Tài liệu hướng dẫn giải toán trên máy tính cầm tay

TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN TRấN MÁY TÍNH CẦM TAY
Phần thứ nhất
Hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay
1. Mở máy, Tắt máy và Cách ấn phím
Mở máy: ấn ON
Tắt máy: ấn SHIFT OFF
Chỉ ấn phím bằng đầu ngón tay một cách nhẹ nhàng, mỗi lần một phím, không dùng vật khác để ấn phím.
Nên ấn phím liên tục để đến kết quả cuối cùng. Tránh tối đa việc chép kết quả trung gian ra giấy rồi lại ghi vào máy vì việc đó có thể dẫn đến sai số lớn ở kết quả cuối cùng. 
Máy tự động tắt sau khoảng 6 phút không được ấn phím.
2. Các loại phím trên máy
Phím chung
Phím
Chức năng
Mở máy
Tắt máy
Cho phép di chuyển con trỏ đến vị trí dữ liệu hoặc phép toán cần sửa 
 ... 
Nhập từng chữ số 0, 1,..., 9
Nhập dấu ngăn cách phần nguyên với phần thập phân của số thập phân
Các phép tính: cộng, trừ, nhân, chia; dấu bằng
Xoá hết 
Xoá kí tự vừa nhập 
 (-)
Dấu trừ của số âm 
Xoá màn hình
 Phím nhớ
Phím
Chức năng
Gọi số ghi trong ô nhớ
Gán (ghi) số vào ô nhớ 
Các ô nhớ, mỗi ô trong 9 ô nhớ này chỉ nhớ được một số, riêng ô nhớ M thêm chức năng nhớ do M+, M- gán cho
Cộng thêm vào số nhớ M
 M-
Trừ bớt ra ở số nhớ M
Phím đặc biệt
Phím
Chức năng
Để chuyển sang kênh chữ vàng
Để chuyển sang kênh chữ đỏ
ấn định ngay từ đầu kiểu, trạng thái, loại hình tính toán, loại đơn vị đo, dạng số biểu diễn kết quả... cần dùng
Mở ngoặc, đóng ngoặc
Nhân với luỹ thừa nguyên của 10
Nhập số p
Nhập hoặc đọc độ, phút, giây
Đọc độ, phút, giây
DRG 
Chuyển đổi đơn vị giữa độ, rađian, grad
Làm tròn giá trị
Tính tổ hợp chập r của n
Tính chỉnh hợp chập r của n
Phím hàm
Phím
Chức năng
Sin, côsin, tang
Giá trị góc (từ -900 đến 900 hoặc từ - đến ) tương ứng với sin của nó
Giá trị góc (từ 00 đến 1800 hoặc từ 0 đến p) tương ứng với côsin của nó
Giá trị góc (giữa -900 và 900 hoặc giữa - và ) tương ứng với tang của nó
Lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên 
Hàm mũ cơ số e, cơ số 10 
Bình phương, lập phương 
Căn bậc hai, căn bậc ba, căn bậc x
Nghịch đảo 
Λ
Mũ
Giai thừa 
Phần trăm 
Abs
Giá trị tuyệt đối
ab/c
Nhập hoặc đọc phân số, hỗn số; đổi phân số, hỗn số ra số thập phân hoặc ngược lại 
 d/c
Đổi hỗn số (hoặc số thập phân) ra phân số 
CALC
Tính giá trị của hàm số
d/dx
Tính giá trị của đạo hàm
,
Dấu ngăn cách giữa hàm số và đối số hoặc đối số và các cận 
Tính tích phân
Chuyển ra dạng a ì 10n với n giảm
Chuyển ra dạng a ì 10n với n tăng 
Đổi toạ độ Đề - các ra toạ độ cực 
Đổi toạ độ cực ra toạ độ Đề - các 
Nhập số ngẫu nhiên
Phím thống kê
Phím
Chức năng
Nhập dữ liệu 
;
Dấu ngăn cách giữa số liệu và tần số
S-SUM
Gọi ,, n
 S-VAR
Gọi , 
Tổng tần số
Số trung bình
Độ lệch chuẩn 
Tổng các số liệu 
Tổng bình phương các số liệu
3. các thao tác sử dụng máy
3.1. Thao tác chọn kiểu
Đó là thao tác ấn một tổ hợp phím (thường là) ngay sau khi mở máy, nhằm ấn định ngay từ đầu loại hình tính toán, loại đơn vị đo, dạng số biểu diễn kết quả... phù hợp với giả thiết của bài toán. 
