Tài liệu ôn luyện thi Đại học - Chuyên đề Hàm số (phần 1)

Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học 
 3 
Chuyên đ ề I 
M・T S・ BÀI TOÁN TH・・NG G・P V Ề Đ・ TH・ 
 Ch・ đ 1ề : Ti p tuy n c・a ế ế đ・ th・ hàm s・. 
 - Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm  0 0M x ;y , hoặc hoành 
độ 0x , hoặc tung độ 0y . - Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua điểm  A AA x ;y cho 
trước. - Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc của nó. 
 Phương pháp: Cho hàm số  y f x có đồ thị  C và  0 0M x ;y là điểm trên  C . Tiếp tuyến với đồ thị  C tại  0 0M x ;y có: - Hệ số góc:  0k f ' x - Phương trình:  0 0y y k x x   , hay   0 0 0y y f ' x x x   Vậy, để viết được phương trình tiếp tuyến tại  0 0M x ;y chúng ta cần đủ ba yếu tố sau: - Hoành độ tiếp điểm: 0x - Tung độ tiếp điểm: 0y (Nếu đề chưa cho, ta phải tính bằng cách thay 0x vào hàm số  0 0y f x ) - Hệ số góc  0k f ' x 
Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm  0 0M x ;y , hoặc hoành 
độ 0x , hoặc tung độ 0y . 
 Bài toán 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y f x tại điểm 
  0 0M x ;f x . 
 Giải. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y f x tại  0 0M x ;y là:   0 0 0y f ' x x x y   
 Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y f x biết hoành 
độ tiếp điểm 0x x . 
 Giải: Tính  0 0y f x ,  0y' x  phương trình tiếp tuyến:   0 0 0y f ' x x x y   
 4 
 Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y f x biết tung 
độ tiếp điểm bằng 0y . 
 Giải. Gọi  0 0M x ;y là tiếp điểm Giải phương trình   0f x y ta tìm được các nghiệm 0x . Tính  0y' x  phương trình tiếp tuyến:   0 0 0y f ' x x x y   
Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 3 2y x 3x 2   
1. Tại điểm  2; 2 2. Tại điểm có hoành độ x 1  
3. Tại điểm có tung độ y 2  4. Tại giao điểm của đồ thị với y x 1  
Lời giải Hàm số đã cho xác định với x  . Gọi  0 0 0M x ;y là tọa độ tiếp điểm và   3 20 0 0 0y y x x 3x 2    2y' 3x 6x  , tiếp tuyến tại điểm 0M có hệ số góc:   20 0 0y' x 3x 6x  
1. Ta có : 0x 2  y' 2 0  . Phương trình tiếp tuyến tại điểm  M 2; 2 :  y 0 x 2 2 2     
2. Ta có:  0 0x 1 y 2,y' 1 9       Phương trình tiếp tuyến:  y 9 x 1 2 9x 7     
3. Ta có:           3 2 3 20 0 0 0 0y 2 x 3x 2 2 x 3x 4 0   20 0 0x 1 x 2 0 x 1      hoặc 0x 2 Phương trình tiếp tuyến tại điểm  1; 2  : y 9x 7  Phương trình tiếp tuyến tại điểm  2; 2 : y 2  Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y 2,  y 9x 7  . 
4. Phương trình hoành độ giao điểm : 3 2x 3x 2 x 1      3 2 2x 3x x 3 0 x 3 x 1 0 x 3           hoặc x 1  Phương trình tiếp tuyến tại điểm  1; 2  : y 9x 7  Phương trình tiếp tuyến tại điểm  1;0 : y 3x 3   Phương trình tiếp tuyến tại điểm  3;2 : y 9x 25  Vậy, có 3 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y 9x 7,  y 3x 3,   y 9x 25  . 
Ví dụ 2. Cho hàm số:    3 2y x m 1 x 3m 1 x m 2       . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm  A 2; 1 . 
Lời giải Hàm số đã cho xác định với x  . 
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học 
 5 
 Ta có:  2y' 3x 2 m 1 x 3m 1     Với    x 1 y 1 3m 1 y' 1 m 6       Phương trình tiếp tuyến tại điểm có x 1 :   y m 6 x 1 3m 1     Tiếp tuyến này đi qua  A 2; 1 nên có: 1 m 6 3m 1 m 2        Vậy, m 2  là giá trị cần tìm. 
Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua 
điểm cho trước Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua điểm  A AA x ;y cho trước 
 Giải: Gọi  0 0M x ;y là tọa độ tiếp điểm. Khi đó tiếp tuyến có dạng:   0 0 0y f ' x x x y   Vì tiếp tuyến đi qua A nên có:   A 0 A 0 0y f ' x x x y   , giải phương trình này ta tìm được 0x , suy ra phương trình tiếp tuyến. 
Ví dụ 1. 
1. Cho hàm số    3 2y x 3x 9x 11 có đồ thị là  C . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm   
 
