Phương trình vô tỉ ôn thi đại học

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
A. Một số phương pháp giải
 I. Phương pháp biến đổi tương đương
 1.Kiến thức cơ bản
 a. 
 b. 
Chú ý : Các trường hợp khác ta phải tìm điều kiện trước khi biến đổi.
 2.Ví dụ minh hoạ
Ví dụ1: Giải phương trình sau:
 (1)
 Lời giải:
 Pt (1)
Vậy nghiệm của phương trình là x = 1
Ví dụ2: Giải phương trình sau:
 (2)
 Lời giải:
ĐK . Phương trình (2) tương đương với 
 Vậy phương trình có nghiệm là x = 1.
* Chú ý : ở ví du trên ta có thể bình phương cả 2 vế , tuy nhiên không phải lúc nào ta cũng có thể bình phương ngay được
Ví dụ 3: Giải phương trình sau:
 (3)
 Lời giải:
 ĐK :
 Pt (2) 
Vậy nghiệm của phương trình là x .
* Chú ý :ở ví dụ (3), ta phải chú ý điều kiện để 2 vế không âm, rồi mới bình phương hai vế.
Ví dụ 4: Giải phương trình sau:
 (4)
 Lời giải:
Pt(3)(*) hoặc
 (**)
Giải phương trình (*) ta có phương trình vô nghiệm
Giải phương trình(**) ta được nghiệm của phương trình là 
Vậy nghiệm của phương trình là :
*Nhận xét :trong một số trường hợp ta phải đưa về dạng tích , mà không thể dùng ngay được bình phương hai vế.
 Ngoài ra, ta cũng có thể giải phương trình, dựa vào điều kiện của nó
Ví dụ 5: Giải phương trình sau:
 (5)
 Lời giải:
ĐK 	
Ta xét theo 3 trường hợp như sau:
+)Trường hợp 1: Nếu thì pt(4) trở thành 
 (t/m).
+)Trường hợp 2: Nếu thì pt(4) trở thành 
 (loại).
+)Trường hợp 3: Nếu x = 0 pt(4) luôn thỏa mãn
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 0 , .
Ví dụ 6: Giải phương trình sau:
 (6)
 Lời giải: 
ĐK . Phương trình (6) tương đương với
(*)
Trường hợp 1 : .Khi đó Pt(*) trở thành 
 .
Trường hợp 2 : .Khi đó Pt(*) trở thành
 ( luôn đúng).
Vậy nghiệm của phương trình là . 
 II) Phương pháp đặt ẩn phụ 
 1.Dạng1: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình không chứa ẩn ban đầu
 a.Phương pháp:
Nếu phương trình có chứa và f(x),thì ta đặt t = 
Nếu phương trình có chứa mà , với a là hằng số thì ta đặt 
Nếu phương trình có chứa với a là hằng số , thì đặt 
Nếu phương trình có chứa , thì đặt 
Nếu phương trình có chứa , thì đặt 
 b.Ví dụ minh họa:
 Ví dụ 1: Giải phương trình : 2(x2- 2x) + (1)
 Lời giải:
 Đặt t =, PT (1) trở thành .
 Với t =1 thì 
 Ví dụ 2: Giải phương trình : (2)
 Lời giải:
 Điều kiện x ≥ 1 , đặt t = , đ/k t ≥ 1
 PT (2) trở thành t2-5t+6=0
Với t =2 thì 
 Phương trình vô nghiệm.
Với t = 3 thì 
Vậy PT có nghiệm duy nhất là x = 2.
 Ví dụ 3: Giải phương trình : (3) 
 Lời giải:
 Điều kiện -1 ≤ x ≤ 1 , đặt x = cost , 
 PT (3) trở thành
 Ví dụ 4 : Giải phương trình : 
 (4)
 Lời giải:
 Do không là nghiệm của phương trình (4) nên ta chia cả 2 vế của 
 PT(4) cho 
 PT (4) trở thành , ta đặt 
 PT (4’) trở thành 
Với t = 1 thì 
Với t = thì 
 Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 0 và . 
 Ví dụ 5 : Giải phương trình : (5) 
 Lời giải: 
 Điều kiện x > 1 , đặt , với 
 PT (5) trở thành 
 Đặt.
 PT trở thành ( thỏa mãn). 
 Do đó ta có 
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = và .
 2. Dạng 2: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình còn chứa ẩn ban đầu
 a.Phương pháp: Sau khi đặt ẩn phụ ,phương trình chứa 2ẩn.Ta có thể
coi một ẩn là tham số , và giải phương trình theo ẩn còn lại.
 b. Ví dụ minh họa :
 Ví dụ 1: Giải phương trình : (1)
 Lời giải: 
 ĐK Đặt 
PT (1) trở thành x2 -2tx-1 = 0 ,= t2+1 = (x-1)2 →x = t±(x-1) .
