Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mũ và lôgarít

DOÃN XUÂN HUY-THPT Ân Thi-Hưng Yên 
 1 
PHƢƠNG TRÌNH, HỆ PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH 
MŨ VÀ LÔGARÍT 
I.Phương trình, bất phương trình mũ : 
1/ Đƣa về cùng một cơ số hoặc hai cơ số: 
1
2 8 1 3 1 2 3 4 1/ 3
0,21/ 2 4 ;2/3 3 3 3 750;3/5 .8 500 (5.2 ) 1 3; 2
x
xx x x x x x x x x x x log

                 
1
1 1
1
4/( 5 2) ( 5 2) 1 ( 2; 1) (1; )
1
x
x x
x
x x
x

 

            

 1 2 1 2 9/ 45/9 9 9 4 4 4 9 .91 4 .21 9/ 4 21/91 log (21/91)
xx x x x x x x x x              
2 2 3 1 26/ 2 .4 256;7/ 2 .5 0,01;8/ 2 . 3 216;9/(3 3 3) (1/81) ;10/ 2 .3 .5 12x x x x x x x x x x x       
2
2
3 1
1/ 2 14 2 2 1/(3 1)2 1 311/ 2 5 ;12/8 36.3 ;13/1 5 25;14/ 2 2 ;15/( 10 3) ( 10 3)
x x x
x x xx x x xx x x
 
              
2/ Đặt ẩn phụ: 
2 2 22 2 2 1 21/(7 4 3) 3(2 3) 2 0( 3/ 2 0);2/(3 5) (3 5) 2 0x x x x x x x xt t                 
3 3( 1) 1 2 4 4( 1/ 2 0);3/ 2 6.2 1/ 2 12/ 2 1( 2 2 );4/3 8.3 9.9 0x x x x x x x x x xt t t                
( chia 2 vế cho 23 x ); 
2 22 1 2 3 2 15/ 4 5.2 6 0;6/ 4 7.4 2 0x x x x cosx cosx            ; 
2 22 2 1 4 17/ 27 6.64 6.36 11.48 ;8/ 2 2 2 ;9/( 5 2 6 ) ( 5 2 6 ) 10x x x x x x x x x x           
2 1
2 27 2.3 2 2 4 1 1
10/ 6.(0,7) 7;11/ 1 1 ;12/ 3. 12
100 3 2 1 3 3
x
x x x
x x
x
x x x
t
t

      
          
      
2 2 2 22 1 2 2 2 3 6 3 5 213/9 9 10;14/ 2 9.2 2 0;15/ 2 15.2 2 ;16/ 9 3 3 9sin x cos x x x x x x x x x x x x                 
2 1 / 2 3 117/ 25 10 2 ;18/ 4 2.6 3.9 ;19/ 4.3 9.2 5.6 ;20/125 50 2x x x x x x x x x x x x         . 
 3/ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số: 
/ 2 1 1 1/ 4 2 41/ 2 1 3 ;2/ 2 3 6 1;3/(2,5) (0,4) 2,9;4/3 2 13;5/ 2 6x x x x x x x x x x x              
DOÃN XUÂN HUY-THPT Ân Thi-Hưng Yên 
 2 
2 21 2 3 2 6 10 26/ 2 2 ( 1) ;7/ 2 8 14;8/3 6 6;9/3 5 6 2x x x x x x x xx x x x x x                  
2 3 2 1 1 2 110/3 (3 10).3 3 0;11/3.25 (3 7).5 2 0;12/ (3 2 ) 2 2 0x x x x x xx x x x x x                  
2
2 1 2 2 1 1 2 3 3 213/3 3 2 2 6 2 6;14/ 2 3 5 2 3 5 ;15/ 0
4 2
x
x x x x x x x x x x x
x
x
x

                    

