Tài liệu luyện thi đại học Môn Toán

T
h.
s
Đ
ỗ
M
in
h
T
uâ
n
Th.s ĐỖ MINH TUÂN
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
MÔN TOÁN
NAM ĐỊNH, NĂM 2010
T
h.
s
Đ
ỗ
M
in
h
T
uâ
n
Lời nói đầu
Trong những năm gần đây, đề thi đại học đã trở nên cơ bản hơn trước rất nhiều , không còn
tính đánh đố cũng như bắt học sinh phải nhớ nhiều những mẹo rất lặt vặt. Một số tài liệu giảng
dạy rất hay ngày trước như "Các bài giảng luyện thi môn Toán", "Bộ đề thi tuyển sinh" chỉ còn
lại một ít giá trị thực tiễn của nó. Chắt lọc những tài liệu ày, bám sát những đề thi tuyển sinh
những năm gần đây (Từ năm 2002-2010) cộng với những kinh nghiệm trong thực tiễn giảng dạy
luyện thi của mình (có tham khảo một số bài giảng ở những trang web dạy học) tôi biên soạn
tài liệu này mục đích chính để mình giảng dạy một cách bài bản.
Tôi nghĩ rằng tài liệu này sẽ có ích đối với những người dạy toán, cũng như những bạn ngấp
nghé cổng trường Đại học.
Tài liệu này gồm 13 chuyên đề (vẫn còn thiếu)
1. Phương trình đại số.
2. Phương trình lượng giác.
3. Phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối.
4. Hệ phương trình đại số
5. Giải tích tổ hợp
6. Hình phẳng tọa độ
7. Giới hạn
8. Bất đẳng thức
9. Hàm số và đồ thị
10. Hình học không gian tọa độ (Đã chỉnh sửa, chỉ thiếu phần tọa độ hóa hình học không gian)
11. Tích phân và ứng dụng
12. Số phức
13. Hình học không gian cổ điển.
Vì số lượng các chuyên đề lớn nên không thể tránh khỏi những lỗi đánh máy, lỗi tính toán sai,
... Mong các bạn lượng thứ, mọi góp ý xin gửi về:
Th.s Đỗ Minh Tuân.
Trường CĐSP Nam Định, 813 đường Trường Chinh, TP Nam Định
Email: xuxutit@gmail.com
Mobile: 0982843882.
—————————————
Chúc các bạn thành công trong kỳ thi đại học sắp tới!
Nam Định, ngày 18 tháng 12 năm 2010
Tác giả
Đỗ Minh Tuân
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 2 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
T
h.
s
Đ
ỗ
M
in
h
T
uâ
n
Mục lục Mục lục
Mục lục
Lời nói đầu 2
1 Phương trình đại số 9
1.1 Lý thuyết về đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Tính giá trị một đa thức, phân thức tại điểm lẻ . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Phương trình bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Phương trình bậc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Tính chất của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 Đa thức bậc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Phương trình bậc 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.1 Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.2 Các dạng của phương trình bậc 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Dấu của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.1 Đa thức bậc 1 - bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.2 Đa thức - Phân thức tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.3 Giải hệ bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Phương trình lượng giác 33
2.1 Các kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1 Công thức liên hệ giữa các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.2 Các công thức của các góc liên hệ với α . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.3 Bảng dấu của các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.4 Bảng các giá trị lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.5 Công thức lượng giác của tổng, hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.6 Công thức cộng lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.7 Công thức biến đổi tích thành tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.8 Công thức góc nhân đôi, nhân ba - Công thức hạ bậc . . . . . . . . . . . 35
2.1.9 Công thức tính sin 2x, cos 2x, tan 2x, cot 2x theo t = tan x . . . . . . . . 36
2.1.10 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Các phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 3 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
T
h.
s
Đ
ỗ
M
in
h
T
uâ
n
Mục lục Mục lục
2.2.1 Phương trình sin x = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.2 Phương trình cosx = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.3 Phương trình tanx = m, cot x = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.4 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Các phương trình lượng giác khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 Phương trình a sin x+ b cosx = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.2 Phương trình đẳng cấp chứa sin và cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.3 Đại số hóa phương trình lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.4 Phương trình đối xứng sin, cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.5 Phân tích thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.6 Sử dụng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.7 Loại nghiệm không thích hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối 51
3.1 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.1 Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.2 Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Phương trình chứa căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.1 Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.1 Dạng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Bất phương trình chứa căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.1 Dạng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Hệ phương trình đại số 61
4.1 Hệ phương trình bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.2 Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1.3 Hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2 Hệ phương trình bậc nhất - bậc hai: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3.1 Phương trình đẳng cấp bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3.2 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4 Hệ đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4.1 Hệ đối xứng loại I: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4.2 Hệ đối xứng loại II: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.5 Hệ phương trình tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 4 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
T
h.