Có các kiểu cơ bản sau:
Nhóm phím
Chức năng
Kiểu COMP: màn hình hiện D ở góc trên bên phải, thông báo máy ở trạng thái tính toán cơ bản
Kiểu CMPLX: màn hình hiện CMPLX D ở góc trên bên phải, thông báo máy ở trạng thái tính toán được với số phức 
viết tắt: MODE2, 1
Kiểu SD: màn hình hiện SD D ở góc trên bên phải, thông báo máy ở trạng thái giải bài toán thống kê 
viết tắt: MODE3, 1
Kiểu EQN: màn hình hiện EQN D ở góc trên bên phải, thông báo máy ở các trạng thái giải phương trình hoặc hệ phương trình:
Unknowns? (hệ phương trình mấy ẩn?)
ã ấn tiếp : vào chương trình giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số 
ã ấn tiếp : vào chương trình giải hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn số
► Degree? (phương trình bậc mấy?)
ã ấn tiếp: vào chương trình giải phương trình bậc hai 
ã ấn tiếp: vào chương trình giải phương trình bậc ba 
MODE 3, 2 
Kiểu MAT: màn hình hiện MAT D ở phía trên, thông báo máy ở trạng thái giải toán ma trận
MODE 3, 3
Kiểu VCT: màn hình hiện VCT D ở phía trên: thông báo máy ở trạng thái giải toán vectơ
MODE 4, 1
Kiểu Deg: màn hình hiện D ở phía trên, thông báo máy ở trạng thái với đơn vị đo góc là độ 
 MODE4, 2
Kiểu Rad: màn hình hiện R ở phía trên, thông báo máy ở trạng thái với đơn vị đo góc là rađian
MODE5, 1
Kiểu Fix: ấn tiếp một chữ số từ 0 đến 9 để ấn định số chữ số thập phân của kết quả tính toán. Khi đó ở phía trên màn hình có hiện chữ Fix
 MODE5, 2
Kiểu Sci: ấn tiếp một chữ số từ 0 đến 9 để ấn định số chữ số có nghĩa của số a trong cách ghi kết quả tính toán ở dạng khoa học a.10n. Khi đó ở phía trên màn hình có hiện chữ SCI
 MODE5, 3
Kiểu Norm: ấn tiếp số 1 hoặc 2 để thay đổi giữa hai cách ghi số dạng thông thường và xoá cách ghi kết quả tính toán ở dạng khoa học a.10n
MODE6, 1
Kiểu Disp: màn hình hiện số dạng kỹ thuật (Eng ON), hoặc màn hình không hiện số dạng kỹ thuật (Eng OFF)
MODE6, 1, ►
Kiểu ab/c, d/c: hiện kết quả ở dạng phân số, hỗn số hoặc chỉ ở dạng phân số
MODE6, 1, ►, ►
Kiểu Dot, Comma: chọn kết quả ở dạng có dấu ngăn cách với phần thập phân là dấu “chấm” (Dot) hay dấu “phẩy” (Comma), dấu phân định nhóm 3 chữ số ở phần nguyên là dấu “phẩy” (Comma) hay dấu “chấm” (Dot) và ngược lại
3.2. Thao tác nhập, xoá biểu thức 
3.2.1. Thao tác nhập biểu thức 
Theo cấu hình của các loại máy tính cầm tay CASIO fx -500, 570MS và VINACAL -500, 570MS, trình tự ấn các phím để hiển thị biểu thức lên màn hình cũng y hệt như cách viết một biểu thức đó lên giấy hoặc lên bảng. Khi biểu thức không có dấu ngoặc, máy tính thực hiện các phép tính theo thứ tự sau: 
1
đổi toạ độ: Pol(x, y), Rec(r,θ), tính đạo hàm d/dx, tính tích phân, phân phối chuẩn P(, Q(, R(
2.
các hàm kiểu A (kết quả hiện ngay khi ấn phím hàm):
- những hàm x2, x3, x-1, x!, 0,,, 
- kí hiệu kĩ thuật 
- phân phối chuẩn → t
3.
nâng lên luỹ thừa, khai căn: ^ (xy), 
4.
ab/c
5.
các dạng viết gọn của phép nhân với số p, với tên nhớ, với tên biến: 2p, 5A, pA, 7x...
