Phương trình vi phân - Bài 10

 1 
Phương trình vi phân 
Bài 10B 
PGS. TS. NGUYỄN XUÂN THẢO 
§ 8.6 Dây rung và Phương trình truyền sóng một chiều 
• Dây rung và Phương trình truyền sóng một chiều 
• Phương pháp tách biến 
1. Đặt vấn đề 
• Phương pháp chuỗi lượng giác của phương trình đạo hàm riêng xuất hiện vào 
thế kỷ 18 khi Euler và Bernouli nghiên cứu bài toán dây rung. 
• Cần có mô hình toán mô tả hiện tượng này. 
2. Dây rung và phương trình truyền sóng 
• Để nghiên cứu sự dao động của sóng trên dây mềm đồng chất với mật độ vật 
liệu là ρ được căng ra bởi lực T giữa 2 điểm cố định x = 0 và x = L. 
Hình 8.6.1. Các lực trên một đoạn ngắn của một dây rung 
• Sử dụng định luật II Newton F = ma, và tính toán ta nhận được 
 ( )ρ ∂ ∂= +
∂ ∂
2 2
2 2
y yT F x
t x
 (2.1) 
là phương trình mô tả rung động theo phương thẳng đứng của dây với hằng số 
mật độ tuyến tính ρ và lực căng T dưới ảnh hưởng của ngoại lực F(x). 
• Đặt 
ρ
=
2 Ta , ( ) ≡ 0F x thì (2.1) có dạng ∂ ∂=
∂ ∂
2 2
2
2 2
y y
a
t x
mô tả nên một rung động tự do của dây mềm đồng chất với 2 đầu mút cố định 
tại x = 0 và x = L. 
• Ta sẽ xác định được chuyển động của sợi dây nếu biết 
 ∗ Vị trí ban đầu: ( ) ( ) ( )= < < ,0 0y x f x x L 
 2 
 ∗ Tốc độ ban đầu ( ) ( ) ( )= < < ,0 0 .ty x g x x L 
• Từ đó ta có bài toán giá trị biên 
 ( )∂ ∂= 
∂ ∂
2 2
2
2 2 0 , 0 ;
y y
a x L t
t x
 (2.2) 
 ( ) ( )0, , 0y t y L t= = (2.3) 
 ( ) = < < ,0 ( ) (0 )y x f x x L (2.4) 
 ( ) = < < ,0 ( ) (0 )ty x g x x L (2.5) 
3. Tìm nghiệm bằng phương pháp tách biến 
• Phương trình (2.2) có hai điều kiện không thuần nhất (2.4) và (2.5) cần xử lý. 
• Ta tách bài toán (2.2) − (2.4) thành hai bài toán riêng biệt. 
Bài toán A Bài toán B 
( ) ( )
( ) ( )
( )
=
= =
=
=
2 ;
0, , 0
,0 ,
,0 0.
tt xx
t
y a y
y t y L t
y x f x
y x
( ) ( )
( )
( ) ( )
=
= =
=
=
2 ;
0, , 0
,0 0,
,0 .
tt xx
t
y a y
y t y L t
y x
y x g x
• Nếu tìm được nghiệm của Bài toán A là là Ay , còn bài toán B là By thì bài 
toán gốc ban đầu có nghiệm ( ) ( ) ( )= +, , ,A By x t y x t y x t 
Thật vậy, rõ ràng luôn thoả mãn (2.2) và (2.3), ta kiểm tra (2.4) và (2.5) có 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + = + =,0 ,0 ,0 0A By x y x y x f x f x 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ),0 ,0 ,0 0t A Bd dy x y x y x g x g xdt dt= + = + = 
♦ Ta giải bài toán A bằng phương pháp tách biến, tức là tìm nghiệm dạng 
( ) ( ) ( )=,y x t X x T t 
• Thay vào (2.2) có 2
" "
,
X T t
X a T
= ∀ , do đó có λ= = −2
" "X T
X a T
• Hệ 2
" 0
" 0
X X
T a T
λ
λ
+ =

+ =
• Từ điều kiện ( ) ( )0, 0 ,y t y L t= = ⇔ ( ) ( )( ) ( )
0 0
0
X T t
X L T t
 =