s
Đ
ỗ
M
in
h
T
uâ
n
Mục lục Mục lục
5 Giải tích tổ hợp 79
5.1 Khái quát chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2.1 Quy tắc cộng - nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2.2 Tổ hợp - chỉnh hợp - hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2.3 Công thức nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6 Hình phẳng tọa độ 87
6.1 Véc tơ, điểm, đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.1.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.1.2 Dạng bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2.2 Các dạng bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3 Ba đường Conic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.3.1 Kiến thức chung về 3 đường Conic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.3.2 Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.3.3 Hyperbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3.4 Parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7 Giới hạn 128
7.1 Giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.1.1 Các tính chất cơ bản của giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.2 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  ... (DIJ) ∩ (SAC) (1)
O = AD ∩ BC ⇒ O ∈ AD = DI ⊂ (DIJ)⇒M ∈ OJ ⊂ (DIJ)
M ∈ SC ⊂ (SAC)⇒ M ∈ (DIJ) ∩ (SAC) (2)
K = IJ ∩ (SAC) ⊂ (DIJ) ∩ (SAC) (3)
L = DJ ∩ (SAC) ⊂ (DIJ) ∩ (SAC) (4)
Từ (1),(2),(3),(4) ta được A,K,L,M thẳng hàng.
13.3.6 Thiết diện
Định nghĩa 13.1. Đa giác giới hạn bởi giao tuyến của mặt phẳng (α) với các mặt của hình
chóp gọi là thiết diện của (α) với hình chóp.
1 Thuật toán: Xác định thiết diện.
• Từ một điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của (α) với một mặt của hình
chóp. (Có thể dùng mặt phẳng trung gian).
• Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta sẽ tìm được điểm chung mới
của (α) với các mặt khác. Từ đó xác định được các giao tuyến mới với các mặt này.
• Tiếp tục như trên cho tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện.
Ví dụ 13.3.25: Cho tứ diện ABCD. Gọi H,K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC.
Trên đường thẳng CD lấy điểm M sao cho KM không song song với BD. Tìm thiết diện của
tứ diện ABCD với mặt phẳng (HKM). Phân biệt trường hợp M ở giữa C và D ở ngoài đoạn
CD.
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 292 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
T
h.
s
Đ
ỗ
M
in
h
T
uâ
n
13.3. Các dạng toán Chương 13. Hình học không gian
Giải: a) Trường hợp 1: M ∈ [C,D].
A
B
C
D
H
K
M
L
N
H ∈ AB ⇒ H ∈ (HKM) ∩ (ABD).
(HKM) (ABD) L = KM ∩ BD
(BCD)
))RR
RRR
RRR
RRR
KM uulll
lll
ll
lll
BD
//
⇒ (HKM) ∩ (ABD) = HL
HL ∩ (AD) = N .
Vậy thiết diện là tứ giác HKMN .
b) Trường hợp 2: M /∈ [C,D].
A
B
C
D
H
K
M
L
Tương tự như trường hợp trên và ta được thiết diện là tam giác HKL.
Ví dụ 13.3.26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,N, I là 3
điểm lấy trên AD,CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI).
A
B C
D
S
M
N
O
I
E
F
G
H
P
Q
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 293 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
T
h.
s
Đ
ỗ
M
in
h
T
uâ
n
13.3. Các dạng toán Chương 13. Hình học không gian
Giải: +) (MNI) và (SBD).
I ∈ SO ⊂ (SBD)
Do đó I ∈ (SBD) ∩ (MNI).
(MNI) (SBD) E = MN ∩BD
(ABCD)
))RR
RRR
RRR
RRR
MN uulll
lll
lll
ll
BD
//
Do đó (MNI) ∩ (SBD) = IE
+) (MNI) và (SBC)
(MNI) (SBC) G = MN ∩BC
(ABCD)
))RR
RRR
RR
RRR
MN uulll
lll
lll
ll
BC
//
(MNI) (SBC) F = IE ∩ SB
(SBD)
))R
RRR
RRR
RRR
IE uulll
lll
lll
ll
SB
//
Do đó (MNI) ∩ (SBC) = FG
+) (MNI) và (SCD):
N ∈ CD ⊂ (SCD)⇒ N ∈ (MNI) ∩ (SCD).
