Tài liệu dùng cho ôn thi Đại học môn Toán

Chuyên đề 2: Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Và hệ bất phương trình đại số
Đ1. Hệ phương trình phương trình đại số
Một số dạng hệ phương trình thường gặp
Hệ phương trình bậc nhất: Cách tính định thức
Hệ phương trình đối xứng loại 1: Hệ không thay đổi khi ta thay x bởi y và ngược lại
Hệ phương trình đối xứng loại 2: Nếu đổi vai trò của x và y thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại
Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2: Xét 2 trường hợp, sau đó đặt x = ty
Một số hệ phương trình khác
Các ví dụ
Ví dụ 1. Một số hệ dạng cơ bản 
Cho hệ phương trình 
Giải hệ khi m = 12 
Tìm m để hệ có nghiệm
Cho hệ phương trình 
Tìm a để hệ phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt
Cho hệ phương trình Tìm m để hệ có nghiệm 
Cho hệ phương trình 
Giải hệ khi a = 2
Tìm GTNN của F = xy + 2(x + y) biết (x, y) là nghiệm của hệ 
 Cho hệ phương trình Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
Giải hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình: 
Giải hệ khi m = 6
Tìm m để hệ có nghiệm 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: (KB 2003) 
 HD: TH1 x = y suy ra x = y = 1 
TH2 chú ‏‎‏ý:‏‎ x>0, y> 0 suy ra vô nghiệm 
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: 
 HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt 	S = 2x + y và P = 2x. y ị Đs: (1, 3) và (3/2, 2) 
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình: 
 HD: từ (2) : - 1 ≤ x, y ≤ 1 hàm số: trên [-1;1] áp dụng vào phương trình (1) 
Ví dụ 5. CMR hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 
 HD: ; xét, lập BBT suy ra KQ
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình: 
 HD Bình phương 2 vế, đói xứng loại 2
Ví dụ 7. xác định a để hệ có nghiệm duy nhất
 HD sử dụng ĐK cần và đủ ị a = 8	
Ví dụ 8. Giải hệ phương trình: 
 HD: Rút ra ; Cô si ; theo (1)ị suy ra x, y
Ví dụ 9. (KB 2002) HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung ị (1;1) (3/2;1/2) 
Ví dụ 10. Tìm a để hệ có nghiệm
	HD: Từ (1) đặt được hệ dối xứng với u, -v
Chỉ ra hệ có nghiệm thì phương trình bậc hai tương ứng có 2 nghiệm trái dấu
Bài tập áp dụng
 KD 2003
 	 HD: tách thành nhân tử ị 4 nghiệm
 Tìm m để hệ có nghiệm 
 Đặt t = x/y ị Hệ pt có 2 nghiệm
 Đặt X = x(x + 2) và Y = 2x + y
 	HD: Đổi biến theo v, u từ phương trình (1) 
 	 HD: Đặt x = 1/z thay vào được hệ y, z ĐS ( - 1/2, 3) (1/3, - 2) 
 (KA 2003) 
 HD: x = y V xy = - 1
	CM vô nghiệm bằng cách tách hàm số ị kq: 3 nghiệm
 xác định a để hệ có nghiệm duy nhất 	HD sử dụng ĐK cần và đủ
 	HD bình phương 2 vế 
	HD nhân 2 vế của (1) với 
Đ2. Phương trình và bất phương trình phương trình đại số
Một số dạng phương trình và bất phương trình thường gặp
Bất phương trình bậc hai 
Định l‏‎ý về dấu của tam thức bậc hai
Phương pháp hàm số
Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối
Phương trình, bất phương trình chứa căn thức
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tìm m để nghiệm đúng với mọi x
 HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức: m ≤ - 2
Ví dụ 2. Tìm a để hệ sau có nghiệm 
	HD: 
	TH1: a + 1 ≤ 0 Hệ vô nghiệm
	TH2: a + 1>0. Vẽ đồ thị (2) là đường tròn còn (1) là miền gạch chéo: a ≥ - 1/2
Ví dụ 3. Giải các phương trình, bất phương trình sau
: x = 0
 HD: Tích 2 nhân tử bằng 1 suy ra cách giải
 KD 2002
Ví dụ 4. Tìm m để hệ sau có nghiệm ĐS: m≥4
Ví dụ 5. Giải bất phương trình 
HD + / Nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT 	
 + / Biến đổi về BPT tích chú ý ĐK
Ví dụ 6. Giải bất phương trình: 
HD Đặt , AD BĐT cô si suy ra ĐK
Ví dụ 7. Giải bất phương trình: 
HD: + / Xét 2 trường hợp chú y DK x> = - 1 
 + / Trong trường hợp x ≥ 4, tiến hành nhân và chia cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT
Ví dụ 8. Cho phương trình: . Tìm m để phương trình có nghiệm
HD: + / Bình phương 2 vế chú ý ĐK 
 + / Đặt t = tích 2 căn thức, Tìm ĐK của t 
 + / Sử dụng BBT suy ra KQ
Ví dụ 9. Giải bất phương trình (KA 2004) : 
Bài tập áp dụng
 Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó.