=
 3 
Để có ( )T t không tầm thường ⇒ ( ) ( )= =0 0X Y L . 
• Phương trình ( ) ( )" 0, 0 0X X X X Lλ+ = = = có giá trị riêng 2 22n nL
piλ = , 
nên có hàm riêng ( ) pi= = sin , 1, 2, 3, ...n n xX x nL 
• Tương tự, từ điều kiện: ( ) ( ) ( ), 0 0 0ty x X x T ′= = , ∀ x ⇒ ( )0 0T ′ = . 
Khi đó ( )nT t ứng với λn ở trên thỏa mãn phương trình 
2 2 2
2 0n n
n aT T
L
pi
′′ + = , ( )0 0nT ′′ = . 
Do đó có nghiệm tổng quát ( ) pi pi= +cos sin .n n nn at n atT t A BL L 
Vì vậy ( ) sin cosn n nn a n at n atT t A BL L L
pi pi pi 
′ = − + 
 
Do ( )0 0nT ′ = nên có ( ) pi= cos .n n atT t L 
• Từ đó có ( ) ( ) ( ), cos sin ,n n n n at n xy x t X x T t L L
pi pi
= = n = 1, 2, 3,... 
• Dùng nguyên lí chồng nghiệm, ta có nghiệm chuỗi hình thức của bài toán A là 
( )
1
, cos sinn n
n
n at n xy x t A
L L
pi pi∞
=
=∑ , ở đó 
0
2 ( )sin
L
n
n xA f x dx
L L
pi
= ∫ 
(Do khai triển Fourier sine của f(x) ta có ( )
0
sinn
n
n xf x A
L
pi∞
=
=∑ ) 
Nhận xét. Nghiệm chuỗi được suy ra từ chuỗi Fourier sine của hàm ( )f x bằng 
cách thêm thừa số ( )picos /n at L vào phần tử thứ n. 
Ví dụ 1. Ta nhận thấy một cách trực tiếp rằng nghiệm của bài toán giá trị biên 
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
3
4 0 , 0
0, , 0,
1
,0 sin
10
,0 0,t
y y
x t
t x
y t y t
y x x
y x
pi
pi
∂ ∂
= 
∂ ∂
= =
=
=
 4 
• Ta có 3 3 1sin sin sin3
4 4
x x x= − nên có ( ) 3 1, 0 sin sin3
40 40
f x x x= − 
• Từ trên ta có biểu diễn chuỗi Fourier sine của hàm ( )f x là 
( ) 3 1sin sin3
40 40
f x x x= − 
tức có 1
3
40
A = , 3
1
40
A −= , 0nA = . 
• Vận dụng công thức nghiệm ở trên với pi=L và = 2a , có nghiệm là 
( ) = −3 1, cos2 sin cos 6 sin3 .
40 40
y x t t x t x 
Ví dụ 2. 
Hình 8.6.2. Vị trí ban đầu của lò xo bị kéo dãn trong Ví dụ 2 
• Một lò xo dài là L được làm cho chuyển động bằng cách di chuyển điểm giữa 
2
L
x = một khoảng là 1
2
bL sau đó thả ra tại thời điểm t = 0. Hãy tìm ( ),y x t 
• Bài toán giá trị biên tương ứng có dạng 
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 0 , 0 ;
0, , 0,
,0 ,
,0 0.
tt xx
t
y a y x L t
y t y L t
y x f x
y x
= 
= =
=
=
ở đó ( )
( )
, 0
2
,
2
Lbx x
f x
Lb L x x L
 ≤ ≤
= 

− ≤ ≤

• Ta có 
2
0 0
2
2 2 2( )sin sin ( )sin
L
L L
n
L
n x n x n xA f x dx bx dx b L x dx
L L L L L L
pi pi pi
= = + −∫ ∫ ∫ 
 5 
2 2
0
2
cos sin
L
L n x L n xb x
L n L n L
pi pi
pi pi
  
= − +  
  
( )
2
2
2
cos sin
L
L
L n x L n xb L x
L n L n L
pi pi
pi pi
  
+ − − −  
  
22
. cos sin
2 2 2
L L n L n
L n n
pi pi
pi pi
  
= − +  
  
22
. cos sin
2 2 2
L L n L nb
L n n
pi pi
pi pi
  
+ +  
  
22
.2 sin
2
b L n
L n
pi
pi
 
=  
 
 2 2
4
sin
2
bL n
n
pi
pi
= . 
• Phương trình đã cho có nghiệm hình thức là 
( ) pi pi pi
pi
pi pi pi pi
pi
∞
=
=
 
