Tài liệu dạy ôn cho học sinh khối 12 môn Toán

 Tài liệu dạy ôn cho học sinh khối 12 
Chủ đề 1: Cực trị 
Bài 1: Cho hàm số:  4 2 29 10y mx m x    
1) Khảo sát hàm số khi 1m  . 
2) Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị. 
Bài 2: Cho hàm số:  
3
3y x m x   
1) Khảo sát hàm số khi 1m  . 
2) Tìm m để hàm số nhận 0x  làm điểm cực tiểu. 
Bài 3: Cho hàm số: 3 2 22 2y x mx m x    
1) Khảo sát hàm số khi 1m  
2) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại 1.x  
Bài 4: Cho hàm số 4 2 22 1y x m x   
1) Khảo sát hàm số khi 1m  
2) Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. 
Chủ đề 2: Tiếp tuyến 
Bài 1: Cho hàm số: 3 2
1
2 3
3
y x x x   . 
1) Khảo sát hàm số. 
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 2 . 
Bài 2: Cho hàm số: 3 2
1 1 4
2
3 2 3
y x x x    . 
1) Khảo sát hàm số. 
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 
4 2y x  . 
Bài 3: Cho hàm số 
2
1
x
y
x


1) Khảo sát hàm số. (đồ thị (C) ). 
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của (C) với trục tung. 
3) Cho điểm  0 0 0;M x y thuộc (C). Tiếp tuyến của (C) tại 0M cắt các tiệm cận của (C) tại các 
điểm A và B . Chứng minh rằng 0M là trung điểm của đoạn thẳng .AB 
4) Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại ,A B 
và tam giác OAB có diện tích bằng 
1
4
. 
Bài 4: Cho hàm số 
1
x
y
x


1) Khảo sát hàm số. (đồ thị (C) ). 
2) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo 
thành một tam giác cân. 
Bài 5: Cho hàm số 
2 1
1
x
y
x



. 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến 
của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM. 
Chủ đề 3: Tương giao của hai đường 
Bài 1: Cho hàm số: 3 22 9 12 4y x x x     . 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của pt: 3 22 9 12 4x x x m    . 
Bài 2: Cho hàm số:    
2 2
1 1y x x   . 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
2) Dựa vào đồ thị (C), tìm m để pt sau có bốn nghiệm phân biệt: 4 22 3x x m   . 
Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số    21y x x mx m    cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. 
Bài 4: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 3 22 3 1y x x   . 
3) Gọi kd là đường thẳng đi qua điểm  0; 1M  và có hệ số góc bằng k . Tìm k để đường 
thẳng kd cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. 
Bài 5: Cho hàm số: 
1
x
y
x


 (1), có đồ thị (C). 
1) Khảo sát hàm số (1). 
2) Tìm m để đường thẳng d: y x m  cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt. 
Bài 6: Cho hàm số: 4 2 1y x mx m    (1) 
1) Khảo sát hàm số (1) khi 8m  . 
2) Tìm m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. 
Bài 7: 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số: 3 26 9y x x x   . 
2)Tìm m để đường thẳng 2y x m m   đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực 
đại và cực tiểu của đồ thị (C). 
Bài 8: 1) Khảo sát hàm số: 4 26 5y x x   . 
2) Tìm m để pt sau có 4 nghiệm phân biệt: 4 2 26 log 0x x m   
3) Tìm m để pt sau có 3 nghiệm phân biệt: 4 2 26 log 0x x m   
4) Tìm m để pt sau có 2 nghiệm phân biệt: 4 2 26 2log 0x x m   
Chủ đề 4: Tính đối xứng của đồ thị 
Bài 1: Cho hàm số: 
3
2 113
3 3
x
y x x     
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng với nhau qua trục tung. 
Bài 2: Cho hàm số: 3 23 2y x x   
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm M, N sao cho chúng đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. 
 Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân 
Bài 1: Tìm 
1) 44x dx ; 2) xdx ; 3) 
2
2
x
dx
x
 
  
 
 ; 4)   
41 3x x x dx  ; 5)  
3 23 5x x dx  ; 
6)  3x x dx ; 7) 23 2
x
x dx
 
 
 
 ; 8) 
2
2
1 1
2
x dx
x
 
  
 
 ; 9) 
1
3x dx

 ; 10) 3
1
dx
x
. 
Bài 2: Tìm 
1)  
5
2 1x dx ; 2)  
322 1x x dx ; 3) 3 2
2
4
x
dx
x 
 ; 4) 
sin cosxe xdx ; 5) 
21 xxe dx ; 
6) 
2
31
x
dx
x
 ; 7) 6 8
dx
x 
 ; 8) 24 1x x dx ; 9) 
23 7 3x x dx ; 10) 
53
2 1
18
x
x dx
 