(MNI) (SCD) H = FG ∩ SC
(SBC)
))RR
RRR
RRR
RRR
FG uulll
lll
lll
ll
SC
//
+) (MNI) và (SAB)
F ∈ SB, F ∈ (MNI)⇒ F ∈ (MNI) ∩ (SAB)
(MNI) (SAB) P = MN ∩ AB
(ABCD)
))R
RRR
RRR
RR
R
MN uulll
lll
lll
ll
AB
//
Do đó (MNI) ∩ (SAB) = PF .
+) (MNI) và (SAD):
M ∈ AD ⇒ M ∈ (SAD) ∩ (MNI)
(MNI) (SAD) Q = PF ∩ SA
(SAB)
))RR
RRR
RRR
RRR
PF uulll
lll
lll
ll
SA
//
Do đó (MNI) ∩ (SAB) = MQ.
Ta được thiết diện là ngũ giác MNHFQ
Ví dụ 13.3.27: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Kéo dài BC một đoạn CE = a. Kéo dài BD
một đoạn DF = a. Gọi M là trung điểm của AB.
a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MEF ).
b) Tính diện tích thiết diện.
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 294 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
T
h.
s
Đ
ỗ
M
in
h
T
uâ
n
13.3. Các dạng toán Chương 13. Hình học không gian
A
B
C
D
E
F
M
H
G
Giải: a) G = MF ∩ AD, H = ME ∩AC.
Thiết diện của (MEF ) với tứ diện ABCD là tam giác MHG.
b) Tính diện tích tam giác MHG.
+) Xét tam giác ABF có FM,AD là các đường trung tuyến do đó G là trọng tâm tam giác
ABF . Do đó AG =
2
3
AD =
2a
3
.
M là trung điểm SA nên MA =
a
2
.
Theo định lý hàm số cosin ta có:
MG2 = MA2 + AG2 − 2MA.AG. cos 600 = a
2
4
− 4a
2
9
− 2.a
2
.
2a
3
.
1
2
=
13a2
36
⇒MG = a
√
13
6
Tương tự ta cụng có AH =
2
3
AC =
2a
3
và MH =
a
√
13
6
Do đó
AG
AD
=
AH
AC
=
2
3
, vì thế HG ‖ CD
và ta có HG =
2
3
CD =
2a
3
(Định lý Thales)
Xét tam giác MHG:
cosM =
MH2 +MG2 −HG2
2MH.MG
=
5
13
⇒ sinM = 12
13
Do đó SMHG =
MH.MG. sinM
2
=
a
√
13
6
.
a
√
13
6
.
12
13
2
=
a2
6
Ví dụ 13.3.28: Cho hình chóp S.ABCD, M là 1 điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung
điểm AB,AD. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP ).
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 295 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
T
h.
s
Đ
ỗ
M
in
h
T
uâ
n
13.3. Các dạng toán Chương 13. Hình học không gian
A
B
C
D
S
M
N
P
E
F
Q
G
Giải: +) (MNP ) và (SBC):
M ∈ SC ⊂ (SBC)⇒M ∈ (MNP ) ∩ (SBC)
(MNP ) (SBC) E = NP ∩ BC
(ABCD)
))RR
RRR
RRR
RR
NP uull
lll
lll
ll
BC
//
Do đó (MNP ) ∩ (SBC) = ME
+) (MNP ) và (SAB):
N ∈ AB ⊂ (SAB)⇒ N ∈ (MNP ) ∩ (SAB).
(MNP ) (SAB) Q = ME ∩ SB
(SBC)
))RR
RRR
RRR
RRR
ME uulll
ll
lll
ll
l
SB
//
Vậy (MNP ) ∩ (SAB) = NQ.
+) (MNP ) và (SCD):
M ∈ SC ⊂ (SCD)⇒ M ∈ (SCD) ∩ (MNP ).
(MNP ) (SCD) F = NP ∩ CD
(ABCD)
))RR
RRR
RRR
RR
NP uull
lll
lll
ll
CD
//
⇒ (MNP ) ∩ (SCD) = MF .
+) (MNP ) và (SAD):
P ∈ AD ⊂ (SAD)⇒ P ∈ (SAD) ∩ (MNP ).