= − + 
 
∑2 2
1
2 2
4 1
, sin cos sin
2
4 1 3 3
cos sin cos sin ... .
3
n
bL n n at n xy x t
L Ln
bL at x at x
L L L L
a) Âm nhạc 
• Hầu hết các nhạc cụ âm nhạc quen thuộc sử dụng dây rung để sinh ra âm 
thanh. Khi một dây rung với một tần số nhất định, rung động tại tần số này được 
truyền vào trong không khí - dưới dạng rung động có chu kỳ vào mật độ không 
khí và được gọi là sóng âm - đến tai người nghe. 
• Chuỗi ( )
1
, cos sinn
n
n at n xy x t A
L L
pi pi∞
=
=∑ thể hiện sự chuyển động của một dây 
dưới dạng một phép chồng của rất nhiều sự rung động vô hạn với các tần số 
khác nhau. 
 − Tần số cơ bản (thấp nhất) 1 12
T
v
L ρ
= (Hz) 
 − Tần số hoà âm = 1nv nv (do đó khi dây rung nghe có cảm giác du dương). 
• Cường độ âm thanh sinh ra bởi sợi dây được xác định như sau: 
pi ∞
=
= ∑
2
2 2
1
.
4 n
n
TE n A
L
 6 
b) Nghiệm d’Alembert 
• Ngược lại với nghiệm chuỗi của phương trình truyền nhiệt, nghiệm chuỗi hình 
thức của phương trình sóng không thể vi phân từng phần tử để xác định nghiệm 
(vì có thể làm cho chuỗi phân kì) 
• Để khắc phục điều này, ta có cách tiếp cận khác nhờ sử dụng công thức 
( ) ( )= + + −2sin cos sin sinA B A B A B 
Khi đó ta có 
( ) pi pi
∞
=
=∑
1
, sin cosn
n
n x n aty x t A
L L
( ) ( )
1 1
1 1
sin sin
2 2n n
n n
n nA x at A x at
L L
pi pi∞ ∞
= =
= + + −∑ ∑ 
( ) ( )1 .2 F x at F x at = + + −  
ở đó ( )pi
∞
=
=∑
1
sinn
n
n xA F x
L
 là mở rộng lẻ với chu kỳ 2L của hàm ( )f x 
• Nhắc lại F khả vi cấp 2 thì có hàm ( ),y x t chính là nghiệm (dạng d'Alembert) 
của bài toán dây rung 
2
xtt xy a y= , 
( ) ( )= =0, , 0y t y L t , 
( ) ( )=,0 ,y x f x 
• Các hàm ( )+F x at , ( )−F x at biểu diễn chuyển động sóng tương ứng về phía 
trái và về phía phải dọc theo trục x với tốc độ a. Do đó nghiệm dạng d’Alembert 
( ),y x t là tổng hợp hai dao động sóng chuyển động theo hai hướng ngược 
chiều nhau với tốc độ a. 
 7 
Hình 8.6.3. Xung ( )F x tạo nên hai sóng - một chuyển động về phía trái, một 
chuyển động về phía phải. 
c) Dây với tốc độ ban đầu 
• Lập luận như đối với bài toán A, ta nhận được nghiệm của bài toán B là 
( ) pi pi
∞
=
=∑
1
, sin sin ,n
n
n at n xy x t B
L L
ở đó ( ) ( )
1
,0 sint n
n
n a n xy x B g x
L L
pi pi∞
=
= =∑ , do dó ( )
0
2
sin
L
n
n xB g x dx
n a L
pi
pi
= ∫ . 
Ví dụ 3. Xét một dây đàn ghita nằm chéo chữ thập với mặt sau của quân bài, tại 
thời điểm t = 0 bật quân bài vào một bức tường gạch với vận tốc ban đầu 0v . 
Tìm dao động của dây đàn. 
• Ta có ( ) ≡ 0,g x v do đó 
( )piν
pi pi
 
