ tiếp điểm.
BÀI 24:
1) Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng: và cắt hai đường thẳng có phương trình sau đây : (d) : và (d’) : 
2) Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A(1 ; –1 ; 1) và cắt cả hai đường thẳng : 
(d) : và (d’) : 
BÀI 25 : 
Viết phương trình của đường thẳng nằm trong mặt phẳng y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng : (d) : và (d’) : 
Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A(0 ; 1 ; 1) vuông góc với đường thẳng : 
 (d) : và cắt (d’) : 
BÀI 26 : (4đ) Trong không gian Oxyz cho các điểm :
A(–1 ; 2 ; 0) B(–3 ; 0 ; 2), C(1 ; 2 ; 3), D(0 ; 3 ; –2)
1) Viết phương trình mp (ABC) và phương trình đường thẳng AD.
2) Tính diện tích DABC và thể tích tứ diện ABCD.
3) Viết phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu của AD lên mặt phẳng (ABC).
4) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
BÀI 27 : (3,5đ) Trong không gian có hệ trục tọa độ Oxyz cho :
đường thẳng (D) : và mặt phẳng (P) : 2x + 2y + z = 0
1) Tìm tọa độ giao điểm A của (D) và (P). Tính sin góc tạo bởi (D) và (P). 
2) Viết phương trình đường thẳng (D’) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng (D) lên mp(P).
3) Tìm phương trình mặt phẳng (R) biết mặt phẳng (R) chứa đường thẳng (D) và khoảng cách từ điểm M(0 ; 2 ; 3) đến mặt phẳng (R) bằng 1.
BÀI 28 : Trong không gian có hệ trục tọa độ Oxyz cho :
đường thẳng (D) : và đường thẳng (D) : 
1) Chứng minh rằng hai đường thẳng (D) và (D) chéo nhau.
2) Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng (D) và điểm A(–2 ;3 ;1).
3) Tìm tọa độ điểm B’ là hình chiếu vuông góc của B(2 ; 0 ; 1) lên (D).
4) Tìm phương trình đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ O và cắt cả hai đường thẳng (D) và (D).
BÀI 29 : Trong không gian Oxyz cho các điểm :
 A(–1 ; 2 ; 3) B(0 ; 3 ; 1), C(2 ; 2 ; –1), D(4 ; –2 ; 1)
1) Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng AB và CD.
2) Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng AC và song song với BD. Tính khoảng cách AC và BD.
3) Tìm điểm M thuộc AB và điểm N thuộc CD sao cho MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD.
4) Tìm tọa độ điểm E là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC.
BÀI 30 : Trong không gian có hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm: A(3 ; 0 ; 0) B(0 ; 4 ; 0) và C(0 ; 0 ; 2).
1) Chứng minh hai đường thẳng OA và BC chéo nhau..
2) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của O lên mp(ABC). Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC.
3) Tìm tọa độ A’ là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC. Viết phương trình đường vuông góc chung của OA và BC.
BÀI 31 : Trong không gian có hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm : A(3 ; 1 ; 2) 
và đường thẳng (D) : 
a) Tìm tọa độ của H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng (D).
b) Tìm tọa độ của A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng (D).
c) Viết phương trình mặt phẳng chứa (D) và cách điểm a một khoảng bằng 3.
BÀI 32 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có các phương trình tương ứng : 
(P) : 2x – 3y + 4z – 5 = 0
(S) : x2 + y2 + z2 + 3x + 4y – 5z + 6 = 0
1) Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
2) Tính khoảng cách từ tâm I đến mp(P). Từ đó suy ra rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn mà ta ký hiệu là (C). Xác định bán kính r và tọa độ tâm H của đường tròn (C).
BÀI 33 : Trong Oxyz cho : A(1 ; 0 ; 0), B(1 ; 1 ; 1) và C (;;).
1) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (a) vuông góc với đường thẳng OC tại C. Chứng minh ba điểm O, B, C thẳng hàng. Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) tâm B, bán kính với mp(a).
2) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng g là hình chiếu vuông góc của AB trên mp(a).
BÀI 34 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (a) : x + y + z – 1 = 0 và đường thẳng (d) : 
1) Viết phương trình chính tắc của các đường thẳng là giao tuyến của mặt phẳng (a) với các mặt phẳng tọa độ. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD, biết A, B, C là giao điểm tương ứng của mp(a) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz, còn D là giao điểm của đường thẳng (d) với mặt phẳng tọa độ Oxy.
2) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của (S) với (ACD).
BÀI 35 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ xác định bởi các hệ thức : 
1) Chứng minh rằng AB ^ AC, AC ^ AD, AD ^ AB. Tính thể tích khối tứ diện ABCD. 
2) Viết phương trình tham số của đường vuông góc chung D của hai đường thẳng AB và CD. Tính góc giữa đường thẳng D và mặt phẳng (ABD). 
3) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D. Viết phương trình tiếp diện (a) của mặt cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD). 
BÀI 36 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm 
A(1 ; –1 ; 2), B(1 ; 3 ; 2), C(4 ; 3 ; 2), D(4 ; –1 ; 2). 
1) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng. 
2) Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy. Hãy viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A’, B, C, D. 
3) Viết phương trình tiếp diện (a) của mặt cầu (S) tại điểm A’. 
BÀI 37 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z – 3 = 0 và hai đường thẳng (D1) : , (D2) : 
1) Chứng minh (D1) và (D2) chéo nhau.
2) Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng (D1) và (D2).