Sáng kiến kinh nghiệm môn Giải tích 12

	II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận
a) Tìm số nghiệm của phương trình
 Xét PT , (1) . Trong đó là ẩn thực và là tham số thực
- Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số ( có thể nhận thấy hình dạng đồ thị hàm số thông qua BBT của nó ) và đường thẳng là đường thẳng vuông góc với trục Oy tại điểm có tung độ bằng . 
- các nghiệm của PT (1) chính là hoành độ của các giao điểm. b) Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số
* Từ việc lập BBT của hàm số trên tập xác định của nó ta sẽ tìm thấy những điểm trên đồ thị có tung độ lớn nhất ( nhỏ nhất ) các giá trị đó chính là GTLN ( GTNN ) của hàm số .
* Nếu hàm số xác định và liên tục trên đoạn thì ta có thể tìm GTLN và GTNN theo các bước sau :
- Tìm các điểm trên đoạn mà tại đóbằng 0 hoặc không xác định
- Tính các giá trị 
- Số lớn nhất ( bé nhất ) trong các số trên là GTLN (GTNN ) của hàm số trên đoạn 
c) Tìm tham số trong bài toán bất phương trình
Nếu hàm số có GTLN và GTNN trên tập xác định khi đó
 BPT : thỏa mãn khi và chỉ khi 
 thỏa mãn khi và chỉ khi 
 có nghiệm khi và chỉ khi 
 có nghiệm khi và chỉ khi 
Trong trường hợp hàm số không có GTLN hoặc GTNN trên tập ta phải kết hợp với BBT hoặc đồ thị của nó để có kết luận thích hợp 
................................................................................................................................
 Câu I. ( 3 điểm ) Tìm tham số để PT sau có nghiệm duy nhất:
 (1)	
 Câu II. ( 3 điểm ) Tìm GTLN và GTNN của hàm số
 Câu III. ( 4 điểm ) Cho PT: (2)
Giải PT (2) khi 
Tìm tham số để PT (2) có nghiệm
 Câu I . 
ĐK ; PT (1) (1a)
PT (1) có nghiệm duy nhất PT (1a) có đúng một nghiệm thỏa mãn tức là đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại đúng một điểm trên khoảng 
 là hàm số bậc hai có hệ số dương nên có bảng biến thiên sau:
1 2 +
 0
 -1
Từ BBT suy ra là ĐK phải tìm
Câu II . TXĐ: ; Đặt 
Theo BĐT Cosi : 
Ta được 
Đặt 
 ( để học sinh hiểu rõ tính chất trên cần biểu diễn trên đường tròn lượng giác )
Thì với 
Bảng biến thiên của hàm số bậc hai 
 1
Từ BBT suy ra 
Câu III. TXĐ: ; Đặt 
 PT (2) trở thành: (2a)
1. Khi ta có PT: 
 Với 
 Với , vô nghiệm vì vế trái 
Vậy khi PT đã cho có nghiệm 
3. Ta phải tìm ĐK của 
 và 
Mặt khác theo tính chất 
 Vậy 
PT (2) có nghiệm PT (2a) có nghiệm 
Xét hàm số trên đoạn 
Có bảng biến thiên 
-1 0 1 
 -1
 3
Từ BBT suy ra ĐK phải tìm là 
Những sai lầm của học sinh trong khi làm bài kiểm tra :
Câu I : Sau khi biến đổi về PT (1a) 
- Một số trường hợp chỉ yêu cầu biệt thức đenta bằng không mà không quan tâm đến ĐK
- Một số trường hợp đã tính các nghiệm và so sánh với số 1 nhưng xét chưa hết các trường hợp 
Câu II : Sau khi đặt 
- Một số trường hợp không có ĐK của 
- Một số trường hợp cho rằng 
Câu III :
a. Một số trường hợp không có lời giải mặc dù ý này có thể giải theo nhiều cách: đặt một ẩn phụ như trên hoặc đặt hai ẩn phụ và quy PT đã cho về hệ PT.
b. Hầu hết học sinh làm sai vì không nghĩ đến việc tìm ĐK của ẩn phụ hoặc có tìm ĐK nhưng tìm không chính xác.