29I ;184 .3 
2. Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị  C : x 2y x 2  , biết d đi qua điểm 
 A 6;5 . 
Lời giải. 
1. Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị  C tại điểm có hoành độ 0x khi đó 
phương trình tiếp tuyến   có dạng: 
                  
 
2 30 0 0 0 20 0 00 0y y' x x x y x 3x 6x 9 x x x 3x 9x 11 Vì   đi qua điểm   
 
29I ;1843 nên: 
           
  
20 0 02 30 0 029184 3x 6x 9 x x 3x 9x 113 
      3 2 00 002x 32x 58x 260 0 x 13 hoặc 0x 5 hoặc  0x 2. - Với 0x 13 thì phương trình tiếp tuyến là  y 420x 3876 - Với 0x 5 thì phương trình tiếp tuyến là  y 36x 164 - Với  0x 2 thì phương trình tiếp tuyến là  y 15x 39 
 6 
Vậy, có ba phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 
     y 420x 3876; y 36x 164; y 15x 39 
2. Cách 1: Gọi   0 0x ;y x là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d và  C , với   00 0x 2y x x 2  , tiếp tuyến d có hệ số góc    0 20 4y' x x 2  , 0x 2 và d có 
phương trình: 
 
  002 00 x 24y x x x 2x 2     d đi qua điểm  A 6;5 nên có 
 
  002 00 x 245 6 x x 2x 2      phương trình 
này tương đương với 20 0x 6x 0   0x 0 hoặc 0x 6 
 Với 0x 0 , ta có phương trình: y x 1   
 Với 0x 6 , ta có phương trình: x 7y 4 2   Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài y x 1   , x 7y 4 2   . 
 Cách 2: Phương trình d đi qua  A 6; 5 có hệ số góc k , khi đó d có phương trình là :  y k x 6 5   d tiếp xúc  C tại điểm có hoành độ 0x khi và chỉ khi hệ: 
  
 
00 0
20
x 2k x 6 5 x 24k x 2

   

  
 
 có nghiệm 0x hay 
 
20 0
20
4x 24x 04k x 2
  

  

 có nghiệm 0x 
 00x 0, k 1 d : y x 11 x 7x 6, k d : y4 4 2
      

       

 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài y x 1   , x 7y 4 2   . 
* Nhận xét 1: Qua cách 1 ta thấy đường thẳng d : y x 1   luôn tiếp xúc với 
 C tại tiếp điểm  M 0; 1 và đường thẳng d luôn vuông góc với đường thẳng IM với I là giao điểm 2 đường tiệm cận. 
 Qua đó ta có bài toán sau: 
 Tìm trên đồ thị x 2y x 2  những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với 
đường thẳng IM , với  I 2;1 . 
 Gợi ý. 
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học 
 7 
 Gọi   0 0x ;y x là tọa độ tiếp điểm cần tìm với  0 04y x 1 x 2   và tiếp tuyến tại M có hệ số góc  
 