6.
các hàm kiểu B (ấn phím hàm trước rồi ngay sau đó là giá trị của đối số):, , log, ln, ex, 
7.
10x, sin, cos, tan, sin-1, cos-1, tan, (-), arg, Abs, Conjg 
các dạng viết gọn của phép nhân với hàm kiểu B: 
8.
hoán vị, tổ hợp: nPr, nCr, 
9.
Dot (.)
10.
11.
12.
13.
and
xnor, xor, or
Ghi chú.
ã Các dạng tương tự dạng toán sau thực hiện từ phải sang trái: 
ã Các loại máy tính CASIO fx -500, 570MS và VINACAL -500, 570MS cũng đảm bảo các yêu cầu sau về thực hiện các phép tính: Nếu không có các dấu ngoặc thì máy thực hiện thứ tự các phép toán như nêu trên. Nếu có các dấu ngoặc thì máy thực hiện các phép tính trong ngoặc trước; nhiều ngoặc (không quá 36 cặp dấu ngoặc) thì máy thực hiện ngoặc trong trước, ngoặc ngoài sau. Nếu không có ưu tiên thì thực hiện các phép tính từ trái sang phải.
ã Gắn liền với thao tác thực hiện thứ tự phép tính là thao tác đọc màn hình để theo dõi các số, chữ, kí hiệu hiển thị trên màn hình có đúng với đích tác động của phím bấm không. 
3.2.2. Thao tác sửa, xoá biểu thức
 Để việc xoá, sửa đúng với cấu tạo máy ta cần biết:
Màn hình có khả năng hiển thị được một biểu thức có không quá 79 bước, khi ta ấn một phím số hay một phím toán số học (,) thì con trỏ trên màn hình dịch chuyển một bước, ấn phím hay không dịch chuyển được bước nào, nhưng ấn thì được một bước. Đến bước thứ 73 trở đi con trỏ bị thay thế bởi hình ■. Các biểu thức toán có hơn 79 bước cần phân chia thành các biểu thức có số bước nhỏ hơn, khi đó để kết nối kết quả vừa tính được ở một biểu thức thành phần ta ấn phím và máy coi như là một bước trong biểu thức sau.
• Sử dụng các phím để di chuyển con trỏ đển chỗ cần sửa và ấn phím để xoá kí tự số hoặc hàm đó (chỗ con trỏ nhấp nháy) sau đó ấn con trỏ bị thay thế bởi và cho phép chèn thay thế kí tự mới, nếu ta ấn phímthì kí tự trước con trỏ bị xoá, muốn thoát trạng thái chèn ta ấn phím hoặc ấn lại hai phím . 
• Máy lưu được biểu thức và kết quả tính toán trong bộ nhớ 128 byte. ấn phím cho hiện lại màn hình biểu thức và kết quả tính ngay trước nó hoặc
 ấn phím cho hiện lại màn hình biểu thức và kết quả tính ngay sau nó, rồi sử dụng các phím để chỉnh sửa và tính toán lại.
• Máy tính sẽ không nhớ biểu thức và kết quả tính toán nữa khi ta ấn phím ON hoặc đổi MODE hoặc tắt máy.
• Máy tính sẽ không nhớ biểu thức và kết quả tính toán nữa và quay trở lại trạng thái cài đặt ban đầu khi ta ấn . Máy tính xoá tất cả biểu thức và kết quả tính toán và trạng thái cài đặt khi ta ấn nhóm phím .
 3.3. Các thao tác tính toán cơ bản
ấn để thực hiện các phép toán thông thường.
3.3.1. Bốn phép tính cơ bản (có thể có không quá 36 cặp dấu ngoặc)
Ví dụ 1. Tính 4837 + 1092.
ấn KQ: 5929. 
KQ là chữ viết tắt của "kết quả". Để đơn giản hoá việc trình bày cách ấn phím, ta quy ước ghi 4837 thay cho 
Ví dụ 2. Tính 1907 + 2134 - 907.
ấn 1907 2134 - 907 KQ: 3134.
Ví dụ 3. Tính 617 - (182 + 417).
ấn 617 - 182 417 KQ: 18.
Chú ý 1. Nếu không ấn dấu ngoặc (hoặc những dấu ngoặc nối tiếp nhau) ở liền trước dấu bằng thì cũng không ảnh hưởng đến kết quả tính toán. Trong bài toán trên, ta chỉ cần ấn như sau cũng đủ có kết quả đúng:
ấn 617 - 182 417 KQ: 18.