................................................................................................................................
 Để cho việc tiếp thu bài học được dễ dàng tôi chia nội dung bài viết của mình thành bốn phần sau:
Phương trình , bất phương trình bậc cao một ẩn
Phương trình , bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
Phương trình lượng giác
Phương trình , bất phương trình mũ và logarit
	PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO MỘT ẨN
Bài 1. Tìm tham số để PT: , (1) có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng một nghiệm bé hơn 1
Giải 
 PT (1) , (1a) . 
Yêu cầu của đề bài tương đương với PT (1a) có ba nghiệm phân biệt sao cho tức là đường thẳng phải cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn 
Ta có 
 ; 
Bảng biến thiên của hàm số 
 -4
- 0 1 2 + 
x
 + 0 - - 0 +
 0
 -2
 Từ BBT suy ra điều kiện phải tìm là 
Nhận xét: Nghiệm của (1a) là hoành độ giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm số tức là từ mỗi giao điểm ta chiếu vuông góc lên trục hoành sẽ suy ra vị trí các nghiệm.
Bài 2. Biện luận theo số nghiệm của PT: , (2)
Giải
Đặt 
PT (2) trở thành , (2a)
Xét hàm số với có 
Bảng biến thiên của hàm số 
 +
-
Từ BBT ta thấy 
Nếu ( 2a) không có nghiệm nên ( 2) vô nghiệm
Nếu ( 2a) có một nghiệm nên ( 2) có một nghiệm 
Nếu ( 2a) có một nghiệm nên ( 2) có hai nghiệm phân biệt
Nhận xét:
Thay vì việc khai dấu giá trị tuyệt đối ta thực hiện việc đặt ẩn phụ để có lời giải ngắn gọn hơn
Lưu ý quan hệ giữa số nghiệm theo ẩn và số nghiệm theo ẩn 
Bài 3. Tìm tham số để PT: , ( 3) 
 có ba nghiệm phân biệt 
Giải 
Yêu cầu của đề bài tương đương với đường thẳng phải cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt (*) 
Ta có 
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi , khi đó và là các điểm cực trị của hàm số các giá trị cực trị là và 
Theo ĐK (*) suy ra số -4 phải là giá trị cực tiểu do đó số sẽ là giá trị cực đại 
 Thử lại : Khi .Lập bảng xét dấu suy ra là điểm cực tiểu , là điểm cực đại và các giá trị cực trị thỏa mãn ĐK (*)
 Vậy ĐK phải tìm là 
Tổng quát: 
Xét hàm số với 
 - Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi PT có hai nghiệm phân biệt
 - PT có ba nghiệm phân biệt điều kiện cần và đủ là 
Bài 4. Biện luận theo số nghiệm của PT sau :
 , ( 4 )
Giải 
PT ( 4) tương đương với
Để biện luận số nghiệm của PT (4) trước hết ta biện luận số nghiệm của PT (4a)
Xét hàm số 
 ; 
Bảng biến thiên
 1 2 3 
 28
 23
 27
 + + 0 - 0 +
Từ BBT suy ra: 
Nếu hoặc và suy ra PT (4a) có một nghiệm khác 1 nên PT (4) có hai nghiệm phân biệt
Nếu hoặc suy ra PT (4a) có đúng hai nghiệm khác 1 nên PT (4) có ba nghiệm phân biệt 
Nếu suy ra PT (4a) có một nghiệm bằng 1 nên PT (4) chỉ có một nghiệm
Nếu suy ra PT (4a) có ba nghiệm phân biệt khác 1 nên PT (4) có bốn nghiệm phân biệt
Lưu ý:
Việc biện luận số nghiệm của PT (4) trở thành biện luận số nghiệm khác 1 của PT (4a)