0 20 4y' x x 2  , 0x 2 . Đường thẳng IM có hệ số góc k và    
 
0 I 20 I 0y x y x 4k x x x 2   Tiếp tuyến tại M vuông góc IM khi và chỉ khi  0y' x .k 1  tức là 
   2 20 04 4. 1x 2 x 2    hay  40 0x 2 16 x 0    hoặc 0x 4 Vậy,  1M 0; 1 ,  2M 4;3 là tọa độ cần tìm. 
* Nhận xét 2: Dễ thấy, tiếp tuyến tại 1M , 2M song song với nhau, hơn nữa 
đường thẳng qua 2 điểm 1M , 2M song song với đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng tọa độ tức là tiếp tuyến tại 1M , 2M có hệ số góc là    y' 0 y' 4 1   
* Qua đó, ta có bài toán sau: 
 Giả sử đường thẳng : x y m 0   cắt đồ thị x 2y x 2  tại 2 điểm phân biệt M1, M2. 
1. Gọi 1,k 2k lần lượt là hệ số góc của 1d , 2d là tiếp tuyến của đồ thị tại 1M , 2M . 
Tìm tọa độ 1M , 2M sao cho 1 2k k 2   . 
2. Tìm giá trị m để tiếp tuyến tại 1M , 2M song song với nhau. 
Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị  C : 2x 1y x 1  biết d cách 
đều 2 điểm  A 2;4 và  B 4; 2  . 
Lời giải Gọi   0 0M x ;y x , 0x 1  là tọa độ tiếp điểm của d và  C Khi đó d có hệ số góc  
 
0 20 1y' x x 1  và có phương trình là : 
 
 02 00 1 1y x x 2 x 1x 1     Vì d cách đều A, B nên d đi qua trung điểm  I 1;1 của AB hoặc cùng 
phương với AB . 
 TH1: d đi qua trung điểm  I 1;1 , thì ta luôn có: 
 
 02 00 1 11 1 x 2 x 1x 1      , phương trình này có nghiệm 0x 1 
 8 
 Với 0x 1 ta có phương trình tiếp tuyến d : 1 5y x4 4  . 
 TH2: d cùng phương với AB , tức là d và AB có cùng hệ số góc, khi đó 
  B A0 AB B Ay yy' x k 1x x   hay  20 1 1x 1   0x 2  hoặc 0x 0 Với 0x 2  ta có phương trình tiếp tuyến d : y x 5  . Với 0x 0 ta có phương trình tiếp tuyến d : y x 1  . Vậy, có 3 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: 1 5y x4 4  , y x 5  , y x 1  
Ví dụ 3. 
1. Cho hàm số 4 2y x 4x 3   , có đồ thị  C . Viết phương trình tiếp tuyến của 
 C đi qua điểm  A 0;4 có hệ số góc m , biết tiếp tuyến tiếp xúc với  C tại bốn điểm phân biệt. 
2. Cho hàm số    3y x 3x 2, có đồ thị là  C . Tìm tọa độ các điểm trên đường thẳng  y 4 mà từ đó có thể kẻ đến đồ thị  C đúng hai tiếp tuyến. 
Lời giải 
1. Phương trình đường thẳng d đi qua A có hệ số góc m có dạng: y mx 4  . d tiếp xúc đồ thị  C tại điểm có hoành độ 0x khi hệ : 4 20 0 030 0x 4x 3 mx 44x 8x m       có nghiệm 0x 4 20 030 03x 4x 1 0m 4x 8x       có nghiệm 0x 
 hay 2020 30 0
m 4m 4x 11 20 3x m3 9m 4x 8x 20 3m 9
 
  
    
    

