Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương pháp đẳng cấp vào giải một số dạng toán

Sở GD & ĐT Nghệ An
Trường THPT Bắc Yên Thành
----------- *** -----------
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẲNG CẤP
VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Người thực hiện: Nguyễn Hữu Thanh
 Đơn vị: Tổ Toán – Tin học; 
 Trường THPT Bắc Yên Thành
 Thời gian thực hiện: Tháng 5/ 2011
Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trang bị những tri thức, phương pháp và phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh là các mục tiêu được đặt lên hàng đầu trong các mục tiêu dạy học môn toán. Trong quá trình dạy học chúng tôi luôn tìm tòi các ví dụ điển hình tổng hợp thành các phương pháp giải cụ thể cho học sinh đồng thời hướng dẫn học sinh biết nhận dạng bài toán và phát triển nó để áp dụng vào việc giải những bài toán khác. Do vậy tôi trình bày ra đây đề tài “ Sử dụng phương pháp đẳng cấp vào giải một số dạng toán”.
Đây không phải là phương pháp mới, trong chương trình Toán phổ thông cũ cũng đã nêu ra phương trình lượng giác đẳng cấp, hệ phương trình đẳng cấp bậc 2. Và hiện tại nội dung này đang được một số tài liệu tham khảo trình bày. 
Tuy nhiên mục đích của đề tài là: Trang bị đầy đủ hơn cho học sinh phương pháp giải một số dạng toán. Đối với một số bài toán cụ thể thì giải theo phương pháp này tỏ ra hiệu quả và có thể là phương pháp duy nhất.
Phần II. NỘI DUNG
I. ỨNG DỤNG VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Trong SGK ĐS & GT 11 - Chuẩn có nêu ví dụ như sau:
Giải phương trình: (1)
Thực hiện chia 2 vế của phương trình cho cos2x, đưa về phương trình bậc 2 đối với tanx là .
	Việc giải phương trình trên không phải là việc khó và học sinh hoàn toàn có khả năng tiếp nhận kiến thức lời giải. Nhưng khi đứng trước bài toán giải phương trình (2) thì có rất nhiều em lại lúng túng và khó khăn đi tìm lời giải.
	Quay lại với phương trình (1), ta xem có bậc bằng 2, khi đó dễ nhận ra phương trình (2) là đẳng cấp bậc 3, vì . Như vậy có thể giải PT (2) như sau:
	Ví dụ 1. Giải phương trình (2)
	Với cosx = 0 không thoả mãn phương trình, vậy , chia 2 vế của phương trình (2) cho cos3x ta được
.
	Ví dụ 2. Trong đề thi ĐH – CĐ 2008 có bài toán giải phương trình (3). Ta có hai lời giải cho bài toán trên là
	Cách giải 1. Biến đổi về phương trình dạng tích
Theo cách giải này thì có ngắn gọn nhưng không định hướng được kết quả biến đổi, đòi hỏi kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử của mỗi học sinh. Không có thuật toán.
	Cách giải 2. Sử dụng phương pháp đẳng cấp
Vì cosx = 0 không thoả mãn phương trình (3). Vậy , chia hai vế của PT (3) cho cos3x ta được:
Với cách giải 2 thì thường phát hiện được ngay từ ban đầu và đã có thuật toán. Nhưng nhược điểm là có thể dài hơn cách giải trên.
Ví dụ 3. Giải phương trình .
Giải
ĐK: . Đặt 
 Được phương trình: 5ab = 2(a2 + b2) (*), đây là phương trình đẳng cấp bậc hai.
(*)
- Với : , Bình phương 2 vế , thấy vô nghiệm
Với: . 
Đáp số: 
II. ỨNG DỤNG VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình (I)
Nhận xét: Đây là hệ đối xứng, đa số học sinh đều giải theo cách của hệ đối xứng. Nhưng sẽ gặp khó khăn. 
Theo quan điểm đẳng cấp thì hệ (I) được viết lại
(2) là phương trình đẳng cấp bậc 5 và . Do đó nghiệm của hệ là (1; 0) và (0; 1).
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 
Nhận xét: 
Hệ phương trình trên không có quy tắc giải cụ thể nào. Học sinh thường sử dụng các kỹ năng biến như: Từ một phương trình của hệ biến đổi đưa về dạng tích, từ đó rút và thế vào phương trình còn lại hoặc tìm cách đặt ẩn phụ chuyển về hệ đã có cách giải. Tuy nhiên với việc giải hệ này thì những kỹ năng trên hầu như không giải quyết được.
	Nếu nhận biết rằng ở PT (1) chứa cấp 1 và cấp 3, PT (2) chứa cấp 2. Vậy ta có thể có thể chuyển về được một phương trình đẳng cấp hay không?
	Suy nghĩ như vậy, ta được lời giải là: 
, do (2).
Hay: , vì y = 0 không thoả mãn hệ.
Đặt 
Với thế vào phương trình (2) vô nghiệm.
 Với Thế vào (2) được: 
Với , thế vào (2) thì vô nghiệm.
Kết luận: Hệ có hai nghiệm (3; 2) và (-3; -2).
	Sau đây là bài toán nữa củng sử dụng phương pháp đẳng cấp vào giải hệ phương trình.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 
Giải. 
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) là (2; 1) và (-2; -1).
III. ỨNG DỤNG VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Ví dụ 1. Cho x, y là các số thực thoả mãn x2 + xy + y2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = x2 -3xy + 5y2.
	Nhận xét rằng biểu thức A đẳng cấp bậc hai, điều kiện giải thiết củng có tính chất đẳng cấp bậc hai. 
	Do đó, bài toán trở thành tìm điều kiện của A để hệ phương trình sau có nghiệm . Từ đó suy ra đáp số bài toán.
	Ta có hướng trình bày khác là: 
- Với y = 0 .
- Với , đặt ta đ ư ợc . Xét hàm s ố với .
Trên cơ sở đó kết luận được bài toán.
	Như vậy, ta có thể giải được lớp các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức đẳng cấp khi giả thiết củng cho dưới dạng đẳng cấp. Chẳng hạn:
	Ví dụ 2. Cho các số thực x và y thoả mãn điều kiện x2 – xy + y2 = 1. Tìm giái trị lớn nhất , nhỏ nhất của A = x2 + xy.
Ví dụ 3. (Thi ĐH khối B, 2008). 
Cho x và y là các số thực thoả mãn x2 + y 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
	Để ý rằng . 
Khi đó giải tương tự như ví dụ 1.
Phần III. KẾT LUẬN
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy Toán ở trường phổ thông. Qua thực tế giảng dạy ở trường THPT với nội dung và phương pháp nêu trên đã giúp cho học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về cấch giải một số dạng toán. Thực tế cho thấy học sinh khá giỏi và đối tượng học sinh ôn thi Đại học, Cao đẳng rất hứng thú khi được phương pháp trên.
	Với phương pháp này, có thể áp dụng vào giải nhiều bài toán khác nữa và có thể áp dụng để giải một số bất phương trình, chẳng hạn: Giải bất phương trình: Chúng tôi đang cố gắng để có thể trình bày vào thời gian sắp tới.
	Mặc dù bản thân đã cố gắng nhiều, song những điều viết ra có thể không tránh khỏi sai sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp và bạn đọc nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập.
---------------------------------------------------------------------------
TÀI LIỆU THAM KHẢO
	[1]. SGK Đại số và giải tich 11 - chuẩn. Nxb Giáo dục 2008
	[2]. Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học & Tuổi trẻ. Nxb Giáo dục 2005
	[3]. Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ của Bộ giáo dục & đào tạo từ năm 2002 đến 2010.