Phương trình lượng giác qua các kì thi đại học

GV: Hoàng Ngọc Quang 
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
A- ĐỀ CHÍNH THỨC: 
1, KhốiA-2002: Tìm nghiệm thuộc khoảng ( )0;2pi của phương trình: 
os3 sin 35 s inx os2 3
1 2sin 2
c x x
c x
x
+ 
+ = + + 
Đáp số: 5;
3 3
x x
pi pi
= = 
2, KhốiA-2003: Giải phương trình 2os2 1cot 1 sin sin 2
1 t anx 2
c x
x x x− = + −
+
Đáp số: ( ) 
4
x k kpi pi= + ∈
 
3, Khối A-2005: Giải phương trình 2 2cos 3 .cos 2 cos 0x x x− = 
Đáp số: ,
2
x k kpi= ∈
 
4, Khối A-2006: Giải phương trình 
( )6 62 os sin sin x cos
0
2 2sin
c x x x
x
+ −
=
−
Đáp số: ( )5 2 
4
x k kpi pi= + ∈
 
5, Khối A-2007: Giải phương trình ( ) ( )2 21 sin cos 1 os s inx 1 sin 2x x c x x+ + + = + 
Đáp số: ( ); 2 ; 2 
4 2
x k x k x k kpi pipi pi pi= − + = + = ∈
 
6, Khối A-2008: Giải phương trình 1 1 74sin
3s inx 4
sin
2
x
x
pi
pi
 
+ = − 
   
− 
 
Đáp số: ( )5; ; 
4 8 8
x k x k x k kpi pi pipi pi pi= − + = − + = + ∈
 
7, CĐ khối A-2008: Giải phương trình sin 3 3 os3 2sin 2x c x x− = 
Đáp số: ( )4 22 ; 
3 15 5
x k x k kpi pi pipi= + = + ∈
 
8, Khối A-2009: Giải phương trình ( )( ) ( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 s inx
x x
x
−
=
+ −
Đáp số: ( )2 
18 3
x k kpi pi= − + ∈
 
9, CĐ khối A-2009: Giải phương trình ( )21 2sin cos 1 s inx cosx x x+ = + + 
Đáp số: ( )52 ; ; 
2 12 12
x k x k x k kpi pi pipi pi pi= − + = + = + ∈
 
10, Khối B-2002: Giải phương trình 2 2 2 2sin 3 os 4 sin 5 os 6x c x x c x− = − 
1 
GV: Hoàng Ngọc Quang 
Đáp số: ( ); 
9 2
x k x k kpi pi= = ∈
 
11, Khối B-2003: Giải phương trình 2cot t anx 4sin 2
sin 2
x x
x
− + = 
Đáp số: ( ) 
3
x k kpi pi= ± + ∈
 
12, Khối B-2004: Giải phương trình ( ) 25sin 2 3 1 s inx tanx x− = − 
Đáp số: ( )52 ; 2 
6 6
x k x k kpi pipi pi= + = + ∈
 
13, Khối B-2005: Giải phương trình 02cos2sincossin1 =++++ xxxx 
Đáp số: ( )2; 2 
4 3
x k x k kpi pipi pi= − + = ± + ∈
 
14, Khối B-2006: Giải phương trình cot sin 1 t anx.tan 4
2
x
x
 
+ + = 
 
Đáp số: ( )5; 
12 12
x k x k kpi pipi pi= + = + ∈
 
15, Khối B-2007: Giải phương trình 22sin 2 sin 7 1 s inxx x+ − = 
Đáp số: ( )2 5 2; ; 
8 4 18 3 18 3
x k x k x k kpi pi pi pi pi pi= + = + = + ∈
 
16, Khối B-2008: Giải phương trình 3 3 2 2sin 3 os s inx.cos 3 sin .cosx c x x x x− = − 
Đáp số: ( ); 
4 2 3
x k x k kpi pi pi pi= + = − + ∈
 
17, CĐ khối B-2008: Giải phương trình sin 3 3 os3 2sin 2x c x x− = 
Đáp số: ( )4 22 ; 
3 15 5
x k x k kpi pi pipi= + = + ∈
 
