CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ – ĐẠO HÀM
I. MIỀN (TẬP) XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ: D = {x∈R | y = f(x)∈R}
T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ Trích từ CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ – ĐẠO HÀM I. MIỀN (TẬP) XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ: D = {x∈R | y = f(x)∈R} Hàm số Tập xác định Hàm số Tập xác định Hàm số Tập xác định ( )xAy = ( ) 0xA ≥ tgxy = π+π≠ k 2 x ( ) ( )xBlogy xA= ( )( )⎩⎨ ⎧ ≠< > 1xA0 0xB ( ) ( )xB xAy = ( ) 0xB ≠ gxcoty = π≠ kx ⎢⎣ ⎡= x x e a y )0a(x >∀ ( )n2 xAy = ( )( )+∈ ≥Zn 0xA ⎢⎣ ⎡= xarccos xarcsin y 1x1 ≤≤− ⎢⎣ ⎡= xln xlog y 0x >∀ ( )1n2 xAy += ( )+∈∈∀ Zn Dx ( )[ ] ( )xBxAy = ( ) 0xA > ( ) (( ) ( )⎢⎣ ⎡ ±= xgxf xgxf y D ) gf DDD ∩= II. MIỀN (TẬP) GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ: f(D) = {y∈R | y = f(x), ∀x∈D} 1. Sự tồn tại nghiệm của phương trình f(x)-y = 0, ∀ x∈D Hàm f(x) f(D): MGT Hàm f(x) f(D): MGT ( ) ( ) bxf axf ≥ ≤ ( ) ( ] ( ) [ )+∞= ∞−= ,bDf a,Df ( ) ( ) bxfa bxfa << ≤≤ ( ) [ ] ( ) ( )b,aDf b,aDf = = 2. Đánh giá biểu thức bằng các BĐT: ( )[ ] ( ) ( )( )2222 2 dcbabdac :skyBunhiacôp .ab2 b a :Côsi BĐT * định. xác xA làm xa, aaxA * ++≤+≥+ ∀∀≥+ III. HÀM HỢP gof [ ]( ) ( )[ ] ( ){ } ( ) ( ){ }⎢⎣ ⎡ ⊂∧≠ ∈∧∈= ≠=∈∀ ∃⇒φ= gfff gfgf fg ooofg fgoff fffo DT0T,D DT;DxfDx|x D * fggf và xfgxfg:Dx * ZD:fgDT * ZD:gvàTD:f hàm haicủa hợp hàmlà fg o o o ∩ 6∩ 66 IV. HÀM CHẴN – LẺ y=f(x) ĐỐI XỨNG QUA O: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dx lẽ khôngchẵn khôngHàm :xfxf lẽ f :Dx xfx-f chẵnf:Dx xfxf ∈∀±≠−⇒⎥⎦ ⎤ ∈∀−= ∈∀=− V. GIỚI HẠN HÀM SỐ: 1. Phương pháp 1: Khử dạng vô định 0 0 Cơ sở của phương pháp là làm xuất hiện dạng trong biểu thức hàm các thừa số (x - x0), để rồi giản ước chính các thừa số đó của tử số và mẫu số trong ( ) ( )xg xflim 0xx→ với các chú ý: • Nếu tử và mẫu là các đa thức, sử dụng phép chia đa thức tử và mẫu cho (x - x0). Riêng ở đây ta dùng thủ thuật chia Hormer. • Nếu chỉ ở tử hoặc mẫu có chứa căn thức, ta nhân cho tử và mẫu một lượng liên hợp của căn thức đó. llh llh 3 23 3 3 3A B A B A B A AB B+ ←⎯→ − ± ←⎯→ ± + Nếu tử và mẫu đều có chứa căn thức, ta sẽ nhân vào tử và mẫu cùng hai lượng liên hợp giao hoán tương ứng. • Không loại trừ các khả năng sử dụng nhanh các hằng đẳng thức: - 1 T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ Trích từ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 4 4 2 2 n n n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1 a b a b a b a b a b a ab b a b a b a b a b a b a b a a b a b ... ab b− − − − − − = − + ± = ± ± + − = + − + − = − + + + + + • Để ý rằng