Khi biến đổi từ PT (4) có nhiều trường hợp ta không quy về PT tích được thì có thể chia cả hai vế cho biểu thức khác 0 để cô lập tham số và khảo sát hàm số phân thức
Bài 5. Chứng minh rằng hệ PT sau có nghiệm duy nhất:
Giải ĐK : 
 Hệ PT đã cho 
Từ (1); từ (2) 
Lấy (1) trừ (2) theo vế 
	 ( vì )
	 thế vào (1)
Suy ra (*) 
Ta thấy số nghiệm dương của PT (*) là số nghiệm của hệ PT đã cho
Xét hàm số với 
Bang biến thiên	
0 1/3 
0 - 0 +
0
Từ BBT suy ra đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số tại đúng một điểm có hoành độ dương suy ra hệ PT đã cho có đúng một nghiệm
Nhận xét:
Khi giải hệ PT đố xứng loại hai có dạng như hệ PT (1) và (2) nói trên cách giải truyền thống là lấy các PT trừ cho nhau để tính một ẩn theo ẩn còn lại sau đó thế lại một trong hai PT đã cho
Hệ PT trên có lời giải rất ngắn gọn như vậy vì ta nhân xét được tính chất 
Sau khi biến đổi về PT (*) là PT bậc ba nên nếu không sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số thì việc tìm lời giải là vô cùng khó khăn
Bài 6. Tìm tham số để hệ sau có nghiệm 
Giải Hệ đã cho 
 với ĐK 
Đặt 
Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi BPT có nghiệm 
- Nếu 
 có ; hoặc ( loại )
- Nếu 
 có 
Vậy nên ta phải có 
 Tóm lại ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
 Việc tìm tham số để hệ BPT đã cho có nghiệm được quy về bài toán tìm tham số để một BPT có nghiệm trên một tập cho trước và đã được chuyển về bài toán tìm GTLN hoặc GTNN của hàm số.
Bài 7. Cho hàm số 
 Hãy tìm tham số để 
Giải Giả sử suy ra
Thử lại: Khi là hàm số liên tục trên đoạn 
 và suy ra và 
 nên 
Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
 Trong lời giải của bài toán trên việc giả sử chỉ có thể suy ra điều kiện của , có thể là một khoảng nào đó nhưng sẽ rúp ta dễ dàng tìm được điều kiện thỏa mãn yêu cầu đề bài trong bước kiểm chứng ngược lại.
Bài 8. Chứng minh rằng BPT : (8) thỏa mãn 
 khi và chỉ khi 
Giải 
- Nếu BPT (8) trở thành đúng
- Nếu BPT (8) 
Đặt thì . Ta được BPT: (8a)
Vậy (8) thỏa mãn khi và chỉ khi (8a) thỏa mãn 
Ta có 
Bảng biến thiên của hàm số 
 0 + 
Từ BBT 
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Nhận xét:
 Việc biến đổi BPT (8) về BPT (8a) như trên là rất cần thiết để việc khảo sát hàm số trở thành đơn giản
Baì 9. Cho hãy tìm GTNN của biểu thức 
 A
Giải
Đặt (vì )
 mà 
Khi đó 
Suy ra A
Xét hàm số với hoặc 
 thỏa mãn hoặc 
Bảng biến thiên 
 -2 2 +
 +
Từ BBT đạt được khi 	
Nhận xét: 
a) Trong lời giải bài toán trên cần lưu ý:
Nhát thiết phải tìm ĐK chính xác cho ẩn phụ 
Trong BBT ta thấy 
b) Với ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số ta có thể giải quyết bài toán tìm tham số, tìm GTLN, GTNN của một biểu thức và những bài toán giải PT, BPT, hệ PT
Bài 10. Giải hệ PT 
Giải
Hệ PT đã cho 
Từ (1) 
Từ (2) và (3) tương tự suy ra 
Xét hàm số với 
Hệ PT trên trở thành 
Ta có suy ra hàm sốđồng biến 
 Nếu 
 mà suy ra 
 Các trường hợp còn lại ( chẳng hạn ) tương tự đều suy 
Từ thế vào một trong ba PT đã cho 
 Vậy hệ PT đã cho có mộ nghiệm 
Nhận xét: 