ĐS a = - 1 và a = 3
Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 
 HD: Đặt , coi là phương trình bậc hai ẩn t 
 Cho phương trình: 
 Giải phương trình khi m = 6
 Tìm m để phương trình có nghiệm
 Tìm a để với mọi x: ĐS a≥ 4 ; a≤ 0
Chuyên đề 3: Lượng giác
Đ1. Phương trình và hệ phương trình lượng giác
Một số kiến thức cần nhớ
 Các công thức biến đổi lượng giác
 Một số dạng phương trình cơ bản
Phương trình bậc 2, bậc 3 theo một hàm số lượng giác
Phương trình đẳng cấp bậc nhất với sinx, cosx: asinx + bcosx = c
Phương trình đẳng cấp bậc 2 với sinx, cosx: a. sin2x + b. sinx. cosx + c. cos2x + d = 0 
Phương trình đẳng cấp bậc 3 với sinx, cosx: 
 a. sin3x + b. sin2x. cosx + 
c. sinx. cos2x + d. cos3x = 0
a. sin3x + b. sin2x. cosx + 
 c. sinx. cos2x + d. cos3x + m = 0
Phương trình đối xứng với sinx, cosx a: (sinx±cosx) + b. sinx. cosx + c = 0
Phương trình đối xứng với tgx, cotgx
Phương trình đối xứng với sin2nx, cos2nx 
Các ví dụ
Ví dụ 1. 	HD: đặt ĐK x = ± p/3 + k.p
Ví dụ 2. 
	HD: Sử dụng công thức hạ bậc 	 ĐS 3 họ nghiệm
Ví dụ 3. 	 HD: Nhóm, nhân lên và tách 2 thành 2 nhóm
Ví dụ 4. 
 	HD: Đặt ĐK rút gọn MS = 1; 	AD công thức nhân 3; ĐS x = - p/6 + kp
Ví dụ 5. 
	HD: Biến đổi theo sin và cos được 	ĐS x = ±p/3 + kp
Ví dụ 6. 
HD: nhân (1) với (2) rút gọn đặt ; t = 0, 
Ví dụ 7. 	HD: BĐ tích thành tổng rút gọn
Ví dụ 8. 
 	HD: nhân 2 vế với 2. sin(x/2) chú y xet trường hợp bằng 0
NX: Trong bài toán chứa tổng thực hiện rút gọn bằng cách trên
Ví dụ 9. 	HD: BĐ sau đó đặt t = tg(x/2) 
Ví dụ 10. 	HD: 
Đ2. Giá trị lớn nhất nhỏ nhất, phương trình có tham số
Một số kiến thức cần nhớ
Phương pháp hàm số: Bài toán Max, Min trên 1 khoảng và một đoạn.
Phương pháp bất đẳng thức, nhận xét đánh giá. 