việc biến đổi sơ cấp có thể làm dạng vô định này trở thành dạng vô định khác. Chẳng hạn: ( ) ( ) đó) tự thứ theo 0 (dạng xgxflim 0x ∞×→ 2. Phương pháp 2: Khử dạng vô định ∞ ∞ • PP1: Đặt số mũ lớn nhất của các đa thức thành phần ở tử và mẫu làm nhân tử chung để khử vô định. • PP - 2 2: Dùng các định lý giới hạn tương đương: ( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ =ε>ε++++ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ >−++⇒−∞→ >++⇒+∞→ ⇒∞→ ∞→ 0x lim và 0a với;x a2 bxa~cbxax /3 )0a(;ax~cbxaxx )0a(;ax~cbxaxx 2/ xa~xPx 1/ x 2 2 2 n nn 3. Phương pháp 3: Khử dạng vô định ∞−∞ Cơ sở của phương pháp tìm giới hạn này là: 1/ Sử dụng lượng liên hợp. 2/ Sử dụng biểu thức tiệm cận: ( )x a2 bxa~cbxax2 ε++++ trong đó: a > 0 và ( ) 0xlim x =ε ∞→ 3/ Sử dụng các hằng đẳng thức. 4/ Không dùng hàm số tương đương cho dạng tổng. 4. Phương pháp 4: Giới hạn của hàm lượng giác • TH1: Khi (x tính bằng radian) 0x → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x 0 u x 0 22 2u x 0 sin u x tgu x lim 1 hay sinu x ~ u x lim 1 hay tgu x ~ u x u x u x 1 cos u x 1 1lim hay 1-cos u x ~ u x 2 2u x → → → = = − ⎡ ⎤= ⎣ ⎦⎡ ⎤⎣ ⎦ Không loại trừ nhân các lượng liên hợp lượng giác. ( ) ( ) ( ) ( )llh llh1 sin u 1 sin u 1 cos u 1 cos u+ ←⎯→ − + ←⎯→ − • TH2: Khi hàm lượng giác có dạng vô định (x tính bằng rađian) 0xx → * Đặt: ⎩⎨ ⎧ →⇒→ +=⇔−= 0txx txx xxt 0 0 0 * Khi: 0't,xx'txx 00 →−=⇒→ Ghi chú: không sử dụng hàm tương đương cho tổng số. 5. Hàm kẹp: ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =⇒== ∈∀≤≤ →→→ LxglimLxhlimxflim x|Vx,xhxgxf 0 00 0 xx xxxx 0x 6. Hàm chứa giá trị tuyệt đối: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 x x x x x x x x lim f x L lim f x L lim f x 0 lim f x 0 → → → → ⎧ = ⇒ =⎪⎨ = ⇒ =⎪⎩ 7. Hàm liên tục: * ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =Δ= ∈∀∈ →Δ→ 0lim hayxfxflim Dx,Rxf y0x0xx 00 0 0 T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ Trích từ * Liên tục tại x0: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )⎢⎢⎣ ⎡ = = ⇒== − + −+ → → →→ trái tục liên :xfxflim phảitụcliên:xfxflim xfxflimxflim 0 xx 0 xx 0 xxxx 0 0 00 8. Công thức giới hạn: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin x lim 1 x 0 x tgx lim 1 x 0 x lim U x 0 x 0 sin U x lim 1 x 0 U x tgU x lim 1 x 0 U x 1 cos x 1 lim 2x 0 2x =→ =→ =→ =→ =→ − =→ xlim a x xlim a 0 x xlim e x a 1xlim e 0 x xe lim x x xlim x.e 0 x xlim a 0 x 0 a 1xlim a x = +∞→+∞ +=→−∞ = +∞→+∞ >+=→−∞ = +∞→+∞ =→−∞ +=→+∞ < < = +∞→−∞ ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫⎪⎬⎪⎭ lim log xax lim log xax 0 lim ln x x a 1lim ln x x 0 ln x lim 0 x x lim x. ln x 0 x 0 lim log xax 0 a 