Sáng kiến kinh nghiệm Bất đẳng thức và cực trị

LỜI NÓI ĐẦU:
 Các bài toán về tìm giá trị nhỏ nhất ( GTNN ) và giá trị lớn nhất ( GTLN ) của một biểu thức được gọi chung là các bài toán về cực trị. Rất nhiều bài toán dạng này được giải quyết bằng công cụ bất đẳng thức ( BĐT ). Trong chuyên đề này tôi giới thiệu lời giải một số bài toán sử dụng BĐT Cô-si , BĐT Bunhiacốpxki và một số BĐT đơn giản khác. Các bài toán về cực trị ngoài cách sử dụng BĐT còn có một số bài sử dụng phương tiện đạo hàm. 
NỘI DUNG:
Để chứng minh các BĐT ta có thể sử dụng một số BĐT cơ bản hoặc dùng phương pháp đánh giá.
I.Sử dụng một số BĐT cơ bản:
Các BĐT cơ bản ở đây là BĐT Cô-si: Với n số không âm bất kì: ta luôn có:
 ; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: .
BĐT Bunhiacôpxki: Với hai bộ số thực bất kì ta luôn có:
; dấu bằng xảy ra khi và chỉ
Khi: . BĐT: ; dấu bằng xảy ra khi 
BĐT: ; trong đó là các số dương; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các số này bằng nhau.
Bài 1: Cho . Chứng minh: Giải: a/ Theo BĐT (I) ta có: (đpcm).Dấu bằng xảy ra khi b/ Theo BĐT (I) ta có: từ đó suy ra
đpcm. Dấu bằng xảy ra khi 
c/ Theo BĐT (I) ta có: (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi 
Bài 2: Cho . Chứng minh: .
Giải: Ta có: 
 Từ đó suy ra đpcm. Dấu bằng xảy ra khi: .
 Bài 3: Cho a > 1; b > 1. Chứng minh: 
Giải: Theo BĐT (I) ta có: ; tương tự ta cũng có: 
. Cộng các vế của các BĐT này lại ta sẽ được đpcm. Dấu bằng xảy ra khi a = b = 2.
Bài 4: a,b,c là ba số không âm có tổng bằng 1. Chứng minh: .
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
(đpcm). Dấu bằng xảy ra khi
a = b = c =1/3.
Bài 5: Cho ba số không âm a,b,c. Chứng minh: .
Giải: Theo BĐT (I) ta có: ; tương tự ta cũng có: cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. 
Bài 6: Cho ba số dương x,y,z. Chứng minh: .
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
(đpcm). Dấu bằng xảy ra khi x = y/2 =z/3.
Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức trong đó x,y là các số dương
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
Vậy GTNN của P bằng khi y = 2x.
Bài 8: Ba số thực a,b,c thỏa mãn hệ thức: . Hãy tìm GTLN của biểu thức 
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
Vậy GTLN của S bằng 3 khi a = b = c = 1.
Bài 9: x,y là các số thực thỏa mãn các điều kiện: . Tìm GTLN của biểu thức: 
.
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
. Vậy GTLN của A bằng 36 khi x = 0 và y = 2.
Bài 10: x,y,z là các số không âm có tổng bằng 1. Tìm GTLN của biểu thức: .
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
. Vậy MaxP = 8/729 khi x = y = z = 1/3.
 Bài 11: a,b,c là các số dương. Chứng minh: 
Giải: Theo BĐT (I) ta có: . Tương tự
ta cũng có: . Cộng các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Chú ý: Nếu thì ta có BĐT : 
 Bài 12: Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh: 
Giải: Theo BĐT (I) ta có: . Tương tự ta cũng 
 có: . Cộng các vế của các BĐT
này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Bài 13: Các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTNN của biểu thức:
.
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
. Vậy MinS = 6 khi x = y = z = 2.
Bài 14: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: . Tìm GTNN của biểu thức:
.
Giải: Theo BĐT (I) ta có: . Tương tự ta cũng có:
.
(Do ). Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 2.
Bài 15: Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn hệ thức: . Chứng minh: 
Giải: Theo BĐT (I) ta có: . Tương tự ta cũng có:
 (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi .
Bài 15’: Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện: x + y = 1. Tìm GTNN của S = 1/x + 4/y Giải: S=1+3xx(1-x)=2(1+3x)x.2x(1-x)2≥22.3xx.22/33=9→MinS=9 khi x=13&y=23 .
Bài 16: a,b,c,A,B,C là 6 số thực dương sao cho mỗi phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
. Lấy với là nghiệm của (1) còn là nghiệm của (2). Chứng minh: .
Giải: Theo giả thiết suy ra: 
Bài 17: Cho hai số thực dương x,y có tổng bằng 1.Tìm GTNN của biểu thức: .
Giải: Dễ thấy S dương. Theo BĐT (I) ta có: 
. Vậy khi x = y = ½.
Bài 18: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTNN của biểu thức: 
.
Giải: Dễ thấy S dương. Theo BĐT (I) ta có: 
. Vậy khi .
