Tài liệu luyện thi đại học - Phương trình, bất phương trình mũ và logarit

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ 
 1. Các định nghĩa:
 , 
 và 
 và 
 2. Các tính chất : 
 2.1 Các tính chất biểu thi bằng đẳng thức: . 
Ta có:
 a). b). c). 
 d). e). 
 2.2 Các tính chất biểu thị bằng bất đẳng thức: 
 a). 
 b). 
 c). 
3. Hàm số mũ: 
Tập xác định : Tập giá trị : 
Tính đơn điệu: ◙ a > 1 : đồng biến trên 
 ◙ 0 < a < 1 : nghịch biến trên 
Đồ thị của hàm số 
y = ax ( a>1 )
y = ax 
( 0<a<1 )
Hàm số mũ y = ex ( e = 2,71828)
Tập xác định : Tập giá trị : 
Tính đơn điệu: e > 1 đồng biến trên 
 Đồ thị của hàm số y = ex 
e
O
1/e
y = ex
BBT 
B. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1. Định nghĩa: 
Với: a > 0 , a 1 và N > 0
logarit thập phân ( cơ số 10 ): 
logarit Neper ( cơ số e = 2,71828): 
2. Các tính chất :
 , 
 , 
Với: . Ta có:
 và 
Với: . Ta có:
 và 
 và 
 và 
3. Công thức đổi cơ số :
Với: . Ta có: 
 Hệ quả: và 
 Đặc biệt: 
4. Hàm số logarít: 
Tập xác định: Tập giá trị: 
Tính đơn điệu: ◙ a > 1 : đồng biến trên 
 ◙ 0 < a < 1 : nghịch biến trên 
Đồ thị của hàm số lôgarít:
Hàm số logarit Neper y = lnx (y = logex , e = 2,71828)
Tập xác định: Tập giá trị: 
Tính đơn điệu: e > 1 đồng biến trên 
Đồ thị của hàm số lôgarít Neper:
1/2
lùn(1/2)
y = lnx
e
O
BBT:
5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:
 1. Định lý 1: 
 2. Định lý 2: 
 3. Định lý 3: 
 4. Định lý 4: 
 5. Định lý 5: 
 6. Định lý 6: 
6. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT:
6.1 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
A. Phương trình mũ cơ bản ax = b 
Cách giải: + phương trình vô nghiệm , vì: 
 + b > 0 phương trình có nghiệm 
 Ghi nhớ: 
Ví dụ Giải các phương trình sau:
 a). b). c). d). e). 
B. Phương trình mũ thường gặp 
Phương pháp 1: Biến đổi, quy về cùng cơ số 
 hoặc 
Ví dụ Giải các phương trình sau :
 a). b). c). 
 d). e). f). 
 h). i). 
Phương pháp 2: Đặt ẩn số phụ 
Ví dụ Giải các phương trình sau:
 a). b). c). 
 d). e). f). 
 g). h). i). 
 j). k). m). 
Phương pháp 3: Logarit hóa ( lấy logarit hai vế của phương trình )
 Dạng 1: 
Dạng 2: 
Ví dụ Giải các phương trình sau:
 a). b). c). 
 d). e). f). 
Phương pháp 4: Biến đổi phương trình về dạng tích số f(x).g(x) 
Ví dụ Giải các phương trình sau:
 a). b). 
Phương pháp 5: Phương pháp đồ thị 
Bài toán: Giải phương trình (1)
Cách giải: + (1) là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường 
 và y = f(x)
 + Vẽ đồ thị các hàm số và y = f(x)
 + Kết luận: nghiệm của phương trình là số giao điểm của 2 đường 
Ví dụ Giải các phương trình: 
 a). b). c). d). 
 e). f). g). h). 
Phương pháp 6: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ 
Ghi nhớ: 
+ Nhẩm 1 nghiệm x = x0 
 + Chứng minh x = x0 là nghiệm duy nhất 
 ( dùng tính tăng, giảm của hàm số mũ )
Ví dụ Giải các phương trình sau :
 a). b). c). d). 
 e). f). g). h). 
Phương pháp 7: Dùng hàm số mũ làm ẩn số 
Ghi nhớ: Chọn (thích hợp) làm ẩn số
Ví dụ Giải các phương trình 
 a). b). 
 c). d). 
 e). 
Phương pháp 8: Phương pháp lượng giác hóa 
Ghi nhớ: 
+ Chọn (thích hợp) hoặc 
+ Từ điều kiện x suy ra điều kiện t
Ví dụ Giải phương trình 
 a). b). 
C. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
Loại 1: Bất phương trình mũ cơ bản 
Dạng 1: 
 + : Tập hợp nghiệm của bất phương trình là 
 + : 
a > 1:	Tập hợp nghiệm 
0 < a < 1:	Tập hợp nghiệm 
Dạng 2: 
 + : Tập hợp nghiệm của bất phương trình là 
 + : 
a > 1:	Tập hợp nghiệm 
0 < a < 1:	Tập hợp nghiệm 
Dạng 3: 
 + : Tập hợp nghiệm của bất phương trình là 
 + : 
a > 1:	Tập hợp nghiệm 
0 < a < 1:	Tập hợp nghiệm 
Dạng 4: 
 + : Tập hợp nghiệm của bất phương trình là 
 + : 
a > 1:	Tập hợp nghiệm 
0 < a < 1:	Tập hợp nghiệm 
Loại 2: Bất phương trình mũ đơn giản 
Phương pháp: Để giải các bất phương trình mũ đơn giản, ta có thể biến đổi đưa về 
 bất phương trình mũ cơ bản hoặc bất phương trình đại số.