Ví dụ 4. Tính 491. (267 + 53) - (153 + 67).
ấn 491 267 53 - 15367 KQ: 156900.
Chú ý 2. Máy tính cũng hiểu được cách viết thông thường là: ta có thể không viết dấu nhân liền trước (hoặc liền sau) dấu ngoặc. 
Trong bài toán trên, nếu chỉ ghi 491 (267 + 53) - (153 + 67) rồi ấn phím như sau:
 49126753 - 153 67 KQ: 156900.
Ví dụ 5. Tính 39072 : 96 + (630000 - 17660) : 68.
ấn 3907296630000 -1766068 KQ: 9412.
Chú ý 3. Khi nhập số là luỹ thừa nguyên của 10, nên sử dụng phím để giảm bớt số lượt ấn phím.
Đối với bài toán trên, ta có hai cách ấn phím tiết kiệm hơn sau đây:
ấn 3907296 63 4 -1766068 KQ: 9412.
ấn 63 4 - 17660 68 39072 96 KQ: 9412.
Ví dụ 6. Tính 347.{[(216 + 184) : 8]. 92}.
ấn 347 216 184 8 92 KQ: 1596200.
Hai cách ấn phím sau đây là tiết kiệm hơn cách ấn phím ban đầu:
ấn 347216184 892	KQ: 1596200.
ấn 216184 8 92347 	KQ: 1596200.
Ví dụ 7. Tính 
 ấn 5 ab/c 84 ab/c156 - 4 ab/c 2 ab/c107 KQ: 
Chú ý 4. Nếu muốn đổi hỗn số trên (đang có ở dòng kết quả trên màn hình) ra phân số thì chỉ cần ấn tiếp:
 KQ: 
Sau khi có phân số (ở dòng kết quả trên màn hình), nếu muốn đổi lại ra hỗn số thì vẫn ấn hai phím như trên:
 KQ: 
Ví dụ 8. Tính 3,6 : 0,4 - 0,125. (40,6 - 8,6).
ấn 3 6 0 40 125 4068 6 KQ: 5. 
Chú ý 5. Dấu phẩy ngăn cách giữa phần nguyên và phần thập phân của số thập phân được thể hiện trên bàn phím cũng như trên màn hình đều bởi dấu chấm. Để đưa vào máy số thập phân mà phần nguyên chỉ là một chữ số 0, ta có thể bắt đầu đưa từ dấu phẩy rồi đến phần thập phân. Đối với bài toán trên, ta có cách ấn phím tiết kiệm hơn sau:
ấn 364 125 40686	 KQ: 5.
Để đơn giản hoá việc trình bày cách ấn phím, ta quy ước ghi 
 3,6 thay cho 3 6
Với quy ước này thì cách ấn phím ở bài toán trên sẽ được ghi lại như sau:
ấn 3,6 0,4 0,125 40,6 8,6 	KQ: 5.
Ví dụ 9. Tính 
ấn (-) 2 ab/c 3 3 ab/c 52515 KQ: 
Chú ý 6. Không được lẫn lộn phím đổi dấu (-) với phím phép trừ -.
Đối với bài toán trên, máy tính sẽ không cho kết quả mà báo lỗi (Syntax ERROR) nếu ta ấn sai phím như sau:
2 ab/c 3 3 ab/c 525 (-) 15 
Đối với phép tính: hãy xem kết quả ba cách ấn phím sau để tự rút ra kết luận: ...  của hàm số f(x) = sin x - cos x - sin x cos x.
 max f(x) ≈ ; min f(x) ≈ . 
Bài 19. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm M và N của đường tròn x2 + y2 + 10x - 5y = 30 và đường thẳng đi qua hai điểm A(- 4; 3), B(5; -2).
 M( ; ); N( ; )
Bài 20. Tính gần đúng nghiệm của phương trình .
 x1 + k1800; x2 + k1800 
đề số 4
Quy ước: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 5 chữ số thập phân.
Bài 11. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình 4sin 3x + 5cos 3x = 6.
x1 60 4’ 25” + k 120˚; x2 ≈ 19˚ 41’ 59” + k 120˚ 
Bài 12. Tam giác ABC có cạnh AB = 6dm, góc A = 103˚ 31’ 28” và góc C = 350 40’ 26”. Tính gần đúng diện tích tam giác và đường cao AH.
