Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng phép dời hình để giải Toán

phần mở đầu
 1. Lí do chọn đề tài :
Trong chương trình Hình Học 11, sách giáo khoa có phần : "Phép dời hình và phép đồng dạng."
Phần này không chỉ nhằm cung cấp cho học sinh những công cụ mới để giải toán mà còn tập cho học sinh làm quen với các phương pháp tư duy và suy luận mới.
Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy, bản thân tôi còn gặp không ít khó khăn. Đặc biệt là đối tượng học sinh có trình độ nhận thức và tư duy còn yếu, không đồng đều. Do đó tôi luôn suy nghĩ phải làm thế nào để các em có thể nắm bắt được kiến thức cơ bản nhanh nhất và vận dụng linh hoạt để giải toán.
Hơn nữa, có thể phần nào giúp các em bớt lo lắng và thêm phần say mê trong học tập.
Chính vì những điều đó mà tôi đã mạnh dạn nghiên cứu và viết đề tài này: " Vận dụng phép dời hình để giải Toán ".
2. Giới hạn của đề tài :
Phép dời hình.
3. Phương pháp nghiên cứu:
- Sưu tầm nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài.
- Khảo sát tình hình học tập của học sinh.
4. Cấu trúc đề tài:
Phần mở đầu.
1. Lý do chọn đề tài.
2. Giới hạn đề tài.
3. Phương pháp nghiên cứu.
4. Cấu trúc đề tài.
Phần nội dung.
A. Định nghĩa và các tính chất của phép dời hình.
 B. áp dụng một số phép dời hình dể giải Toán.
I. Phép đối xứng trục
II. Phép đối xứng tâm	
III. Phép tịnh tiến.
IV. Phép quay.
C. Kết thúc.
Phần nội dung :
A. Định nghĩa và các tính chất của phép dời hình:
I. Định nghĩa:
Phép dời hình là một quy tắc để với mỗi điểm M có thể xác định được một điểm M' ( gọi là tương ứng với M )sao cho với hai điểm M', N' tương ứng với M,N thì : M'N' = MN.
II. Tính chất :
1. Phép dời hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điẻm bất kỳ.
2. Phép dời hình biến 3 điểm A,B,C thẳng hàng với B nằm giữa A,C thành 3 điểm A',B',C' thẳng hàng với B' nằm giữa A',C'.3. Phép dời hình biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến một doạn thănghr thành một đoạn thẳng bằng nó.
4. Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giácbằng nó, biến một góc thành một góc bằng nó, biến một đường tròn thành mmột đường tròn bằng nó,với tâm đường tròn này biến thành tâm đường tròn kia.
5. Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình
Mở rộng:
Tích của n phép dời hình là một phép dời hình.
B. áp dụng một số phép dời hình để giải toán:
I. Phép đối xứng trục:
1. Định nghĩa:
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M một điểm M' đối xứng M qua đường thẳng d gọi là phép đối xứng trục.
d : trục đối xứng
Kí hiệu : Đd(M) = M'
* Chú ý: cho Đd
- Nếu M ẻ d thì M' º M
- Đd Hoàn toàn xác định khi biết d
- Đường thắng a vuông góc với d sẽ biến thành chính nó
2. Bài tập áp dụng:
Bài số 1:
 Cho 2 điểm phân biệt A,B cùng nằm trong nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d cho trước. Hãy tìm trên d một điểm M sao cho tổng AM + MB nhỏ nhất ?
Lời giải: 
Đd(A) =A' ; Mọi M ẻ d:
AM +MB = A'M + MB
Để AM + MB nhỏ nhất
thì A'M + MB nhỏ nhất .
Điều đó xẩy ra khi A',M,B thẳng hàng
Vậy {M} = A'B ầ d.
Bài số 2:
Cho góc nhọn xOy và đường thẳng d cắt Oy tại S. Dựng đường thẳng m vuông góc với d, cắt Ox , Oy tại A,B sao cho A,B cách đều d ?
