Phương trình- Bất phương trình - Hệ phương trình trong đề thi ĐH - CĐ 03-08

 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
 TRONG ĐỀ THI ĐH-CĐ 2003-2008
BÀI 1:Khối A 2003.Giải hệ phương trình: 
BÀI 2:Khối B 2003: Giải hệ phương trình:
BÀI 3:Khối D 2003: Giải phương trình : 
BÀI 4: KhôiA 2004:1) Giải bất phương trình:
 2) Giải hệ phương trình:
BÀI 5 : Khối B 2004:Xác định m để phương trình sau có nghiệm:
BÀI 6: Khối D 2004
 1:Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
 2:Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm:
 Suy ra f(x) đồng biến trên [1;+) Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất.
 BÀI 7:Khối A 2005: Giải bất phương trình:
 BÀI 8:Khối B 2005:1)Giải hệ phương trình:
 2)Chứng minh rằng với mọi x thuộc R ta có:
 .Khi nào đẳng thức xảy ra?
Giải : Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương tacó:
 Cộng vế theo vế các bđt trên ta có điều cần chứng minh .dấu đẳng thức xảy ra khi x = 0.
 BÀI 9:1) Giải bất phương trình: 
 2) Cho các số dương x,y,z thoả mãn xyz = 1.Chứng minh rằng :
THAM KHẢO NĂM 2005
 BÀI10: Khối A1: 1) Giải hệ phương trình : 
 2)Cho x,y,zlà 3 số thoả mãn x + y + z = 0. Chứng minh rằng :
 BÀI 11 :Khối A2 :
Giải hệ phương trình :
Chứng minh rằng với mọi x,y > 0 ta có :
BÀI 12 : Khối B1
Giải hệ phương trình :
Cho a,b ,c là ba số dương thoả mãn : a + b + c = 3/4 .Cứng minh rằng:
BÀI 13: Đề B2
Giải bất phương trình :
Chứng minh rằng nếu .
Giải: 
BÀI 14: ĐỀ D1
1)Giải bất phương trình:
2) Tìm m dể hệ sau có nghiệm :
Giải: Điều kiện :
Vậy hệ bpt có nghiệm khi f(x) = x2 –(m + 2)x +2m +3
BÀI 15: ĐỀ D2
 1)Giải bất phương trình :.
 2)Cho 3 số dương x ,y ,z thoả mãn :x.y.z =1. Chứng minh ràng:
: Năm 2006 ĐỀ CHÍNH THỨC
BÀI 16: Kh ối A :1) Gi ải hệ ph ương trình : 
2)Giải ph ương trình :
BÀI 17: Khối B: 1) Tìm m đ ể phương trình sau có 2 nghiệm thực :
2)Gi ải b ất ph ư ơng tr ình :
B ÀI 18: Kh ối D.1)Gi ải ph ư ơng tr ình :
2)Gi ải ph ư ơng tr ình :
3)Chứng minh rằng với mọi a > 0 hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
F(x) đ ồng bi ến tr ên kho ảng (-1;+ oo)
V ậy ph ư ơng tr ình c ó nghi ệm duy nh ất n ên h ệ đ ã cho c ó nghi ệm duy nh ất.
ĐỀ THAM KHẢO
B ÀI 20: Tham kh ảo A1:
1)Giải hệ phương trình :
2)Giải bất phương trình: logx+1(-2x) >2 KQ: 
3)Cho x,y là các số thực thoã mãn điều kiên: 
Chứng minh rằng: .
Giải: Đặt A =x2 +xy +y2 ., B =x2-xy-3y2.
*Nếu y = 0 thì theo giả thiết A =x2 
* Nếu y khác 0 . Đặt t = x/y.ta có :(1)
 Khi đó :A= u – 1 ; B = u+1 không đồng thời bằng 0 nên (1)
BÀI 21 : Tham khảo A2 :
Giải hệ phương trình : 
2)Giải phương trình :
Cho các số x,y,z thoả mãn điều kiện : 3-x +3-y +3-z = 1.Chứng minh rằng:
Giải: Đạt a =3x, b = 3y , c =3z Theo giả thiết ta có a,b,c >0 và ab +bc +ac = abc (1*)
bất đẳng thức (1)
Cộng vế theo vế 3 bất đăng thức trên ta có điêu cần chứng minh.
BÀI22: Khối B1. Giải phương trình
 :
B ÀI23:Khối B2
1) Giải hệ phương trình:
2)Giải phương trình :
B ÀI 24:Kh ối D1 :
1) Gi ải h ệ ph ư ơng tr ình :
KQ: (2;1) v à (-1;-2)
1)Gi ải ph ư ơng tr ình : log3(3x-1).log3(3x+1-3) = 6 .KQ:x= log310 ; x = log3(28/27).