1 lim log xax 0 = +∞→+∞ = −∞+→ = +∞→+∞ >= −∞+→ +=→+∞ −=+→ = −∞→+∞ < <= +∞−→ ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫⎪⎬⎪⎭ * Quy tắc Lopitan: ( ) ( ) ( ) ( )x'g x'flim xg xflim 00 xxxx →→ = VI. ĐẠO HÀM: ( ) ( ) ( ) x xfxxflim x ylimx'f 00 xxxx0 00 Δ −Δ+=Δ Δ= →Δ→Δ hay: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −= − −= ⇒− −= − + → − → + → 0 0 xx 0 0 xx 0 0 xx0 xx xfxflimx'f trái ĐH xx xfxflimx'f phảiĐH xx xfxflimx'f 0 0 0 0 0 ⇒ f có đạo hàm tại x0 ⇔ ( ) ( )−+ = 00 x'fx'f . Nếu ( ) ( )−+ ≠ 00 x'fx'f thì f không có đạo hàm tại x0. 1. Chứng minh hàm số liên tục: Cơ sở của phương pháp để chứng minh một hàm f liên tục tại x0, cần làm 3 bước: B1: Kiểm tra ; tìm số trị f(xf0 Dx ∈ 0) (1) B2: Tìm ( ) Rbxflim 0xx ∈= → (2) B3: So sánh (1) và (2); nếu ( ) ( ) bxfxflim 0xx 0 ==→ , hàm f liên tục tại x = x0. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00xxxx00 xx 00 xx x tại tục liên f thì xfxflimxflim x phải bêntục liên f thì ,xfxflim x trái bêntục liên f thì ,xfxflim 00 0 0 ==⇒ ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ = = −+ − + →→ → → Ghi chú 1: Không loại trừ sử dụng ba phương pháp sau đây để chứng minh hàm liên tục tại x0: (1) PP2: f là hàm sơ cấp xác định tại x0 ⇒ f liên tục tại x0. (2) PP3: 0ylim 0x =Δ→Δ ⇒ f liên tục tại x0. (3) PP4: f khả đạo hàm tại x0 ⇒ f liên tục tại x0. Ghi chú 2: Ngoài ra, khi chứng minh hàm f liên tục trên một tập thì sử dụng các định nghĩa: ĐN1: f liên tục trong ( ) ( )b;axmọitại tục liên fb,a 0 ∈⇔ ĐN2: f liên tục trên [ ] ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⇔ btại trái tục liên f a tại phảitục liên f ba; trong tục liên f b;a 2. Tìm đạo hàm tại một điểm: - 3 T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ Trích từ B1: Tính ( ) ( ) R bnếu và b xx xfxflim x ylim 0 0 xx0x 0 ∈=− −=Δ Δ →→Δ B2: Tồn tại f’(x0)=b. Khi chỉ tồn tại một trong hai giới hạn: * ( ) ( ) ( )+ → =− − + 0 0 0 xx x'f xx xfxflim 0 : đạo hàm bên phải điểm x0. * ( ) ( ) ( − → =− − − 0 0 0 xx x'f xx xfxflim 0 ): đạo hàm bên trái điểm x0. Ghi chú: Nếu x0 là điểm thông thường của tập xác định, ta có thể dùng công thức tìm y’=f’(x) rồi thay vào ta có f’(x0). 3. Tính đạo hàm bằng định nghĩa: ( ) Dx;Rx'f x ylim 0x ∈∀∈=Δ Δ →Δ ta làm ba bước cơ bản: B1: Gọi Δx là số gia của biến số tại x tùy ý trong D, Δy là số gia của hàm số tương ứng. Ta tính Δy từ: y + Δy = f(x + Δx). B2: Lập tỷ số x y Δ Δ B3: Tính ( ) Rxg x ylim 0x ∈=Δ Δ →Δ ; thì kết luận: f’(x) = g(x). Đạo hàm Vi phân 1) Hàm cơ bản: ( ) ( ) ( ) 22 v 'v v 1 v 'v.uv'.u v u 'v.uv'.u'v.u 'v'u'vu số) hằng:(c 'u.c'u.c −= ′ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇒−= ′ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += ±=± = 