18, Khối B-2009: Giải phương trình ( )3sin cos .sin 2 3 os3 2 os4 sinx x x c x c x x+ + = + 
Đáp số: ( )22 ; 
6 42 7
x k x k kpi pi pipi= − + = + ∈
 
19, CĐ khối B-2009: Giải phương trình ( )21 2sin cos 1 s inx cosx x x+ = + + 
Đáp số: ( )52 ; ; 
2 12 12
x k x k x k kpi pi pipi pi pi= − + = + = + ∈
 
20, Khối D-2002: Tìm x thuộc đoạn [ ]0;14 nghiệm đúng phương trình: 
cos3 4cos 2 3cos 4 0x x x− + − = 
Đáp số: 3 5 7; ; ;
2 2 2 2
x x x x
pi pi pi pi
= = = = 
21, Khối D-2003: Giải phương trình 2 2 2sin tan os 0
2 4 2
x x
x c
pi 
− − = 
 
Đáp số: ( )2 ; 
4
x k x k kpipi pi pi= + = − + ∈
 
22, Khối D-2004: Giải phương trình ( ) ( )2cos 1 2sin cos sin 2 s inxx x x x− + = − 
2 
GV: Hoàng Ngọc Quang 
Đáp số: ( )2 ; 
3 4
x k x k kpi pipi pi± + = − + ∈
 
23, Khối D-2005: Giải phương trình 0
2
3
4
3sin
4
coscossin 44 =−





−





−++
pipi
xxxx 
Đáp số: ( ) 
4
x k kpi pi= + ∈
 
24, Khối D-2006: Giải phương trình cos3 os2 cos 1 0x c x x+ − − = 
Đáp số: 2; 2 k
3
x k x kpipi pi= = ± + ∈
 
25, Khối D-2007: Giải phương trình 
2
sin os 3 cos 2
2 2
x x
c x
 
+ + = 
 
Đáp số: ( )2 ; 2 
2 6
x k x k kpi pipi pi= + = − + ∈
 
26, Khối D-2008: Giải phương trình ( )2sin 1 os2 sin 2 1 2cosx c x x x+ + = + 
Đáp số: ( )2 2 ; 
3 4
x k x k kpi pipi pi= ± + = + ∈
 
27, CĐ khối D-2008: Giải phương trình sin 3 3 os3 2sin 2x c x x− = 
Đáp số: ( )4 22 ; 
3 15 5
x k x k kpi pi pipi= + = + ∈
 
28, Khối D-2009: Giải phương trình 3 os5x 2sin3x.cos2x sinx 0c − − = 
Đáp số: ( ); 
18 3 6 2
x k x k kpi pi pi pi= + = − + ∈
 
29, CĐ khối D-2009: Giải phương trình ( )21 2sin cos 1 s inx cosx x x+ = + + 
Đáp số: ( )52 ; ; 
2 12 12
x k x k x k kpi pi pipi pi pi= − + = + = + ∈
 
B- ĐỀ DỰ BỊ: 
30, Dự bị I khối A-2002: Cho phương trình 2sin cos 1
s inx 2cos 3
x x
a
x
+ +
=
− +
 (a là tham số) 
 a) Giải phương trình khi 1
3
a = 
 b) Tìm a để phương trình có nghiệm 
31, Dự bị II khối A-2002: Giải phương trình 2tan cos os s inx 1 tan x.tan
2
x
x x c x
 
+ − = + 
 
32, Dự bị I khối B-2002: Giải phương trình 
( )24
4
2 sin 2 sin 3
tan 1
cos
x x
x
x
−
+ = 
3 
GV: Hoàng Ngọc Quang 
33, Dự bị II khối B-2002: Giải phương trình 
4 4sin os 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x c x
x
x x
+
= − 
34, Dự bị I khối D-2002: Giải phương trình 2
1
s inx
8cos x
= 
35, Dự bị II khối D-2002: Xác định m để phương trình ( )4 42 sin os os4 2sin 2 0x c x c x x m+ + + − = 
có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;
2
pi 
  