2)Gi ải ph ư ơng tr ình : 4x - 2x+1 +2(2x-1)sin(2x+y-1)+2 = 0 (1)
Giải : Đặt t =2x> 0 ;u = sin(2x +y-1)
BAÌ 25 :Khối D2
Giải phương trình : 
giải hệ phương trình :
HD : Đk x>-1;y >-1 .từ (2) ta có (x-2y)(x-10y) = 0 nên x=2y hoặc x=10y suy ra x,y cùng dấu hoặc x= y = 0
Giải phương trình :
NĂM 2007: ĐỀ CHÍNH THƯC
BÀI 26 :1) Tìm m đ ể phương trình có nghiệm: (1)
 2)Gi ải bất ph ương trình:
HD:1. ĐK: v ới 
 ĐS: 
2) DS: 
B ài 27: Kh ÔI B 
1) Ch ứng minh r ằng v ới m ọi m >0 ph ư ơng tr ình sau c ó 2 nghi ệm th ực ph ân bi ệt:
2)Gi ải ph ư ơng tr ình: ĐS x=1 v à x = -1
B ài 28 Kh ối D 
1)T ìm m đ ể h ệ ph ư ơng tr ình sau c ó nghi ệm th ực: 
 Đưa về pt bậc 2
Gi ải ph ư ơng tr ình :
Đề thi Dự trữ khối A-năm 2007
Đề I
 1. Tìm m để phương trình: có nghiệm x 
 2. Giải hệ phương trình: 
 3. Giải bất phương trình: 
BÀI GIẢI:
 1. Đặt Û t2 - 2 = x2 - 2x
	 Bpt (2) Û 
	 Khảo sát với 1 £ t £ 2
	 g'(t) . Vậy g tăng trên [1,2]
	 Do đó, ycbt bpt có nghiệm t Î [1,2]
 2. Giải hệ phương trình 
	Đặt u = x - 1, v = y - 1
	(I) thành 
	Xét hàm 	f(x) 
	 f ´(x) 
	Vậy f đồng biến nghiêm cách trên R.
 Nếu u > v f(u) > f(v) v > u ( vô lý )
 Tương tự nếu v > u cũng dẫn đến vô lý
	Do đó hệ (II) 
	Đặt: g(u)
	Vậy g(u) đồng biến nghiêm cách trên R.
	Ta có g(0) = 1. Vậy u = 0 là nghiệm duy nhất của (1)
	Nên (II) Û u = 0 = v
	Vậy (I) Û x = y = 1.
 3. Điều kiện x > 0 , x ¹ 1
	(1) 
 Đề thi Dự trữ khối A-năm 2007
Đề II
1 Giải bất phương trình 
2. Giải phương trình 
BÀI GIẢI:
1. Giải hệ: (I) (I) Û 
	Đặt u = - x2 + xy, v = x3y
	(I) thành 
	 Do đó hệ đã cho tương đương:
1.	Giải phương trình: (1)
	Điều kiện x >1
	(1)	Û Û và x > 1
 và x > 1Û 2x2 – 3x – 5 = 0 và x > 1Û 
Đề thi Dự trữ khối B-năm 2007
Đề I
1. Giải phương trình
2. Tìm m để phương trình: có nghiệm.
3. Chứng minh rằng hệ có đúng 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y > 0
 GIẢI
1.	Giải phương trình: 
2.	Tìm m để phương trình: có nghiệm
	Xét hàm số (điều kiện: x ³ 0)
	, "x > 0
	Vì 
Ta có f giảm trên và nên ta có 
.	
Vậy, phương trình (1) có nghiệm 
Û miền giá trị của f trên đoạn Û 0 < m £ 1
3. Đặt: f(t) = et, 
 Ta có f tăng nghiêm cách trên và g giảm nghiêm cách trên từng khoảng 
 Xác định.
	Hệ phương trình (1) 
	Þ f(x) + g(y) = f(y) + g(x) (*)
	Nếu x > y Þ f(x) > f(y) Þ g(y) < g(x) ( do(*) )
y > x ( do g giảm nghiêm cách ) Þ vô lý.
Tương tự khi y > x cũng dẫn đến vô lý. 