2) Hàm hợp: Cho u = u(x); y = f(u) đều khả đạo hàm thì hàm hợp y = (fou)(x) = f[u(x)] cũng khả đạo hàm và y’ = u’(x).f’[u(x)] hay y0 = y’u.u’x. 3) Hàm ngược: Cho: . Khả đạo hàm theo x và có hàm ngược: . ( ) ( )⎩⎨ ⎧ =→ → xfyx DfD:f ( ) ( )⎩⎨ ⎧ =→ → − − yfxy DDf:f 1 1 Ta có: x y y x 'y 1'x 'x 1'y =⇔= 1) Định nghĩa: ( ) ( ) ( )xd.x'fdyxfy =⇒= 2) Quy tắc vi phân: ( ) ( ) 2v dv.udu.v v ud dv.udu.vv.ud dvduvud −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += ±=± 3) Hàm hợp: [ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )xux xxxxo 'u.'y'y uf.'u'yufufy =⇒ =⇒== 4) Hàm logarit: ( )[ ] ( ) ( )( )0xu;xuy xv >= ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +==⇒ u 'uvuln'v'u'ulnvy'y 4. Bảng tính đạo hàm: Hàm số f(x) Đạo hàm f’(x) Hàm số f(x) Đạo hàm f’(x) ( )nn u;x ( )'u.u.n;x.n 1n1n −− sinx cosx C 0 cosx -sinx x 1 tgx xtg1 xcos 1 2 2 += ( )u;x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ u2 'u;x2 1 ex ex x 1 2x 1− ax axlna - 4 T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ Trích từ lnx x 1 cotgx ( )xgcot1 xsin 1 2 2 +−=− logax alnx 1 5. Đạo hàm cấp cao: Khi cần tính đạo hàm cấp (n): y(n) = f(n)(x), người ta sử dụng phương pháp tính quy nạp bằng ba bước cơ bản như sau: • Tính y’, y”, y’”... để dự đoán công thức của: y(n) = f(n)(x) (1) • Giả sử (1) đúng 1k ≥∀ , tức là ta có: y(k) = f(k)(x) (2) • Lấy đạo hàm hai vế biểu thức (2) để chứng minh: y(k+1) = f(k+1)(x); đúng 1k ≥∀ Kết luận: Công thức (1) là đạo hàm cấp (n) cần tìm. 6. Ứng dụng của đạo hàm: • Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại một điểm f’(x0) nếu tồn tại hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) tại điểm đó: ϕ M(x ,y )0 0 (h.1) t x (C): y = f(x)( 0x' )ftgk =ϕ= (là ý nghĩa hình học của đạo hàm) • Nếu một hàm f có đạo hàm tại x0 thì hàm f liên tục tại điểm x0. • Nhưng một hàm f liên tục tại x0 thì chưa chắc có đạo hàm tại điểm x0. • Một hàm f không liên tục tại x0 thì không có đạo hàm tại điểm x0. • Giả sử hàm f : y = f(x) có đạo hàm y’=f’(x) trên D, ta có: ) f là hàm hằng trên D ( ) )1(Dx;0x'f ∈∀=⇔ ) f đồng biến trên D ( ) )2(Dx;0x'f ∈∀≥⇔ ) f nghịch biến trên D ( ) )3(Dx;0x'f ∈∀≤⇔ Để ý trong (2) và (3), đạo hàm thể hiện một hàm số đơn điệu nghiêm cách (đồng biến hay nghịch biến) trong D có thể bằng không tại những giá trị rời rạc của biến số (xem h.2) nhưng không thể triệt tiêu trong một khoảng tùy ý của (xem h.3). ( ) D; ⊂βα y x x0,1 f'(x )=00,1 f'(x )=00,2 x0,2 ba B (h.2) A 0 C D y - 5 x B x0 a b f(b) 0 (C) : y = f(x) y x x0 a b B (h.6) Af(a) f(b) 0 (C) : y = f(x) x B α f'(x )=0 x0 ( ; ) 0,1 ∀ ∈ α β x0 βa b (h.3) A 0 C D • Nếu hàm f liên tục trên [a;b] và f(a).f ... là số điểm mà (Cm) đi qua. Chú ý: Nếu (1), (2), (3) vô nghiệm thì không có (Cm) nào qua M(x0, y0). IV. ĐƯỜNG CONG (Cm) TIẾP XÚC NHAU TẠI 1 ĐIỂM CỐ ĐỊNH: • Tìm điểm cố định M(x0,y0) của đường cong (Cm). • CM f’(x0) = hằng số ∀m ⇒ tiếp tuyến của (Cm) tại M cố định. Chú ý: 1. Tìm M cố định nếu hệ A = B = 0 có nghiệm kép x0 ⇒ (Cm). 2. CM đồ thị y = f(x,m) tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định. V. CHỨNG MINH (Cm) TIẾP XÚC VỚI 1, 2 ĐƯỜNG THẲNG CỐ ĐỊNH: Cho (Cm): y = f(x,m) và (d): y= g(x) = ax + b là đường thẳng cố định. • Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (d) là: f(x,m) = g(x) (*) • Điều kiện để (*) có nghiệm kép ∀m ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩⎨ ⎧ == = =+∀=Δ ⇔ kx'gm,x'f xgm.xf 0BAmdạngm,0 VI. CHỨNG MINH (Cm) TIẾP XÚC VỚI 1 ĐƯỜNG CONG CỐ ĐỊNH: 1. Cách 1: Phân tích ( ) ( ) ( ) ⇒+±= 2baxxgm,xf Phương trình hoành độ giao điểm. f(x,m)=g(x) có nghiệm kép ⇒ y = g(x) là đường cong cố định phải tìm. 2. Cách 2: ( ) ( )( ) ( )xg m Khửm theo hàmđạo0m,x'f m,xfy m ⇒⇒ ⎩⎨ ⎧ = = VII. CM 2 ĐỒ THỊ y = f(x) VÀ g(x) TIẾP XÚC NHAU TẠI 2 ĐIỂM CỐ ĐỊNH: • Phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) có bậc ≥ 4 và có 2 nghiệm kép x1 và x2 khác nhau. • Trường hợp bậc 4. BB1: Viết phương trình hoành độ giao điểm dưới dạng: f(x) - g(x) = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 212221 x,xxxxxaxgxf ⇒−−=−⇔ BB2: Hoặc đưa f(x) - g(x) = 0 về dạng: ( ) ( ) 0cbxaxxx 220 =++− Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép ≠ x0. - 32 T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ Trích từ VIII. CHỨNG MINH HỌ ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC MỘT PARABOL CỐ ĐỊNH: 1. Cách 1: Cho họ đường cong (Dm): y = f(x,m) • Gọi (P): y = g(x) = ax2 + bx + c là Parabol cố định cần tìm. • Phương trình hoành độ giao điểm của (Dm) và (P): f(x,m) = g(x) (*). • (Dm) tiếp xúc (P) ⇔ có nghiệm kép, ∀m ⇔ Δ = 0; ∀m (1). ⇔ Am2 + Bm + C = 0 ⇔ A = B = C = 0; ∀m. 2. Cách 2: Biến đổi hàm y = f(x,m) về dạng: f(x,m) = g(x) + (αx + m)2 với g(x) = ax2 + bx + c (P). Phương trình hoành độ giao điểm (Dm) và (P) là f(x,m) = g(x) ⇔ ((αx + m)2 = 0 ⇒ PT này có nghiệm kép nên (Dm) TX (P). 