. 
2 2( ) ( ) 2 116/ 4 4 8 12 1/ 2( 3/ 4);17/ 4 2 ( ) 2 0( ;0)
ysin x cos x sinx sinxx x cos xy k           
18/  
22 2 2 2 2 1 2 21 .2 0,5. 2 2 2 2 0 0;0,5cos x sin xsin x sin x cos x sin x sin x sin x        
2
2 2 2 2
1 1 2
2 219/(2 2) (2 2) (2 2) (1 2 / 2) ( 2 0);20/ 2 2 ( 2) / 2
x x
sin x cos x cos x cos x x xcos x x x
 
          
 4/ Một số dạng khác: 
2 2 2 2 2
1
3 2 6 5 2 3 7 3 2 6 5 2 11/ 4 4 4 1 (4 1)(4 1) 0;2/( 2 1) 1
x
x x x x x x x x x x xx x

                    
22 1 1 1 2 1 1 1 2 2 5 23/5.3 7.3 1 6.3 9 0 5.3 7.3 3 1 0;4/( ) 1x x x x x x x x xx x                   
2 1 2 2 25/ 4 .3 4.3 1 0 4.3 4.3 1 (2.3 1) 0(*)x x x x x x          BPT vô nghiệm vì x = 0 KTM (*). 
2 2 2 3 2 3 41 ( 1) 2 1 2 1 2 1 16/ 4 2 2 1;7/ .2 2 .2 2 ;8/ .3 (3 2 ) 2(2 3 )
x xx x x x x x x x x x xx x x x
                   
2 3 2 2 2 1 29/ .3 3 .(12 7 ) 8 19 12;10/ 4 8 2 4 ( ).2 .2 . 2x x x xx x x x x x x x x x x              
22 2 2 2 2 1 2 111/ 2 5 3 2 2 .3 . 2 5 3 4 .3 ;12/( 1/ 2) ( 1/ 2)x x x x xx x x x x x x x x            
2 2 22 10 10 2 11 2013/( 4 ) (4 ) ( 10; 1;4);14/( 2) ( 2) ( 1;2;3;4;5)x x x x xx x x x x x x             
2
3 2
3
1 2 2 2 2 21 515/1/(3 1) 1/(1 3 );16/( 1) 1 ;17/( 1) ( 1)
x x
x x x x x xx x x x x x
 
              
2 51 5 5 7
7 /5 518/ 1 1( ; 1);19/3 ;20/ 5( );21/7 5 ( 7)
x xn n x xn x n x x n n cosx x x t x log log

            
2 1 2 122/7 7 ( 0) 1x x x nx n n x         
II. Phương trình, bất phương trình lôgarít: 
 1/ Đƣa về 1 cơ số: 
5 25 0,2 2 3 4 201/ 3;2/0,5 (5 4) 1 2 0,18;3/log x log x log lg x lg x lg log x log x log x log x          
2
5 1/5 5 1/ 254/ ( 6) 0,5 (2 3) 2 25;5/ ( 1) 5 ( 2) 2 ( 2)lg x lg x lg log x log log x log x           
DOÃN XUÂN HUY-THPT Ân Thi-Hưng Yên 
 3 
3
2 3 3
2 3 3 2 1 1 1
4 4 4
3 1 3 3
6/( ). 1; ;7 / ( 2) 3 (4 ) ( 6)
2 8 23
x
log x log log log x x log x log x log x
x
 
          
 