S 19,60970 dm2; AH 3,92066 dm 
Bài 13. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 3x + 5cos 2x trên đoạn [0; π].
max f(x) ≈ 14,42478; min f(x) ≈ - 0,51435 
Bài 14. Tính gần đúng diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD biết rằng đáy ABCD là hình chữ nhật có các cạnh AB = 8dm, AD = 9dm, cạnh bên SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ đỉnh S đến giao điểm của hai đường chéo của đáy là SO = 12dm.
S ≈ 274,16086 dm2 
Bài 15. Tìm giá trị của a và b nếu đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A(1; 3) và là tiếp tuyến của hypebol = 1.
a1 = - 1; b1 = 4; a2 = ; b2 = 
Bài 16. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình
Bài 17. Tính giá trị của a, b, c nếu đường tròn x2 + y2 + ax + by + c = 0 đi qua ba điểm A(- 3; 4), B(7; - 5), C(5; 4).
a = - 2; b =; c = -
Bài 18. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = sin x - cos x - sin x cos x.
max f(x) ≈ 2,53225; min f(x) ≈ - 1,34164 
Bài 19. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm M và N của đường tròn x2 + y2 + 10x - 5y = 30 và đường thẳng đi qua hai điểm A(- 4; 3), B(5; - 2).
M(- 11,34553; 7,08085); N(2,24176; - 0,46764)
Bài 20. Tính gần đúng nghiệm của phương trình .
x1 690 34’ 28” + k 1800; x2 - 690 34’ 28” + k 1800 
đề số 5
Quy ước: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 5 chữ số thập phân.
Bài 21. Tính gần đúng giá trị của biểu thức M = a4 + b4 + c4 nếu a + b + c = 3, ab = - 2, b2 + c2 = 1. 
M1 ; M2 . 
Bài 22. Cho bốn điểm A, B, C, E trên đường tròn tâm O bán kính 1dm sao cho AB là đường kính, OC vuông góc với AB và CE đi qua trung điểm của OB. Gọi D là trung điểm của OA. Tính diện tích tam giác CDE và tính gần đúng góc CDE (độ, phút, giây).
S dm2; .
Bài 23. Đa thức P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e có giá trị bằng 5, 4, 3, 2, - 1 lần lượt tại x = 1, 2, 3, 4, 5. Tính giá trị của a, b, c, d, e và tính gần đúng các nghiệm của đa thức đó.
a = ; b = ; c = ; d = ; e = .
x1 ; x2 .
Bài 24. Tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn và có các cạnh AB = 5 dm, BC = 6 dm, CD = 8 dm, AD = 7 dm. Tính gần đúng bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp và góc lớn nhất (độ, phút, giây) của tứ giác đó.
r dm; R dm; . 
Bài 25. Dãy số an được xác định như sau:
a1 = 1, a2 = 2, an + 2 = an + 1 + an với mọi nN*.
Tính tổng của 10 số hạng đầu của dãy số đó.
S10 = .
Bài 26. Tính gần đúng diện tích của tứ giác ABCD biết rằng AB = 5 dm, BC = 6 dm và = 2 = 3 = 4.
S dm2 
Bài 27. Cho x > 0, y > 0 và x + y = 4. Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x3 + 3)(y3 + 3). 
min A .
Bài 28. Diện tích phần chung của hình tròn tâm A và hình tròn tâm B bằng nửa diện tích hình tròn tâm B. Điểm A nằm trên đường tròn tâm B. Tính gần đúng tỉ số k của diện tích hình tròn tâm A và diện tích hình tròn tâm B.
k . 
Bài 29. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình
 .
Bài 30. Dãy số xn được xác định như sau:
x2 = 2, x3 = 3, x4 = 5, xn + 1 = axn + b với mọi nN*. Tính x20. 
 x20 = .
đề số 6
Quy ước: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 5 chữ số thập phân.
Bài 21. Tính gần đúng giá trị của biểu thức M = a4 + b4 + c4 nếu a + b + c = 3, ab = - 2, b2 + c2 = 1. 
M1 358,04118; M2 75,73055 
Bài 22. Cho bốn điểm A, B, C, E trên đường tròn tâm O bán kính 1dm sao cho AB là đường kính, OC vuông góc với AB và CE đi qua trung điểm của OB. Gọi D là trung điểm của OA. Tính diện tích tam giác CDE và tính gần đúng góc CDE (độ, phút, giây).