 
 
 . 
Bài 3: Tìm 
1) cosx xdx ; 2)  1 cosx xdx ; 3) sinx xdx ; 4) 
xxe dx ; 5)  1
xx e dx ; 6) ln xdx . 
Bài 4: Tính 
1)  
1
3 2
0
3 2x x dx  ; 2) 
1
0
3 1x dx ; 3) 
1 2
3
0
3
1
x
dx
x 
; 4)  
1
2 3
1
1x x dx

 ; 5) 
1 2
3
0 1
x dx
x 
 ; 
6)  
2
0
3 2sin cosx xdx

 ; 7)  
2
0
3cos 2 sinx xdx

 ; 8) 
2
5
0
cos sinx xdx

 ; 
2
6
0
9) sin cosx xdx

 ; 
10) 
2
2
1
xxe dx ; 11) 
3
1
2 3x dx ; 12) 
1
0
1x dx ; 13) 
 
1
22
0
5
4
x
dx
x 
 ; 14) 
3
2
0 1
x
dx
x 
 ; 
15)  
1
5 4
0
2 2 5x x x dx  ; 16) 
3 3
2
0 1
x dx
x 
 ; 17) 
3
2
2
1
xx e dx ; 18) 
3
2
0
1x x dx ; 19) 
1
2 3
0
1x x dx . 
Bài 5) Tính: 
1) 
1
0
xxe dx ; 2) 
2
1
lnx xdx ; 3) 
2
0
sinx xdx

 ; 4) 
2
0
cosx xdx

 ; 5) 
0
cosxe xdx

 ; 6)  
1
0
1 xx e dx 
7)  
1
0
4 1 xx e dx ; 8)  
2
0
2 1 cosx xdx

 ; 9) 
3
1
2 lnx xdx ; 10)  
1
0
1 xe xdx ; 11)  
1
0
2 1 xx e dx . 
Bài 6) Tính diện tích hình fẳng giới hạn bởi các đường: 
1) 3 1, 2y x x   , trục tung và trục hoành. 
2) 22y x  và y x  . 
3) 2y x  và 2 2y x x   . 
4) 2 24, 2 , 3, 2y x y x x x x         . 
5) 2 24, 2y x y x x     . 
6) 3 4y x x  , trục hoành, đường thẳng 2x   và đường thẳng 4x  . 
7) 2 1, 3y x y x    . 
8) 24 , 2y x y x     . 
9) 2 , 4 4, 4 4y x y x y x      . 
10) y= 4 2 24 4,x x y x   , trục tung và đường thẳng x=1. 
Chủ đề tích phân 
Bài 1: Tính 
1) 
 
1
320 4
dx
x
 (đặt 2sin , 1/ 4 3x t DS ); 
2) 
2
2
1 3 6 1
dx
x x  
 (đặt 
 3 1 2sin , / 3 3x t DS  ); 
3) 
6
2
2 3
dx
x x 
 (đặt 
2 3, /12 3t x DS  ); 
 4) 
9
4
( , 7 2 ln 2)
1
x
dx t x DS
x
 

 ; 
5) 
3
2
3
( 3 / 36)
3
dx
DS
x


; 
6) 
1 2
6
2
2
1 x
dx
x

 (đặt x=cost,8/15); 
7) 
2
3 33 2 3
0
8 ( 8, 4)x x dx t x DS    ; 
8) 
4
1
( , 2 ( 1)
x
x
e
dx t x DS e e  ; 
9) 
8 3
1
1 44 2 16
( )
5
x
dx DS
x
 
 ; 
10) 
4
1
ln
( 1/ 5)
e
x
dx DS
x
; 
11) 
2
2
0
( / 8)
4
dx
DS
x


; 
12) 
7 3
3 2
0
( 141/ 20)
1
x
dx DS
x
 ; 
13) 
2
32
2
0
( 2 / 3 5 2 /12)
1
x
dx DS
x


 ; 
14) 
1 2
2
2
2
1
( sin ,1 / 4)
x
dx x t
x


  ; 
15)
1
3 2 2
0
1 ( 1: sin , 2 : 1 , 2 /15)x x dx C x t C t x    
16) 
 