2
2 0,5 0,25 2 0,5 28/ ( 3) 5 2 ( 1) ( 1)( 2)9/ (1 / 2) 2 / 4 0( 1)log x log log x log x log x log x           
 2 22 0,5 2 410/ 2 ( 1 ) ( 1 ) 3;11/ /(2 ) 0log x x log x x log tanx log cosx cosx sinx         
 25 5 5 5 25 0,212/ ( 6) ( 2);13/ 3;14/ ( 2 3) ( 3) /( 1)log x log x log x log x log x log lg x x lg x x          
2 2 2
2 3 60;15/0,5. (5 4) 1 2 0,18;16/ ( 1). ( 1) ( 1)lg x lg x lg log x x log x x log x x            
2
1/5 5 2 217/ ( 6 8) 2 ( 4) 0;18/ ( 3) 1 ( 1)log x x log x log x log x         
2/ 33
8 1/8 0,5 3 3 219/ 2 ( 2) ( 3) 2/3;20/ 1( (1 3) 1 0 3 )
log
log x log x log x log x log x log x            
2
2 3 5 2 3 5 5 2 (2 )20/ . . ;21/ 3 4. 5 1;22/ ( 2). 2 2 0x xlog x log x log x log x log x log x log x log log x log        
( 3) 0,25 2 2 3 3 223/ 6 2 (4 ) / ( 3) 1( 3); . 2 . 3 0(0 6 /6; 1)xlog log x log x x log x log x log x log x x x            
 2/ Đặt ẩn phụ: 
0,04 0,2 16 21/1/(4 lg ) 2/(2 lg ) 1;2/ 1 3 1;3/3 16 4 2xx x log x log x log log x log x          
2
3 1
2 2 2 1/ 2
4/ 16 64 3;5/ lg(lg ) lg(lg 2) 0;6/ (4 4). (4 1) 1/8x xxxlog log x x log log log
        
2 2
(3 2 ) (3 ) 4 2 2 47/ (2 9 9) (4 12 9) 4 0;8/ ( ) ( ) 2( 4 1)
t
x xlog x x log x x log log x log log x x t            
2 4 4 3 2 2
2 2 2 259/ (2/ ). 1( ( 1)( 2 2 1) 0);10/ (125 ). 1(5&1/625)x xlog x log x log x t t t t t log x log x         
2 3
3 3 2 2 511/ 3 3 1/ 2;12/ (4 1) (2 6) ;13/ (5 ). 2
x x
x x x
log log x log log x log log x log x log x         
2 2 2 22
8 2 1 1 2 1
14/ 4 2 1 2 4 4 1: 3/ 2
(2 1) 2 1 2 12
x x x
log log log t t t log x
x x x
      
               
      
2
sin /16 / 64 5 515/ . 1/ 4;16/ 2. 2 2;17/ (5/ ) 1xcosx sinxcosx x x x xlog sinx log cosx log log log log x log x    
1
2 218/ 10 6 0;19/ lg(6.5 25.20 ) lg25;20/ 2(lg2 1) lg(5 1) lg(5 5)
x x x xlog x log x x            
1/3 2 2 /16 221/ 5/ 2 3;22/ 2. 2. 4 1;23/ 2. 2 1/( 6)x x x x xlog x log log log log x log log log x     
2 2 4
3 3 3 1/ 2 2 1624/ 4 9 2 3;25/ 4 2(4 )log x log x log x log x log x log x       
1 2 2 2
2 1/ 2 2 1/ 2 426/ (2 1). (2 2) 2;27/ 3 5( 3)
x xlog log log x log x log x        
2
2 2 2 2 22 6 4 63
528/ (2 ) (2 );29/ 2 2 (1/5);30/ 4 2.3 ( 6 )
log x log log x log log x
x x xlog x log x log x log x x      
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 4 
 3/ Phƣơng pháp mũ hóa, lôgarít hóa: 
2 3
5111/4 4
552 3( 1) (lg 5) /3 5 lg 6 lg lg 3 1 12 ;2/ 10 ;3/ .5 11 ;4/ 2/ ( 1 1) ( 1 1)x
logloglog x log x x x x xx x x x x x
                
 
2
2 2
1/3 4 9 2 (3 )
5/ log ( 5) 0;6/ (3 9) 1;7/ ( 5 6) 1;8/ (3 ) 1xx x x xlog x log log log x x log x               
23 2
6 62 2 22 2 4 lg 3lg 1
29/ 1/ ;10/ 32;11/ 1000;12/6 12;13/ (4 6) 1
log x log xlog x log x log x x x x
xx x x x x log log
             
1/ 2 3 2 1/ 3 1/ 2 3 6 2
3
1 2 2 1 3 2
14/ 0;15/ ;16/ 0;17 / 1
1 2 2 2 2
x x
x x x x x
log log log log log log log log log
x x x x x