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm GTLN, GTNN: 
	HD: t = cos2x, tìm Max, Min trên 1 đoạnị M = 8/5 m = 4/3
Ví dụ 2. Cho phương trình: 
Giải phương trình khi m = 1
Tìm m để phương trình có nghiện thuộc đoạn [0; p/3]
	HD: t = tgx, ; Lập BBT f(t)ị ĐS: 
Ví dụ 3. : Tìm GTLN, GTNN: 
	HD: t = cos2x, - 1≤t≤1 tìm Max, Min trên 1 đoạnị ĐS:M = 3, m = 1/27
Ví dụ 4. Tìm GTLN, GTNN: 
Ví dụ 5. Cho phương trình: 
Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiện thuộc đoạn [0; p/2]	ĐS: [ -10/3; -2] 
Ví dụ 6. Cho phương trình 
Giải phương trình khi a = 1/3
Tìm a để phương trình có nghiệm
	HD: Đưa về dạng: (2 - a) sinx + (2a + 1) cosx = 3a + 1 	ĐS [ -1/2, 2]
Ví dụ 7. Tìm nghiệm của pt sau trong khoảng (0, p) : 
Bài tập áp dụng
	 HD: Chú ý ĐK ị ĐS: x = - p/4 + kp/2
Một số đề thi từ năm 2002
Tìm nghiệm thuộc khoảng của phương trình KA 2002 
Giải phương trình (DB 2002) 
Tìm nghiệm thuộc khoảng của phương trình KB 2003
Tìm x nghiệm đúng thuộc khoảng của phương trình KB 2003 
Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn (DB 2002) 
 Giải phương trình (DB 2002) 
Giải phương trình (DB 2002) 
Cho phương trình 
Giải phương trình (2) khi 
Tìm a để phương trình có nghiệm 
Giải phương trình (DB 2002) 
 Giải phương trình (KA 2003) 
 Giải phương trình (DBKA 2003) 
 Giải phương trình (DBKA 2003) 
 Giải phương trình (DBKB 2003) 
Giải phương trình (DBKB 2003) 
Giải phương trình (KD 2003) 
Giải phương trình (DBKD 2003) 
Giải phương trình (DBKD 2003) 
Giải phương trình (KB 2004) 
Giải phương trình (KB 2004) 
Chuyên đề 4: Mũ & Lôgarit
Đ1. Phương trình và hệ phương trình Mũ lôgarit
 Một số kiến thức cần nhớ
Các công thức về mũ và lôgarit.
Giới thiệu một số phương trình cơ bản.
Khi giải phương trình về logarit chú ‏‎ ĐK. 
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho phương trình: 
Giải phương trình khi m = 2
Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc 	HD: m ẻ[0;2]
Ví dụ 2. đs (4, 4) 
Ví dụ 3. 	HD: ĐK x>0 Và x≠1; ĐS x = 2, 
Ví dụ 4. 	 HD: Đổi cơ số ị ĐS: x = 1 và x = 15
Ví dụ 5. 
Ví dụ 6. 
HD: ĐK x> - 1 	TH1: - 1<x ≤ 0 phương trình vn
	TH2: x>0, đặt y = log3(x + 1) Suy ra 
Ví dụ 7. HD: VP ≤ 1 với x>0, BBT VT ≥ 1 ; Côsi trong lôgagrit ị	ĐS x = 1
Ví dụ 8. 	ĐS (0, 1) (2, 4) 
Ví dụ 9. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc [32, + Ơ) : 
HD: t > = 5; 
Ví dụ 10. 
 HD ĐK x, y>0 và khác 1; 	BĐ (1) được
TH1: y = x thay vào (2) có nghiệm
	TH2: thay vào (2) CM vô nghiệm chia thành 2 miền y>1 và 0<y<1
Đ2. Bất phương trình và hệ bất phương trình Mũ lôgarit
 Một số kiến thức cần nhớ
Giới thiệu một số bất phương trình về mũ và logarit 
Chú ‏‎y ĐK
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm k để hệ phương trình sau có nghiệm: 
HD: ĐK x>1; 	 Giải (2) 1 - 5
Ví dụ 2. 
Ví dụ 3. HD: Lấy logarit 2 vế theo cơ số 2 
Ví dụ 4. 
Ví dụ 5. 
Ví dụ 6. 