Lời giải:	m
* phân tích : Giả sử đã 	A	x
dựng được đường thẳng 	d
m thoả mãn điều kiện 	O
đề bài, Ta có: 
Đd(B) = A	S	B y
Mà B ẻ Oy nên nằm trên	O'
đường thẳng ảnh của Oy qua Đd: O'y'
Suy ra; {A} = O'y' ầ Ox
* Cách xác định M:
Đd(O) = O' ; Đd(S) = S đ Đd(Oy) =O'S đ O'S ầ Ox = {A}
Đd(A) = B . m là đường thẳng qua AB.
Bài số 3:
Cho góc nhọn xOy và điểm A thuộc miền trong góc này. Tìm trên Ox một điểm B, trên Oy một điểm C sao cho DABC có chu vi nhỏ nhất.
Lời giải:
Đox(A) = A1
Đoy(A) = A2
A1A2 ầ Ox = {B}
A1A2 ầ Oy = {C}
đDABC có chu vi nhỏ nhất.
Chứng minh:
CV DABC = AB + BC +CA 
=A1B + BC + CA2 = A1A2
"B1ẻ Ox , C1ẻ Oy 
B1ạ B , C1ạ C
CV DAB1C1 = A1B1 + B1C1 + C1A2 > A1A2.
Bài số 4:
Cho hai đường tròn (Q),(Q') và một đường thẳng d . Xác định hình vuông ABCD có A,C lần lượt nằm trên (Q), (Q'), còn B,D nằm trên d?
Lời giải:
* Phân tích: Giả sử ta đã dựng được hình vuông ABCD thoả mãn đề bài.
Suy ra:ĐBD(A) = C ; mà A ẻ (Q) nên C ẻ (Q1) là ảnh của (Q) qua ĐBD . Suy ra : {C} = (Q1) ầ (Q').
Từ đó suy ra cách xác định hình vuông ABCD thoả mãn điều kiện đề bài như sau: Đd(Q) = (Q1) 
đ{C} = (Q1) ầ (Q') ; Đd(C) = A
Giả sử AC ầ d = {I} ; trên d lấy B,D sao cho IB = ID = IA =IC 
Khi đó ta xác định được hình vuông ABCD .
* Biện luận: 
- Nếu (Q1)ầ (Q') {C; C'}đ Bài toán có 2 nghiệm.
- Nếu (Q1) ầ (Q') = {C}đ Bài toán có một nghiệm.
- Nếu (Q1) ầ (Q') =f đ Bài toán vô nghiệm.
Bài số 5:
Cho DABC và một điểm P nằm trong tam giác. Dựng D cân đỉnh P có đáy song song với BC và có 2 đỉnh làn lượt thuộc AB,AC của DABc.
Lời giải:
* Phân tích: Giả sử đã 
dựng được DPBC thoả mãn 
điều kiện đề baì . Thế thì :
với IB = IC ta có PI ^ BC 
Do đó: ĐPI(B1) = C1
Mà B1ẻ AB nên C1ẻ A'B'
là ảnh của AB qua ĐPI.
Suy ra: {C1} = A'B'ầ AC.
* Cách xác định:
Vì BC // B1C1 nên kẻ đường thẳng qua P, vuông với BC (giả sử đường thẳng đó là d).
Đd(AB) = A'B' ; A'B' ầ AC = {C1} ; Đd(C1) = B1
Khi đó ta có : DPB1C1 là tam giác cần tìm thoả mãn đề bài.
Bài số 6:
Cho 2 đường thẳng cắt nhau x,y và 2 điểm A,B không nằm trên x,y. Xác định 2 điểm C,D lần lượt nằm trên 2 đường thẳng x,y sao cho tứ giác ABCD là hình thang cân có AB là cạnh đáy.
Lời giải:
Gọi d là đường trung 
trựccủa AB. Đd(x) = x'.
Khi đó: x'ầ y = {D}
Ta lại có Đd(D) = C ẻ x.
Vậy ABCD là
 hình thang cần tìm.
* Biện luận:
- Nếu x'ầ y = {D!} đ Bài toán có 1 nghiệm.
- Nếu x' // y đ Bài toán vô nghiệm.
- Nếu x' º y đ bài toán vô số nghiệm.
II. Phép đối xứng tâm:
1. Định nghĩa:
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M một điểm M' đối xứng với M qua O đ Phép đối xứng tâm.
O : Tâm đối xứng
KH : Đo(M) = M'.