 Với m 4  , tiếp tuyến y 4x 4   , tiếp điểm  1M 1;0 Với m 4 , tiếp tuyến y 4x 4  , tiếp điểm  2M 1;0 Với 20 3m 9  , tiếp tuyến 20 3y x 49   , tiếp điểm     3 3 16M ;3 9 Với 20 3m 9 , tiếp tuyến 20 3y x 49  , tiếp điểm     4 3 16M ;3 9 Vậy, qua A kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị  C : 
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học 
 9 
 y 4x 4   , y 4x 4  , 20 3y x 49   , 20 3y x 49  
 Mở rộng: Dạng toán qua 1 điểm kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị là dạng toán 
ít gặp. Để hiểu kĩ hơn dạng toán này, ta giải bài toán sau: “Biện luận theo m số tiếp tuyến của  C : 4 2y x 6x  vẽ từ điểm  M 3;m ”. 
Gợi ý: Phương trình tiếp tuyến  d của  C vẽ từ  M 3;m có dạng:  y k x 3 m    d và  C tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ 0x , từ đó suy ra:     4 2 30 0 0 0 0 0m x 6x 4x 12x x 3 g x      Ta có:  0 0g' x 0 x 1    hoặc 0x 1 hoặc 0x 3 Từ bảng biến thiên suy ra: 
  m 21  hoặc m 27 : có 2 tiếp tuyến. 
  m 21  : có 3 tiếp tuyến. 
  21 m 27   : có 4 tiếp tuyến. 
  m 27 : không có tiếp tuyến nào. 
2. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên . Gọi A là điểm nằm trên đường thẳng  y 4 nên  A a; 4 . 
Đường thẳng  qua A với hệ số góc k có phương trình    y k x a 4 
Đường thẳng  tiếp xúc với đồ thị  C khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:                 
      
3 232 2x 3x 2 3 x 1 x ax 3x 2 k x a 43x 3 k 3x 3 k 
     
 
          
  
2
2x 1 2x 3a 2 x 3a 2 0 13x 3 k 2 
Phương trình  1 tương đương với: 
   


     
2x 1g x 2x 3a 2 x 3a 2 0 Qua A kẻ được hai tiếp tuyến đến  C khi và chỉ khi  2 có 2 giá trị k khác 
nhau , khi đó  1 có đúng 2 nghiệm phân biệt 1 2x ,x , đồng thời thỏa 
      2 21 1 2 2k 3x 3, k 3x 3 có 2 giá trị k khác nhau 
Trường hợp 1: 
 g x phải thỏa mãn có một nghiệm bằng 1 và nghiệm khác 1 hay 
              

g 1 0 6a 6 0 a 13a 2 a 012 kiểm tra  2 thấy thỏa. 
 ...     
  2B C B C2x .x m x x 0 m 14m 10 0        
10. Tìm m để hàm số :    3 2 2 2y x 2m 3 x 2m m 9 x 2m 3m 7         cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt, trong đó có 2 điểm có hoành độ lớn hơn 1 và khoảng cách giữa 2 điểm này là lớn nhất. 
Hướng dẫn giải 
   2 2x 1 x 2 m 1 x 2m 3m 7 0         
Theo bài toán, phương trình  2 2x 2 m 1 x 2m 3m 7 0      có 2 nghiệm phân biệt 1 2x ,x thỏa mãn 1 21 x x 2 m 3     
Khi đó  
222 2 1 5BC x x 1 4 m 12         . 
11. Tìm m để đường thẳng  d : y x m  cắt đồ thị  C : 2x 1y x 1  tại 2 điểm phân biệt M,N thỏa mãn: AM 4AN  , trong đó A là giao điểm của  d với trục hoành. 
Hướng dẫn giải m  thì  d cắt  C tại 2 điểm phân biệt M,N và  A m;0 
 1 2AM 4AN x m 4 x m      hoặc  2 2x m 4 x m   
12. Giả sử đường thẳng  d : y x 10 3m   cắt đồ thị  C của hàm số 3 2y x 3mx 9x 1    tại 3 điểm phân biệt A, B, C có hoành độ lần lượt 1 2 3x ,x ,x . Tìm m để: 2 2 21 2 3x x x 11   
Hướng dẫn giải 
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học 
 31 
Hàm số đã cho xác định trên  
Phương trình hoành độ giao điểm của  C với đường thẳng  d là 
     3 2 2x 3mx 8x 3m 9 0 x 1 x 1 3m x 9 3m 0 1              x 1  ( giả sử 3x 1 ) hoặc    2x 1 3m x 9 3m 0 2     . 
Để đường thẳng  d cắt  C tại 3 điểm phân biệt thì phương trình  1 có 3 nghiệm phân biệt  phương trình  2 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 , tức là 
phải có:    2 7 5m ; ;1 3m 4 9 3m 0 3 3111 1 3m 9 3m 0 m 6
                      