HD: Đặt t = log x , coi BPT đã cho là Bpt bậc 2 ẩn t; Chú ý so sánh 2 trường hợp t1, t2 
 ĐS (0;2] v (x≥ 4) 
Ví dụ 7. Giải bất phương trình 
Ví dụ 8. Giải bất phương trình: 
Ví dụ 9. Giải bất phương trình: 
Bài tập áp dụng
ĐK x, y≥ 1 ị ĐS: (1, 1) (9, 3) 
 KA 2004 	ĐS: (3; 4) 
	 	ĐS x = log23
Tìm a để hệ sau có nghiệm: 	HD: a>3/2
 Giải phương trình 
 Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (0;1) 
Chuyên đề 5. Tích phân xác định và ứng dụng
Đ1. Phương pháp tính tích phân
I. Tích phân các hàm số hữu tỉ
Ví dụ : Tính các tích phân sau
Bài tập
(CĐSP HN 2000): 
(ĐHNL TPHCM 1995) 
(ĐHKT TPHCM 1994) 
(ĐHNT HN 2000) 
(ĐHSP TPHCM 2000) 
(ĐHXD HN 2000) 
(ĐH MĐC 1995 )
(ĐHQG HN 1995). Xác định các hằng số A,B,C để Tính 
(ĐHTM 1995) 
(ĐH Thái Nguyên 1997) 
Xác định các hằng số A,B để Tính 
Cho hàm số 
Định các hệ số A,B,C,D,E sao cho
Tính 
II Tích phân các hàm số lượng giác
Ví dụ : Tính các tích phân sau
Bài tập
(ĐHQG TPHCM 1998) Tính :
(ĐHSP TPHCM 1995)
 Cho 
Tìm A,B sao cho 
 Tính 
 (ĐHGTVT TPHCM 1999)
 CMR 
Tính 
 (ĐHTS 1999) Tính : 
(ĐHTM HN 1995) Tính 
(HVKTQS 1999):Tính
(ĐHNN1 HN Khối B 1998) 
 (ĐHQGHN Khối A 1997) 
(ĐHNN1 HN 1998) Tính 
 (ĐHQG TPHCM 1998) 
 (HVNH TPHCM 2000) 
 (ĐHBK HN 1999) Cho hàm số 
Tìm A,B để 
Tính 
 (ĐHBK HN 1998) 
 (HVNH TPHCM 2000) 
III. Tích phân các hàm số vô tỉ
Ví dụ :	Tính các tích phân sau :
Bài tập
(HVNH THCM 2000) 
(ĐH BKHN 1995) 
(HVKTQS 1998) 
(ĐHAN 1999) 
(ĐHQG HN 1998) 
(ĐHSP2 HN 2000) 
(ĐHXD HN 1996) 
(ĐHTM 1997) 
(ĐHQG TPHCM 1998) 
IV. Một số dạng tích phân đặc biệt
Ví dụ1 :Tính các tích phân sau :
Ví dụ2 :Tính các tích phân sau
Ví dụ 3 :Tính các tích phân sau
Bài tập
(ĐHPCCC 2000) Tính 
(ĐHGT 2000 )Tính 
(ĐHQG HN 1994) Tính 
(ĐHNT TPHCM 1994)Tính 
(HVBCVTHN 1999)Tính 
Đ2. ứng dụng của tích phân xác định
Một số kiến thức cần nhớ
Nội dung các bài toán về diện tích hình phẳng: 3 bài toán cơ bản.
Bài toán về thể tích tròn xoay.
Các ví dụ 
Bài 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục ox của hình phẳng giới hạn bởi trục ox và đường .
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: .
Bài 3. Tính diện tíc hình phẳng giới hạn bởi các đường: .
Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) y2 = 16x và các tiếp tuyến tại A(1;4) B(4; - 8). 
Bài 1 Diện tích phẳng
(ĐHBKHN 2000): Tính diện tích giới hạn bởi 
(ĐHTCKT 2000): Tính diện tích giới hạn bởi 
(HVBCVT 2000) Tính diện tích giới hạn bởi 
(HVBCVT 1997) Tính diện tích giới hạn bởi 
(ĐHTM 1996) Tính diện tích giới hạn bởi 
(ĐHKT 1994) Tính diện tích giới hạn bởi 
(ĐHCĐ 1999) Tính diện tích giới hạn bởi 
(ĐHSP1 HN 2000) Tính diện tích giới hạn bởi 
(ĐHKTQD 1996) Tính diện tích giới hạn bởi hình phía dưới (P) : y=ax2 (a>0) và trên y=ax+2a ... u tiên phải bằng 1.
*Bài 5: Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại chọn từ 2,3,4,5. Hỏi có bao nhiêu số như vậy nếu
	a/	5 chữ số 1 xếp kề nhau.
	b/	Các chữ số được xếp tuỳ ý.
 *Bài 6: Cho 7 chữ số 0,2,4,5,6,8,9.
	a/	Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau lập từ các số trên.
	b/	Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 5.