= = − −  ∫
0
0 2 2
0
22
sin 1 1 .
L
n
n
v Ln xB dx
n a L n a
• Nghiệm cần tìm có dạng ( ) 02 24 1, sin sin .
n
v L n at n xy x t
L La n
pi pi
pi
= ∑
 lÎ
 8 
• Lấy đạo hàm theo t ta có của biểu thức ( )
1
, sin sinn
n
n at n xy x t B
L L
pi pi∞
=
=∑ ta có 
( ) ( ) ( )
1
1
, sin cos
2t n
n
n x n aty x t b G x at G x at
L L
pi pi∞
=
 = = + + − ∑ 
ở đó G là mở rộng lẻ với chu kỳ 2L của hàm vận tốc ban đầu ( )g x 
• Ngoài ra ta cũng có ( ) ( ) ( )1, 2y x t H x at H x ata  = + + −  
ở đó 
0
( ) ( )
x
H x G s ds= ∫ 
• Kết hợp với nghiệm dạng d’Alembert ( ) ( ) ( )[ ]1,
2
y x t F x at F x at= + + − ta có 
dao động của sợi dây với điều kiện ban đầu tổng quát được cho bởi 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1, 2 2y x t F x at F x at H x at H x ata   = + + − + + + −    
là tổng hợp bốn chuyển động dọc theo trục x với tốc độ a, hai chuyển động sang 
trái và hai chuyển động sang phải. 
Chú ý. Dạng toán cơ bản của mục này là giải bài toán giá trị biên 1, 10 trang 
378. 
 9 
§ 8.7 Trạng thái nhiệt độ ổn định và phương trình Laplace 
• Bài toán Dirichlet 
• Bài toán Dirichlet cho hình chữ nhật 
• Bài toán Dirichlet cho đĩa tròn 
1. Đặt vấn đề 
• Ta nghiên cứu nhiệt độ trong tấm kim loại phẳng mỏng, có diện tích R trong 
mặt phẳng xy giới hạn bởi đường cong C trơn từng khúc trong hình 8.7.1. 
Hình 8.7.1. Vùng mặt phẳng R và đường cong C bao quanh 
• Giả sử rằng 2 mặt đĩa được cách nhiệt, khi đó có phương trình truyền nhiệt là 
2 2
2 2
u u uk
t x y
 ∂ ∂ ∂
= +  ∂ ∂ ∂ 
 (1.1) 
với hằng số khuyếch tán nhiệt Kk
cδ= , k _ hằng số dẫn nhiệt, mật độ δ của tấm 
kim loại, nhiệt độ C. 
• Có thể viết lại phương trình trên dưới dạng: 
2u k u
t
∂
= ∇
∂
, ở đó 
2 2
2
2 2
u u
u
x y
∂ ∂∇ = +
∂ ∂
ta thấy phương trình này có dạng giống phương trình đẳng nhiệt t xxu ku= 
• Với cùng lập luận như trên, từ phương trình truyền sóng một chiều 2tt xz a z= x 
ta nhận được phương trình truyền sóng hai chiều: 
 ∂ ∂ ∂
= + = ∇  ∂ ∂ ∂ 
2 2 2
2 2 2
2 2 2 .
z z z
a a z
t x y
 10 
• Ta giới hạn sự chú ý vào trạng thái ổn định, trong đó nhiệt độ u không thay đổi 
theo thời gian, do đó = 0tu , vì vậy phương trình (1.1) trở thành phương trình 
Laplace hai chiều 2 0u∇ = hay 
2 2
2 2 0
u u
x y
∂ ∂
+ =
∂ ∂
. 
Đây là phương trình vi phân đạo hàm riêng khá quan trọng và nó được gọi là 
phương trình điện thế. 
2. Bài toán Direchlet 
Tìm được nhiệt độ trạng thái ổn định trong đĩa với các giá trị biên cho trước 