* Chú ý: Cho Đo
- Nếu M º O thì M' º O.
- Đo hoàn toàn xác định khi biết O.
- Mọi đường thẳng qua O đều biến thành chính nó.
 2. Bài toán áp dụng:
Bài số 1:
Cho ^xOy và một điểm A thuộc miền trong góc đó. Hãy xác định đường thẳng qua A cắt õ tại B, cắt Oy tại C sao cho A là trung điểm của BC.
Lời giải:
Vì A là trung điểm BC
nên ta có ĐA(B) =C .
Vậy ta có cách xác định
đường thẳng qua A cắt
Ox, Oy lần lượt tại B,C
sao cho AB = AC :
ĐA(Ox) = x'
Khi đó x'ầ Oy = {C}
ĐA(C) = B ẻ Ox
Vậy đường thẳng cần tìm là BC.
Bài số 2:
Cho hai đường tròn đồng tâm O, có bán kính lần lượt là R, r (R>r ). Hãy xác định đường thẳng qua điểm A nằm trên (O;r), cắt đường tròn (O;r) tại B, cắt (O;R) tại C,D sao cho : CD = 3AB
Lời giải:
* Phân tích:
Theo g/t: CD = 3AB
đ AB = BC = AD.
đ Alà trung điểm của BD
Khi đó : ĐA(B) = D
Mà B ẻ (O;r) nên D ẻ (O';r)
là ảnh của (O;r) qua ĐA
* Cách xác định:
Lấy bất kì A ẻ (;r)
ĐA(O;r) = (O';r)
Khi đó : (O;r) ầ (O;R) = {D}
DA ầ (O;r) = {B} ; DA ầ (O;R) = {C} 
Vậy đường thẳng cần tìm là DC thoả mãn ĐK đề bài.
* Biện luận:
Do r < R , mà Aẻ (O;r) nên (O;r) ầ (O';r) ={D,D'}
Suy ra bào toán có 2 nghiệm hình.
Bái số 3:
Xác định hình bình hành ABCD , cho biết 2 đỉnh A,C, còn 2 đỉnh B,D nằm trên (O;R) cho trước?
Lời giải:
* Phân tích:
vì ABCD là HBH nên
AC ầ BD = {I} với I
là trung điểm mỗi đường.
Từ đó :
đ B,D là ảnh của 
nhau qua ĐI
đ B,D nằm trên (O') là 
ảnh của (O) qua ĐI.
* Cách xác định:
Láy trung điểm I của AC , ĐI(O) =(O').
Khi đó: (O') ầ (O) = {B,D}.
Ta có hình bình hành ABCD thoả mãn ĐK đề bài.
* Biện luận:
- Nếu I thuộc miền trong (O) thì XĐ 1 hình bình hành ABCD.
- Nếu I thuộc miền ngoài (O) thì bài toán vô nghiệm.
- Nếu I ẻ (O) thì B º D º I suy ra HBH suy biến thành đoạn thẳng AC.
Bài số 4:
Cho 2 đường thẳng a, b và (O;R). Xác định hình vuông ABCD sao cho Aẻ(O); C ẻ b ; B,D ẻ a.
(H/S tự giải )
Bài số 5:
Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp một đường tròn cho trước. Từ M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA vẽ các đường thẳng vuông góc với cạnh đối diện tương ứng. Chứng minh các đường thẳng này đồng quy.
Lời giải:
Theo g/t: MQ // NP
MN // PQ đ MNPQ 
là hình bình hành.
Gọi {I} = MP ầ NQ 
Ta có: ĐI(M) = P
Suy ra ĐI biến MO 
thành đường thẳng P
song song với MO, 
Đó chính là đường thẳng PP1.
Tương tự : 
ĐI : NO đ QQ1 , PO đ MM1 , QO đ NN1
Mà MO,NO,PO,QO đồng quy tại O
Nên PP1, QQ1, MM1, NN1 đồng quy tại O' với ĐI(O) = O'
III. Phép tịnh tiến:
1. Định nghĩa:
Phép đặt tương ứng với mỗi điểm M, mộtđiểm M' sao cho :
MM' = v ạ O cho trước ị Phép tịnh tiến theo v .
 v : Véc tơ tịnh tiến
Kí hiệu : Tv (M) = M'
* Chú ý :
- đường thẳng song song với véc tơ tịnh tiến sẽ biến thành chính nó
- Tv hoàn toàn xác định khi biết v .