 *Bài 7: Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 7 chữ số thoả các điều kiện chữ số là số chẵn , không chia hết cho 5, các chữ số đôi một khác nhau.
 *Bài 8: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta có thể lập được bao nhiêu số :
	a/	Gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần.
	b/	Gồm 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.
 *Bài 9: Ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1,2,3,4,5 . Trong đó mỗi số được viết có một chữ số được xuất hiện 2 lần còn các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần. Hỏi có bao nhiêu số như vậy.
* Bài 10: Cho 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7. Xét tập E gồm 7 chữ số khác nhau viết từ các chữ số đã cho. Chứng minh rằng tổng S của tất cả các số của tập E chia hết cho 9.
1.2 Các bài toán chọn các đối tượng thực tế:
Dạng 1: Tìm số cách chọn các đối tượng thoả điều kiện cho trước.
* Ví dụ 1: Có 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hoa xem như đôi 1 khác nhau) người ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông.
	a/	Có bao nhiêu cách chọn các bông hoa được chọn tuỳ ý.
	b/	Có bao nhiêu cách chọn sao cho có đúng 1 bông màu đỏ.
	c/	Có bao nhiêu cách chọn sao cho có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ.
* Ví dụ 2: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ, người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
* Ví dụ 3: Một lớp học có 30 học sinh trong đó có 3 cán sự lớp.ần chọn 3 em trong 30 học sinh trên đi trực tuần sao cho trong 3 em được chọn luôn có 1 cán sự lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
* Ví dụ 4:Một trường tiểu học có 50 học sinh tiên tiến, trong đó có 4 cạp anh em sinh đôi. Người ta cần chọn 3 học sinh trong 50 học sinh trên đi dự hội trại cấp thành phố sao cho không có cặp anh em sinh đôi nào được chọn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. 
* Ví dụ 5:Trong một môn học, giáo viên có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó , 10 câu trung bình và 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu (khó, trung bình và dễ) đồng thời số câu dễ không ít hơn 2.
* Ví dụ 6: Trong mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của H.
	a/	Có bao nhiêu tam giác như vậy.
	b/	Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của H.
	c/	Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H.
	d/	Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của H.
Dạng 2: Xếp vị trí các đối tượng thoả điều kiện cho trước.
* Ví dụ 7: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A,B,C,D,E vào một ghế dài sao cho 
	a/	Bạn C ngồi chính giữa.
	b/	Bạn A và E ngồi hai đầu ghế.
* Ví dụ 8: Trong một phòng học có 2 dãy bàn dài, mỗi dãy có 5 chỗ ngồi. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu:
	a/	Các học sinh ngồi tuỳ ý.
	b/	Các học sinh nam ngồi một bàn và nữ ngồi một bàn.
* Ví dụ 9: Một hội nghị bàn tròn có 4 phái đoàn các nước : Việt Nam 3 người, Lào 5 người, Thái Lan 3 người và Trung Quốc 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịch thì ngồi gần nhau.
* Ví dụ 10: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 4 ghế. Người ta muốn sắp xếp chỗ ngồi cho 4 học sinh trường A và 4 học sinh trường B vào bàn nói trên . Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:
	a/	Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau cũng khác trường với nhau.
	b/	Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau cũng khác trường với nhau.
Bài tập
* Bài 1: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh sao cho :
	a/	Số học sinh nam hoặc nữ là tuỳ ý.
	b/	Phải có 2 nam và 2 nữ.
	c/	Phải có ít nhất 1 nữ.
	d/	Số học sinh nam không vượt quá 2.
* Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh cần cử ra 1 ban cán sự gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 3 uỷ viên . Hỏi có mấy cách lập ra ban cán sự lớp.
* Bài 3: Gia đình ông A có 11 người bạn trong đó có 1 cặp vợ chồng. ông muốn mời 5 người đến dự tiệc, trong đó có cặp vợ chồng có thể cùng được mời hoặc không cùng được mời. Hỏi ông A có bao nhiêu cách mời.
* Bài45:Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh mền núi , sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
* Bài 5: Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn.
* Bài 6: Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thứ nhất có 10 điểm phân biệt và đường thẳng thứ hai có 20 điểm phân biệt. Có bao nhiêu tam giác được tạo bởi các điểm đã cho.