1 3
32
0
( tan ,1/16)
1
x
dx x t
x


 ; 
17) 
1 2
2
0
( 2cos , / 3 3 / 2)
4
x
dx x t
x
 

 ; 
18) 
2
2
2
2
3
( 1, /12)
1
dx
t x
x x
 

 ; 
19) 
2
2 2
0
4 ( 2sin , )x x dx x t   ; 
20) 
1 2
2
0
( 2cos , / 3 3 / 2)
4
x dx
x t
x
 

 ; 
21) 
2
22
2
0
( sin ,1/ 2( / 4 1/ 2)
1
x dx
x t
x
 

 ; 
22)  
1
65 3
0
1 ( 1/168)x x dx DS ; 
23) 
7
3
3
3
0
1
( 3 1, 46 /15);
3 1
x
dx t x
x

 

 
24) 
 
1
520
( tan ,5 2 /12)
1
dx
x t
x


 ; 
25) 
4
0
1
( 2 1, 4 / 3);
2 1
x
dx t x
x

 

 
26)  
1
32
0
1 ( sin );x dx x t  
27) 
1 2
2
2 2
0
1 4
( , ln );
3 6 3
x
x
dx e
t e
e e

 
28)
 
 
2
ln 2
2
0
3 1
( 1, ln ln 2 1
21
x
x
dx
t e
e

   


29) 
 
1
22
1
1
( tan , )
2 41
dx
x t
x


 

 ; 
30) 
 1
0
1
2 3 2
x dx
x x

  
 (nhân liên hợp); 
31) 
3
2 2
0
sin cos
4cos sin
x xdx
x x


 (t= . ĐS 3/10); 
32) 
2
0
sin cos
33 sin 2
x x
dx DS
x

  
 
  
 ; 
33)  
32
0
4sin
cos , 2
1 cos
xdx
t x DS
x



; 
34)  
2
2
4 2 2
4
4
1 cot cotx,
sin sin .sin 3
dx dx
x d
x x x


 
  
 
 ; 
35)  
32
2
6
cos
s inx,1/ 2
sin
xdx
t
x


 ; 
36) 
32
2
0
sin cos 1 ln 2
cos ,
1 cos 2
x xdx
t x
x

 
   
 ; 
37) 
2
2 2
0
sin cos
3sin 4cos
x xdx
x x


(hạ bậc, 
1 4
ln
2 3
); 
38) 
4
6 6
0
sin 4
sin cos
xdx
x x


 (ĐS 2ln4/3); 
39) 
0
2
cos
5 3cos 2 6 3
xdx
DS
x


 
   
 ; 
40) 
2
2
0
1 cos 2cos , 1
1 cos 2
dx x
x
x

 
    
 ; 
41) 
4
0
cos2 1
ln 3
1 2sin 2 4
xdx
x

 
   
 ; 
42)  
4
2
0
1 sin 2
1 ln 2
cos
x
dx
x


 ; 
43) 
2
2 3
6
47
sin cos sin ,
180
x xdx t x


 
 
 
 ; 
44)  
4
cos2
0
1
sin 2 cos2 , 1
2
xe xdx t x e

 
  
 
 ; 
45) 
2
2
0
sin 3
,
3 cos 18
x xdx
x t
x
 

 
     
 ; 
46) 
2
0
cos 2
sin ,
127 cos 2
xdx
t x
x

 
    
 ; 
47) 
32
0
sin 1
,
sin cos 2 4
xdx
x t
x x

    
       
 ; 
48) 
2
0
sin
,
2 4sin cos
xdx
x t
x x

  
  
  
 ; 
49) 
24
0
1 2sin 1
1 sin 2 , ln 2
1 sin 2 2
x
dx t x
x

  
    
 ; 
50) 
2
0
sin 2 sin 34
1 3cos ,
271 3cos
x x
dx t x
x

  
  
  
 ; 
51)  
2
0
sin 2 cos
1 cos , 2ln 2 1
1 cos
x x
dx t x
x

  

; 
52) 
2
2 2
0
sin 2 2
3cos 4sin
x
dx DS
x x

 
 
 
 ; 
53) 
3
2
0
3
sin tan x cos , ln 2
8
x dx t x

 
  
 
 ; 
54) 
2
6 63 5 3
0
12
1 cos sin cos 1 cos ,
91
x x xdx t x

 
   
 

55) 
 
4
0
sin
4 3 24
sin cos ,
sin 2 2 1 sin cos 4
x dx
t x x
x x x
  
            

56)  
46
0
tan 1 10
t anx, ln 2 3
cos 2 2 9 3
xdx
t
x

 
   
 

57)  
2
2
0
sin ,2 8x xdx t x

  ; 
58)  
4
0
sin ,1xdx t x

 ; 
59) 
3
6
,
2 121 t anx
dx
x t


  
  
