Sự tồn tại một nghiệm yếu của phương trình tập mức mặt cực tiểu

SỰ TỒN TẠI MỘT NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH 
TẬP MỨC MẶT CỰC TIỂU
EXISTENCE OF A WEAK SOLUTION OF LEVEL SET MINIMAL SURFACE 
EQUATIONS
NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
TÓM TẮT
Bài báo này đưa ra một phương pháp tập mức để mô phỏng một phương trình của mặt cực 
tiểu. Dựa trên khuôn khổ nghiệm yếu của phương trình tập mức mặt cực tiểu, chúng tôi sẽ 
chứng minh sự tồn tại của một loại nghiệm yếu cho phương trình. Nghiệm này nhận được 
như là giới hạn của một dãy nghiệm cổ điển của các phương trình xấp xỉ tương ứng. Nghiệm 
biểu diễn mặt cực tiểu dưới dạng một tập mức không của nó.
ABSTRACT
This paper aims to provide a level set method for simulation of an equation which describes 
the minimal surfaces. The main focus is set in the framework based on weak solutions of level 
set minimal surface equations. We prove that there exists a weak solution of the equation. The 
solution will be obtained as a limit of a sequence of classical solutions to the correspondent 
aproximation equations. It describes the minimal surface as its zero level set.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Ta nghiên cứu nghiệm yếu của một phương trình mặt cực tiểu trong hình trụ
{ },,'');,'(: Rxxxxx nn ∈Ω∈==Ω
trong đó 'Ω là một miền trơn bị chặn trong 
1−nR )2( ≥n . Cho S là một mặt (n-1)- chiều trong 
nR với biên trơn Ω∂⊂Γ . Ta biểu diễn mặt S dưới dạng một tập mức không của một hàm n 
biến u nào đó. Cụ thể, ta xác định một phương trình cho hàm ),...,()( 1 nxxuxuu == chứa S 
dưới dạng một tập mức không của nó. Bài toán xây dựng mặt cực tiểu S có biên Γ được đưa 
về bài toán tìm một hàm u với dữ kiện biên được cho trên Γ sao cho S là một tập mức không 
của u.
Ta gán giá trị biên cho u bằng cách chọn một hàm trơn Ru →Ω∂:0 sao cho
{ }.0)(| 0 =Ω∂∈=Γ xux
Như ta đã đề cập, mặt S được biểu diễn dưới dạng một tập mức không của u. Tức là
{ }.0)(| =∈= xuRxS n
Vì S là một tập mức không của u, nên pháp vectơ đơn vị trong của S là
,
u
u
∇
∇
−=υ
và độ cong trung bình của S được cho bởi 
.)( 



∇
∇
−=−=
u
udivdivH υ
Vì vậy, ta thu được phương trình mặt cực tiểu cho u với S là một mặt cực tiểu được biểu diễn 
dưới dạng tập mức không của u 
,0=



∇
∇∇−
u
udivu
 trong 
Ω
;
hay
02 =



∇
−
ji
ji
xx
xx
ij u
u
uu
δ
, trong 
Ω
, (1)
với điều kiện biên:
),()( 0 xuxu = với mọi Ω∂∈x . (2)
Ta sẽ chứng tỏ rằng, tồn tại ít nhất một nghiệm yếu cho phương trình (1) với điều kiện biên 
(2).
2. GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN
2.1. Định nghĩa nghiệm yếu
Ta ký hiệu: 
{)( =ΩC |: Ru →Ω u liên tục trên }Ω .
Định nghĩa: Một nghiệm yếu dưới của phương trình (1) là một hàm u
∈ )(ΩC sao cho:
Với mỗi ),(Ω∈
∞Cφ hàm φ−u đạt cực đại địa phương tại một điểm Ω∈0x , thì



≠∇
≤



∇
−
,0)(x khi
0)(
)(
)()(
0
02
0
00
φ
φ
φ
φφ
δ x
x
xx
ji
ji
xx
xx
ij
và ( )



=∇≤∈
≤−
.0)(x khi 1, ,R
0)(
0
n
0
φηη
φηηδ x
ji xxjiij
Định nghĩa: Một nghiệm yếu trên của phương trình (1) là một hàm u
∈ )(ΩC sao cho:
Với mỗi ),(Ω∈
∞Cφ hàm φ−u đạt cực tiểu địa phương tại một điểm Ω∈0x , thì



≠∇
≥



∇
−
,0)(x khi
0)(
)(
)()(
0
02
0
00
φ
φ
φ
φφ
δ x
x
xx
ji
ji
xx
xx
ij
và
( )



=∇≤∈
≥−
.0)(x khi 1, ,R
0)(
0
n
0
φηη
φηηδ x
ji xxjiij
Định nghĩa: Một nghiệm yếu của phương trình (1) là một hàm u
∈ )(ΩC sao cho u vừa là 
nghiệm yếu dưới vừa là nghiệm yếu trên của phương trình (1).
2.2. Sự tồn tại nghiệm yếu
Ta sẽ chứng minh rằng một nghiệm yếu của phương trình (1) với điều kiện biên (2) có thể 
nhận được qua giới hạn khi 0→ε của một họ 0)( >εεu các nghiệm xấp xỉ. Để làm điều này, ta 
xét phương trình
0)1(
22
=