    
   
    
  2 32 3 4 2 2 3 3 3/ 2 318/ ( ) 0;19/ ( 2 3 ( 2))
t t
log log log x log log x log log x t x t log log        
2 3 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 320/ ( / ) 2log log x log log x log log x log log x log log x log x log log x      
23 323
log log
2 3 2 3 3 2 3 221/ 3 2 (2 3) 1
t
x xlog log log log log log x log log x log log t x        
2log 32
3
323
log
 
 
 
2 2
2 3 4 4 3 2 3 2 3 4 3 322/ ( 4) ( ) (2 )( 1)log log log x log log log x x log log x log log x log t log t t       
3 3 3 31 4 2 48 1 48log log log t log x        
1 48334
log
; 223/ ( 9 1) 1
x
log x x    
2 2
40,5 1,5
2 0,25 224/ 2. 2 ;25/ ( 3) 1 ( 4) ( / 3) 0
xlog x log xx log x log x x log log x x

            
 4/ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số: 
2
3 51/ lg( 6) 4 lg( 2) lg( 3) 4 4;2/ ( 1) (2 1) 2 2x x x x x x x log x log x x                  
2
3 3 33/( 2) ( 1) 4( 1) ( 1) 16 0( ( 1) 4;4/( 2) 80/81;2)x log x x log x log x x x              
2 2 29 32
2 3 24/ (1 ) ( 1 3 2 2);5/ .3 ( 9 12 3 )
t
log log x logt t t tlog x log x t t x x x log x t              
5 ( 3)63
3 2 5 26/3 (1 ) 2 ( 2 1 8 4 9 2);7/ 2 ( 3)
log xt t t tlog x x log x x t x log x log x
             
 6 6 62 62 3 5 2;8/ 3 3 2 6 3 2 1 1/6log x log x log xt t t t tt x log x log x x t x                  
2 2 2 1 3 2 2
39/3 1;10/ 2 2 8/ (4 4 4)( , 1/ 2)
log x x xx log x x VP VT x         
7 3 7 311/ ( 2)( ( 7 2) 3 7 2 1 (2) ( )
t t
tlog x log x log x t t log f f t             
7( 7 /3) 2.(1/3) 2 49 0)
t t t log x x       
2 22 2 2 2 3 2
1/3 33
12/ 4 ( 2 3) 2 (2 2 2) 0 2 ( 2 3)
x x x x xlog x x log x log x x
               
2 2 2 2
32 (2 2 2) 2 3 2 2 2 3
x
log x x x x x
 
           
DOÃN XUÂN HUY-THPT Ân Thi-Hưng Yên 
 5 
2 2 2 2
2 3 2 313/ ( 5 5 1) ( 5 7) 2( 5 5 ( ) ( 1) ( 2) 2log x x log x x t x x f t log t log t               
(1) 0 1 1 (5 5) / 2 (5 5) / 2 4f t x x            
2 22 2
2 214/ 2 (4 2) 1 2 ( 2) 2 . 1 2
x x
log x x log x VT VP x
               
3 2 2 3 4 515/ 2 cot ( 1);16/ ( 1) ( 2) ( 3)log x log cosx t t log x log x log x log x          
2 4( ) ( 2) '( ) 1/ ln2 1/( 2)ln4 0 0f x log x log x f x x x x           f(x) đồng biến khi x > 0. 
Tương tự 
3 5( ) ( 1) ( 3)g x log x log x    cũng đồng biến khi x > 0. Suy ra pt có nghiệm dn x = 2. 
 21/ 2 1/ 2 2 216/( 1) (2 5) 6 0 ( 2) ( 1) 3 0 0 2 4x log x x log x log x x log x x x               
2 2 2 3
25 11
5 112
( 4 11) ( 4 11)
17/ 0( 4 11 0; ( ) 2 3 ;
2 5 3
log x x log x x
t x x f t log t log t
x x
    
      
 