      
  3 
Với điều kiện  3 , phương trình  2 có 1 21 2x x 3m 1x x 9 3m     ( theo định lý Vi – et ) 
   22 2 2 21 2 3x x x 11 1 3m 1 2 9 3m 11 m 3 m 3; 3                
Đối chiếu điều kiện, suy ra 
5m ; 33    là giá trị cần tìm. 
13. Cho hàm số    3 2 2y x m m 3 x m 3m 2 1       , trong đó m là tham số. Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm số  1 cắt đường thẳng y 2 tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là 1 2 3x ,x ,x và đồng thời thỏa mãn đẳng thức 2 2 21 2 3x x x 18   
Hướng dẫn giải 
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số  1 và đường thẳng y 2 
   3 2 2 3 2 2x m m 3 x m 3m 2 2 x m m 3 x m 3m 0              
  2x m x mx m 3 0 x m        hoặc  2x mx m 3 0 2    
Đồ thị hàm số  1 cắt đường thẳng y 2 tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi 
 2 có hai nghiệm phân biệt khác m
 
2 22m m m 3 0 m 2m 6m 4 m 3 0                Giả sử 1x m và 2 3x ,x là 2 nghiệm của  2 . Khi đó theo định lí Viet ta được: 2 32 3x x mx .x m 3      
 22 2 2 21 2 3 2 3 2 3x x x 18 m x x 2x x 18         2 2m m 2 m 3 18      2m m 12 0 m 4      hoặc m 3 . 
Đối chiếu điều kiện, ta thấy m 3 thỏa mãn. 
 32 
14. Giả sử đường thẳng y x m   cắt đồ thị  C của hàm số 2x 1y x 1  tại 2 
điểm phân biệt A,B . I là giao điểm 2 đường tiệm cận. 
a. Tìm tham số m để tam giác IAB đều. 
b. Gọi d' là đường thẳng đi qua I và cắt đồ thị  C của hàm số tại 2 điểm phân biệt C,D . Lập phương trình đường thẳng d' để có 5CD CI3  
Hướng dẫn giải 
a.  I 1;2 ,  1 1A x ; x m ,   2 2B x ; x m ,   2 1 2 1AB x x ; x x ,    1 2x x m 1,   1 2x x m 1  . Gọi H là trung điểm AB m 1 m 1H ; ,2 2      m 3 m 3IH ;2 2      
 Tam giác IAB đều 2 22 2IA IB IA IB m 3 63 3IH AB IH AB2 4
  
 
     
  
 
b. d' đi qua điểm  I 1;2 , có hệ số góc là k :  y k x 1 2   Tọa độ giao điểm của d' và  C là nghiệm phương trình: 
  22x 1 k x 1 2 kx 2kx k 1 0,x 1x 1            
Để d' cắt  C tại 2 điểm phân biệt C,D khi và chỉ khi phương trình   có 2 
nghiệm phân biệt khác 1 tức    22
k 0' k k k 1 0k.1 2k.1 k 1 0

     

   
k 0  
Với k 0 thì   có 2 nghiệm phân biệt 3 4x ,x là hoành độ của C,D , thỏa mãn: 3 4x x 2,  3 4 k 1x .x k , kết hợp điều kiện: 5CD CI3  tìm được k suy ra 
đường thẳng d' 
15. Tìm các giá trị m để đường thẳng d : y 3x m   cắt đồ thị  C : 2x 1y x 1  của hàm số tại A và B sao cho trọng tâm của tam giác OAB thuộc đường thẳng x 2y 2 0   ( O là gốc tọa độ). 
Hướng dẫn giải 
Phương trình hoành độ giao điểm của d và  C : 2x 1 3x mx 1    
 23x 1 m x m 1 0        với x 1 
Để d cắt  C tại A và B    có 2 nghiệm phân biệt khác 1 
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học 
 33 
   
 
  
2 m 111 m 12 1 m 0 1 m m 11 0 m 13 1 m m 1 0                    Gọi 1 2x , x là 2 nghiệm của   . Khi đó    1 1 2 2A x ; 3x m ,B x ; 3x m    Gọi I là trung điểm của AB 1 2I I Ix x 1 m m 1x , y 3x m2 6 2         Gọi G là trọng tâm tam giác OAB 2 1 m m 1OG OI G ;3 9 3         1 m m 1 11G d 2. 2 0 m9 3 5            ( thỏa bài toán ). 
16. Tìm các giá trị m để đường thẳng d : y x m  cắt đồ thị  C : x 1y 1 2x  của hàm số tại A và B sao cho AB OA OB   ( O là gốc tọa độ). 
Hướng dẫn giải 
Phương trình hoành độ giao điểm của d và  C : x 1x m 1 2x   
   2 1f x 2x 2mx m 1 0 ,x 2        
Vì 2' m 2m 2 0, m1 1 f 02 2
      

       
 
 nên   có 2 nghiệm phân biệt khác 12 Suy ra d luôn cắt  C tại 2 điểm phân biệt    1 1 2 2A x ;x m ,B x ;x m  với 
1 2x ,x là 2 nghiệm của   . Theo Vi – et : 1 21 2x x mm 1x x 2
  

  

Khi đó :    2 2 22 1 1 2 1 2AB 2 x x 2 x x 4x x 2m 4m 4           
   2 2 22 1 1 2 1 2AB 2 x x 2 x x 4x x 2m 4m 4           2 2AB OA OB 2m 4m 4 2m m 1         Vậy, m 1  thỏa bài toán. 
17. Cho hàm số 2mx 5y x m  có đồ thị là  mC . Với m là tham số thực khác 0 và 
đường thẳng d có phương trình 1y 2x .2  Tìm m để d cắt  mC tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ 1 2x , x thỏa mãn 121 2x 9x 8x .  
 34 
Hướng dẫn giải Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng    ; m m;     
Hoành độ giao điểm của đường thẳng d và  mC là nghiệm của phương trình 
 22mx 5 12x 4x x m 12 x m0 0x m          
Đặt   2g x 4x x m 10    
Để d cắt  mC tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình 
 g x 0 có hai nghiệm phân biệt khác m tức phải có: 
  2
161m16m 161 00 16g m 0 102m 5m 0 m 2
                 
Áp dụng Viet cho 1 2x , x ta có 1 21 2
b 1x x a 4c m 10x x a 4

   

   

Xét điều kiện bài toán 221 1211 1 1x 9x 8x x 9x 8 x4         121x x 2 0 x 1       hoặc x 2. Với 1 2 5x 1 x m 54       Với 1 2 7x 2 x m 44      Kết hợp với điều kiện 161m 16  và 10m 2  Vậy, m 5  hoặc m 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
18. Cho hàm số    3 2 2 2y x 4m 5 x 3m 12 8 x 7m 8m        có đồ thị  mC . Với m là tham số thực. Tìm m để  mC cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt 
có hoành độ lập thành cấp số cộng. 
Hướng dẫn giải Hàm số đã cho xác định và liên tục trên . 
Hoành độ giao điểm của trục hoành và  mC là nghiệm của phương trình 
       3 2 2 2 2x 4m 5 x 3m 12 8 x 7m 8m 0 x m x 3m 5 x 7m 8 0                x m  hoặc    2g x x 3m 5 x 7m 8 0      
Để  mC cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 
 g x có hai nghiệm phân biện khác m tức phải có: 
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học 
 35 
   
2 2
1 17 m 10 9m 2m 7 0 2g m 0 7 1 172m 2m 8 0 m9 2
 
           
        