2. Bài toán áp dụng:
Bài số 1:
Cho 2 đường thẳng cắt nhau d và d' , 2điểm A,B không thuộc d,d' . Tìm M ẻd; M' ẻ d' sao cho ABMM' là hình bình hành ?
Lời giải:
* Nhận xét: 
Vì MM' = BA 
nên T BA : M đ M'.
Mà M ẻ d , nên M' ẻ d'' 
là ảnh của d qua TBA .
vậy {M'} = d' ầ d'' .
Do đó ta có cách xác định M,M' :
TBA : d đ d'' ; d'' ầ d' = {M'} ; 
TAB (M') = M ẻ d.
Vậy M,M' là 2 diểm cần tìm thoả mãn điều kiện ABMM' là HBH.
Bài số 2:
Cho (O;R) và điểm M ẻ (O). Cho đoạn AB trong đó A,B không nằm trên đường tròn cho trước . Tìm tập hợp các điểm M' là đỉnh còn lại của hình bình hành ABMM' khi m thuộc đường tròn cho trước.
Lời giải:
Vì ABMM' là HBH nên MM' = BA đ TBA (M) = M'
Mà M ẻ (O) nên M' ẻ (O') là ảnh của (O) qua TBA.
Vậy {M'} là (O') với (O') là ảnh của (O) qua TBA .
Vẽ Hình
Bài số 3 :
Cho DABC . Tìm điểm M bên cạnh AB và N bên cạnh AC sao cho MN // BC và AM = CN.
Lời giải:
 A 
	M 	N
	B	C
 D
* Phân tích : 
Nếu qua m kẻ đường thẳng song song với AC , cắt BC tại D thì tứ giác MNCD là hình bình hành.
đ MD = NC mà NC = AM (gt) đ MD = MA đ DMAD cân đỉnh M.
đ ^MDA = ^MAD mà ^MDA = ^CAD (gt) đ ^MAD = ^NAD đ AD là đường phân giác của ^BAC.
* Cách xác định M,N:
Kẻ đường phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Qua D Kẻ đường thẳng // AC , cắt AB tại M , TDC (M) = N với N ẻ AC.
Vậy 2điểm M,N được xác định thoả mãn đề bài.
Bài số 4:
 Cho (O;R) và 2 điểm B,C cố định thuộc (O;R) . một điểm A di động trên đường tròn đó. Tìm quy tích trực tâm H của tam giác ABC?
Lời giải:
	A	
	D
	B	C
Kẻ đường kính BD, 
vì AH ^ BC , DC ^ BC đ AH // DC (1)
Tương tự : CH ^ AB , DA ^ AB đ CH // DA (2)
Từ (1), (2) đ ABCD là hình bình hành 
AH = DC mà DC cố định nên:
TDC (A) = H 
Mà A ẻ (O;R) nên H ẻ (O';R) là ảnh của (O;R) qua TDC.
 Vậy quỹ tích trực tâm H của DABC là (O';R) .
IV. Phép quay:
1. định nghĩa:
Cho hai đường thẳng a,b cắt nhau tại O . Với mỗi điểm M ta xác định điểm M' như sau:
Đa(M) = M1 ; Đb(M1) = M'.
Phép đặt tương ứng với mỗi điểm M một điểm M' xác định như trên gọi là phép quay tâm O.
Trong đó : 
O : Tâm phép quay .
OM = OM' : Bán kính quay .
^MOM' = a : Góc quay.
Kí hiệu : QOa.
2. Chú ý:
- QOa(O) = O
- Khi a = 180 o thì QOa º ĐO 
- QOa xác định khi biết O và a.
3. Vận dụng giải toán:
Bài số 1:
Cho 2 đường thẳng a // b , với một điểm C không nằm trên 2 đường thẳng đó . Tìm trên a,b lần lượt 2 điểm A,B sao cho DABC đều.
Lời giải:
* Nhận xét: 
Vì DABC đều 
nên QC60 : B đ A
mà B ẻ b nên A ẻ b' 
là ảnh của b qua QC60 .