(MNP ) (SAD) G = MF ∩ SD
(SCD)
))RR
RRR
RRR
RRR
MF uulll
ll
lll
ll
l
SD
//
Do đó (MNP ) ∩ (SAD) = PG.
Vậy thiết diện là ngũ giác MQNPG.
Ví dụ 13.3.29: Cho hình chóp S.ABCD. Trong tam giác SBC lấy điểm M , trong tam giác
SCD lấy điểm N .
a) Tìm giao điểm của MN và (SAC).
b) Tìm SC ∩ (AMN).
c) Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AMN).
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 296 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
T
h.
s
Đ
ỗ
M
in
h
T
uâ
n
13.3. Các dạng toán Chương 13. Hình học không gian
A
B
C
D
S
M
N
E
F
G
H
K
I
J
Giải: a) MN ⊂ (SMN) = (SEF ) với E = SM ∩BC, F = SN ∩ CD.
+) Mặt phẳng (SEF ) và (SAC):
S ∈ (SAC) ∩ (SEF ).
(SEF ) (SAC) G = EF ∩ AC
(ABCD)
))RR
RRR
RRR
RR
EF uulll
lll
lll
l
AC
//
⇒ (SAC) ∩ (SEF ) = SG.
Do đó MN ∩ (SAC) = MN ∩ SG = H
b) SC ∩ (AMN)
SC ⊂ (SAC).
+) Mặt phẳng (SAC) và (AMN).
H = MN ∩ (SAC) ⊂ (AMN) ∩ (SAC).
A ∈ (SAC) ∩ (AMN)⇒ (SAC) ∩ (AMN) = AH .
Do đó SC ∩ (AMN) = SC ∩AH = K
c) Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AMN).
+) (SBC) ∩ (AMN).
M ∈ SF ⊂ (SBC)⇒M ∈ (AMN) ∩ (SBC).
K = SC ∩ (AMN) ⊂ (SBC) ∩ (AMN).
Do đó (AMN) ∩ (SBC) = MK.
+) (SCD) ∩ (AMN).
N ∈ SE ⊂ (SCD)⇒ N ∈ (SCD) ∩ (AMN).
K = SC ∩ (AMN) ⊂ (SCD) ∩ (AMN).
Do đó NK = (SCD) ∩ (AMN).
+) (SAB) ∩ (AMN).
A ∈ (SAB) ∩ (AMN).
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 297 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
T
h.
s
Đ
ỗ
M
in
h
T
uâ
n
13.3. Các dạng toán Chương 13. Hình học không gian
(SAB) (AMN) I = SB ∩MK
(SBC)
))RR
RRR
RRR
RRR
R
SB uulll
lll
lll
ll
MK
//
Do đó (SAB) ∩ (AMN) = AI.
+) (SAD) ∩ (AMN).
A ∈ (SAD) ∩ (AMN).
(SAD) (AMN) J = SD ∩NK
(SCD)
))RR
RRR
RRR
RRR
R
SD uulll
lll
lll
ll
NK
//
Vậy (SAD) ∩ (AMN) = AJ
thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp là tứ giác AIKJ .
Ví dụ 13.3.30: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N, P lần
lượt là trung điểm của SB, SD,OC.
a) Tìm giao tuyến của (MNP ) với (SAC) và giao điểm (MNP ) với SA.
b) Xác định thiết diện của hình chóp (MNP ) và tỷ số mà (MNP ) chia các cạnh SA,BC,CD.
A
B C
D
S
O
M
N
P
E
F
Q
G
H
Giải: a) P ∈ AC ⇒ P ∈ (SAC) ∩ (MNP ).
(SAC) (MNP ) E = SO ∩MN
(SBD)
))R
RRR
RRR
RRR
RR
SO uulll
lll
lll
ll
MN
//
PE = (SAC) ∩ (MNP ).
SA ⊂ (SAC)⇒ SA ∩ (MNP ) = SA ∩ PE = F .
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 298 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
T
h.
s
Đ
ỗ
M
in
h
T
uâ
n
13.3. Các dạng toán Chương 13. Hình học không gian
b) +(MNP ) ∩ (SAB):
M ∈ SB ⊂ (SAB)⇒M ∈ (MNP ) ∩ (SAB).
F = SA ∩ (MNP ) ⊂ (SAB) ∩ (MNP )
⇒MF = (SAB) ∩ (MNP ).
Tương tự (SAD) ∩ (MNP ) = FN .
+ FM ∩AB = Q
+ PQ ∩ BC = G, PQ ∩ CD = H
Thiết diện là ngũ giác MFNHG.