3. Cách 3: Xét hệ phương trình ( ) ( ) ( ) cbxaxy:P m Khử m,x'f m.xfy 2 m ++=⇒⇒ ⎩⎨ ⎧ = IX. ỨNG DỤNG CỦA ĐIỂM CỐ ĐỊNH HỌ ĐƯỜNG CONG: • Phụ trợ cho việc tìm nghiệm của phương trình bậc cao phần được đơn giản hơn: Bài toán điểm cố định của họ đường cong (Cm) nằm trên Ox. • Dựng đường thẳng chứa tham số trong mặt phẳng tọa độ: Bài toán biện luận quay - bằng đồ thị số nghiệm một phương trình. • Tìm tiếp tuyến cố định của họ đường cong (Cm): Bài toán tiếp tuyến cố định của (Cm) tại điểm cố định. • Điểm cố định của các đường cong trong Hình học giải tích: Bài toán cực trị và quỹ tích. • Khi có vô số điểm cố định của họ đường cong (Cm) sắp xếp, đệm đầy trên một đường cong (T) cố định, ta có: Bài toán bao hình của họ đường cong. X. BAO HÌNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG: • Định nghĩa: Bao hình của họ đường cong (Cm); ∀m ∈ Dm, là đường (Γ), mà tại mỗi điểm trên (Γ) thì chính (Γ) lại tiếp xúc với ít nhất một đường (C0) của họ đường cong (Cm). • Muốn tìm bao hình bằng phương pháp (PP1) của họ (Cm); ∀m ∈ Dm, ta thực hiện ba bước: BB1: Gọi (x0,y0) là những điểm mà (Cm) qua: y0 = fm(x0) ⇔ F(m) = 0; ∀x0 ∈ Df (1) BB2: Áp đặt (1) có nghiệm kép hay nghiệm bội y0 = g(x0); ∀x0 ∈ Df. BB3: Kết luận ( ) ( ) ( )⎩⎨ ⎧ ∈ =Γ f0 m Dx C họcủa hình baolà xgy : Ghi chú: • Để áp đặt F(m) = 0; ∀x0 ∈ Df; có nghiệm kép ta còn dùng đạo hàm (điều kiện tiếp xúc) như sau: ( ) ( )( )⎩⎨ ⎧ = ∈∀= 0m'F Dx0;mF :1PP f0 • Khi biết được dạng (Γ) (hay dự đoán được) ta còn hai phương pháp để tìm bao hình nữa là: ) (PP3) Dạng (Γ) : y = g(x) (ta chỉ biết dạng của nó là hàm bậc nhất, bậc hai, bậc ba, bậc bốn, nhất biến hữu tỷ...) ) Áp đặt phương trình hoành độ giao điểm: fm(x) = g(x) có nghiệm kép; ∀m ∈ Dm, để suy ra phương trình chính xác của (Γ) : y = g(x). Gọi là phương pháp kinh điển. ) (PP4) Biết dạng (Γ) : y = g(x). Phân tích: fm(x) = [Gm(x)]2 + g(x). Lúc đó: fm(x) = g(x) ⇔ [Gm(x)]2 = 0 (có nghiệm kép) Nên: (Γ) : y = g(x) là bao hình cần tìm. Gọi là phương pháp phân tích đoán nhận. CHỦ ĐỀÀ 11: ĐỒ THỊ CÓ TÂM HOẶC TRỤC ĐỐI XỨNG I. TÂM ĐỐI XỨNG: Định nghĩa: Điểm I(x0;y0) gọi là tâm đối xứng của đồ thị (C) nếu: ( ) ( ) ( ) ( )⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩⎨ ⎧ = =⇔ ∈∀=++− 0xf 0xf" chung nghiệm có chẵn bậc hàmĐạo )1(Dx,y2xxfxxf 0 4 0 000 1. Chứng minh I(x0;y0) là tâm đối xứng: - 33 T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ Trích từ • Đổi trục bằng tịnh tiến theo vectơ ( ) ( ) (XfY2 yYy xXx y;xOI 0 0 00 =⇒⎩⎨ ⎧ += +== ) • Chứng minh f(X) là hàm số lẻ. 2. Chú ý: • Chứng minh 1 điểm I(x0;y0) cho trước làm tâm đối xứng dùng (2). • Tìm tâm đối xứng chưa biết dùng (1). II. TRỤC ĐỐI XỨNG: Định nghĩa: Đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của (C) khi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x x f x x 10 0 f' x 00Đạo hàm f x 00 − = + = ′′′ = ⎡⎢⎢ ⎧⎪⎢ ⎨⎢ ⎪⎩⎣ 1. Chứng minh x = x0 là trục đối xứng: • Đổi trục bằng tịnh tiến ( ) ( ) (XfY2 Yy xXx 0;xOI 00 =⇒⎩⎨ ⎧ = +== ) • f(X) là hàm chẵn. 2. Chứng minh (d) có trục đối