 Trong lời giải bài toán trên ta chỉ khai thác được tính đơn điệu của hàm số khi đã chứng tỏ được 
Bài 11. Tìm tham số để BPT , (11) thỏa mãn 
Giải 
BPT (11) (11a) . Đặt 
BPT (11) thỏa mãn khi và chỉ khi BPT (11a) thỏa mãn 
Ta có 
 ; 
Bảng biến thiên 
 0 + 0 
Từ BBT . Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
 Trong đề bài trên bậc của tham số bằng nhau nên ta có thể nhóm làm thừa số chung và thực hiện việc chia cả hai vế cho biểu thức dương để cô lập tham số
Bài 12. Tìm tham số để BPT (12) thỏa mãn 
Giải
Đặt 
Bài toán trở thành tìm tham số để 
- Nếu là vô lý suy ra bị loại
- Nếu ; 
Bảng biến thiên
 0 + 
0 
Từ BBT suy ra ; do đó 
 Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
 Trong lời giải bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ ta được một hàm số bậc hai do đó không cần sử dụng đạo hàm ta vẫn lập được BBT của hàm số. Tuy nhiên tôi vẫn trình bày ở đây để tiện liên hệ với bài 11 trong trường hợp không cô lập được tham số
Bài 13. Biện luận theo tham số số nghiệm của PT
 (13)
Giải 
 PT (13) 
Dễ thấy không thỏa mãn PT (13) . 
PT trên (13a)
Xét 
Ta thấy số nghiệm của PT (13) bằng số nghiệm của PT (13a) và là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng 
Ta có 
 ;	;
 ; 
Bảng biến thiên	
 -1 0 1 +
 + 0 - - 0 +
Từ BBT suy ra:
Nếu PT (13) có hai nghiệm phân biệt 
Nếu PT (13) có đúng một nghiệm
Nếu PT (13) vô nghiệm
Nhận xét: 
Mặc dù PT trên là PT bậc bốn đối xứng có thể giải theo cách chia cả hai vế cho sau đó đặt ẩn phụ để quy về PT bậc hai tuy nhiên cách giải đó khá phức tạp trong PT chứa tham số, đặc biệt là liên quan đến số nghiệm.
Với cách giải ứng dụng đạo hàm như trên ta có lời giải rất rõ ràng hơn thế còn có thể so sánh nghiệm của PT đó với các số cho trước.
Bài tập tương tự 
1.Tìm tham số để PT sau có nghiệm duy nhất: 
2. Biện luận theo số nghiệm của PT so sánh các 
 nghiệm đó với các số -3 và -1
3. Tìm tham số để PT sau có ba nghiệm dương phân biệt:
4. Cho hàm số . Tìm tham số để 
5. Biện luận theo số nghiệm âm của PT: 
6. Tìm tham số để hệ PT sau có nhiều hơn hai nghiệm:
7. Giải hệ BPT 
 Hướng dẫn: Khảo sát hàm số trên khoảng là 
 tập nghiệm của BPT thứ nhất
8. Tìm tham số để hệ BPT sau có nghiệm: 
9. Giải hệ PT: 
 Hướng dẫn : Từ hệ PT suy ra là các số không âm 
 Xét hàm số trên nửa khoảng 
 PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
 CH ... ìm ĐK của ta xét hàm số với 
Có 
và không xác định tại các điểm 
 vậy 
PT (5) trở thành , (5a) với 
PT (5) có nghiệm khi và chỉ khi PT (5a) có nghiệm 
Xét hàm số trên đoạn 
 hàm số nghịch biến trên đoạn 
 và 
 Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
Có thể thay bài toán trên bằng bài toán BPT hoặc bài toán tìm GTLN và GTNN của hàm số ở vế trái ta có phương pháp giải tương tự
Nếu đề yêu cầu giải PT (5) với là một số cụ thể thì việc tìm điều kiện của là không cần thiết, ta chỉ cần suy ra các điều kiện hiển nhiên vì sau khi tìm được ẩn phụ ta còn phải thay vào bước đặt để tìm ẩn chính .