+) Do MN là đường trung bình của tam giác SBD nên E là trung điểm của SO.
Áp dụng định lý Melenauyt trong tam giác SAO với đường cát tuyến PEF :
PO
PA
.
ES
EO
.
FA
FS
= 1⇔ 1
3
.(−1).FA
FS
= 1⇔ FA
FS
= −3
Áp dụng định lý Melenauyt trong tam giác SAB với đường cát tuyến QMF :
QB
QA
.
MS
MB
.
FA
FS
= 1⇔ QB
QA
.(−1).(−3) = 1⇒ QB
QA
=
1
3
Mà
PO
PA
=
1
3
⇒ BO‖PQ
P là trung điểm OC do đó G,H là trung điểm của BC,CD.
Ví dụ 13.3.31: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SB,
G là trọng tâm tam giác SAD.
a) Tìm I = GM ∩ (ABCD). Chứng minh rằng: (CGM) chứa CD.
b) Chứng minh rằng (CGM) qua trung điểm của SA. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi
(CGM).
c) Tìm thiết diện hình chóp cắt bởi (AGM).
A
B C
D
S
M
G
E
F
I
O
H
K
P
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 299 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
T
h.
s
Đ
ỗ
M
in
h
T
uâ
n
13.3. Các dạng toán Chương 13. Hình học không gian
Giải: a) Gọi E,H, F là trung điểm của AD, SD, SA.
Do đó G ∈ SE,DF,AH .
MG ⊂ (SBE), (SBE) ∩ (ABCD) = BE
Do đó MG ∩ (ABCD) = MG ∩ BE = I.
Áp dụng định lý Melenauyt trong tam giác SBI với cát tuyến IGM :
IE
IB
.
GS
GE
.
MB
MS
= 1⇔ IE
IB
.(−2).(−1) = 1⇔ IE
IB
=
1
2
⇒ E là trung điểm của BI, mà E là trung điểm của AD. Do đó tứ giác ABDI là hình bình
hành do đó
−→
AB =
−→
ID =
−−→
DC ⇒ D là trung điểm của CI.
Do đó D ∈ CI ⊂ (CGM)⇒ CD ⊂ (CGM).
b) F ∈ DG ⊂ (CGM) là trung điểm của SA.
Vậy thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (CGM) là tứ giác FMCD.
c) (AGM) = (AHM)
+) (AHM) ∩ (SAC)
A ∈ (AHM) ∩ (SAC).
(AHM) (SAC) K = HM ∩ SO
(SBD)
))RR
RRR
RRR
RRR
HM uulll
lll
lll
lll
SO
//
Do đó (AHM) ∩ (SAC) = AK
AK ∩ SC = P
Và ta được thiết diện là tứ giác AMPH .
13.3.7 Bài tập
Bài 13.1: Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, ACD.
a) Chứng minh rằng: AG1 và BG2 cắt nhau. Gọi giao điểm này là I.
Tính
IA
IG1
,
IB
IG2
.
b) Chứng minh rằng: I là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AB,CD.
c) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua đỉnh của tứ diện và trọng tâm của mặt đối điện đồng
quy tại một điểm. Điểm này gọi là trọng tâm của tứ diện.
Bài 13.2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.
a) Tính IJ .
b) M là điểm di động trên đoạn BC. Tìm tập hợp giao điểm N của AM và (ICD).
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 300 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
T
h.
s
Đ
ỗ
M
in
h
T
uâ
n
13.3. Các dạng toán Chương 13. Hình học không gian
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng
(IGM) khi M là trung điểm của BC. Tính tỷ số mà (IGM) chia các cạnh CD,AD. Thiết
diện là hình gì và tính diện tích của nó.
Bài 13.3: Cho hình chóp S.ABCD, M là trung điểm BC, N là một điểm trên cạnh SD.
a) Tìm giao điểm I của BN và (SAC), giao điểm J của MN và (SAC).
b) DM cắt AC tại K. Chứng minh rằng S,K, J thẳng hàng.
c) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN).
Bài 13.4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang ABCD, AB‖CD, AB > CD. Gọi I là
trung điểm SC. Mặt phẳng (α) quay quanh AI cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M,N .
a) Chứng minh rằng: MN luôn đi qua 1 điểm cố định.
b) IM kéo dài cắt BC tại P , IN kéo dài cắt CD tại Q. Chứng minh rằng PQ luôn đi qua một
điểm cố định.
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 301 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định