+∇
−+ ε
ε
εε
ε
δε
ji
ji
xx
xx
ij u
u
uu
, trong 
Ω
, (3)
với điều kiện biên:
),()( 0 xuxu =
ε
 với mọi 
Ω∂∈x
. (4)
Lưu ý rằng, các hệ số }{ ija với




+
−+=
22
)1(:)(
ε
δε
p
pp
pa jiijij
thỏa mãn điều kiện elliptic đều
,)(2 jiij pa ξξξε ≤ với mọi 
nn RpR ∈∈ ,ξ
.
Định lý: Giả sử 'Ω là một miền trơn bị chặn và lồi trong 1−nR . Khi đó tồn tại một nghiệm yếu 
của phương trình (1).
Chứng minh: Vì phương trình là elliptic đều và 'Ω là một miền trơn bị chặn và lồi, nên tồn 
tại duy nhất một nghiệm trơn 
εu của phương trình (3) với điều kiện biên (4) trong Ω [2]. Hơn 
nữa, nghiệm 
εu thỏa mãn các đánh giá sau đây:
,,
)()(
Cuu
LL
≤∇
ΩΩ ∞∞
εε
(5)
trong đó C không phụ thuộc vào ε . 
Từ (5), tồn tại một dãy con 101 }{}{ <<
∞
=
⊂ ε
εε uu kk sao cho 
+→ 0kε và uu
k →ε đều địa phương 
trong Ω khi ∞→k . Hàm u do đó là một hàm bị chặn và liên tục Lipschitz. Ta sẽ chứng 
minh rằng u là một nghiệm yếu của phương trình (1).
Giả sử rằng )(Ω∈
∞Cφ và φ−u đạt cực đại ngặt địa phương tại một điểm Ω∈0x . Vì 
uu k →ε đều gần 0x , nên tồn tại một dãy các điểm Ω∈kx sao cho
0xxk → khi ∞→k , và φε −ku đạt cực đại địa phương tại điểm kx . (6)
Vì ku
ε
 và φ là các hàm trơn, nên
φφ εε 22, DuDu kk ≤∇=∇ tại điểm kx .
Vì vậy, ta có
.0)(
)(
)()(
)1(
22
≤



+∇
−+ kxx
kk
kxkx
ijk x
x
xx
ji
ji φ
εφ
φφ
δε
 (7)
Tiếp theo ta giả sử 0)( 0 ≠∇ xφ . Khi đó 0)( ≠∇ kxφ với k đủ lớn và như vậy ta có thể lấy giới 
hạn của (7) khi ∞→k và đưa đến
.0)(
)(
)()(
02
0
00 ≤



∇
− x
x
xx
ji
ji
xx
xx
ij φφ
φφ
δ
(8)
Bây giờ, ta giả sử 0)( 0 =∇ xφ . Đặt
( ) 2/122)(
)(:
kk
kk
x
x
εφ
φη
+∇
∇
=
,
và (7) trở thành
( ) .0)()1( ≤−+ kxxkjkiijk xjiφηηδε (9)
Vì 
,1≤kη
nên ta lấy giới hạn có thể qua một dãy con nếu cần thiết và giả sử rằng 
ηη →k
trong 
nR với .1≤η Cho 
∞→k
 trong (9) và thu được
( ) .0)( 0 ≤− xji xxjiij φηηδ (10)
Nếu φ−u đạt cực đại địa phương nhưng không nhất thiết là cực đại địa phương ngặt tại một 
điểm Ω∈0x , thì ta lặp lại lý luận trên với )(xφ được thay bởi
4)(:)(ˆ xxx += φφ
và thu được (8) và (10).
Hệ quả cho ta u là nghiệm yếu dưới của phương trình (1). Để chứng tỏ u là một nghiệm yếu 
trên của phương trình (1), ta lý luận hoàn toàn tương tự. Vậy u là một nghiệm yếu của phương 
trình (1).
3. KẾT LUẬN
Vấn đề tìm nghiệm của bài toán mặt cực tiểu đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả dưới quan 
điểm mặt là đồ thị của một hàm nhiều biến. Bài báo đã đưa ra một cách tiếp cận khác, đó là 
phương pháp tập mức. Chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại của một loại nghiệm yếu cho 
phương trình. Tính duy nhất của loại nghiệm này chúng tôi sẽ nghiên cứu trong tương lai.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] L. C. Evans, and J. Spruck, Motion of level set by mean curvature I, J. Diff. Geom., 
33(1991), 635-681.
[2] G. Huisken, Flow by mean curvature of convex surfaces into spheres, J. Differential 
Geometry, 20(1984), 237-266.
[3] R. Jensen, The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second 
order partial differential equations, Arch. Rat. Mech. Anal., 101(1988), 1-27.
[4] Ch. D. Nguyen, and R. H. W. Hoppe, Amorphous surface growth via a level set 
approach, J. Nonlinear Analysis & Applications (accepted).