Sáng kiến kinh nghiệm Dùng đạo hàm - Khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

DÙNG ĐẠO HÀM - KHẢO SÁT HÀM SỐ ĐỂ TÌM 
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số là dạng bài toán rất phong phú và đa dạng về phương pháp như: phương pháp đạo hàm-khảo sát hàm số, phương pháp dùng miền giá trị hàm, phương pháp bất đẳng thức, phương pháp lũy thừa với số mũ chẵn, phương pháp hàm lồi, phương pháp vận dụng định luật dấu tam thức bậc hai, phương pháp tọa độ, phương pháp lượng giác,.
Do có nhiều phương pháp như vậy nên đã gây không ít khó khăn cho người học. Sau đây tôi xin trình bày phương pháp đạo hàm-khảo sát hàm số để tìm GTLN, GTNN của hàm số.
B. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b] gồm các bước:
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tính đạo hàm y’=f’(x)
Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình f’(x)=0 trên đoạn [a, b]
Bước 4: Xét dấu y’ trên đoạn [a, b]
Bước 5: Lập bảng biến thiên, từ đó suy ra Max(f) (hoặc Min(f)) trên [a, b]
Cách làm tương tự trên khoảng (a, b)
C. MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1) f(x) =
2) g(x) =với 
Giải:
1) Xét hàm số f(x) = với 
Ta có f’(x) = =; f’(x)=0 
Bảng biến thiên:
 x 	 	
	 f’(x)	 - 0 + 
	 f(x) 	 
f(x) . Dấu “=” xảy ra 
Vậy Min(f(x))= đạt được khi x=
2) Xét hàm số g(x) = với , a>0 và 
Ta có g’(x) = 
Bảng biến thiên:
 x 	 	
	 g’(x)	 - 0 + 
	 g(x) 	 
g(x) . Dấu “=” xảy ra 
Vậy Min(g(x))= đạt được khi x=
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=
Giải:
Đặt t=sinx, với t ta có 
Bảng biến thiên:
 t 	 -1 0 1	
	 y’	 + 0 + 0 
	 y 	 	
	 -2	 0
Vậy Max(y)= t=
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2, 1]
Giải:
Xét hàm số trên đoạn [-2, 1]
Ta có 
Ta xét các khả năng:
a) Nếu 
Bảng biến thiên:
 x 	 0 1	
	 f’(x)	 - 0 + 
	 f(x) 
Miny=m2 khi x=0
Maxy=Max{, }=
b) Nếu 
Trường hợp 1: 
Bảng biến thiên:
 x 	 -2 0 1	
	f’(x) - 0 + 0 - 0	+
	f(x) 	 m2 
	 -8m2 	 -8m2 
Ta có -m2=-24m+16=-24(m-)>0
-()=-18m+15=18(m-)>0
Vậy Maxf(x)=tại x=-2
 Minf(x)=-8m2 tại x=
Trường hợp 2: 
Bảng biến thiên:
 x 	 -2 0 1 	 
	f’(x) - 0 + 0 - 
	f(x) 	 m2 
	 -8m2 	 
Suy ra Maxf(x)=Max{f(-2), f(0)}=
Và -(-8m2)= nên 
Vậy =-8m2 tại x=
Trường hợp 3: . Ta có 3m>4 
Bảng biến thiên:
 x 	 -2 0 1 	 
	f’(x) + 0 - 
	f(x) 	 m2 
Max f(x) =m2 tại x=0
Min f(x) = Min{f(-2), f(1)}= tại x=-2
Kết luận:Maxf(x)= 
Minf(x)= 
Bài 5: Tìm a để trên đoạn [-2; 0] hàm số y= có giá trị nhỏ nhất bằng 2
Giải:
Xét hàm số f(x) =y=trên đoạn [-2; 0] 
Ta có y’=f’(x)=8x-4a; y’=0 
Ta xét các khả năng sau:
(1): Nếu ta có bảng biến thiên như sau:
 x 	 -2 0 	 
	y’ - 0 + + 
	y 	 
Trên đoạn [-2;0]: Miny =f(-2)=
 Miny=2 =2 (vô nghiệm)
(2): Nếu ta có bảng biến thiên như sau:
 x 	 -2 0 	 
	 y’ - 0 + 
	 y 	 
	 	 	 -2a 
Miny =-2a=y() Miny=2 -2a=2 (thỏa mãn)
(3): >0 ta có bảng biến thiên:
 x 	 -2 0 	 
	 y’ - 0 - 
	 y 	 
Miny==y(0)
Miny=2 =2 
Kết luận: a=-1 hoặc a= 
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x,y)=
Giải:
Đặt t= với hoặc tức là 
f(t) =f’(t)=2t-3; f’(t)=0 
Bảng biến thiên:
 t 	- -2 2 + 	
	f’(t) - - 0 + +
	f(t) + 	 	 + 
	 8 	 -4
Minf=-4 tại t=2 =2x=y=1
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T= 
với a, b là hai biến số thực 0
Giải:
Đặt t= với tức hoặc 
Ta có t2=+2 =t2-2
Và =(t2-2)2-2 = 
Do đó T=-= với 
Xét hàm số f(t) = suy ra f’(t)=
Nếu 
Nếu 
Bảng biến thiên:
 t 	- -2 2 + 	
	f’(t) - +
	f(t) + 	 	 + 
	 -2 	 2
Minf(t)-2 khi t=-2 hay MinT=-2 khi =-2 
Kết luận: MinT=-2 khi a=1, b=-1 hoặc a=-1, b=1
Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=
Giải:
Đặt t=cosx với 
Ta có y=xác định với mọi t
=
Vì nên 
Do đó y’<0 
Từ đó y’=0 
Bảng biến thiên:
 t 	 -1 1 	
	y’ - 0 + 
	y 	 	 
	 	 5 
Do <nên Maxy=t=1 cosx=1x=k2()
Và Miny=5 t=cosx=x=
Bài tập luyện:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)= trên khoảng ()
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)= trên khoảng ()
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)= 
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)= 
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)= 
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)= 
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)= 
Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=
Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=
Bài 10: Tìm a để giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)= trên đoạn [0;2] là bằng 3
D. LỜI KẾT
Do điều kiện nghiên cứu còn nhiều giới hạn nên chuyên đề này không thể tránh khỏi những hạn chế. Vì vậy tôi rất mong nhận được sự thông cảm và góp ý của đồng nghiệp.