Nếu trong bài toán có tham số thì việc tìm ĐK của là không thể bỏ qua và không được làm sai. Việc tìm ĐK của như trên thực chất là việc tìm tập giá trị của hàm số trên tập xác định của PT đã cho.
Bài 6. Tìm tham số để PT sau có nghiệm:
 , (6)
Giải ĐK : 
 Đặt 
 Dễ thấy khi khi 
 Vậy 
 và 
 PT (6) trở thành với ĐK 
	 (6a) 
 PT (6) có nghiệm khi và chỉ khi PT (6a) có nghiệm 
 Xét hàm số với 
 suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn 
 Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
 Lời giải của bài tập 6 và 5 có phương pháp như nhau nhưng việc tìm ĐK của ẩn phụ trong bài số 6 không dùng đạo hàm mà thực hiện một số phép biến đổi kéo theo nên cần phải thấy rõ tập gía trị của ẩn phụ trên TXĐ của PT (6)
Bài 7. Tìm tham số để PT sau có nghiệm:
 (7)
Giải
ĐK: , khi đó và PT (7) 
 Đặt 
Xét hàm số , với 
Có suy ra hàm số đồng biến 
 . Như vậy 
PT đã cho trở thành: , (7a) với ĐK 
PT (7) có nghiệm khi và chỉ khi PT (7a) có nghiệm 
Xét hàm số trên đoạn 
 ; 
Bảng biến thiên	
 1
+ 0 
 0
 -1
Từ BBT suy ra ĐK phải tìm là 
Nhận xét: 
 Trong lời giải trên việc tìm ĐK của và việc khảo sát hàm số không nhất thiết phải sử dụng đạo hàm nhưng việc ứng dụng đạo hàm sẽ làm cho lời giải tự nhiên và dễ dàng hơn.
Bài 8. Tìm tham số để BPT sau có nghiệm: 
 (8) 
Giải 
ĐK: . Đặt và 
BPT (8) trở thành với ĐK 
 , (8a) với ĐK 
 Xét hàm số 
Ta thấy BPT (8) có nghiệm BPT (8a) có nghiệm 
Bảng biến thiên
 +
 + 0 
Từ BBT suy ra 
Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
 Với kiến thức của lớp 10 học sinh có thể giải được bài toán trên thông qua việc so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với số 0, tuy nhiên khá phức tạp.
Bài 9. Tìm tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn 
Giải ĐK : và 
Đặt 
Hệ đã cho trở thành 
Từ (1) thế vào (2)
 (3)
Vì 
Xét hàm số 
Vậy hệ đã cho có nghiệm BPT (3) có nhiệm 
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn 
 với 
 nên đều bị loại
 Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
Trong lời giải bài toán trên việc tìm ra TXĐ cho hàm số là rất qua trọng
Đề bài trên cũng có thể phát biểu theo kiểu tương tự: Cho các số thỏa mãn ĐK và . Hãy tìm GTLN và GTNN của biểu thức P=.