Theo gt : A ẻ a nên 
{A} = a ầ b'
Suy ra cách xác định A,B như sau:
QC60 (b) = b' khi đó b' ầ a = {A}
QC-60 (A) = B . Hai điểm A,B cần tìm thoả mãn đề bài.
* Biện luận:
Bài toán có hai ngjhiệm hình :
Với QC-60 (b) = b" đ b" ầ a = {A'} ; QC60 (A') = B' 
đ DCA'B' đều.
Bài số 2: 
Cho DABC trên AB, AC dựng ra phía ngoài các hình vuông ABMN và ACPQ.
a) C/M : NC ^ BQ ; BQ = NC
b) Gọi Mlà trung điểm của BC . C/M : AM ^ QN.
Lời giải:
a) Ta có: 
QA90 (N) = B
QA90 (C) = Q
ị NC biến thành BQ
Qua QA90
Vậy : NC ^ BQ
NC = BQ
b) ĐA(B) = (B1)
QA90(C; B1) = (Q; N)
Do đó : CB1 ^ QN.
Mà AN là đường trung bình của tam giác CBB1 nên AM // CB
Do đó : AM ^ QN.
Bài số 3:
Cho Mdi chuyển trên nửa đường tròn (O;AB) . dựng ra ngoài DAMB một hình vuông MBCD.
a) Tìm quỹ tích đỉnh C khi M vạch ra nửa đường tròn nói trên.
b) Trên tia Bx vuông góc với AB tai B và nằm cùng phía với nửa đường tròn, lấy O' sao cho: BO' = BO ; C/M OM ^ O'C.
Lời giải:
a) Ta có : QB-90(M) = C 
mà M di chuyển 
trên (O;AB) nên C
di chuyển trên (O1;A'B') 
(A'B' = AB) sao cho :
(O1) là ảnh của (O) 
qua QB-90 (theo gt O1 º O')
b) Vì QB-90 {O;M} = {O';C'} nên OM ^ O'C , 
(ta còn suy ra OM = O'C)
Bài số 4:
Qua tâm G của DABC đều , Kẻ đường thẳng a cắt BC tại M, cắt AB tại N , kẻ đường thẳng b cắt AC tại P và cắt AB tại Q, Đồng thời tạo với a một góc 600. C/M: Tứ giác MPNQ là hình thang cân.
Lời giải:
Ta có : 
a ầ CB = {M} 
b ầ BA = {Q}
mà : QG-120 biến
a thành b (1)
C thành B ; B thành A
ị CB đ BA (2)
Từ (1), (2) ị M đ Q
ị GM = GQ.
ị DGMQ cân
Tương tự: DGNP cân ị MQ // NP và NQ = MP.
Vậy MPNQ là hình thang cân.
V. Phần tham khảo:
Mối quan hệ giữa phép đối xứng trục, phép tịnh tiến và phép quay.
1. Tích của 2 phép đối xứng trục theo thứ tự có trục là D1 và D2 song song với nhau là một phép tịnh tiến theo một véc tơ v có phương vuông góc với 2 trục, có hướng từ D1 đến D2 và có mô đun bằng hai lần khoẩng cách giửa hai trục đó.
2. Tích của 2 phép đối xứng trục theo thứ tự có 2 trục D1 , D 2 cắt nhau ở một điểm O là một phép quay tâm O , góc quay a 2(D1,D2).
3. Tích của một phép tịnh tiến và một phép quay góc a là một phép quay góc a.
4. Tích cua 2 phép quay có tâm khác nhau, nói chung là một phép quay với góc quay bằng tổng của 2 góc quay của 2 phép quay đã cho ( Đặc biệt đó sẽ là một phép tịnh tiến nếu 2 phép quay đã chốc các góc đối nhau.)
C. Kết luận:
Do điều kiện có hạn, nên đề tài này chỉ nhằm mục đích hệ thống hoá một số phép dời hình cơ bản. Qua đó đưa ra cho mỗi phần một số bài toán nhằm củng cố kỹ năng vận dụng, thực hành .
Cuối cùng rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến xây dựng của quý bạn đọc và đồng nghiệp.
 Cảm Nhân , tháng 04 năm 2009.
 Người viết đề tài
 Lê Viết Hiến