S = dm2; 880 12’ 36” 
Bài 23. Đa thức P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e có giá trị bằng 5, 4, 3, 2, - 1 lần lượt tại x = 1, 2, 3, 4, 5. Tính giá trị của a, b, c, d, e và tính gần đúng các nghiệm của đa thức đó.
a = - ; b = ; c = -; d = ; e = 4
x1 - 0,70561; x2 4,78104
Bài 24. Tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn và có các cạnh AB = 5 dm, BC = 6 dm, CD = 8 dm, AD = 7 dm. Tính gần đúng bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp và góc lớn nhất (độ, phút, giây) của tứ giác đó.
r 3,15291dm; R 4,66638 dm; 72024’ 10” 
Bài 25. Dãy số an được xác định như sau:
a1 = 1, a2 = 2, an + 2 = an + 1 + an với mọi nN*.
 	Tính tổng của 10 số hạng đầu của dãy số đó.
S10 = 
Bài 26. Tính gần đúng diện tích của tứ giác ABCD biết rằng AB = 5 dm, BC = 6 dm và = 2 = 3 = 4.
S 25,10056 dm2 
Bài 27. Cho x > 0, y > 0 và x + y = 4. Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x3 + 3)(y3 + 3). 
min A117,86156 
Bài 28. Diện tích phần chung của hình tròn tâm A và hình tròn tâm B bằng nửa diện tích hình tròn tâm B. Điểm A nằm trên đường tròn tâm B. Tính gần đúng tỉ số k của diện tích hình tròn tâm A và diện tích hình tròn tâm B.
k 1,34265 
Bài 29. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình
Bài 30. Dãy số xn được xác định như sau:
x2 = 2, x3 = 3, x4 = 5, xn + 1 = axn + b với mọi nN*. Tính x20. 
 x20 = 262145 
đề số 7
Quy ước: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 5 chữ số thập phân.
Bài 31. Tính gần đúng giá trị của biểu thức M = a4 + b4 nếu a2 + b = 2 và ab = - 2. 
M . 
Bài 32. Cho bốn điểm A, B, C, D trên đường tròn tâm O sao cho AB là đường kính, OC vuông góc với AB và CE đi qua trung điểm của OB. Gọi D là trung điểm của OA. Tính gần đúng góc CDE (độ, phút, giây).
góc CDE . 
Bài 33. Đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d có giá trị bằng 4, 3, 2, 5 lần lượt tại x = 1, 2, 3, 4. Tính giá trị của a, b, c, d.
a = ; b = ; c = ; d = .
Bài 34. Tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn và có các cạnh AB = 5dm, BC = 6dm, CD = 8dm, AD = 7 dm. Tính gần đúng bán kính đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tứ giác đó.
r dm; R dm 
Bài 35. Tính giá trị của a15 nếu dãy số an được xác định như sau:
a1 = 1, a2 = 2, an + 2 = 3an + 1 + 2an với mọi n nguyên dương.
a15 = .
Bài 36. Tứ giác ABCD có các cạnh AB = 3 dm, BC = 4 dm, CD = 6 dm, DA = 7 dm và góc ABC = 900. Tính gần đúng diện tích tứ giác và góc BAD (độ, phút, giây).
S dm2; góc BAD .
Bài 37. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình
 .
Bài 38. Hình tứ diện ABCD có các cạnh BC = 4dm, CD = 5dm, DB = 6dm, DA = 7dm, cạnh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Tính gần đúng diện tích toàn phần của hình tứ diện đó.
S dm2 
Bài 39. Cho x > 0, y > 0 và x + y = 4. Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất của của biểu thức A = (x3 + 3)(y3 + 3).
min A .
Bài 40. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của parabol y2 = 6x và đường tròn x2 + y2 - 12x - 5 = 0. 
A( ; ); B( ; )
đề số 8
Quy ước: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 5 chữ số thập phân.
Bài 31. Tính gần đúng giá trị của biểu thức M = a4 + b4 nếu a2 + b = 2 và ab = - 2. 