* Bài 7: Cho đa giác đều nội tiếp đường tròn tâm O. Biết rằng số các tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm nhiều gấp 20 lần số các hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm . Hãy tìm n.
*Bài 8 : Một tổ gồm 6 học sinh A,B,C,D,E,F được xếp vào 6 chỗ ngồi đã được ghi số thứ tự trên một bàn dài. Tìm số cách xếp các học sinh này sao cho:
	a/	A và B ngồi chính giữa các học sinh còn lại.
	b/	A và B không ngồi cạnh nhau.
*Bài 9 : Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 2 cuốn sách môn toán, 4 cuốn môn văn, 6 cuốn môn anh văn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách đó lên một kệ dài , nếu mọi cuốn sách này được xếp kề nhau và những cuốn cùng môn học xếp kề nhau.
* Bài 10: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn sắp xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên . Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:	a/	Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau cũng khác trường với nhau.
	b/	Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau cũng khác trường với nhau.
Đ2. Các bài toán nhị thức, phương trình bất phương trình 
Hoán vị, tổ hợp & chỉnh hợp
Một số kiến thức cần nhớ
Hoỏn vị : 
Chỉnh hợp: 
Tổ hợp: 
Nhị Thức nưu tơn: 
Tồng cú n+1 số hạng .bậc của mỗi số hạng là n-k+k=n
Số hạng tổng quỏt 
Các ví dụ
I. Giải pt, hệ pt, bất phương trình, hệ bất phương trình về đại số tổ hợp
*Ví dụ 1. Giải phương trỡnh: a,	 b,
*Ví dụ 2. Giải phương trỡnh: 
*Ví dụ 3. Hóy tỡm số nguyờn dưong thỏa mó phương trỡnh
a, 	ĐS: n=11
b, 	c, 
*Ví dụ 4. 
*Ví dụ 5. Giải hệ phương trỡnh	ĐS: x=5 ,y=2
*Ví dụ 6. Giải bpt: a) b) ĐS: a) 
*Ví dụ 7. Giải bất phương trỡnh: 
ĐS: 
*Ví dụ 8. Giải bất phương trỡnh: a, b,
 ĐS: a, b, 
Bài tập
Giải các phương trình sau:
	1/	 	2/	
Tìm k sao cho các số theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Giải các bất phương trình sau:
	1/	2/	
Giải các hệ phương trình sau:
	1/	2/	
Giải các phương trình sau:
1/	2/	
	3/	4/	
Giải các bất phương trình sau:
	1/	2/	
	3/	4/	
Giải các PT và hệ PT sau:
	1/	2/	
 Giải bất phương trình với 2 ẩn n, k thuộc N (TNPT 2003 - 2004) 
Giải hệ phương trình 	(TNPT 2002 - 2003) 
Giải bất phương trình 
Tìm số n nguyên dương thoả mãn bất phương trình ĐS: n = 4, n = 3
Tìm số tự nhiên n thoả mãn:.
Tìm số tự nhiên n biết (KA 2005) 
II. Tỡm 1 số hạng hoặc hệ số của một số hạng
*Ví dụ 1.Tỡm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển 
*Ví dụ 2. Tỡm số hạng x31, Trong khai triển 
*Ví dụ 3. Tỡm số hạng khụng chứa x trong khai triển 
*Ví dụ 4. Trong khai triển Tỡm số hạng khụng chứa x biết 
*Ví dụ 5. Tỡm hệ số của số hạng chứa x43 trong khai triển 
*Ví dụ 6. Biết trong khai triển Cú hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5. Hóy tớnh số hạng
đứng giữa trong khai triển 
*Ví dụ 7. Cho khai triển . Biết tổng của ba số hạng đầu itờn trong khai triển bằng 631. Tỡm hệ số của số hạng cú chứa x5 
*Ví dụ 8. Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiờn trong khai triển bằng 79 .Tỡm số hạng khụng chứa x
*Ví dụ 9. tỡm hệ số của trong khai triển 
*Ví dụ 10. Trong khai triển .. Tỡm số hạng chứa x và y sao cho số mũ của x và y là cỏc số nguyờn dương.