Bài tập tương tự
1.Tìm tham số để PT sau có đúng một nghiệm:
2.Tìm tham số để hệ sau có nghiệm: 
 Hướng dẫn: Hệ đã cho với 
 Đặt 
3.Tìm tham số để BPT 
 có nghiệm 
4.Tìm tham số để PT sau có nghiệm: 
 Hướng dẫn: Khảo sát hàm số trên đoạn 
5. Tìm tham số để BPT: , thỏa mãn 
 Hướng dẫn : Đặt 
6. Tìm tham số để BPT: nghiệm đúng với mọi 
	PHẦN III : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1. tìm tham số để PT , (1) 
 có nghiệm 
Giải PT (1) 
Đặt 
PT trên trở thành 
 (1a) với 
Xét hàm số với 
PT (1) có nghiệm khi và chỉ khi PT (1a) có nghiệm tức là đường thẳng phải cắt đồ thị hàm số trên khoảng 
 suy ra hàm số đồng biến trên khoảng 
 mà 
Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
Trong lời giải của bài toán trên nhất thiết phải tìm được ĐK chính xác cho ẩn phụ
Trước kia nhờ định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai có thể thực hiện lời giải theo cách so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với các số 0 và 1 nhưng khá phức tạp và phải xét nhiều khả năng có thể xảy ra
Bài 2. Tìm tham số để PT: , (2) 
 có nghiệm
Giải PT (2) xác định 
 PT (2) 
Đặt ; 
 và 
Ta được PT: 
	, (2a) với ĐK 
PT (2) có nghiệm PT (2a) có nghiệm 
Xét hàm số với 
 là hàm số nghịch biến trên đoạn 
Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét: 
Cần để ý sự liên hệ giữa và 
Việc tìm ĐK của có thể thực hiện theo cách khảo sát hàm số trên đoạn 
Bài 3. Tìm tham số để PT sau có nghiệm:
 , (3)
Giải ĐK: và 
PT (3) 
 với chú ý
Đặt 
Theo BĐT Cosi 
Ta được: , (3a) với 
Ta thấy PT (3) có nghiệm PT (3a) có nghiệm thỏa mãn ĐK 
Xét hàm số với ĐK 
Bảng biến thiên 
 -2 2 +
 4
 -4
Từ BBT suy ra ĐK phải tìm là hoặc 
Nhận xét:
 Có thể giải bài toán trên theo cách so sánh các nghiệm của một tam thức bậc hai với các số -2 và 2 nhưng rất phức tạp , trong khi giải theo cách ứng dụng đạo hàm lại rất đơn giản. Tuy nhiên làm theo cách nào thì vẫn phải chú ý tìm chính xác ĐK của ẩn phụ. 
Bài 4. Tam giác ABC có ba góc thỏa mãn ĐK: A>B>C. Tìm số nghiệm của PT 
 (4)
Giải
Suy ra ĐK xác định của PT (4) là khi đó 
 PT (4) (4a)
Xét hàm số với ĐK 
 = 
Bảng biến thiên	
 +
2
+
Vì 
Từ BBT suy ra đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại đúng một điểm nên PT đã cho có đúng một nghiệm
Bài 5. tìm tham số để PT sau có nghiệm: (5)
Giải
 PT (5) 
 Đặt 
 PT (5) trở thành (5a) với ĐK 
 PT (5) có nghiệm PT (5a) có nghiệm 
 Xét hàm số liên tục trên đoạn 
 Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
 Đề bài trên có thể phat biểu theo cách tương tự là BPT hoặc tìm GTLN và GTNN của biểu thức ở vế trái
Bài 6. Giải PT (6) với và 
Giải 
 PT (6) 
 Đặt 
 Ta được PT (6a) với ĐK 
 Xét hàm số trên khoảng 
Bảng biến thiên
 0 +
 Từ BBT suy ra và đẳng thức (6a) xảy ra khi 
 vì 
Nhận xét:
 Có thể thay đề bài trên bởi bài tập tương tự là tìm GTLN và GTNN của biểu thức ở vế trái trên đoạn 
Bài 7. Tìm tham số để BPT: (7) 
 nghiệm đúng 
Giải BPT (7) 