  
 ; 
 60)    
2
2
0
2 3 sin 1x x xdx DS

   ; 
61)  3 3 4
1
1
ln ln , , 3 1
16
e
x xdx u x dv x dx e
 
   
 
 ; 
62)  
2
1
3 2
0
,1 / 2xx e dx t x ; 
63)    
1
2 2 2 2
0
3
1 1..., 1
4
xx e dx u x e
 
    
 
 ; 
64)    
2
1
2 1 ln ln , ln 4 1/ 2x xdx u x   ; 
65)  
2
2 2
0
cos3 ...x xe xdx u e

 ; 
66)   
2
2
0
sin 3 3 2 /13xe xdx DS e

  ; 
67) 
 
 
3
2
2 3
6
ln sin 3
ln sin , / cos , 3 ln
cos 64
x
dx u x dv dx x
x


  
      
  
 ; 
68) 
2 2 2
2
1
1
2
xx x ee dx DS
x
  
 
 
 ; 
69)  
4
2
0
t anx+tan xx e dx

 (tách, u=tanx, dv=e
xdx) ; 
70)  
1
2
0
1 ( 2 4)xx x e dx DS e   ; 
71) 
2
0
sin cos2x x xdx

 (tích thành tổng, tích fân từng fần, 
5
9

); 
72) 
2
0
1 sin 2
xdx
x


 (Cách 1: 1+sin2x=1+cos(2x-
2

)=2cos2(x-
4

) 
Sau đó tích fân từng fần, Cách 2: Đặt 
2
t x

  ); 
73)     
3
2 2
2
ln ln , ,3ln 3 2x x dx u x x dv dx     ; 
74) 
2
1
1
ln
e
x
xdx
x

 (tách, tích fân từng fần, ĐS 
2 3
4
e 
); 
75) 2
1
ln
e
x xdx (u=lnx, dv=x
2dx, ĐS (2e3+1)/9); 
76)  
2
1
2 lnx xdx (u=lnx, dv=..., 
5
2 ln 2
4
 ); 
77) 3 2
1
ln
e
x dx (ĐS 
45 1
32
e 
) ; 
78) 
2
3
1
ln x
dx
x
 (Đặt u=lnx, dv=..., 
3 2 ln 2
8

); 
79) 
2
1
3
0
xx e dx (t=x
2, ĐS 1/2) ; 
80)  
1
2
0
2 xx e dx (u=x-2, ĐS 
25 3
4
e
); 
81)  
2
2
0
2 1 cosx xdx

 (hạ bậc, tích fân 
 từng fần, 
2 2 4
8
  
); 
82)  
1
0
1 sin 2 1
4
x xdx
 
  
 
 ; 
83) 
22
2 2
0
8
cos ,
4
x xdx u x

 
 
 
 ; 
84)  
2
cos
0
sin 2 cos ,2xe xdx t x

 ; 
85) 
ln8
2
ln3
1076
1. 1,
15
x x xe e dx t e
 
   
 
 ; 
86)  
2
sin
0
cos cosxe x xdx

 (tách, e-1+ 4

); 
87)  
24
sin 2
0
t anx cos ln 2 1xe x dx e

 
    
 
 ; 
88)  
2
2
0
1x x dx DS ; 
89)  
2
3
0
5 / 2x x dx DS ; 
90)  
4
2
0
6 49 / 3x x dx  ; 
91) Cho   sin 2 cos 2P x a x b x  . Tìm 
,a b biết rằng: 
2
' 2 & 1
2
b
a
P adx
 
   
 
 
(Đáp số 1a b  ). 
 92) 
2
2
1
1 1 1 1 2
, ln
9 6 3 3 6 5
dx
x x x
  
      
 ; 
93) 
1 2 2
4 2
0
1 1 1
,
2 1 3
4 3 3
8 36
x xdx
x x  
  
     
  
 
 
 
94) 
2 3
2
2
5
1 5
4, ln
4 34
dx
t x
x x
 
  
 
 (Khối A-2003); 95) 
2
1
11
1, 4 ln 2
31 1
xdx
t x
x
 
   
   
 ; 
96) 
6
2
3 1
4 1, ln
2 122 1 4 1
dx
t x
x x
 
   
    
 ; 97)  
10
5
1, 2ln 2 1
2 1
dx
t x
x x
  
 
 ; 
98)  
4
0
2 1
2 1,2 ln 2
1 2 1
x
dx t x
x

  
 
 ; 99) 
7
3
3
0
2 231
1,
101
x
dx t x
x
  
  
  