 '( ) ln(121/125) / ln5.ln11 0 0;0 (1) 2 15 6f t t t f x x          
2 2 2
(2 3)2 2 3
18/ ( 2 2) ( 2 3); 2 3 2; 2 3 0log x x log x x a t x x

            
2
2
2 ( 1) 1 (2 ) ( / 2) (1/ 2 ) 1 2 1 11 4 3
u u u u
a a
log t log t u a a a a u x                
2 2 2
1/3 1/3 219/( 1) 2( 3) 8 0;20/ 2 8 (2 1) /( 1)x log x x log x x x log x x            
2 2 2
2 22( 1) ( 1) (2 1) 2(2 1) ( 1) 2 1 0;4x log x log x x x x x             
 5/ Một số Phƣơng trình, bất phƣơng trình khác: 
  2 22 ( 6)21/3 1/31/1/ 2 3 1 1/ ( 1) (0;1/ 2) (1;3/ 2) (5; ) ;2/(2 3.2 ) 1( 1)
log x log xx xlog x x log x a          
3/ ( 1) lg1,5(0 1 0 ; 1 1 )xlog x x VT VP x VT VP           
2 2 2 2
2 24/ ( 3 1) 2 0 0 ( 2)( 3) 1& 3 2 3 1 0log x x log x t t t t t x                  
1
2 2 3 35/ (3.2 1) / 1( 1 (2/3) 0);6/( 1) / (9 3 ) 3 1( log 9 3 0)
x xlog x x log x x log MS                  
 5 5 3 3 4 47/ ( /3) (2 ) / ((0; 5 /5) (1;3));8/1/ ( 1) /( 2) 1/ ( 3)xlog x log x log x log x log x log x x log x       
III. Hệ phương trình, bất phương trình mũ và lôgarít: 
3 1 2 32 3 2
1 2
2 2 3.23 2 77 2 5 42 2 12
1/ ;2/ ;3/ ;4/ ;
53 2 7 4 2 (2 2) 3 1 1
x y y xx y xx y
x y x x x
y y
x y y x xy x
  

          
   
             
DOÃN XUÂN HUY-THPT Ân Thi-Hưng Yên 
 6 
2
32 3 5 1 2 14
2
4
5( ) 264 3.4 2(1)3 5 (1)
5/ ;6/ ;7 /
3 2 3(2) 644 1 ( 3) 8(2)
x x log x y yy
x ylog y log x
x y log xyy y y
          
  
         
8 8
12
( )2 2 2
x+y 3
3 3 3 4 4
(1 2 2) 13 4
8/ ;9/ ;10/ ;11/
12 12 3
x y log y log x
x yxy
log log xyxlog log y y log xx y x y
xlog log x y log y log x log yy x x y

          
   
         
2 21 2
2 2 2 2
22 2 3 2
( )( 1) 0(1).2 3 .2 2
12/ ;13/ ;14/
2 .2 3 .8 11 /3 3 5 9 0(2)
x y x y x y
x y x y
e e log y log x xy log x log xx y
x yx y x x x
  
 
         
  
        
1
1/ 4 4
2 22 3
9 3
( ) (1/ ) 11 2 1 ( 1)lg2 lg(2 1) lg(7.2 12)
15/ ;16/ ;17 /
( 2) 2 253 (9 ) 3
x x
x
log y x log yx y x
log x x ylog x log y
            
  
      
Gợi ý một số bài: 
Bài 5: 
2 2 3 3 2(1) 3 5 1 3 0 3 (2) : 4 1 ( 3) 8
x x y y y y y y
                   
( 3) 0 3 0 3 1;3y y y y x          
Bài 6: 41 2 3 2 1 2 1 2 2 14(2) 1 1 2 3;(1) 2 4 3.4 (3.4 1) 0 4 1/3
y log y y yx y y log                   
4 40,5 (4/3); 2 (9 3 /8)y log x log    
Bài 14: (1) có nghiệm ( 1; 4 ). Hàm số vế trái của (2) dương trên khoảng ( 1; 4 ) nên hệ có nghiệm là 
 khoảng ( 1; 4 ). 
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