. 
36, Dự bị I khối A-2003: Giải phương trình ( )cos 2 cos 2 tan 1 2x x x+ − = 
37, Dự bị II khối A-2003: Giải phương trình ( )3 t anx t anx 2sin 6cos 0x x− + + = 
38, Dự bị II khối B-2003: Giải phương trình 6 23cos 4 8cos 2cos 3 0x x x− + + = 
39, Dự bị II khối B-2003: Giải phương trình 
( ) 22 3 cos 2sin 2 4 1
2cos 1
x
x
x
pi 
− − − 
 
=
−
40, Dự bị I khối D-2003: Giải phương trình ( ) ( )
2cos cos 1
2 1 sin
sin cos
x x
x
x x
−
= +
+
41, Dự bị II khối D-2003: Giải phương trình 2cos 4cot tan
sin 2
x
x x
x
= + 
42, Dự bị I khối A-2004: Giải phương trình ( )3 34 sin cos cos 3sinx x x x+ = + 
Đáp số: 
43, Dự bị II khối A-2004: Giải phương trình 1 sin 1 cos 1x x− + − = 
44, Dự bị I khối B-2004: Giải phương trình 1 12 2 cos
4 sin cos
x
x x
pi 
+ + = 
 
45, Dự bị II khối B-2004: Giải phương trình sin 4 .sin 7 cos3 .cos6x x x x= 
46, Dự bị I khối D-2004: Giải phương trình 2sin .cos 2 sin 2 .cos sin 4 .cosx x x x x x+ = 
47, Dự bị II khối D-2004: Giải phương trình ( )sin sin 2 3 cos cos 2x x x x+ = + 
4 
 GV: Hoàng Ngọc Quang 
48, Dự bị I khối A-2005: Giải phương trình 32 2 cos 3cos sin 0
4
x x x
pi 
− − − = 
 
Đáp số: ;
2 4
x k x kpi pipi pi= + = + 
49, Dự bị II khối A-2005: Giải phương trình 3 sintan 2
2 1 cos
x
x
x
pi 
− + =  + 
50, Dự bị I khối B-2005: Giải phương trình sin 2 cos 2 3sin cos 2 0x x x x+ + − − = 
51, Dự bị II khối B-2005: Tìm nghiệm trên khoảng ( )0;pi của phương trình 
2 2 34sin 3 os2 1 2cos
2 4
x
c x x
pi 
− = + − 
 
Đáp số: 1 2 3
5 17 5
; ;
18 18 6
x x x
pi pi pi
= = = 
52, Dự bị I khối D-2005: Giải phương trình ( )2 2 3sin . os2 os tan 1 2sin 0x c x c x x x+ − + = 
53, Dự bị II khối D-2005: Giải phương trình 3 2
os2 1
tan 3 tan
2 os
c x
x x
c x
pi − 
+ − = 
 
54, Dự bị I khối A-2006: Giải phương trình 3 3 2 3 2cos3 . os sin 3 .sin
8
x c x x x
+
− = 
55, Dự bị II khối A-2006: Giải phương trình 2sin 2 4sin 1 0
6
x x
pi 
− + + = 
 
56, Dự bị I khối B-2006: Giải phương trình ( ) ( )2 2 22sin 1 tan 2 3 2cos 1 0x x x− + − = 
57, Dự bị II khối B-2006: Giải phương trình ( )( )cos 2 1 2cos s inx cos 0x x x+ + − = 
58, Dự bị I khối D-2006: Giải phương trình 3 3 2sin os 2sin 1x c x x+ + = 
59, Dự bị II khối D-2006: Giải phương trình 3 24sin 4sin 3sin 2 6cos 0x x x x+ + + = 
60, Dự bị I khối A-2007: Giải phương trình 1 1sin 2 s inx 2cot 2
2sin sin 2
x x
x x
+ − − = 
61, Dự bị II khối A-2007: Giải phương trình ( )22cos 2 3 sin x cos 1 3 s inx 3 cosx x x+ + = + 
5 
GV: Hoàng Ngọc Quang 
62, Dự bị I khối B-2007: Giải phương trình 5 3sin os 2 os
2 4 2 4 2
x x x
c c
pi pi   
− − − =   
   
63, Dự bị II khối B-2007: Giải phương trình sin 2 os2 tanx cot
cos s inx
x c x
x
x
+ = − 
64, Dự bị I khối D-2007: Giải phương trình 2 2 sin cos 1
12
x x
pi 
− = 
 
65, Dự bị II khối D-2007: Giải phương trình ( )( )1 t anx 1 sin 2 1 t anxx− + = + 
66, Dự bị I khối A-2008: Giải phương trình 2tan cot 4cos 2x x x= + 
67, Dự bị II khối A-2008: Giải phương trình 3sin 2 sin
4 4 2
x x
pi pi   
− = − +   
   
68, Dự bị I khối B-2008: Giải phương trình 12sin sin 2
3 6 2
x x
pi pi   
+ − − =   
   
69, Dự bị II khối B-2008: Giải phương trình 23sin os2 sin 2 4sin cos
2
x
x c x x x+ + = 
70, Dự bị I khối D-2008: Giải phương trình ( )4 44 sin os os4 sin 2 0x c x c x x+ + + = 
C – MỘT SỐ ĐỀ TỰ LUYỆN KHÁC: 
1, Giải phương trình: pi pi   + + − + =   
   
x x x x
3
2 2 cos2 sin2 cos 4sin 0
4 4
Đáp số: pi pi= − +x k
4
; ( )pipi pi= = + ∈x k x k k32 ; 2
2

 
2, Giải phương trình: − = −x x x x2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 
Đáp số: pi pi= = ∈k kx x (k );
2 9

 
3, Tìm nghiệm trên khoảng pi  
 
0;
2
 của phương trình: 
pi pi
pi
     
− − − = +     
     
2x 3x cos x-
4
24sin 3 sin 2 1 2
2 2
Đáp số: pix= 5
18
4, Giải phương trình: + − − =x x x
x x
1 1
sin2 sin 2cot 2
2sin sin2
6 
 GV: Hoàng Ngọc Quang 
Đáp số: ( )pi pi= + ∈x k k
4 2

 
5, Giải phương trình: − =x x 
x x
3sin2 2sin
2
sin2 .cos
Đáp số: ( )2
3
x k kpi pi= ± + ∈
 
6, Giải phương trình: cos 2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x+ = − − 
( )2 ; 2
2
x k x k kpi pi pi pi= + = + ∈
 
7, Tìm các nghiệm thực của phương trình sau thoả mãn 1
3
1 log 0x+ ≥ : 
 sin . tan 2 3(sin 3 tan 2 ) 3 3x x x x+ − = 
Đáp số: 5;
3 6
x x
pi pi
= = 
8, Giải phương trình: 3 3 2 3 2cos3 cos sin 3 sin
8
x x x x
+
− = 
Đáp số: ( )
16 2
x k kpi pi= ± + ∈
 
9, Giải phương trình: 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 
Đáp số: ( )2
2
x k kpi pi= + ∈
 
10, Tìm nghiệm của phương trình: 2 3cos sin 2x cos x x+ + = thoả mãn : 1 3x − < 
Đáp số: 0x = 
11, Giải phương trình: (sin 2 sin 4)cos 2 0
2sin 3
x x x
x
− + −
=
+
Đáp số: ( )2
3
x k kpi pi= + ∈
 
12, Giải phương trình: s 4sin 2 1inx cosx x− + = . 
Đáp số: ; , ( , )
4 2
x k x l k lpi pipi= + = ∈
 
`13, Giải phương trình: 2 2cos 3xcos2x – cos x = 0. 
Đáp số: ( )
2
x k kpi= ∈
 
14, Giải phương trình: 3sin 2 2sin 2
sin 2 .cos
x x 
x x
−
= 
Đáp số: ( )2
3
x k kpi pi= ± + ∈
 
15, Giải phương trình: 4 1 3 74cos cos2 cos4 cos
2 4 2
x
x x x− − + = 
Đáp số: ( )8 x k kpi= ∈
 