 Đặt 
 BPT trên trở thành (7a) với ĐK 
 Xết hàm số 
 BPT (7) nghiệm đúng BPT (7a) nghiệm đúng 
Bảng biến thiên
 + 0 
Tư BBT suy ra 
Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét :
 Bài toán trên có thể giải theo cách so sánh các nghiệm của một tam thức bậc hai với các số 0 và 1 nhưng khá phức tạp và có thể không xét hết các khả năng . Lưu ý rằng 
Bài tập tương tự
1.Tìm tham số để PT sau có nghiệm:
2.Tìm tham số để PT sau có nghiệm: 
3.Tìm tham số để BPT nghiệm đúng :
4.Tìm tham số để BPT nghiệm đúng :
 Hướng dẫn: 
 Đặt 
 mà 
 BPT đã cho trở thành BPT ẩn với ĐK 
5.Tìm tham số để PT sau có nghiệm : 
	PHẦN IV : PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Bài 1. Tìm tham số để PT sau có nghiệm duy nhất: (1)
Giải 
PT (1) 
PT (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi PT (1a) có nghiệm duy nhất thỏa mãn ĐK và tức là đường thẳng phải cắt đồ thị hàm số 
 tại đúng một điểm trên tập 
Ta có 
Bảng biến thiên
 0 1 +
 0
 0 +
 0
 4
Từ BBT suy ra ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
- có thể phát biểu đề bài theo tổng quát hơn: Biện luận theo tham số số nghiệm của PT đã cho 
- Lưu ý nhờ phép biến đổi logic nên PT (1) trở thành PT (1a) với ĐK và 
Bài 2. Tìm tham số để PT sau có nghiệm:
 (2)
Giải ĐK: 
Đặt 
PT (2) trở thành với ĐK 
 , (2a) với 
PT (2) có nghiệm PT (2a) có nghiệm 
Xét hàm số xác định và liên tục trên đoạn 
 là hàm số đồng biến trên đoạn 
 Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
- Đề bài có thể phát biểu tương tự thay PT là BPT
- Lưu ý phải tìm ĐK chính xác của ẩn phụ, học sinh thường làm sai bước này và sai theo nhiều kiểu khac nhau
Bài 3. Tìm tham số để PT (3) 
 có hai nghiệm trái dấu
Giải Đặt ; 
PT (3) trở thành 
	 (3a) với 
 Nếu 
 Nếu 
 Do đó 
Lưu ý với mỗi số PT chỉ có một nghiệm ẩn 
PT (3) có hai nghiệm trái dấu PT (3a) có hai nghiệm sao cho tức là đường thẳng phải cắt đồ thị hàm số tại đúng hai điểm với ĐK hoành độ giao điểm thứ nhất thuộc khoảng và hoành độ giao điểm thứ hai trong khoảng 
Hàm số với ĐK 
 Có . 
Bảng biến thiên
 1 
+ 0 
 -1
-3
Từ BBT suy ra ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
 Nếu sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai thì lời giải của bài toán trên khá gắn gọn nhưng sách giáo khoa hiện hành không trình bày. Nhưng giải theo phương pháp nào cùng đều phải tìm được ĐK của ẩn phụ, mối liên hệ giữa số nghiệm theo ẩn phụ và số nghiệm theo ẩn chính.
Bài 4. Biện luận theo tham số số nghiệm của PT:
 (4)
Giải PT (4) (4a)
Số nghiệm của PT (4) bằng số nghiệm của PT (4a)
Xét hàm số trên tập 
 là hàm số đồng biến trên tập 
 Mà 
Suy ra: 
 ; 
Bảng biến thiên
 0 +
 0 + 
 0
Từ BBT suy ra 
Nếu , PT (4) vô nghiệm
Nếu , PT (4) có một nghiệm
Nếu PT (4) có hai nghiệm phân biệt
Nhận xét:
 - Có thể phát biểu bài toán trên theo cách tương tự là tìm GTNN của hàm 
 số 
 - Để xét dấu của đôi khi ta phải tính và khảo sát tính 
 chất của nó.