Do đó, (1) (2) 
	Xét: (|x| > 1 )
	Nếu x < –1 thì h(x) < e–1 – 2007 < 0 Þ hệ vô nghiệm 
	Khi x > 1 Þ 
	và , 
	Vậy h(x) liên tục và có đồ thị là đường cong lõm trên (1, +¥)
	Do đó để chứng minh (2) có 2 nghiệm dương ta chỉ cần chứng minh tồn tại x0 > 1 mà h(x0) < 0
	Chọn x0 = 2 
	Suy ra: h(x) = 0 có đúng 2 nghiệm x1 > 1, x2 > 1
Đề thi Dự trữ khối B-năm 2007
Đề II
1. Giải phương trình: 
2. Tìm m để phương trình : có đúng 1 nghiệm
3. Giải hệ phương trình: 
Bài giải
1.	Phương trình: (1)
	 (1)	
	 đặt: t = log3x
thành 
 (vì t = -2, t = 1 không là nghiệm)
	 Do đó, (1)
 2.	Phương trình: (1)
	(1)	
	ycbt Û đường thẳng y = –m cắt phần đồ thị f(x) = 4x3 – 6x2 – 9x – 1 với x £ 1 tại 1 điểm
	f(x) = 4x3 – 6x2 – 9x – 1
	TXĐ: x £ 1
	f'(x) = 12x2 – 12x – 9 = 3(4x2 – 4x – 3)
	f'(x) = 0 Û 4x2 – 4x – 3 = 0 Û 
	x –¥	 –1/2	 1	 –3/2	 +¥
	f'	 + 0 –	 	 –	0 +
	f 	 CĐ	 	 +¥
	 –¥	 	 –12	CT	 	
	Từ bảng biến thiên ta có: 
ycbt
2.	Hệ phương trình 
	Từ hệ suy ra: 
	Dễ thấy |VT| £ 2|xy| £ x2 + y2 = VP
	( và dấu = xảy )
Ta có 	VT = VP 
	Thử lại, kết luận hệ phương trình có 2 nghiệm 
Đề thi Dự trữ khối D-năm 2007
Đề I
1. Giải bất phương trình: .
2. Tìm m để phương trình: có đúng 2 nghiệm
Bài giải
2.	P/trình cho (1)
	 	 (1) đặt: 
	(1)	 (*)
	Phương trình cho có đúng 2 nghiệm Û phương trình (*) có đúng 2 nghiệm t ³ 0
	Vẽ đồ thị của hàm số 
	Ta có 
	 Y
 y
	 4
	 2
	 0
	1 2 3	 x
Từ đồ thị ta có ycbt 2 < m £ 4
1.	Giải phương trình: (1)
	(1)	
 Đề thi Dự trữ khối D-năm 2007
Đề II
 1. Giải phương trình: .
 2. Giải phương trình: .
 3. 2. Tìm m để hệ phương trình : có nghiệm duy nhất
Bài giải
 1. 	Giải phương trình : 23x+1 - 7.22x + 7.2x - 2 = 0
	Û 2.23x - 7.22x + 7.2x - 2 = 0
	Đặt t = 2x > 0 thì (1) thành 
 2t3 - 7t2 + 7t - 2 =0 
	Û (t - 1)(2t2 - 5t + 2) = 0 Û t = 1 hay t = 2 hay t = 
	Do đó pt đã cho tương đương
 Û x = 0 hay x = 1 hay x = -1
 2.	Giải phương trình 
	Điều kiện 
	(*) Û và x > 0
 và x > 0
	Û (2x - 1) + log2(2x - 1) = x + log2x (**)
	Xét hàm f(t) = t + log2t đồng biến nghiêm cách khi t > 0
	Do đó f(u) = f(v) Û u = v, với u > 0, v > 0
	Vậy từ (**) Û 2x - 1 = x Û 2x - x -1 = 0 (***)
	Lại xét hàm g(x) = 2x - x - 1 khi x > 0
	g'(x) = 2xln2 - 1 , g'(x) = 0 Û 
	Û 
 Ta có g//(x) > 0 với mọi x nên g'(x) là hàm tăng trên R
và 
 giảm nghiêm cách trên 
 và tăng nghiêm cách trên 
 có tối đa là 1 nghiệm trên , và có tối đa là 1 nghiệm trên .
bằng cách thử nghiệm ta có pt (***) có 2 nghiệm là 
 x = 0 và x = 1 . Vì x > 0 nên (*) Û x = 1.
 3.	Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất
	(I) 
	Với điều kiện: ta có
	(I) 
	 (*)
 ( hiển nhiên x = 0 không là nghiệm của (*) )
 Đặt , ( a = 1 )
	ycbt Û tìm m để phương trình (*) có đúng 1 nghiệm thỏa x £ 1
	 Û af(1) < 0 hay 
	 Û 2
Năm 2008 Đề chính thứcKhối A
Giải phương trình:
2)Giải hệ phương trình
:
3)Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực:
 sử dụng phương pháp hàm số.
 Đề chính thứcKhối B
 1)Giải hê phương trình:
2)Giải bât ph ương trình:
 Đề chính thứcKhối D
Giải hê phương trình:
 Vây hê có nghiêm (5;2)
 2) Gi ải b ât ph ư ơng tr ình: