Phương trình nghiệm nguyên

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Trong chương trình toán THCS và THPT thì phương trình nghiệm nguyên vẫn luôn là một đề tài hay và khó đối với học sinh . 
Các bài toán nghiệm nguyên thường xuyên có mặt tại các kì thi lớn , nhỏ , trong và ngoài nước . 
Trong bài viết này tôi chỉ muốn đề cập đến các vấn đề cơ bản của nghiệm nguyên ( các dạng ; các phương pháp giải ) chứ không đi sâu ( vì vốn hiểu biết có hạn ). Tôi cũng sẽ không nói về phương trình Pell ( vì nó có nhiều trong các sách ) và phương trình Pythagore ; Fermat ( cũng có nhiều trong sách ; khái niệm rất đơn giản ) 
Chú ý : các bạn có thể tìm đọc thêm cuốn “ phương trình và bài toán nghiệm nguyên “ của thầy Vũ Hữu Bình . 
Phương Pháp 1 Áp Dụng Tính Chia Hết 
Dạng 1 :phương trình dạng 
Ví dụ 1:: giải phương trình nghiệm nguyên sau :
Giải:
Có thể dễ dàng thấy chẵn . Đặt .
Phương trình trở thành :
Từ đó ta có nghiệm phương trình này : 
Chú ý : Ta còn có cách thứ để tìm nghiệm của phương trình trên . Đó là phương pháp tìm nghiệm riêng để giải phương trình bậc nhất ẩn 
Ta dựa vào định lí sau : 
Nếu phương trình với có tập nghiệm là thì mọi nghiệm của phương trình nhận từ công thức : 
Định lí này chứng minh không khó ( bằng cách thế trực tiếp vào phương trình ) 
Dựa vào định lý này ; ta chỉ cần tìm nghiệm riêng của phương trình . 
Đối với các phương trình có hệ số nhỏ thì việc tìm nghiệm khá đơn giản nhưng với các phương trình có lớn thì không dễ dàng chút nào . Do đó ta phải dùng đến thuật toán ơ cơ lit ( các bạn có thể tìm đọc các sách ; tôi sẽ không nói nhiều về thuật toán này ) . Ngoài ra còn có thêm phương pháp hàm Euler .
Dạng 2 : Đưa về phương trình ước số :
Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : 
Giải :
Lập bảng dễ dàng tìm được nghiệm phương trình trên . 
Ví dụ 3:Giải phương trình nghiệm nguyên sau : 
Giải :
là số chưa biết ; sẽ đc xác định sau .
Xét phương trình : 
Chọn 
Từ đó ta có phương trình ước số : 
Dạng 3:Phương pháp tách các giá trị nguyên
Ví dụ 4: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : 
Giải :
Phương Pháp 2 : Phương Pháp Lựa Chọn Modulo ( hay còn gọi là xét số dư từng vế ) 
Trước tiên ta có các tính chất cơ bản sau :
số chính phương chia dư ; chia dư ; chia dư 
Ví Dụ 5 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau : 
Giải:
Còn 
Do đó phương trình trên vô nghiệm. 
Có thể mở rộng thêm cho nhiều modulo như và mở rộng cho số lập phương ; tứ phương ; ngũ phương....... 
Ta đến với Ví Dụ sau : 
Ví dụ 6: Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau :
Giải:
Dễ thấy 
Mặt khác : 
chẵn thì ; lẻ thì 
Còn ( vô lí)
Do đó phương trình trên vô nghiệm. 
Chú ý : Nhiều bài toán nghiệm nguyên trong đề thi vô địch toán các nước đôi khi phải xét đến modulo khác lớn ; ta xét đến ví dụ sau :
Ví Dụ 7 :(Balkan1998) Giải phương trình nghiệm nguyên sau :
Giải:
( vô lí)
Do đó phương trình này vô nghiệm.
Chỉ dòng ; thật ngắn gọn và đẹp phải không nào. 
Nói chung để xét modulo hiệu quả còn phải tùy thuộc vào sự nhạy bén của người làm toán. 
Nói thêm :
Đối với các phương trình nghiệm nguyên có sự tham gia của các số lập phương thì modulo thường dùng là vì ( hãy tự chứng minh )
Ta xét Ví Dụ sau .
Ví Dụ 8 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau :
Dựa vào nhận xét trên : 
Còn ( vô lí). 
Do đó phương trình trên vô nghiệm .
Phương Pháp 3 : Dùng Bất Đẳng Thức 
Dạng 1 : Đối với các phương trình mà các biến có vai trò như nhau thì người ta thường dùng phương pháp sắp xếp thứ tự các biến . 
Ví Dụ 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau :
Giải : Không mất tính tổng quát có thể giả sử
Nghiệm phương trình là 
Dạng 2 : Đối với các phương trình nghịch đảo các biến ta cũng có thể dùng phương pháp này ( nếu vai trò các biến cũng như nhau ) 
Cách giải khác dành cho Ví Dụ 9: 
Chia vế phương trình trên cho ta đc : 
Giải:
Không mất tính tổng quát có thể giả sử
và .
Ta xét đến Ví Dụ tiếp theo để thấy sự hiệu quả của phương pháp này
Ví Dụ 10 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau :
Giải:
Không mất tính tổng quát có thể giả sử
. Lần lượt thử :
phương trình vô nghiệm nguyên
Xét 
Mặc khác 
. Ta thử lần lượt. 
phương trình vô nghiệm nguyên
Xét 
Mặc khác 
.
Vậy nghiệm phương trình là và các hoán vị.
Dạng 3 : Áp Dụng Các Bất Đẳng Thức Cổ Điển. 
Ví Dụ 11 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau :
Giải:
Áp Dụng BDT Cauchy cho 3 số ; ta đc 
Dấu xảy ra 
Từ phương trình
( phương trình ước số ; dễ dàng tìm đc rồi tìm ra )
Đáp số : nghiệm phương trình là 
Ghi chú : Việc Áp Dụng BDT vào bài toán nghiệm nguyên rất ít dùng vì ẩn ý dùng BDT rất dễ bị "lộ" nếu người ra đề không khéo léo. Tuy nhiên cũng có vài trường hợp dùng BDT khá hay . 
Ta đến với Ví Dụ sau.
Ví Dụ 12 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau với là các số đôi khác nhau. 
Giải:
Áp dụng BDT quen thuộc sau :
Vì khác nhau
Lần lượt thử các giá trị của ta tìm đc 
Đáp số : và các hoán vị . 
Dạng 4 : Áp dụng tính đơn điệu của bài toán . Ta chỉ ra hoặc vài giá trị của biến thoả phương trình rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất . 
Ví Dụ 13 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau 
Giải:
phương trình vô nghiệm nguyên
; thoả mãn . 
Do đó là nghiệm duy nhất của phương trình . 
Còn phương trình này thì sao nhỉ :
Bằng cách tương tự ; dễ dàng nhận ra là nghiệm duy nhất . 
Nói thêm : Đối với phương trình trên ; ta có bài toán tổng quát hơn . Tìm các số nguyên dương thoả :
. Đáp số đơn giản là nhưng cách giải trên vô tác dụng với bài này . Để giải bài này thì hữu hiệu nhất là xét modulo ( các phương trình chứa ẩn ở mũ thì phương pháp tốt nhất vẫn là xét modulo ) . Phần này chỉ nói thêm nên chúng ta tạm thời không giải bài toán này bây giờ mà sẽ để lại dịp khác . 
Dạng 5 : Dùng điều kiện hoặc để phương trình bậc có nghiệm . 
Ví Dụ 14 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau :
Giải:
Giải bất phương trình trên không khó ; dễ dàng suy ra được : 
Do nguyên nên dễ dàng khoanh vùng được giá trị của và thử chọn. 
Nói chung thì phương pháp này được dùng khi có dạng ( hoặc ) 
với hệ số . Còn khi thì dùng phương pháp đã nói đến trong ví dụ để đưa về phương trình ước số cách nhanh chóng.
Phương Pháp 4: Phương pháp chặn hay ta có thể gọi nó bằng cái tên khác là đẹp hơn là phương pháp đánh giá. 
Phương pháp đánh giá cơ bản dựa vào nhận xét sau : 
1/ không tồn tại thoả 
với 
2/ nếu với thì 
Ta đến với Ví Dụ sau 
Ví Dụ 15: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : 
Xét hiệu 
Xét hiệu 
Theo nhận xét trên
Thế vào phương trình ban đầu
Nhận xét trên có thể mở rộng với số lập phương ; ta đến với ví dụ tiếp theo : 
Ví Dụ 16: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : 
Giải:
Bằng cách trên ta có được : 
hoặc hoặc 
lần lượt xét ta tìm được các nghiệm phương trình là:
Phương Pháp 5: Dùng tính chất của số chính phương . 
Dạng 1 : Trước tiên ta đến với mệnh đề sau : 
với thì 
Chứng minh mệnh đề này không khó ; ta chứng minh bằng phản chứng : Giả sử không là số chính phương nên trong phân tích thành ước nguyên tố của hoặc tồn tại 1 số chứa ít nhất 1 ước nguyên tố p với số mũ lẻ . Giả sử là . Vì nên không chứa thừa số 
cũng chứa thừa số với số mũ lẻ ( vô lí trái với điều kiện là số chính phương) . Bây giờ ta đến với ví dụ . 
Ví Dụ 17: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :
Giải:
Rõ ràng 
Từ phương trình 
( phương trình ước số)
Từ đó tìm được nghiệm phương trình .
Đáp số : 
Dạng 2 : Ta có mệnh đề thứ :
Nếu là các số nguyên thoả 
thì 
hoặc ; hoặc 
Chứng minh mệnh đề này không khó : 
Giả sử 
Dùng phương pháp chặn : 
Vô lí do đó mệnh đề được chứng minh . 
Bây giờ áp dụng mệnh đê trên ; ta đến với ví dụ sau . 
Ví Dụ 18: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :
Giải:
=> hoặc hoặc . 
Phương trình này vẫn còn những cách giải khác nhưng điều tôi muốn nhấn mạnh chính là việc dùng mệnh đề trên giúp cho lời giải bài toán trở nên ngắn gọn hơn .
Phương Pháp 6: Lùi vô hạn ( hay còn gọi là phương pháp xuống thang) .
Phương pháp này dùng để chứng minh một phương trình nào đó ngoài nghiệm tầm thường thì không còn nghiệm nào khác . Phương pháp này có thể được diễn giải như sau : 
Bắt đầu bằng việc giả sử là nghiệm của . Nhờ những biến đổi ; suy luận số học ta tìm được 1 bộ nghiệm khác sao cho các nghiệm quan hệ với bộ nghiệm đầu tiên bởi tỉ số nào đó . Ví Dụ : . 
Rồi lại từ bộ thoả . Quá trình cứ tiếp tục dẫn đến :
chia hết cho với là số tự nhiên tuỳ ý . Điều này xảy ra 
.Để rõ ràng hơn ta xét một Ví Dụ . 
Ví Dụ 19: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :
Giải:
Gọi là nghiệm của phương trình trên .
Xét theo modulo . Ta chứng minh đều chia hết cho . 
Thật vậy ; rõ ràng vế phải chia hết cho 
Ta có : 
Do đó đều chia hết cho .
Đặt . Thế vào và rút gọn :
Rõ ràng . Đặt . Thế vào và rút gọn :
Do đó nếu là nghiệm của phương trình trên thì cũng là nghiệm . 
Tiếp tục lý luận như trên thì đều chia hết cho . Ta lại tìm được nghiệm thứ là với . Tiếp tục và ta dẫn đến :
. Điều đó chỉ xảy ra . 
Ví Dụ 20: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :
( Korea 1996)
U]Giải:[/u] 
Giả sử là nghiệm của phương trình trên .
Rõ ràng chẵn ( do chẵn ) nên có 2 trường hợp xảy ra.
Trường Hợp 1 : có số lẻ ; số chẵn. Không mất tính tổng quát giả sử lẻ chẵn.
Xét theo modulo thì :
Còn ( do chẵn ) ( vô lí)
Trường Hợp 2 : số đều chẵn.
Đặt thế vào và rút gọn ta được :
lập luận như trên ta lại được chẵn. Quá trình lại tiếp tục đến : 
với 
Điều đó xảy ra .
Tóm lại nghiệm phương trình là 
Phương Pháp 7: Nguyên Tắc Cực Hạn hay còn gọi là Nguyên Lí Khởi Đầu Cực Trị. 
Về mặt hình thức thì phương pháp này khác với phương pháp lùi vô hạn nhưng về ý tưởng sử dụng thì như nhau ; đều chứng minh 1 phương trình không có nghiệm không tầm thường. 
Phương pháp bắt đầu bằng việc giả sử là nghiệm của với điều kiện ràng buộc với bộ . Ví Dụ như nhỏ nhất hoặc nhỏ nhất...v...v...
Bằng những phép biến đổi số học ta tìm được bộ nghiệm khác trái với những điều kiện ràng buộc trên.
Ví dụ khi chon bộ với nhỏ nhất ta lại tìm được bộ thoả . Từ đó dẫn đến phương trình cho có nghiêm là . Ta hãy xét ví dụ.
Ví Dụ 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau : 
Giải: 
Giả sử là nghiệm phương trình trên với điều kiện nhỏ nhất. 
Từ phương trình chẵn. Đặt 
Thế vào và rút gọn ta được : 
Rõ ràng chẵn.Đặt 
Tiếp tục chẵn. Đặt 
Và dễ thấy cũng chẵn.Đặt 
Nhìn vào phương trình trên rõ ràng cũng là nghiệm phương trình trên và dễ thấy ( vô lí do ta chọn nhỏ nhất ) 
Do đó phương trình trên có nghiệm duy nhất 
Chú y : ta cũng có thể chọn bộ thoả nhỏ nhất ; lý luận tương tự và dễ thấy từ đó cũng dẫn đến kết luận bài toán.
Phương Pháp 8: Sử Dụng Một Mệnh Đề Cơ Bản Của Số Học. 
Trước tiên ta đến với bài toán nhỏ sau: 
Cho là số nguyên tố có dạng với nguyên dương ; là số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng nếu thì 
Chứng minh:
Giả sử ko chia hết cho thì rõ ràng ko chia hết cho 
Theo fermat nhỏ :
nên 
Mặt khác do lẻ nên theo hằng đẳng thức :
( là số nào đó ) 
RÕ ràng ( do giả thiết ) 
Do đó theo ta có điều phải chứng minh. 
Xét 1 trường hợp nhỏ của bài toán trên :
Khi ; vì lẻ nên 
Lúc đó ta có mệnh đề sau : là số nguyên tố có dạng . Khi đó nếu thì 
Mệnh đề hết sức đơn giản này lại là 1 công cụ vô cùng hiệu quả đối vơi nhiều bài toán khó. 
Ví Dụ 22: ( bài toán Lebesgue) Giải phương trình nghiệm nguyên sau :
( đây là 1 trường hợp nhỏ của phương trình Mordell )
Ghi chú : Phương trình Mordell là phương trình có dạng ; bài toán trên là trường hợp phương trình Mordell với 
Giải:
Trước tiên ta có bổ đề nhỏ sau :
Mọi số nguyên có dạng đều có ít nhất ước nguyên tố có dạng 
Chứng Minh:
Giả sử A không có ước nguyên số nào có dạng 
( vô lí)
Do đó A có ước dạng 
Nếu là số nguyên tố thì bổ đề được chứng minh. Nếu là hợp số. Lý luận tương tự ta lại có có ước có dạng . Nếu lại là hợp số thì lai tiếp tục. Vì quá trình trên là hữu hạn nên ta có điều phải chứng minh. 
Quay lại bài toán. 
Xét chẵn 
( vô lí do )
Xét lẻ 
viết lại phương trình :
Nếu 
Nếu 
Do đó luôn có ước dạng và theo bổ đề trên thì luôn có ít nhất ước nguyên tố 
Theo mệnh đề trên
( vô lí) 
Do đó phương trình trên vô nghiệm. 
Ví Dụ 23: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :
( phương trình Mordell với )
Giải:
Xét chẵn 
( vô lí do ) 
Xét lẻ 
Nếu 
( vô lí )
Nếu 
Viết lại phương trình 
Rõ ràng 
Do đó có ít nhất ước nguyên tố 
( vô lí)
Do đó phương trình trên vô nghiệm.
Và cuối cùng để thấy thêm sự hiệu quả của mệnh đề này ; ta hãy đến với bài toán của Euler .
Ví Dụ 24: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :
Nhưng trước hết hãy xem lời giải của Euler để nhìn nhận ra sự giá trị của mệnh đề trên : 
giả sử pt có tâp nghiệm với là giá trị nhỏ nhất của . 
=> 
=> 
=> 
=> (*)
CỘng vào vế (*) :
Ta đc : 
=> 
=> (**)
Vậy nếu pt (*) có nghiệm là thì pt (*)cũng có nghiệm là 
vì là giá trị nhỏ nhất của 
=> nghiệm 
=> 
=> pt (**) > (*)
=> 
=> 
=> 
=> 
=> (1) 
Vì có vai trò như nhau nên ta cũng cm đc
(2)
Từ (1) và (2)
=> 
=> pt (*) :
=> 
=> ( vô lí ) 
Vậy pt này vô nghiệm 
Nhưng nếu dùng mệnh đề trên thì lời giải ngắn gọn hơn nhiều :
Rõ ràng đều có dạng . Thật vậy :
Do đó có ít nhất ước nguyên tố 
( vô lí) 
Do đó phương trình trên vô nghiệm.