Với điều kiện   thì  mC cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3x , x , x lập thành một cấp số cộng. 
Để thuận tiện trong việc tính toán, giả sử các nghiệm lập thành cấp số cộng của 
phương trình hoành độ là 0 0 0x d, x , x d  với d là công sai. Khi đó đẳng thức 
sau luôn đúng 
       3 2 2 2 0 0 0x 4m 5 x 3m 12 8 x 7m 8m x x d x x x x d             
3 22 2 22 2
0 230 00
4m 5 3x 4m 5 4m 5 7m 4m 13m 12m 8 3x d 7m 8m .3 3 37m 8m x x d
 
                
 
  
3 210m 51m 6m 55 0 m       hoặc m 5  hoặc 11m 10  Kết hợp với điều kiện 1 17 m 12    hoặc 7 1 17m9 2  Vậy m 1 hoặc m 5  hoặc 11m 10  thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
19. Cho hàm số    3 2y x 3m 1 x 2 3m 1 x 8 .       Tìm m để  mC cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành một cấp số nhân. 
Hướng dẫn giải 
Cách 1: Hoành độ giao điểm của trục hoành và  mC là nghiệm của phương trình 
   3 2x 3m 1 x 2 3m 1 x 8 0       Giả sử phương trình có ba nghiệm lập thành một cấp số nhân là 1 2 3x , x , x với 
 21 23x x x . 1 
Khi đó:          1 2 33 2x 3m 1 x 2 3m 1 x 8 x x x x x x 2           Phân tích vế trái trở thành 
   3 21 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3x x x x x x x x x x x x x x x        
Phương trình  2 xảy ra  1 2 31 2 21 2 3 3 3 1
3m 1 x x x2 3m 1 x x x x x x8 x x x
   

    
 
Từ  1 ta có 1 2 3 2 132 38 x x x 8 x x 2 x x 3m 1         nên 1 3x , x là nghiệm của phương trình  2t 3m 1 t 4 0    và 1 3x , x 2 tức là có hệ: 
 36 
 
 
  2 53m 5 3m 3 03m 1 4.4 0 m 35 3m 04 3m 1 2 4 0 m 1                    
Cách 2:        3 2 2x 3m 1 x 2 3m 1 x 8 0 2 x x 3 m 1 x 4              
Do đó x 2 và    2g x x 3 m 1 x 4 0     phải có hai nghiệm phân biệt khác 2 và tích hai nghiệm luôn bằng 4. 
20. Tìm m để đường thẳng y x m  cắt đồ thị  C : 2x 4y x 1  tại hai điểm phân biệt B và C sao cho tứ giác OABC là hình bình hành ( O là gốc toạ độ, 
 A 5;5 ) 
Hướng dẫn giải 
Do các điểm O và A thuộc đường thẳng : y x   . Để OABC là hình bình hành thì BC OA 5 2  
Hoành độ của B và C là nghiệm của phương trình: 2x 4 x mx 1    
     2x 3 m x m 4 0 x 1 1        Vì 2m 2m 25 0 m      ,nên  1 luôn có hai nghiệm phân biệt , d luôn cắt 
 C tại hai điểm phân biệt B và C với    1 1 2 2B x ; x m , C x ; x m    Giả sử 1 2x ,x là nghiệm của  1 , ta có: 1 21 2x x m 3x x m 4       2 
Khi đó    2 22 1 2 1 2 1 2BC 2 x x 2 x x 4x x         3 Thay  2 vào  3 ta được: 2 2 2BC 2m 4m 50 2m 4m 50 50       m 0  hoặc m 2 Với m 0 thì O,A,B,C thẳng hàng nên không thoả mãn. Vậy, với m 2 là giá trị cần tìm. 
21. Xác định đường thẳng d sao cho d cắt   2x 1C : y x 1  tại hai điểm phân biệt B, C sao cho tam giác ABC đều, với  A 2;5 . 
Hướng dẫn giải 
Đường thẳng    d IA d :  y x m  . Gọi M là trung điểm BC 3 m 3 mM ;2 2     . Do B và C đối xứng qua đường thẳng IA nên tam giác ABC cân tại A . Do đó ABC đều khi    22 2 2AB BC BC 2MB 4 BC AM     
2 24BC AM3    221 2 1 2 m 72 x x 4x x 2 2            hay m 5,m 1   .