Ghi nhớ: , 
 , 
Tổng quát: 
Ví dụ Giải các bất phương trình 
 a). b). c). 
 d). e). f). g). 
 h). i). j). k). 
6.1 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
A. Phương trình logarit cơ bản 
Cách giải: Dùng định nghĩa logarit 
Ví dụ Giải các phương trình 
 a). b). c). 
 d). e). 
	B. Phương trình logarit thường gặp 
Phương pháp 1: Biến đổi, quy về cùng cơ số 
Ví dụ Giải các phương trình sau :
 a). b). 
 c). d). 
 e). f). 
Phương pháp 2: Đặt ẩn số phụ 
Ví dụ Giải các phương trình sau:
 a). b). c). 
 d). e). f). 
 g). h).
Phương pháp 3: Phương pháp mũ hóa, logarit hóa 
Ví dụ Giải các phương trình sau:
 a). b). 
 c). d). e). 
Phương pháp 4: Biến đổi phương trình về dạng tích số f(x).g(x) 
Ví dụ Giải các phương trình sau:
 a). b). 
 c). d). 
 e). 
 Phương pháp 5: Phương pháp đồ thị 
Bài toán: Giải phương trình (1)
Cách giải: + (1) là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường 
 và y = f(x)
 + Vẽ đồ thị các hàm số và y = f(x)
 + Kết luận: nghiệm của phương trình là số giao điểm của 2 đường 
Ví dụ Giải các phương trình: 
 a). b). c). 
 d). e). f). 
Phương pháp 6: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số logarit 
Ghi nhớ: 
+ Nhẩm 1 nghiệm x = x0 
 + Chứng minh x = x0 là nghiệm duy nhất 
 ( dùng tính tăng, giảm của hàm số logarit )
Ví dụ Giải các phương trình sau :
 a). c). d). 
 b). e). 
Phương pháp 7: Dùng hàm số logarit làm ẩn số 
Ghi nhớ: Chọn (thích hợp) làm ẩn số
Ví dụ Giải các phương trình 
 a). 
 b). 
 c). 
C. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
Loại 1: Bất phương trình logarit cơ bản 
Dạng 1: 
a > 1:	Tập hợp nghiệm 
0 < a < 1:	Tập hợp nghiệm 
Dạng 2: 
a > 1:	Tập hợp nghiệm 
0 < a < 1:	Tập hợp nghiệm 
Dạng 3: 
a > 1:	Tập hợp nghiệm 
0 < a < 1:	Tập hợp nghiệm 
Dạng 4: 
a > 1:	Tập hợp nghiệm 
0 < a < 1:	Tập hợp nghiệm 
Loại 2: Bất phương trình logarit đơn giản 
Phương pháp: Để giải các bất phương trình logarit đơn giản, ta có thể biến đổi đưa
 về bất phương trình logarit cơ bản hoặc bất phương trình đại số.
Ghi nhớ: 
loại 1: 
Tổng quát: 
loại 2: 
Tổng quát: 
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình 
 a). b). c). 
 d). e). f). 
 g). h). i). 
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình 
 a). b). c). 
 d). e). f). 
Ví dụ 3: Giải các bất phương trình 
 a). b). c). 
 d). e). f) 
 Ví dụ 4: Giải các bất phương trình 
 a). b). (SPVinh98) c). (NH98)
 d). (BKHN99)
 e). (QGHCM99) 
BÀI TẬP LÀM THÊM 
B1. Cho phương trình: (1)
Giải phương trình khi m = 2
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 sao cho x1 + x2 =3
B2. YDượcHCM99
1.Giải bất phương trình: ( a là tham số dương và khác 1)
2.Xác định các giá trị của tham số m để bất phương trình sau đây có nghiệm:
4x – m.2x + m + 3 0
B3. KA2004 . Giải hệ phương trình: 
B4. KA2002 Cho phương trình: (2), với m là tham số.
1. Giải phương trình (2) khi m = 2.
2. Tìm m để phương trình (2) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 
B5. Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: 
B6. Tìm m sau cho bất phương trình: có nghiệm x 
B7. Tìm m để phương trình: có nghiệm. 
B8. Cho bất phương trình: (BK93)
Giải bất phương trình khi a = –2
Tìm các giá trị của a để bất phương trình có nghiệm 
B9. Cho hàm số ( KTrúcHN95)
 Tìm m để với mọi x.
B10. Cho bất phương trình: (QGHCM95, KA)
 Tìm các giá trị của a để bất phương trình có ít nhất một nghiệm x > 1.
B11. (QGHCM95, KB)
Giải phương trình 
Tìm a để hệ bất phương trình sau đây có nghiệm 
B12. Cho hệ phương trình: 
Giải hệ khi b = 1
Tìm a để hệ phương trình có nghiệm với 
B13. Cho bất phương trình (BK94)
Giải bất phương trình khi a = 3
Tìm giá trị lớn nhất của tham số a để x = 1 là một nghiệm của bất phương trình 
B14. (YDược 95)
Tìm a để , 
Cho bất phương trình: . Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi .
B15. Giải các hệ phương trình, hệ bất phương trình sau:
 a). b). c). 
 d). (YDược HCM98) e). 
 f). g).