được cho bởi 
( )
2 2
2 2 0, ,
u u
x y R
x y
∂ ∂
+ = ∈
∂ ∂
 trong trong mặt phẳng 
( ) ( )=, ,u x y f x y , (x, y) trên biên C của R. 
3. Bài toán Dirichlet đối với hình chữ nhật 
• Bài toán Dirichlet 
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2
1 2
0
,0 , , 0 ,
0, , , 0 .
xx yyu u y R
u x f x u x b f x x a
u y g y u a y g y y b
+ = ∈
= = < <
= = < <
 x,
 (3.1) 
• Đây là bài toán có bốn điều kiện không thuần nhất 
• Ta giải bài toán (3.1) bằng cách tách nó ra thành 4 bài toán, mà mỗi bài toán 
chỉ có một điều kiện không thuần nhất duy nhất, và bằng không dọc theo 3 cạnh 
còn lại (xem hình 8.7.3) 
Hình 8.7.3. Bài toán giá trị biên của Ví dụ 1. 
Ví dụ 1. Hãy giải bài toán giá trị biên sau 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
0, , , 0
,0
xx yyu u
u y u a y u x b
u x f x
+ =
= = =
=
đối với hình chữ nhật trong Hình 8.7.3. 
 11 
• Sử dụng phương pháp tách biến, tìm ( ) ( ) ( )=,u x y X x Y y , thay vào phương 
trình 0xx yyu u+ = ta có 
 λ= − = −" "X Y
X Y
 (3.2) 
• ( ) ( )" 0, 0 0.X X X X aλ+ = = = 
Có giá trị riêng và hàm riêng tương ứng là ( )pi piλ = = 2 22 , sinn nn n xX x aa (3.3) 
• Từ đó và từ (3.2) có ( )2 2" 2 0, 0n n nnY Y Y ba
pi
− = = 
có nghiệm ( ) pi pi= +cosh sinh ,n n nn y n yY y A Ba a 
• Từ điều kiện ( ), 0u x b = ⇒ ( ) 0ny b = , do đó có 
 ( ) ( )pi −= sinhn n n b yY y c a (3.4) 
ở đó 
sinh
n
n
A
c
n b
a
pi
= 
• Từ (3.3) và (3.4) có nghiệm chuỗi hình thức của bài toán Dirichlet 
( ) ( ) ( ) ( )pipi
∞ ∞
= =
−
= =∑ ∑
1 1
, sin sinh .n n n
n n
n b yn x
u x y X x Y y c
a a
ở đó 
pi
pi
= ∫
0
2 ( )sin
sinh( / )
a
n
n x
c f x dx
a n b a a
 (nhận được từ điều kiện ( ) ( ), 0u x f x= ) 
Ví dụ 2. Cho R là một dải bán vô hạn như trong Hình 8.7.5. 
Hình 8.7.5. Dải bán vô hạn của Ví dụ 2 
 12 
Hãy giải bài toán giá trị biên 
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
0 ( );
,0 , 0 0 ,
, ,
0, .
xx yyu u R
u x u x b x
u x y x
u y g y
+ =
= = < < + ∞
→ +∞
=
 trong 
lµ giíi néi khi 
• Là dạng bài toán điển hình Dirichlet cho miền giới nội, thực hiện tách biến như 
trên ta có λ= − = −" " ,Y X
Y X
• ( ) ( )λ+ = = = " 0, 0 0Y Y Y Y b 
có các giá trị riêng và hàm riêng tương ứng ( )pi piλ = = 2 22 , sin ,n nn n yY y bb 
• Thay vào trên có phương trình pi− =
2 2
"
2 0n n
nX X
b
có nghiệm ( )
n x n x
b b
n n nX x A e B e
pi pi−
= + 
• Do điều kiện ( ),u x y giới nội khi → +∞x nên có ( ) pi = − 
 
