Tài liệu luyện thi Hình học 12

Hình học
Đ1. Đường thẳng
1.	Cho tam giác ABC có đỉnh và hai trung tuyến xuất phát từ B và C lần lượt là . Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.
2.	Cho tam giác ABC có , phương trình đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ một đỉnh là và . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
3. 	Cho tam giác ABC vuông tại A có đỉnh B, C trên trục Ox; cạnh BC: . Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
4.	Cho tam giác ABC cân tại A có trọng tâm , phương trình đường thẳng và . Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC.
5.	Cho điểm và đường thẳng (d): . Tìm trên (d) hai điểm B,C sao cho tam giác ABC vuông tại B và AB=2BC.
6.	Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh . Đườngcao xuất phát từ A là và phân giác xuất phát từ C là .
7.	Cho hai đường thẳng và . Lập phương trình đường thẳng qua gốc toạ độ và tạo với d1;d2 tam giác cân có đáy thuộc đường thẳng đó. Tính diện tích tam giác nhận được.
8.	Cho đường thẳng và hai điểm . Hãy tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
9.	Cho điểm M(1;2). Lập phương trình đường thẳng qua M chắn trên hai trục toạ độ ở góc phần tư thứ nhất tam giác có diện tích nhỏ nhất.
10.	Biện luận vị trí tương đối của hai đường thẳng sau theo m :
	 và 	
Đ2. Đường tròn
1.	Cho đường thẳng . 
	a/	Lập phương trình đường tròn có tâm thuộc và tiếp xúc với (d) tại .
	b/	Lập phương trình đường tròn (C') đối xứng với qua (d).
2. 	Cho hai đường tròn 
	a/	Viết phương trình đường tròn qua giao điểm của (C1) và (C2) đồng thời tâm nằm trên đường thẳng .
	b/	Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
3.	Cho đường thẳng và đường tròn . 
	a/	Lập phương trình đường thẳng d' cắt (C) tại P,Q sao cho PQ=2.
	b/	Tìm toạ độ điểm M thuộc (d) sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) tiếp xúc tại A và B sao cho .
4.	Cho đường tròn . Viết phương trình đường tròn (C') tiếp xúc với hai trục toạ độ đồng thời tiếp xúc ngoài với (C).
5.	Cho tam giác ABC có ; ; . Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Đ3. ELíP
1.	Lập phương trình chính tắc của (E) biết rằng:
	a/	(E) đi qua .
	b/	Tiếp xúc với hai đường thẳng và .
2. 	Cho (E): . Xét điểm M trên Ox và N trên Oy sao cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc với (E). Xác định toạ độ M,N để đoạn MN ngắn nhất. Tìm giá trị ngắn nhất đó.
3. 	Cho (E): và đường thẳng .
	a/	Chứng minh rằng (d) luôn cắt (E) với mọi m.
	b/	Viết PT tiếp tuyến của (E), biết rằng tiếp tuyến đó qua .
4.	Cho (E): có đỉnh trục lớn là . (d) là một tiếp tuyến của (E). Gọi (d) cắt các tiếp tuyến tại của (E) ở M và M'. Chứng minh rằng đường tròn đường kình MM' luôn đi qua các tiêu điểm của (E).
5.	Cho (E): và đường thẳng .
	a/	Tìm giao điểm A;B của (d) và (E).
	b/	Tìm điểm M trên (E) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
Đ4. HyPERBOL
1.	Lập phương trình chính tắc của (H) biết rằng:
	a/	(E) đi qua và tiếp xúc với đường thẳng .
	b/	Tiếp xúc với hai đường thẳng và .
	2.	Cho (H): . Tìm điểm M trên hypebol biết rằng:
	a/ 	
	b/	M nhìn 2 tiêu điểm dưới góc 1200.
	3.	 Cho hypebol (H): và đường thẳng .
	a/	Tìm giao điểm của (H) và (d).
	b/	Lập phương trình các tiếp tuyến của (H) tại các giao điểm trên.
	4.	Cho hypebol (H) : ,Chứng tỏ rằng các tiếp tuyến của một hypebol tại hai giao điểm của (H) với đường thẳng đi qua gốc toạ độ song song nhau.
	5.	Cho hypebol (H) : .
a/ Tính tích các khoảng cách từ một điểm M bất kì trên (H) đến các đường tiệm cận .
b/ CMR diện tích hình bình hành tạo bởi các tiệm cận của (H) và các đường thẳng kẻ từ một điểm trên (H) lần lượt song song với các tiệm cận bằng 6 đơn vị khoảng cách.
Đ5. PARABOL
1. 	Cho parabol (P): và đường thẳng . Tìm trên (P) điểm M sao cho khoảng cách từ M đến (d) ngắn nhất.
2.	Cho parabol có đỉnh tại gốc toạ độ và đi qua điểm . 
	a/	Lập PTTT của (P) tại A.
	b/	Đường thẳng (d) đi qua điểm cắt (P) tại hai điểm M,N sao cho . Tính độ dài MN.
3.	Cho parabol (P): và điểm . 
	Tìm hai điểm N,N thuộc (P) sao cho 
4.	Cho parabol (P): và tiêu điểm của (P) là F. Chứng minh rằng nếu một đường thẳng đi qua F cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B thì các tiếp tuyến với (P) tại A và B vuông góc nhau.
5.	Cho parabol (P): và điểm . Giả sử A,B là hai điểm phân biệt trên (P) sao cho MA luôn vuông góc MB. Chứng minh rằng AB luôn đi qua một điểm cố định.
Đ6. mặt phẳng
 Lập phương trình các mặt phẳng trong các trường hợp sau:
1.	Chứa đường thẳng (d): và song song với .
2.	Chứa đường thẳng (d): và cách điểm A(2;3;-1) một khoảng cách lớn nhất.
3.	Cho hai điểm . Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm I;K và tạo với mặt phẳng Oxy một góc bằng .
4.	Cho mặt phẳng . Lập phương trình mặt phẳng (Q) cách (P) một khoảng cách là .
5.	Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng sau theo m. và 
Đ7. Đường thẳng trong không gian
I/	Phương trình đường thẳng trong không gian
1.	 Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P) biết đường thẳng và mặt phẳng 
2.	Cho điểm và 
	Viết phương trình đường thẳng qua A , cắt và vuông góc với d.
3.	Cho hai đường thẳng và 
	a/	 Chứng minh và chéo nhau và vuông góc nhau.
	b/	Lập phương trình đường thẳng d cắt và đồng thời song song với 
4.	Cho hai đường thẳng và . Viết phương trình đường vuông góc chung của và .
5.	Cho đường thẳng và 
	Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(1;1;0) vuông góc với và cắt .
II/ Vị trí tương đối của ĐT với ĐT; ĐT với MP 
1.	Cho hai đường thẳng và 
	a/	Tìm a để cắt .
	b/	Với a = 2. Tính khoảng cách giữa và .
2.	Cho hai đường thẳng và 
	a/	Xét vị trí tương đối của và .
	b/	Tìm toạ độ các điểm M thuộc và N thuộc sao cho MN song song với và độ dài MN bằng .
3.	Cho và đường thẳng .
	a/	Xét vị trí tương đối của AB và .
	b/	Tìm toạ độ các điểm M thuộc d sao cho nhỏ nhất. 
4.	Cho hai đường thẳng ; và điểm .
	a/	Chứng minh rằng đồng phẳng.
	b/	Giả sử tam giác ABC có đỉnh ; đường cao và phân giác . Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC và tính độ dài các cạnh của tam giác đó.
5.	Cho đường thẳng (d): và mặt phẳng (P): . 
	a/	Tìm m để (d) song song với (P) .
	b/	Tìm m để (d) vuông góc với (P) .
III/ Góc và khoảng cách 
1.	Cho bốn điểm .
	a/	Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
	b/	Tìm điểm M thuộc CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất.
2.	Cho đường thẳng và hai điểm .
	a/	Tìm hình chiếu A';B' của A và B lên d.Tính khoảng cách A'B'.
	b/	Tìm điểm M thuộc (d) sao cho có độ dài ngắn nhất.
3.	Cho hai đường thẳng và 
	Tính khoảng cách giữa và .
4.	Cho hai đường thẳng và và 
	a/	Tính khoảng cách giữa và .
	b/	Tính khoảng cách từ A đến .
5.	a/	Xác định m để đường thẳng tạo với mặt phẳng 
	 một góc nhọn 600.
	b/	Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d): sao cho một khoảng cách d = 2.
Đ8. mặt cầu
1.	Cho đường thẳng 	 
	và mặt cầu 	(S): 
	Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm M,N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 9.
2.	Lập phương trình mặt cầu qua 3 điểm và tâm nằm trên mặt phẳng .
3.	Cho đường thẳng 	
	a/	Lập phương trình mặt cầu tâm I và cắt (d) tại hai điểm M,N sao cho 
	b/	Tìm điểm I' đối xứng với I qua (d). 
4.	Cho các điểm . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với và cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC theo một đường tròn có chu vi bằng .
5.	Cho mặt cầu (S): và hai điểm và .
	a/	Tìm giao điểm M,N của AB và (S).
	b/	Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại M và N.
Đ9. một số bài toán hình học không gian Giải bằng phương pháp toạ độ
1.	Cho tam giác vuông tại A có , . Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABC) tại A lấy điểm S sao cho . AD là đường cao của tam giác ABC. E,F là trung điểm SB; SC. H là hình chiếu của A lên EF.
	a/	Chứng minh H là trung điểm SD.
	b/	Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AEF).
	c/	Tính thể tích khối chóp A.BCFE.
2.	Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân tại B, , và . tại H, tại K.
	a/	Chứng minh rằng .
	b/	Gọi I là giao điểm của HK và SC. Chứng minh B là trung điểm CI.
	c/	Tính sin góc giữa SB và (AHK).
	d/	Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABC.
3.	Cho hình thang ABCD vuông góc ở A và D, . Trên đường vuông góc với (ABCD) tại D lấy điểm S sao cho SD = a.
	a/	Các mặt bên của hình chóp là hình gì?
	b/	Tính khoảng cách từ D đến (SAC); khoảng cách từ AB đến SC.
	c/	Tính góc giữa (SCD) và (SAC).
	d/	Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu qua S,B,C,D.
4.	Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.
	a/	Chứng minh rằng . Tính góc của (DA'C) và (ABB'A').
	b/	Trên cạnh AD', DB lấy điểm M,N thoả . Chứng minh . 
	c/	Hãy tìm k để MN đạt GTNN. Chứng minh rằng khi đó MN là đoạn vuông góc chung của .
5.	Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 2; AD = 4; AA' = 6. Gọi I;J là trung điểm AB và C'D'. Gọi M,N thoả ; (.
	a/	Tính khoảng cách từ A đến (BDA')
	b/	Chứng minh I,M,J,N đồng phẳng.
	c/	Xác định tâm K và bán kính R của mặt cầu (S) ngoại tiếp ABDA'.
	d/	Tính bán kính r của đường tròn giao của (S) và (BDA').
Đ10. một số bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp thông thường
1.	Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành tâm O . M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD.
a/ 	Tìm giao tuyến của mp(AMN) và mp(SAC).
a/ 	Tìm giao điểm P của đường thẳng SC với mp(AMN).
b/ 	Gọi Q là trung điểm PC ,chứng minh rằng OQ// AP. Tìm tỷ số ?
2.	Cho hình chóp S.ABCD , H là điểm trên SC.
a/ 	Tìm giao điểm của AH và mp(SBD)?
b/ 	Xác định thiết diện qua AH và song song với BD.
3.	Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Đường thẳng d ^(ABC) tại A. Lấy M trên d. Kẻ BK ^ AC; BH ^MC. KH cắt d tại N. Chứng minh rằng
	a/	BN ^ CM; BM ^ CN.
	b/	Tích MA.NA không đổi khi M di động trên d.
	c/	Hãy chỉ ra cách dựng điểm M trên d sao cho MN ngẵn nhất.
4.	Cho tam giác ABC đều, AH = 3a. Lấy điểm O trên AH sao cho AO = a. Trên đường thẳng 
d ^ (ABC) tạo O lấy S sao cho OS = BC . Gọi () là mặt phẳng qua điểm I trong đoạn OH với AI = x và ()vuông góc với OH.
	a/	Chứng minh rằng BC ^ SA.
	b/	Xác định thiết diện của () và hình chóp. Thiết diện là hình gì ?
	c/	Tính diện tích thiết diện theo a và x. Xác định x để diện tích thiết diện đạt giá trị lớn nhất.
5.	Cho S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O . SA ^ mp(ABCD) , . 
a/	Tính khoảng cách từ A đến SC.
b/	Tính khoảng cách từ AD đến mp(SBC).
c/ 	Xác định và tính đoạn vuông góc chung của SB và CD ; SC và AD; SB và AC.
6.	Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thoi tâm O cạnh a , góc =600 . Đường thẳng SO ^mp(ABCD) và đoạn SO =. Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm BE.
a/	Chứng minh rằng mp(SOF) vuông góc với mp(SBC).
b/	Tính khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC).
c/	Gọi (P) là mặt phẳng qua AD và vuông góc mp(SBC); xác định thiết diện của (P) và hình chóp. Tính diện tích thiết diện.
d/	Tính góc giữa (P) và mp(ABCD).
7.	Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác vuông tại C, cạnh BC = a và hình chiếu của B' lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC. Các cạnh bên nghiêng với đáy góc 600 còn góc nhị diện cạnh BB' bằng450. 
	a/	Tính chiều cao của lăng trụ.
	b/	Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ.
8.	Cho một đường tròn đường kính AB = 2R nằm trong mặt phẳng (P) và một điểm M nằm trên đường tròn đó. Cho . Trên đường vuông góc với (P) tại A lấy SA = a. Gọi H và K là hình chiếu vuông góc của A lên SM và SB.
	a/	Chứng minh rằng SB vuông góc với (KHA)
	b/	Gọi I là giao của HK với (P). Hãy chứng minh AI là tiếp tuyến của đường tròn đã cho.
	c/	Cho . Tính thể tích của khối ABMHK.