M 11,43213 
Bài 32. Cho bốn điểm A, B, C, D trên đường tròn tâm O sao cho AB là đường kính, OC vuông góc với AB và CE đi qua trung điểm của OB. Gọi D là trung điểm của OA. Tính gần đúng góc CDE (độ, phút, giây).
góc CDE 88 12’ 36” 
Bài 33. Đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d có giá trị bằng 4, 3, 2, 5 lần lượt tại x = 1, 2, 3, 4. Tính giá trị của a, b, c, d.
a = ; b = - 4; c = ; d = 1
Bài 34. Tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn và có các cạnh AB = 5dm, BC = 6dm, CD = 8dm, AD = 7dm. Tính gần đúng bán kính đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tứ giác đó.
r 3,15291dm; R 4,66638dm 
Bài 35. Tính giá trị của a15 nếu dãy số an được xác định như sau:
a1 = 1, a2 = 2, an + 2 = 3an + 1 + 2an với mọi n nguyên dương.
a15 = 32826932
Bài 36. Tứ giác ABCD có các cạnh AB = 3dm, BC = 4dm, CD = 6dm, DA = 7dm và góc ABC = 900. Tính gần đúng diện tích tứ giác và góc BAD (độ, phút, giây).
S 20,69694dm2; góc BAD 110015’ 6” 
Bài 37. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình
Bài 38. Hình tứ diện ABCD có các cạnh BC = 4dm, CD = 5dm, DB = 6dm, DA = 7dm, cạnh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Tính gần đúng diện tích toàn phần của hình tứ diện đó.
S 41,35408dm2 
Bài 39. Cho x > 0, y > 0 và x + y = 4. Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất của của biểu thức A = (x3 + 3)(y3 + 3).
min A 117,86156
Bài 40. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của parabol y2 = 6x và đường tròn x2 + y2 - 12x - 5 = 0. 
A(6,74166; 6,36003); B(6,74166; - 6,36003)
đề số 9
Quy ước: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 5 chữ số thập phân.
Bài 41. Tính gần đúng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số 
y = . 
yCĐ ; yCT .
Bài 42. Tính gần đúng giá trị của a và b nếu đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M(- 5; 7) và là tiếp tuyến của parabol y2 = 16x. 
 . 
Bài 43. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 5sin 3x + cos 2x.
max f(x) ; min f(x) .
Bài 44. Tính gần đúng thể tích của khối tứ diện ABCD biết rằng BC = 6 dm, BD = 10 dm, AB = AC = AD = CD = 7 dm. 
V dm3
Bài 45. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình
8cos 3x - 7sin 3x = 9.
x1 + k 1200; x2 + k 1200 
Bài 46. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của đường thẳng 4x - 3y = 5 và elíp = 1.
A( ; ); B( ; )
Bài 47. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình
 .
Bài 48. Tính diện tích tứ giác có các đỉnh là A(- 3; 2), B(1; 3), C(5; - 6), D(- 2; - 3). 
S = .
Bài 49. Tìm giá trị của a, b, c, d nếu đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đi qua các điểm A (3; 7), B(15; - 3), C(- 2; 14), D(12; 5).
a = ; b = ; c = ; d = .
Bài 50. Tính gần đúng khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = 3x3 + 5x2 - 2x + 1.
AB .
đề số 10
Quy ước: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 5 chữ số thập phân.
Bài 41. Tính gần đúng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số 
y = .
yCĐ - 0,66352; yCT 34,66352 
Bài 42. Tính gần đúng giá trị của a và b nếu đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M(- 5; 7) và là tiếp tuyến của parabol y2 = 16x. 
Bài 43. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 5sin 3x + cos 2x.
max f(x) 5,95866; min f(x) - 6,73205
Bài 44. Tính gần đúng thể tích của khối tứ diện ABCD biết rằng BC = 6 dm, BD = 10 dm, AB = AC = AD = CD = 7 dm. 
V 33,15777 dm3
Bài 45. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình 
8cos 3x - 7sin 3x = 9.
x1 -30 0’ 42” + k 1200; x2 - 240 26’ 44” + k 1200 
Bài 46. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của đường thẳng 4x - 3y = 5 và elíp = 1. A(3,03729; 2,38305); B(- 0,95829; - 2,94439)
Bài 47. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình
Bài 48. Tính diện tích tứ giác có các đỉnh là A(- 3; 2), B(1; 3), C(5; - 6), D(- 2; - 3). 
S = 36 
Bài 49. Tìm giá trị của a, b, c, d nếu đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đi qua các điểm A (3; 7), B(15; - 3), C(- 2; 14), D(12; 5).
a = - ; b = ; c = - ; d = 
Bài 50. Tính gần đúng khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = 3x3 + 5x2 - 2x + 1.
AB 4,86485