Bài 19: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: Chứng minh: 
 .
Giải: Dễ thấy S dương. Theo BĐT (I) ta có: 
 (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi .
Bài 20: Cho 3 số dương x,y,z có tổng bằng 1. Chứng minh BĐT: 
 .
Giải: Do nên theo BĐT (I) ta có: 
. Tương tự ta cũng có: ; 
Cộng các BĐT trên ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi .
Bài 21: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTNN của biểu thức:
 .
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
. Vậy MinP = 19 khi x = 2 và y = 4.
Bài 22: Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTNN của biểu 
thức: .
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
. Vậy MinS = 4 khi x = y = z = 1/3.
Bài 23: Cho hai số thực không âm x,y thỏa mãn các điều kiện: . 
Tìm GTLN của biểu thức: .
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
. ( Do ).
Vậy khi .
Bài 23’: Cho 3 số dương x,y,x có tích bằng 1. CM BĐT:
S=(1+x+y)-1+(1+z+y)-1+(1+x+z)-1≤1 (1)
Giải: Đặt a=x+y,b=y+z,c=z+x thì 1↔2+a+b+c≤abc↔2(x+y+z)≤x2y+x2z+z2y+z2x+y2x+y2z 2. Theo BĐT (I) ta có: x2y+x2z+1≥33x4yz=3x;y2x+y2z+1≥33y4xz=3y; z2x+z2y+1≥33z4xy=3z→x2y+x2z+z2y+z2x+y2x+y2z≥3x+y+z-3≥2x+y+z+33xyz-3=2x+y+z→đpcm.
Bài 24: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh BĐT: .
Giải: Theo BĐT (IV) ưng với n =2 ta có: 
. Tương tự ta cũng có:
; .Cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi 
Bài 25: Cho hai số dương a,b có tổng bằng 1. Chứng minh các BĐT sau:
Giải: a/ Theo BĐT (IV) ứng với n =2 ta có: 
 (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi 
b/ Theo BĐT (IV) ứng với n =2 ta có: 
 (đpcm) . Dấu bằng xảy ra khi 
Bài 26: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: Chứng minh:
Giải: Theo BĐT (IV) và BĐT (I) ta có: 
(đpcm).Dấu bằng xảy ra khi 
Bài 27: Ba số dương x,y,z có tích bằng 1. Chứng minh: .
Giải: Áp dụng BĐT (II) và (I) ứng với n = 3 ta có: 
 (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi .
Chú ý: Từ BĐT trên ta suy ra BĐT: với a,b,c là các số dương.
Bài 28: Cho . Chứng minh: .
Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số ta được:
 từ đó suy ra BĐT ccm. Dấu bằng xảy ra khi
Bài 29: Cho 4 số dương x,y,a,b thỏa man các điều kiện: . Chứng minh:
 .
Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số ta
được: từ đó suy ra BĐT ccm. Dấu 
bằng xảy ra khi bx = ay.
Bài 30: Bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn hệ thức: ; x là số thực bất kì. Chứng minh:.
Giải: Áp dụng BĐT (II) ứng với n = 3 ta có: 
 (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi b=d=1&x=a=c. 
Bài 31: Cho 5 số dương x,y,z,p,q bất kì. Chứng minh: .
Giải: Theo BĐT (III) ta có: 
 (*). Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số 
và ta được:
Kết hợp với BĐT (*) ta sẽ được BĐT ccm. Dấu bằng xảy ra khi; .
Bằng cách giải tương tự ta sẽ chứng minh được các BĐT sau:
1/ với a,b,c là các số dương bất kì.
2/ với a,b,c,d là các số dương bất kì.
3/ với a,b,c là các số dương bất kì.
4/ với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
5/ với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Bài 32: Cho các số thực x,y,u,v thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh: 
Giải: Theo BĐT (II) : 
Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi 
Bài 33: Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện: Chứng minh:
Giải: Theo BĐT (II) ta có: 
 . Từ đó ta suy ra BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi .
Bài 34: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện: Chứng minh: 
.
Giải: Từ điều kiện ta suy ra: . Áp dụng BĐT (II)
ta được:
 (đpcm).
Dấu bằng xảy ra khi .
Bài 35: Hai số a,b thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh:
Giải: a/ Từ điều kiện ta suy ra: . Áp dụng BĐT (II) ta được:
 (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi a = 24/5,b = 24/3
hoặc a = 16/5, b = 6/5.
b/ Áp dụng BĐT (II) ta được: 
 (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi 
Bài 36: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức:
Giải: Từ điều kiện ta suy ra: Theo BĐT (II) ta có:
. Dấu bằng xảy ra khi: 
.
Bài 37: Cho a,b,c là ba số không âm thỏa mãn hệ thức: Tìm GTNN của biểu thức:
.
Giải: Theo BĐT (II) ta có: 
. Tương tự ta cũng có: ;
. Vậy MinS = 3 khi .