exp .n
n xX x
b
• Từ đó nhận được nghiệm chuỗi hình thức: 
( ) ( ) ( ) pi pi
∞ ∞
= =
 
= = − 
 
∑ ∑
1 1
, exp sinn n n n
n n
n x n y
u x y b X x Y y b
b b
• Từ điều kiện biên ( ) ( )pi
∞
=
= =∑
1
0, sinn
n
n y
u y b g y
b
nên có pi= ∫
0
2 ( )sin
b
n
n yb g y dy
b b
 là chuỗi Fourier sine 
4. Bài toán Dirichlet cho đĩa tròn 
 Hình 8.7.7. Bài toán Dirichlet cho một đĩa tròn. 
 13 
• Xét nhiệt độ ở trạng thái ổn định trong đĩa tròn bán kính a với hai mặt được 
cách nhiệt và nhiệt độ biên cho trước. 
• Sử dụng tọa độ cực nhận được mô hình toán của bài toán nói trên là 
2 2
2
2 2 2
1 1 0.u u uu
r rr r θ
∂ ∂ ∂∇ ≡ + + =
∂∂ ∂
 (4.1) 
với điều kiện: ( ) ( ),u a fθ θ= , ( )θf tuần hoàn với chu kỳ 2pi. 
• Sử dụng phương pháp tách biến tìm ( ) ( ) ( )θ θ= Θ,u r R r , thay vào (4.1) có 
2
1 1
' 0R R R
r r
′′ ′′Θ + Θ + Θ = ⇔ λ+ Θ= − =
Θ
2
" ' "r R rR
R
 ⇔ λ+ − =2 " ' 0r R rR R (4.2) 
 và λΘ + Θ =" 0. (4.3) 
• Phương trình (4.3) có nghiệm tổng quát là 
 ( )θ α αθΘ = Θ +cos sinA B nếu 2 0λ α= > 
 ( )θΘ = + ΘA B nếu 0λ = 
 ( ) Ae Beαθ αθθ −Θ = + nếu 2 0λ α= − < 
Từ điều kiện đầu có 
• Khi 2n nλ λ= = , do đó 
0 0λ = , ( )0 1θΘ = , 2n nλ = , ( ) cos sinn n nA n B nθ θ θΘ = + 
• λ =0 0 có ( )0 0 0 lnR r C D r= + và 2nλ = có + − =2 " ' 2 0.n n nr R rR n R 
Phương trình này có nghiệm tổng quát là ( ) 2n nn n DR r C r r= + , do đó 
( ) nn nR r C r= (do liên tục tại r = 0) 
• Từ đó có nghiệm chuỗi hình thức dạng 
( ) ( ) ( )
0
, n n
n
u r R rθ θ
∞
=
= Θ∑ ( )0
1
cos sin
2
n n
n n
n
a
a a n b a nθ θ
∞
=
= + +∑ 
• Từ điều kiện ( ) ( )θ θ=,u a f , ta có chuỗi đã cho là chuỗi Fourier của hàm ( )θf , 
nên có 
2
0
1 ( )cosn na f n da
pi
θ θ θ
pi
= ∫ , 
2
0
1 ( )sinn nb f n da
pi
θ θ θ
pi
= ∫ , (n = 1, 2, 3,...) 
 14 
Ví dụ 3. Giải bài toán Dirichlet trong nửa hình tròn r a= , 0 θ pi≤ ≤ biết 
( ) ( ), 0 , 0u r u r pi= = , ( ) 2, cosu a θ θ= 
• Nghiệm ( ) ( )0
1
, cos sin
2
n
n n
n
a
u r r a n b nθ θ θ
∞
=
= + +∑ 
• Do ( ) ( ), 0 0 ,u r u r pi= = nên có 0,na n= ∀ , vì vậy ( )
1
, sinn n
n
u r r c nθ θ
∞
=
=∑ 
ở đó ( )
0
2
sinn nc f n da
pi
θ θ θ
pi
= ∫ ( )
0
2 1 cos2 sin
n
n d
a
pi
θ θ θ
pi
= +∫ 
( ) ( )( )
00
2 1 1
cos sin 2 sin 2
2n
n n n d
na
pi pi
θ θ θ θ
pi
 
= − + + + − 
 ∫
( )( ) ( ) ( )
0
2 1 1 1 11 1 cos 2 cos 2
2 2 2
n
n
n n
n n na
pi
θ θ
pi
 
−  = − − − + + − − 
 + −   
( )( ) ( )( ) ( )( )2 1 1 1 11 1 1 1 1 1
2 2 2
n n n
n n n napi
 − 
= − − + − − − − −   + −  
( )( ) ( ) ( )2 1 1 11 1 2 2 2 2
n
n n n napi
 
= − − + + + − 
( ) ( )2 1
0, 2
4 1 1 1
, 2 1
2 1 2 2 3 2 2 1k
n k
n k
k k kapi +
=

=   
+ + = +  + + − 
• ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1
0
4 1 1 1
, . sin 2 1
2 1 2 2 3 2 2 1
k
k
k
u r r k
k k ka
θ θ
pi
∞
+
+
=
 
= + + + 
+ + − 
∑ 
Chú ý. Dạng toán cơ bản của mục này là: Bài toán Dirichlet trong hình chữ nhật 
và hình tròn. Các bài 1 – 9, 13, 14, 15 (trang 393). 
Ghi nhớ 
• Tuần này vào tiết sau giờ bài tập có bài kiểm tra số 2 (Chương 4, chương 5, 
và mục 6.1, 6.2) đối với các lớp có giờ bài tập vào thứ 4, 5, 6. 
• Buổi sau giờ lí thuyết học các mục: 9.1 và 9.3. 
• Tuần sau giờ bài tập làm bài tập lẻ các mục: 6.4, 7.1 và 7.2.