Khi đó ta có
Vậy phương trình có hai nghiệm là 
 Ví dụ 2: Giải phương trình : (4x-1)8x2+2x+1 (2) 
 Lời giải: 
 Đặt t = ≥ 1 , PT (2) trở thành 2t2-(4x-1)t+2x-1=0 
 với t =2x-1 PTvô nghiệm
Vậy phương trình (2) vô nghiệm.
 3. Dạng3: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
 a.Phương pháp:
 (1) 
 (2) 
 trong đó m và n nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2
 b. Ví dụ minh họa :
 Ví dụ 1: Giải phương trình : (1)
 Lời giải: 
 Đặt . 
 Khi đó PT (1) trở thành 
 Vậy phương trình có nghiệm là x = 0.
 Ví dụ 2: Giải phương trình : (2)
 Lời giải: 
 Đặt 
Khi đó PT (2) trở thành 
Vậy phương trình có ba nghiệm là x = 1 ; x = 2 ; x = 10.
 III) Phương pháp đánh giá 
 1) Kiến thức cơ bản: 
f2(x) + g2(x) + h2(x) = 0 
2) ( trong đó k là hằng số)
3) (trong đó k là hằng số)
 2) Ví dụ minh họa :
 Ví dụ 1: Giải phương trình : 4x2 + 3x +3 = 4x (1) 
 Lời giải: 
 ĐK x ≥ 1/2 . Phương trình (1) tương đương với
 .
 Vậy phương trình có nghiệm là x = 1.
 Ví dụ 2: Giải phương trình : = 4 – 2x – x2
 Lời giải: 
 Ta có VT = 
 VP = 4 - 2x- x2 = 5 – (x+1)2 ≤ 5 
 Do đó phương trình chỉ thỏa mãn khi và chỉ khi 
 Vậy phương trình có nghiệm là x = -1.
 Ví dụ 3: Giải phương trình : . (1)
 Lời giải: 
 ĐK : 5x3 + 3x2 +3x + 2.
 BĐTCôsi
 Ta có .
 Do đó PT(1) x2 + x + 1 = 5x – 2 (thoả mãn).
 Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = 3.
 IV) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 
 1) Phương pháp: 
 Dùng tính đơn điệu của hàm số để khẳng định số nghiệm phương trình.
 2) Ví dụ minh họa : 
 Ví dụ 1: Giải phương trình : .
 Lời giải: 
 ĐK : x . Xét hàm số f(x) = trên tập .
 Ta có với h/s f(x) đồng biến trên D.
 Mặt khác với x = -1 thì f (-1) = 0.
 Vậy pt có nghiệm duy nhất là x = - 1.
 Ví dụ 2: Giải phương trình : .(2)
 Lời giải: 
 PT (2) (*)
 Đặt t = x2- x đ/k ( -3≤ t ≤2)
 PT(*) trở thành (**)
 Xét hàm số f(t) = trên tập D = . Ta có với 
 h/s f(t) đồng biến trên tập xác định D. 
 Mặt khác hàm số g(t) = 1+ với 
 h/s g(t) nghịch biến trên tập D.
 Mặt khác với t = 1 thì f(1) = g(1) = 2
 Do vậy Pt (**) có nghiệm duy nhất t =1 .
 Với t = 1 thì x2- x = 1 .
 Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi m > 0, phương trình sau luôn có 2 nghiệm thực 
 phân biệt (1) ( Khối B – 2007)
 Lời giải: 
 ĐK 
 Pt (1) 
 Ta chứng minh phương trình 
 (2) có nghiệm với 
 Xét hàm số f(x) = x3 + 6x2 -32 với .
 Ta có với hàm số f(x) đồng biến trên.
 Bảng biến thiên
x
2 
 +
f(x)
0
 Dựa vào bảng biến thiên ta có với , Pt(1) luôn có một nghiệm .
Vậy Pt(1) luôn có 2 nghiệm thực phân biệt.
B. Bài tập vận dụng.
 Bài tập 1 : Giải các phương trình sau 
 1) 2) 
 3) 4) 
 5) 6)
 7) 8)
 9) 
 10) ( Khối A – 2009).
 11) .
 12) .
 13).
 14).
 15).
 16).
 Bài tập 2 : Cho phương trình
Giải phương trình với m = 2.
Tìm m để phương trình có nghiệm.
Bài tập 3 :Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
 Bài tập 4 :Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
Bài tập 5 :Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực
 ( Khối A – 2007).
Bài tập 6 :Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt
 ( Khối A – 2008).
 Hết.