*Ví dụ 11. Tỡm cỏc hạng tử là số nguyờn trong khai triển 
*Ví dụ 12. 
a, Cho khai triển . Trong cỏc hệ số của cỏc số hạng .Tỡm hệ số lớn nhất 
b, Cho khai triển ..Tỡm hệ số lớn nhất trong cỏc hệ số 
Bài tập
Biết rằng 
CMR: a2 < a3 .
 Với giá trị nào của k thì ak< ak + 1 (0≤k≤99) 
Tìm k thuộc {0, 1, . 2005} sao cho: đặt GTLN.
Tìm số nguyên n>1 thoả mãn đẳng thức: .
Tính giá trị của biểu thưc n là số nguyên dương Biết rằng: 
Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của (2 - 3x) 2n.
 Giả sử và .
 Tìm n và số lớn nhất trong các số: 
Giả sử n là số nguyên dương và 
Biết rằng k nguyên (0<k<n) sao cho Tính n?	 ĐS: n = 10
Giả sử n là số nguyên dương và . Hãy tính hệ số a5 ĐS 672
Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức. Biết: ĐS: 495
Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức .
 Cú bao nhiờu hạng tử là số nguyờn trong khai triiển 
Cú bao nhiờu hạng tử là số nguyện trong khai triển 
Khai triển đa thức . Tớnh A9 
Cho khai triển :. Biết và số hạng thứ 4 bằng 20n .Tựm x và n
Trong khai triển : tỡm số hạng chứa a,b cú số mũ bằng nhau 
Tỡm hệ số lớn nhất trong cỏc hệ số của khai triển 
Biết tổng cỏc hệ số trong khai triển bằng 6561. Tỡm hệ số của x4 
Biết tổng cỏc hệ số trong khai triển bằng 1024 .Tỡm hệ số của x12 
 Tỡm hệ số x8 trong khai triển :Biết 
III. Chứng minh đẳng thức 
*Ví dụ 1. 
a, (ĐHBK HN - 1998). Chứng minh rằng: 
b, (ĐHYD TP HCM - 2000). Chứng minh rằng: 
 b1, 
 b2, 
c, Chứng minh rằng: 
*Ví dụ 2. 
a, (ĐHAN-CS khối A - 1998). Chứng minh rằng: 
b, (ĐH Hằng Hải - 1997). Chứng minh rằng: 
*Ví dụ 3. 
a, (ĐH Giao thông vận tải - 1996). Chứng minh rằng: 
b, (ĐH Mở Hà Nội - 1999). CMR: 
*Ví dụ 4. 
a, Chứng minh 
b, Cho n,m,k là cỏc số nguyờn dương và Chứng minh:
c, Cho n nguyờn dương. Chứng minh rằng: 
d, Cho n≥2 và n nguyờn . Chứng minh:
e, Cho n≥2 và n nguyờn .Chứng minh: =T
HD: , 
*Ví dụ 5. (Sử dụng tớnh chất: )
a, Chứng minh 
b, Chứng minh : 
c, Cho .Chứng minh rằng 
d, .Cho .Chứng minh rằng 
*Ví dụ 6. (Khai triển một biểu thức hoặc, hai biểu thức bằng hai cỏch khỏc nhau sau đú đồng nhất hệ số )
a, Chứng minh rằng: 
b, Chứng minh: 
c, Chứng minh.
d, Chứng minh rằng: 
HD: a,! ! so sỏnh 
b, Hệ số của xn là 
 Hệ số xk là 
c,
d, Xột=! ị Hệ số của xp ,1≤p <n ,1≤p<m; Trong khai triển ị Hệ số của xp là 
Bài tập
a, (ĐHQG Hà Nội khối D - 1997). Chứng minh rằng: 
 b, Cho: . Chứng minh rằng: 
. (ĐHTCKT - Hà Nội - 2000). 
Chứng minh rằng: 
(ĐHKTQD - 2000).
 Chứng minh rằng: 
(ĐH Luật Hà Nội - 1997). 
Chứng minh rằng: 
(ĐH Đà Nẵng - 2001). 
Chứng minh rằng: 
(ĐH Nông nghiệp - 1999). 
Chứng minh rằng: 
(Bộ đề tuyển sinh câu IVa, đề 81). 
Chứng minh rằng: 
(ĐHQG Tp HCM khối D - 1997). 
Cho: . Chứng minh rằng: 
Chứng minh rằng: 
Từ đó suy ra: 
Chứng minh rằng: 
a, 
b,