 ; 
100) 
1
3 2 2
0
2
1 1 ,
15
x x dx t x
 
   
 
 ; 
101) 
1
1 3ln ln 116
1 3ln ,
135
e
x xdx
t x
x
  
  
 
 ; 
102) 
3
2
1
ln 76
ln 1,
15ln 1
e
xdx
t x
x x
 
  
  
 ; 
103) 
1
3 2ln 10 2 11
1 2ln ,
31 2 ln
e x
dx t x
x x
  
     
 ; 
104) 
ln5
ln3
3
, ln
2 3 2
x
x x
dx
t e
e e
 
 
   
 ; 105) 
 
 
ln3
3
0
1, 2 1
1
x
x
x
e dx
t e
e
  

 ; 
106) 
ln5 2
ln 2
20
1,
31
x
x
x
e dx
t e
e
 
  
 
 ; 
107) 
 1 2 2
2
0
4
1 ,
1 4 4
34
1 ln 2 ln 3
2
x
x x dx x x
x
 
    
 
    
 
 
108) 
3
3
1
1 1 3
tan , ln
2 2
dx
x t x
x x t
 
   
  
 ; 109) 
2
4
sin cos
sin cos ,
63 sin 2
x x
dx t x x
x


  
  
  
 
110) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
a)  2 4 3 , 3 109 / 6y x x y x Ds     ; b) 
2 2 4
4 & ( 2 )
4 34 2
x x
y y Ds     . 
c) 2
1
3, 2 1
6
y x x y x
 
      
 
; d)      1 , 1 : / 2 1xy e x y e x Ds e     ; 
e)  2 2, 2 : / 2 1/ 3y x y x Ds     ; g) 
 
2
1 1
0, : 1 ln 2
1 4 2
x x
y y Ds
x
  
     
  
. 
i) 
3 1 4
, 0, 0 : 1 4 ln
1 3
x
y x y Ds
x
   
     
  
; k) 3 2
1 9
2 3 , 0 :
3 4
y x x x y Ds
 
     
 
. 
111) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình fẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục Ox: 
a) y=xlnx, y=0, x=e (ĐS: 
 35 2
27
e 
); b) 4y=x2, y=x (ĐS: 128 /15 ); 
c) y=0, y=  sin 0x x x   (ĐS: 3 / 4 ) 
 112) 
 
 
ln3
3
0
1, 2 1
1
x
x
x
e dx
t e
e
  

 113)  
 
2
2
3 3
3
sin cos ,
sin cos
3 1
1 2 3 1sin cos
2 2
t x x
x x dx
x x


  
  
      
  
 
114)  
3
2
2 2
4
sin
2 tan , 5 3
cos 1 cos
xdx
t x
x x


  

 
(Chia tử và mẫu cho cosx) 
115) 
1
0
1 1
1 1 1
x x
x x x
dx e e
e e e
  
 
   
 
116) 
4 7 3
3 4
3 4
0
3 3 3
1, ln
8 4 21 1
x dx
t x
x
 
   
  
 117) 
6
2
3 2
3
,
sin 369
dx
x
tx x
 
 
 
 
118) 
 
3
32
3
3
3 1
tan ,
21
dx
x t
x
 
  
 
 119) 
1
2
4 2
0
3
,
1 18
xdx
t x
x x
 
     
 
120) 
2
2 2
0
3sin 4cos
3sin 4cos
x x
dx
x x



(tách, t=cosx, t=sinx, 
3
ln 3
6

 ) 
121) 
42
4 4
0
sin
,
sin cos 2 4
xdx
x t
x x

  
    
 
122)  
2
3
0
cos 2 ,0x xdx x t

  123) 
2
2
0
sin
,
1 cos 4
x xdx
x t
x
 

 
  
  
 
124) 
2
0
1 sin
ln ,0
1 cos 2
x
dx x t
x

  
    
 
125) 2
0
sin cos ,
2 3
x x xdx x t
   
  
 
 
126)  
4
0
ln 1 t anx , ln 2
4 8
dx x t

  
   
 
 
127) 
2
0
2 4 2 2
2cos ,
2 2
x
dx x t
x
   
    
 
128) 
2 4 2
2 2
0 0
4
3sin cos
dx
x x
  

 
 
   
 
   
Chia tử và mẫu cho 2 2
3
cos , sin ,
6
x x

129) 
3
2 3 sin cos
dx
x x

  
 (mẫu=
3 1
2 2 sin cos
2 2
x x
 
   
 
2
2 2cos 2 1 cos
3 3
1
4sin :
2 6 3
x x
x
Ds
 

    
          
    
  
  
  