xứng x = 0 // Oy: • Gọi I(x0,0) ∈ x = x0, ( )XfOI ⇒ : hàm chẵn, hệ số bậc lẻ bằng 0. • (d): y = ax + b làm trục đối xứng của (C): y = f(x). Chọn (Δ) ⊥ (d). Tìm (Δ) ∩ (C). I là trung điểm AB ⇒ I ∈ (d). III. MỘT SỐ TÍNH CHẤT THƯỜNG GẶP: Phương pháp dời trục tịnh tiến: ( )[ ] IXY OI:TT Oxy:OITT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f X f X ; d : x x : trục đối xứngx X x I x ; y 1 1 00 0 0 y Y y f X f X ; I x ; y : tâm đối xứngY f X0 2 2 0 0 − = == + ⇒ ⇒ = + − = −= ⎡⎧⎧⎪ ⎪ ⎢⎨ ⎨⎪ ⎢⎪⎩ ⎩ ⎣ Chú ý: 1. Hàm bậc 2: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− 0; a2 bI . Trục đối xứng: a2 bx −= qua đỉnh ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Δ− a4 ; a2 bS 2. Hàm bậc 3: Tâm đối xứng là điểm uốn ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−− a3 bf; a3 bI 3. Hàm bậc 4: Hàm chẵn .0I ≡⇒ 4. Hàm nhất biến: Tâm đối xứng ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− c a; c dI giao điểm của TCĐ và TCN. 5. Hàm hữu tỷ 1 2 : ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −− 2'a 'ab2b'a; a bI giao điểm của TCĐ và TCX. CHỦ ĐỀÀ 12: KHOẢNG CÁCH I. KHOẢNG CÁCH: 1. Khoảng cách giữa 2 điểm A(xA,yA) và B(xB,yB) là B )( ) ( 2AB2AB yyxxAB −+−= 2. Khoảng cách từ M(x0;y0) đến (Δ): Ax + By + C = 0 là: [ ] 22 00 ,M BA CByAx d + ++=Δ 3. Trường hợp đồ thị có ΔABC: ( ) ( )AC,ABdet 2 1AC,ABsin.AC.AB 2 1dt ABC ==Δ Chú ý: - 34 T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ Trích từ 1. Tích khoảng cách từ 1 điểm di động trên đồ thị đến 2 đường tiệm cận không đổi. Tìm TCĐ (Δ1), TCX (Δ2). M(x0,y0) ∈ (C). Tính d1[M, (Δ1)] và d2[M, (Δ2)] ⇒ d1d2 = hằng số. 2. Tổng các khoảng cách từ 1 điểm trên đồ thị đến 2 đường tiệm cận hoặc đến 2 trục tọa độ ngắn nhất dùng BĐT Côsi. 3. Khoảng cách 2 điểm trên đồ thị ngắn nhất dùng BĐT Côsi. II. TÌM ĐIỂM NGUYÊN TRÊN (Cm): y = f(x): B1: Gọi (x0;y0) là điểm mà (C) đi qua ⇔ y0 = f(x0) (1) B2: Quan sát (1) để có các phân tích theo các loại hàm như sau: • Đối với hàm phân thức: ( ) ( )11dcx baxxfy ++== ;hay: ( ) ( 12dcx CBxAxxfy 2 + ++== ); ta sử dụng phép chia Horner để đưa (1) về dạng: dcx xy : hoặc; dcx y 0 0 0 0 0 + γ+β+α=+ γ+α= Áp đặt: Zy c d\Zx 00 ∈⇒⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧−∈ ; thì phải có: ( ) ( )( )γγγ=+∧⎢⎣ ⎡ ∈β+α ∈α của số ướclà US với ;USdcx Zx Z 0 0 • Đối với hàm đa thức là giả phân thức (mẫu số là hằng): ( )1n2n021n01n000 a...xaxaxa1y +−− ++++α= Áp đặt: ( ) ZyZx;a...xaxaxa 001n2n021n01n00 ∈⇒∈∀α++++ +−− # B3: Tìm (x0;y0) để kết luận số điểm nguyên của (C). CHỦ ĐỀÀ 13: ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ (Cm) CẮT Ox LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG. TẬP