ác dạng cơ bản của phương trình vô định nghiệm nguyên mình đã giới thiệu hết. Việc sắp xếp các dạng ; phương pháp là theo chủ ý của mình nên ít nhiều sẽ sai sót. Sau đây là phần nói thêm về các phương trình vô định siêu việt và phương trình khác ( kiến thức sơ sai nên mình nói cũng sơ thôi ) 
Đầu tiên là phương trình dạng mũ : 
Như đã nói thì phương trình dạng mũ thường có phương pháp chung là xét Modulo ( nhưng không phải là luôn luôn ) 
Ta đến với các Ví Dụ cơ bản : 
Ví Dụ 25: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : 
( )
Giải:
: phương trình vô nghiệm 
Xét 
( vô lí do )
Nghiệm phương trình là 
Ví Dụ 26: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : 
( )
Giải:
Xét lẻ .Đặt 
( do ) 
( vô lí) ( do ) 
Xét : chẵn.Đặt 
Phương trình ước số ; quá đơn giản.
Đáp số 
Ví Dụ 26: Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau : 
với ( Việt Nam 1982) 
Giải:
Rõ ràng lẻ 
Lý luận như trên 
Nghiệm phương trình là 
Chú ý : Với cách giải trên ta có thể xử đẹp phương trình dạng này :
( )
Đáp số : 
Ví dụ 27: Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau :
Giải: 
Trong phương trình này có sự tham gia của số lập phương và như đã nói ở phần phương pháp lựa chọn modulo thì trong bài này ; modulo ta xét sẽ là modulo 
; phương trình vô nghiệm nguyên .
(vô lí vì )
Ta đến với các bài toán khó hơn 
Ví Dụ 28: Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau : 
Giải:
Rõ ràng là nghiệm.
Xét . Không mất tính tống quát giả sử 
do y nguyên nên nguyên.
. Đặt 
Thế vào ta được :
Rõ ràng ( vì đã giả sử )
lúc đó rõ ràng 
Ta chứng minh : 
Do nên ta chỉ việc chứng minh :
. Ta cm quy nạp theo 
; đúng .
Giả sử khẳng định đúng với tức là 
Ta cm khẳng định đúng với tức là chứng minh . Rất đơn giản ; theo giả thiết quy nạp thì : 
( do )
Do đó phương trình vô nghiệm với 
Kết luận : nghiệm phương trình là với 
Chú ý : Ta có thể giải phương trình theo cách khác .Nhưng trước hết ; ta cần chứng minh mệnh đề sau :
Ta chứng minh phần thuận ; phần đảo là điều hiển nhiên . 
Trong phân tích ra dạng chuẩn tắc thì số nguyên tố có lũy thừa tương ứng là .
Do đó trong phân tích ra dạng chuẩn tắc thì số nguyên tố có lũy thừa tương ứng là .
Vì 
Vì được chọn tuỳ ý nên 
Quay lại với bài toán . 
Ta chỉ xét trường hợp 
Không mất tính tổng quát giả sử .
Đặt 
. Rồi làm tương tự như trên 
Ví Dụ 29 : Giải phương trình nghiệm nguyên không âm sau : 
Giải: 
Xét theo modulo 
Viết lại phương trình 
Xét : 
Xét 
Mặt khác : 
chẵn ( vì chẵn thì 
Đặt 
Nếu ( vô lí)
Nếu 
. 
Kết luận : nghiệm phương trình là 
Ví Dụ 30 : Giải phương trình nghiệm nguyên không âm sau : 
Bài toán này đã được đề cập trong phần trước và đây là lời giải của nó : 
Xét theo modulo 
chẵn .
Đặt 
Do đó có 2 trường hợp xảy ra :
Trường Hợp 1 : 
( ) 
Điều này không xảy ra vì 
Nhưng thì không chia hết cho 
Trường Hợp 2: 
Do đó lẻ . 
Ta có : 
Do lẻ nên rõ ràng chẵn .
Đặt 
Nếu 
Nếu [
Ta có 
Tuy nhiên xét modulo cho vế phải .
Nếu chẵn ; 
Nếu lẻ ; 
Từ đó ta có còn ( vô lí)
Kết luận : nghiệm của phương trình là 
Ví Dụ 31 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương :
Giải: 
lẻ . 
Đặt 
Nếu chẵn 
Nếu lẻ 
Còn 
Vô lí do đó phương trình trên vô nghiệm . 
Bài toán với các nghiệm nguyên tố 
Ví Dụ 31 : Tìm để 
a) là số nguyên tố 
b) là số nguyên tố 
c) là số nguyên tố 
Giải: 
a) là số nguyên tố
b) 
làm như trên ta cũng được 
c) Chú ý là lẻ 
Đáp số : 
Ví Dụ 32 : Tìm số nguyên tố để là số nguyên tố 
Giải: 
chẵn ( không thoả ) 
lẻ chẵn nên là hợp số .
Vậy không tồn tại số thoả điều kiện trên .
Ví Dụ 33 : Tìm các số nguyên tố thoả :
Xét lẻ chẵn 
( không tồn tại thoả )
Xét chẵn 
Nếu lẻ . Đặt 
Nếu chẵn 
( vô lí) .
Kết luận : nghiệm của phương trình là 
Từ bài toán trên hẳn chúng ta dễ dàng hình dung là lời giải bài toán sau: 
Tìm các số nguyên tố thoả :
Các Phương Trình chứng minh vô số nghiệm : 
Ví Dụ 34 : Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm . 
Giải: 
Ta xây dựng nghiệm của phương trình này . 
Đặt 
. Thế vào ta được : 
Phương trình có vô số nghiệm có dạng : 
Tổng quát hoá bài toán với phương trình 
Với cách giải trên ; phương trình có vô số nghiệm có dạng :
Chú ý: Công Thức trên chưa chắc đã lấy hết tất cả các nghiệm của bài toán nhưng chúng ta chỉ cần có như vậy để hoàn thành bài toán . 
Ví Dụ 35 : Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm . 
Giải : 
Dựa vào Hằng Đẳng Thức sau : 
Đặt 
Chọn 
Do nguyên nên 
Giải hệ trên ta được 
Kết luận : Phương trình có vô số nghiệm có dạng :
Ví Dụ 36 : Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm . 
Đặt 
Rõ ràng tồn tại vô số số n để 
Thật vậy ; xét phương trình ( rõ ràng có vô số nghiệm) 
Chú ý 
Do đó phương trình có vô số nghiệm có dạng :
Do nên nguyên 
Còn với phương trình này thì sao nhỉ : 
Rất đơn giản 
Ta đưa về phương trình ở Ví dụ trên 
Sau đây là phần các bài tập ; mình sẽ xếp các bài tập không theo từng dạng và các bạn phải xác định dạng của nó để có phương án xử lí thích hợp .
Phương trình với tập Z : 
1/ 
2/ 
3/ 
4/ 
5/ 
6/ 
7/ 
8/ 
9/ 
10/ 
11/ 
12/ 
13/ 
14/ 
15/ 
16/ 
17/ 
18/ 
19/ 
20/ 
21/ 
22/ 
23/ ( Hàn quốc 1988)
24/ 
25/ 
26/ 
27/ ( Bulgari 1998)
28/ 
29/ 
30/ 
31/ 
32/ 
33/ 
34/ 
35/ 
Tập N 
36/ 
37/ 
38/ 
39/ 
40/ 
41/ 
42/ 
Các bài Toán với số nguyên tố :
43/ Tìm để là số nguyên tố 
44/ 
45/ ( nguyên tố ; )
46/ 
nguyên tố . 
47/ ( nguyên tố )
Các bài toán khó :
48/ (APMO ) Tìm n nguyên dương để phương trỉnh sau có nghiệm
49/ Chứng minh rằng phương trình sau có vô số nghiệm : ( Brazil 1990 ) 
50/ (Rumani 2001) 
( ).
51/ ( ) 
52/ 
53/ Cho 
CMR nếu là số nguyên thì là số chính phương
54/ ( Nga 1996)
55/ Chứng minh rằng phương trình sau có vô số nghiệm
56/ ( )
57/ 
58/ 
59/ 
60/ ( )
61/ ( )
62/ ( )
63/ ( Sáng Tác) Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm . 
64/ ( Sáng Tác) ( )
65/ (IMO 2006) 
66/ Tìm n để phương trình có nghiệm 
( )
67/ 
68/ là số nguyên và . CMR 
69/ 
70/ 
The end