Bài 5. Tìm tham số để hệ sau có nghiệm:
Giải 
ĐK: . (2) 
 mà 
Vậy hệ đã cho 
 (5a ) với ĐK 
Xét hàm số trên tập 
Hệ đã cho có nghiệm BPT (5a) có nghiệm 
Ta có 
 là hàm số nghịch biến trên tập mà 
 suy ra 
 Tóm lại ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
 Qua lời giải trên ta thấy việc giải hệ trên chính là giải BPT (5a) trên tập 
 Bài 6. Tìm tham số để BPT (6) 
 	nghiệm đúng có tính chất 
Giải
 BPT (6) 
 Đặt 
 Xét trên tập 
Bảng biến thiên của hàm số 
 +
+
1
Từ BBT của suy ra 
BPT đã cho trở thành với ĐK 
 (6a) với 
Xét hàm số trên nửa khoảng 
BPT (6) nghiệm đúng BPT (6a) nghiệm đúng 
Ta có 
Bảng biến thiên của hàm số 
 1 2 +
 0 +
3
Từ BBT suy ra 
Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét: Việc tìm ĐK của ẩn phụ chính là việc tìm tập giá trị của hàm số trên tập 
Bài 7. Tìm tham số để BPT sau có nghiệm: (7)
Giải 
 PT (7) 
 Đặt 
 Ta được BPT (7a) với ĐK 
 Xét hàm số trên đoạn 
Ta thấy BPT (7) có nghiệm BPT (7a) có nghiệm 
Ta có 
là hàm số nghịch biến trên đoạn , mà 
 Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
 Tương tự bài toán trên có thể có một số bài toán sau:
 1) Tìm tập giá trị của hàm số 
 2) Tìm tham số để hệ sau có nghiệm: 
Bài tập tương tự 
1. Bện luận theo tham số số nghiệm của PT: 
2. Giải PT: 
 Hướng dẫn: Ước lượng hai vế bằng cách sử dụng hàm số và BĐT Cosi
3. Tìm tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn ĐK 
4. Tìm tham số để hệ sau có nghiệm: 
 Hướng dẫn: BPT thứ nhất 
 . Bài toán trên trở 
 thành tìm để BPT có nghiệm 
5. Tìm tham số để BPT sau có nghiệm: 
 Hướng dẫn: xét hàm số trên đoạn 
6. Tìm tham số để PT: 
 có nghiệm thuộc khoảng 
7. Tìm tham số để BPT: thỏa mãn với mọi 
................................................................................................................................
 Với đề kiểm tra như sau:
Câu I. ( 2,5 điểm ) Tìm ĐK của để PT sau có sáu nghiệm phân biệt:
Câu II. (2,5 điểm ) Tìm tham số để PT sau có nghiệm duy nhất: 
Câu III. (2,5 điểm ) Tìm tham số để BPT sau thỏa mãn 
Câu IV. (2,5 điểm ) Tìm tham số để PT sau có nghiệm :
 Các bài làm đúng có cách giải phổ biến theo hướng sau:
Câu I: ĐK ; Đặt . PT đã cho trở thành:
 (*1)
PT (1) có sáu nghiệm phân biệt PT (*1) có ba nghiệm dương phân biệt tức là đường thẳng phải cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt trên khoảng 
Câu II: ĐK ; PT đã cho tương đương với PT:
 (*2)
PT đã cho có nghiệm duy nhất PT (*2) có đúng một nghiệm thỏa mãn 
Khảo sát hàm số trên khoảng 
Hoặc đặt ẩn phụ với ĐK và quy PT (*2) về PT theo ẩn phụ.
Câu III: Đặt 
 Chú ý và . BPT đã cho trở thành:
 (*3) với ĐK 
 Xét hàm số trên tập ...
Câu IV: ĐK . PT đã cho tương đương với PT:
 (*4)
 Đặt ...
............................................................................................................