II.Sử dụng phương pháp đánh giá:
Bài 38: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh các BĐT sau:
Giải:a/Ta có: 
. Tương tự ta cũng có các BĐT: 
. Cộng các vế của các BĐT này lại rồi giản ước ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi 
b/ Theo BĐT (I) ta có: .
Tương tự ta cũng có: . Cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi 
Bài 39: Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: Tìm GTNN của biểu thức:
Giải: Theo BĐT (IV) ta có:
. Vậy MinP = 3/2 khi 
Bài 40: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 2. Chứng minh: 
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
 (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi 
Bài 41: Cho . Tìm GTLN của biểu thức: .
Giải: Giả sử:
. Đặt 
 khi .
Bài 42: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: Tìm GTLN của biểu thức:
Giải: Do ; kết hợp với BĐT (IV) ứng với n = 2 ta được:
. Vậy MaxS = 3/2 khi 
Bài 43: Cho ba số dương x,y,z có tích bằng 8. Tìm GTNN của biểu thức:
Giải: Ta có:
 Vậy khi 
Bài 44: Cho 3 số thực x,y,z có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức: 
Giải: Theo BĐT (II) ta có: . Áp dụng
BĐT (I) ta được: 
 Vậy khi 
Bài 45: Cho 3 số dương x,y,z bất kì.Tìm GTNN của biểu thức:
Giải: Ta có: Vậy MinS = 1 khi 
Bài 46: Cho 3 số dương x,y,z bất kì. Chứng minh: 
Giải: Theo BĐT (I) và BĐT (III) ta có: (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi 
Bài 47: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức biết x và y thỏa mãn phương trình:
Giải: Bài 48: Cho . Tìm GTNN của biểu thức: .
Giải:Ta có: .
Bài 49: Cho 3 số thực . Tìm GTLN của .
Giải: Từ giả thiết suy ra: 
Bài 50: Cho . Chứng minh:
Giải: Ta có:
đpcm.
Bài 51: Biết phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn . Tìm GTLN của biểu thức:.
Giải: Gọi hai nghiệm của phương trình là 
III.Chứng minh BĐT và tìm cực trị bằng phương pháp đổi biến:
Bài 52: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: Chứng minh BĐT: 
.
Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: và BĐT trở thành:
. Theo BĐT (II) ta có:
 (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi hay 
Bài 53: Cho 3 số thực dương x,y,z có tích bằng 1. Chứng minh BĐT: 
Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: và BĐT trở thành:
.Áp dụng BĐT (II)&(I) ta có ngay: 
Dấu bằng xảy ra khi hay 
Bài 54: Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: Chứng minh BĐT:
.
Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: và BĐT trở thành:
. Ta có:
. Tương tự ta cũng có: . Cộng các BĐT này lại ta sẽ được BĐT ccm. 
Dấu bằng xảy ra khi hay 
Bài 55: Cho hai số thực x,y khác 0 và thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTNN và 
GTLN của biểu thức: 
Giải: Đặt thì điều kiện trở thành: . Theo BĐT (II) ta có:
. Vậy MinS = - 0,5 khi x = - 2; y = 2. MaxS = 4,5 khi x = y = 2/3.
Bài 56: Hai số thực x,y thỏa mãn các điều kiện: Tìm GTNN và GTLN 
x
-4 -3 1 3 
f’(x)
 + 0 - 0 +
f(x)
 20 20
13 -12
của biểu thức: 
Giải: Từ điều kiện ta suy ra: ; 
đồng thời 
 Từ BBT của hàm số ta suy ra:
Bài 57: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTNN của biểu thức:
Giải: Ta có: Đặt 
 Từ BBT của hàm số ta suy ra:
t
1 
f’(t)
f(t)
Bài 58: Cho các số thực x,y thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTNN và GTLN
của biểu thức: 
Giải: Từ điều kiện ta suy ra: . Nếu Nếu đặt
. (*) không có nghiệm khi T=1
Với có khi . Kết hợp với trên ta có:
MinT=-2 khi . MaxT=1 khi và y = 0.
Bài 59: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTNN của biểu thức: 
Giải: Thay vào S ta được: 
x
0 1 5/4 5/3
Ta có BBT như bên ta suy ra:
f’(x)
 0 + 0
f(x)
 5 
Bài 60: Cho hai số không âm x,y có tổng bằng 1. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức:
.Giải: Ta có: 
.
( Vì x và không đồng thời bằng 0 nên )
Do 
 Bài 61: Các số thực a,b,c thỏa mãn: . Tìm GTNN của biểu thức:.
Giải: Do . Đặt t = b/a > 1
.
Mìn = 3 khi 
Bài 62: Trong các nghiệm (x; y; z;t ) của hệ: hãy tìm nghiệm làm cho S = x + z đạt GTLN.
Giải: Đặt 
LỜI KẾT:
 Chuyên đề này có thể dùng để dạy cho học sinh lớp 10, dạy luyện thi đại học hoặc bồi dưỡng 
học sinh giỏi.
 Ân Thi ngày 24/4/2011
 Người viết:
 Doãn Xuân Huy