Sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để chứng minh một số bất đẳng thức

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để chứng minh bất đẳng thức 
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC
TRẦN CÔNG DIÊU
TU BÔNG - VẠN NINH - KHÁNH HÒA
Trong mặt phẳng tọa độ :
Mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng : với khác không.
Đường tròn có phương trình tổng quát dạng : với tâm là và bán kính là .
Khoảng cách giữa điểm và là 
Sau đây là một số bài toán được giải bằng phương pháp tọa độ trong mặt phằng!
ví dụ 1: Cho số thực thỏa mãn . Chứng minh:
a/ 
b/ 
Lời giải. Bất đẳng thức a/ được viết lại dưới dạng như sau:
Ta lấy các điểm trên hệ trục tọa độ . Như vậy từ giả thiết các điểm này đều nằm trên vòng tròn tâm tại gốc tọa độ và bán kính bằng .
Bất đẳng thức tương đương với: 
Mà tam giác đều cạnh là tam giác có chu vi lớn nhất trong các tam giác nội tiếp trong đường tròn bán kính có tâm tại gốc tọa độ nên ta có điều phải chứng minh!
Bất đẳng thức b/ tương đương với :
Mà ở đây 
Tam giác đều cạnh nội tiếp trong đường tròn tâm bán kính có diện tích lớn nhất nên suy ra . Vậy ta có điều phải chứng minh.
Dấu trong cả hai bất đẳng thức a/, b/ điều xảy ra khi và chỉ khi tam giác là tam giác đều, đạt tại:
hoặc 
VÍ DỤ 2. Cho các số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
(Olympic 30-4 năm 2007)
Lời giải. Biểu thức viết lại dưới dạng như sau:
Đặt và 
Như vậy, ta có:
Mà nên . ( Đẳng thức xảy ra khi là hình chiếu của trên )
Suy ra 
Vậy đạt được khi và chỉ khi 
Chẳng hạng với 
VÍ DỤ 3. Cho hai số thực thỏa mãn: 
. Chứng minh:
a/ 
b/ 
Lời giải. Giả thiết có thể biến đổi lại như sau: 
Vì vậy a/ đúng khi và chỉ khi 
Xét hệ trục tọa độ , lấy điểm thỏa mãn như vậy tâm .
Nối cắt tại và khi đó với mọi ta có: . Vậy a/ đã được chứng minh!
Dấu bằng bên trái xảy ra khi 
Dấu bằng bên phải xảy ra khi 
Để chứng minh b/, ta vẽ tiếp tuyến . Đặt suy ra 
suy ra 
Khi đó với mọi điểm ta có:
hay 
Suy ra , vậy ta có điều phải chứng minh!
Dấu bằng xảy ra khi 
VÍ DỤ 4. Cho là số thực thỏa mãn , 
Chứng minh 
Lời giải. Ta viết lại giả thiết như sau: 
và 
Như vậy các điểm tương ứng nằm trên vòng tròn tâm bán kính và vòng tròn tâm bán kính .
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Nối với cắt vòng tròn bé tại và vòng tròn lớn tại 
Hiển nhiên và ta lại có 
Mà 
Tương tự vây từ ta có điều phải chứng minh.
Dấu bên phải xảy ra khi và chỉ khi 
Dấu bên phải xảy ra khi và chỉ khi 
VÍ DỤ 5. Cho các số thực thỏa mãn và 
Chứng minh 
Lời giải. Từ giả thiết bất đẳng thức được viết lại dưới dạng như sau 
Lấy các điểm trên hệ trục tọa độ thì rõ ràng nằm trên vòng tròn tâm bán kính và nằm trên vòng tròn tâm bán kính , nên 
Mà ta luôn có vì 
và vậy từ đúng!
Dấu bằng bên phải xảy ra khi và chỉ khi trùng và trùng đạt tại 
Dấu bằng bên trái xảy ra khi và chỉ khi trùng , trùng đạt tại 
Qua các ví dụ trên các bạn có thể dễ dàng nhận ra các bài toán có dạng tương tự, các bài toán sau cũng giải bằng phương pháp này:
Bài 1. Cho số thực thỏa mãn , 
Chứng minh 
Bài 2. Cho là số thực bất kì
Chứng minh 
Bài 3. Cho các số thực thỏa mãn , 
Chứng minh 
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]