7 
GV: Hoàng Ngọc Quang 
16, Giải phương trình: ( ) ( )
2cos . cos 1
2 1 sin
sin cos
x x
x
x x
−
= +
+
Đáp số: ( )2 ; 2
2
x k x k kpi pi pi pi= − + = + ∈
 
17, Giải phương trình: 2 21 sin sin cos sin 2cos
2 2 4 2
x x x
x x
pi 
+ − = − 
 
Đáp số: ( )x k kpi= ∈
 
18, Giải phương trình: 
3 3sin .sin 3 cos cos3 1
8tan tan
6 3
x x x x
x x
pi pi
+
= −
   
− +   
   
Đáp số: ( )
6
x k kpi pi= − + ∈
 
19, Giải phương trình: 3 3sin .(1 cot ) cos (1 tan ) 2sin 2x x x x x+ + + = . 
Đáp số: ( )2
4
x k kpi pi= + ∈
 
20, Giải phương trình: sin 3 sin 2 sin
4 4
x x x
pi pi   
− = +   
   
. 
Đáp số: ( )
4
x k kpi pi= ± + ∈
 
21, Giải phương trình: 2 3cos x cosx sin x 0+ + = 
Đáp số: 2x= +k2 ,k ; x 2 , os 1,0 2
4 2
h h cpipi pi ϕ pi ϕ ϕ pi
 
∈ = ± + ∈ = − < <  
 

 
 
22, Giải phương trình: 1cos3 cos 2 cos
2
x x x− + = 
Đáp số: 2 ,
7 7
x k kpi pi= + ∈
 , với k 3 7m, m≠ + ∈
 
23, Tìm tổng tất cả các nghiệm x thuộc [ 2; 40] của phương trình: sinx – cos2x = 0. 
Đáp số: 117S pi= . 
24, Giải phương trình: tan tan .sin 3 sin sin 2
6 3
x x x x x
pi pi   
− + = +   
   
Đáp số: ( )2; 2
2 3
k
x x k kpi pi pi= = − + ∈
 
25, Giải phương trình : 
 ( )2 21 8 21 12cos os 3 sin 2( ) 3cos s in x
3 3 2 3
pi
pi pi
 
+ + = + − + + + 
 
x c x x x . 
Đáp số: ( ) 
2
x k kpi pi= + ∈
 
26, Giải phương trình: 1 1sin 2 sin 2cot 2
2sin sin 2
x x x
x x
+ − − = 
8 
GV: Hoàng Ngọc Quang 
Đáp số: ( )
4 2
x k kpi pi= + ∈
 
27, Giải phương trình: 
2 sin
4 (1 sin 2 ) 1 tan
cos
x
x x
x
pi 
− 
  + = + 
Đáp số: ( );
4
x k x k kpi pi pi= − + = ∈
 
28, Giải phương trình: 2 2 3 3tan tan .sin cos 1 0x x x x− + − = 
Đáp số: ( )2 ; ; 2 ; 2
4 4 4
x k x k x k x k kpi pi pipi pi α pi α pi= = + = + + = − + ∈
 
29, Giải phương trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0 
Đáp số: ( )
3 2
k
x kpi pi= + ∈
 
30, Giải phương trình: 
6 6
2 2
sin cos 1
tan 2
cos sin 4
x x
x
x x
+
=
−
Đáp số: Phương trình vô nghiệm. 
9 
D - Cập nhật Đề thi đại học 2010
1. (Khối A - 2010) Giải phương trình:
(1 + sinx+ cos 2x) sin(x+ pi4 )
1 + tanx
=
1√
2
cosx
2. (CĐ Khối A - 2010) Giải phương trình:
4 cos
5x
2
cos
3x
2
+ 2(8 sinx− 1) cosx = 5
3. (Khối B - 2010) Giải phương trình:
(sin 2x+ cos 2x) cosx+ 2 cos 2x− sinx = 0
4. (Khối D - 2010) Giải phương trình:
sin 2x− cos 2x+ 3 sinx− cosx− 1 = 0
10