HỢP I. y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (Cm): ( ) (*0yOxCm =⇔∩ ) (*) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng. ( ) ( ) x x 2x1 3 2 Nếu (*) có 3 nghiệm m ? nhận x mb 2 Nếu (*) có 1 nghiệm m ? loạix x x1 2 3 a y' 0 y ,yCĐ CT hoặc f x f x 01 2 y " 0 b f 0 3a + = ⇒ =⇒ ⇒ ⇒ ⇒ =+ + = − Δ = ∃ < = − = ⎡⎧ ⎡⎪⎢⎨ ⎢⎢ ⎣⎪⎢⎩⎢ ⎧⎢ ⎪⎢ ⎪⎧⎢ ⎪⎨ ⎨⎢⎩ ⎪⎢ ⎛ ⎞⎪⎢ ⎜ ⎟⎪⎢ ⎝ ⎠⎩⎣ II. y = f(x) = ax4 + bx2 + c (Cm): ( ) (*0yOxCm =⇔∩ ) . Đặt t = x2 ≥ 0 thì: ( ) t 9t0 1 2 P 0 b2t x hệ t t m1 2S 0 a ct 9t1 2 t t1 2 a =Δ > > − ⇒ + = − ⇒> = = ⎧⎪⎧ ⎪⎪⎪ ⎪⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎪⎩ III. TÂPHỢP: Tìm tập hợp các điểm M di động (đỉnh Parabol, tâm đối xứng, điểm cực trị, trung điểm dây cung...) 1. QUỸ TÍCH MỘT ĐIỂM LƯU ĐỘNG TRONG KHẢO SÁT HÀM SỐ: - 35 T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ Trích từ BB1: Xác định tọa độ ( ) ( ) ( ) Rm;1mgy mgx M 2M 1M ∈∀ ⎩⎨ ⎧ = = BB2: Khử tham số m trong (1) bằng phép thế, phép so sánh, phép cộng các phương trình thành phần để rút ra một phương trình hệ quả của (1) là: F(xM;yM); ∀m ∈ Dm. BB3: Giới hạn khoảng chạy của xM hay yM dựa vào Dm, lúc đó ta đã giới hạn cho quỹ tích. BB4: Kết luận quỹ tích là: • Cả đường cong (Γ): F(x;y) = 0 (nếu không có giới hạn của các khoảng chạy). • Một phần đường cong (Γ): F(x;y) = 0 (nếu đã bỏ đi các khoảng mà xM hay yM không chạy trên đó, do bước giới hạn quỹ tích mà có). Ghi chú: • Các dạng quỹ tích thường gặp Dạng 1: Quỹ tích trung điểm một dây cung lưu động trên (C): y = f(x). Dạng 2: Quỹ tích điểm uốn - điểm cực trị của (C): y = f(x). Dạng 3: Quỹ tích tâm đối xứng của (C): y = f(x). Dạng 4: Quỹ tích điểm liên hợp điều hòa với các điểm tương giao trên (C): y = f(x). Dạng 5: Các loại quỹ tích khác. • Đôi khi người ta còn tìm quỹ tích bằng định nghĩa như sau qua ba bước cơ bản: BB1: Lấy M(x0;y0) có tính chất p(1) ⇒ F(x0;y0) = 0. BB2: Giới hạn khoảng chạy nếu có. BB3: Kết luận quỹ tích là toàn bộ đường (Γ): F(x0;y0) hoặc một phần (Γ) nếu như có giới hạn. 2. ĐỊNH m ĐỂ M TỒN TẠI: (x,y được xác định) ⇒ Giới hạn quỹ tích. Chú ý: 1. Nếu x c (không đổi) Quỹ tích M là đường x c // Oy. M y g(m) Giới hạn quỹ tích (nếu có). = =⇒ = ⎧ ⎧⎨ ⎨⎩ ⎩ 2. Nếu x f(m) Quỹ tích M là đường y c // Ox. M y c (không đổi) Giới hạn quỹ tích (nếu có). = =⇒ = ⎧ ⎧⎨ ⎨⎩ ⎩ 3. QUỸ TÍCH TRUNG ĐIỂM DÂY CUNG: Nếu (d) cắt (C) tại 2 điểm A, B. Tọa độ trung điểm I của AB. x x bBAxI Khử m giữa x và y Quỹ tích I (giới hạn nếu có).2 2a y PT của (d) += = − ⇒ ⇒ = ⎧⎪⎨⎪⎩ 4. QUỸ TÍCH CỰC TRỊ HÀM HỮU TỶ: ( ) ( ) Tiệm cận đứng x ? u' x Khử tham số Quỹ tích0Tiệm cận xiên y v ' x0 = ⇒ ⇒= ⎫⎪⎬⎪⎭ - 36
Tài liệu đính kèm: