Phương tích – trục đẳng phương

cótaó
1
PHƯƠNG TÍCH – TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG 
I.
Phương tích của một điểm đối với đường tròn . 
1.
Định lý 1.1 Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố
định, OM = d. Một đường thẳng thay 
đổi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Khi đó 2 2 2 2.MAMB MO R d R= − = −
Chứng minh: 
Gọi C là điểm đối xứng của A qua O. Ta có CB AM⊥ 
hay B là hình chiếu của C trên AM. 
Khi đ
( )( )
( )( )
2 2
2 2
2 2
. . .MAMB MAMB MC MA MO OC MO OA
MO OA MO OA
MO OA
OM OA
d R
= = = + +
= − +
= −
= −
= −
JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG
JJJJG JJJG JJJJG JJJG
JJJJG JJJG 
2. Định nghĩa. Giá trị không đổi 2 2.MAMB d R= − trong định lý 1.1 được gọi là phương 
tích của điểm M đối với đường tròn (O) và kí hiệu PM/(O). Ta có: 
( )
2 2
/ .M O MAMB d R= = −P 
3. Định lý 1.2 Nếu hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại P và . .PA PB PC PD= thì 4 điểm 
A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. 
Chứng minh. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt CD tại D’. Khi đó ta có theo 
định lý 1.1 ta có . .PA PB PC PD′= , suy ra . .PC PD PC PD D D′ ′= ⇒ ≡ . Suy ra 4 điểm A, B, C 
và D cùng thuộc một đường tròn. 
4. Chú ý: 
1) Khi M nằm trên (O) thì ( )/ 0PM O = 
2) Khi M nằm ngoài đường tròn (O) và MT là tiếp tuyến của (O) thì ( )
2
/PM O MT= 
B
C
O
A
M
B
T
O
A
M
3) Nếu A, B cố định và .AB AM const= ⇒M cố định. Ý tưởng này giúp ta giải các bài toán 
về đường đi qua điểm cố định. 
www.hsmath.net
ww
w.
hs
ma
th.
ne
t
O 
2
II.
Trục đẳng phương của hai đường tròn – Tâm đẳng phương :
1.
Trục đẳng phương 
a) Định lý 2.1 Cho hai đường tròn không đồng tâm (O1; R1) và (O2; R2). Tập hợp các điểm 
M có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau là một đường thẳng, đường thẳng này 
được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn (O1) và (O2). 
Chứng minh: 
a) Phần thuận 
Giả sử
điểm M có phương tích đến hai đường tròn bằng nhau. 
Gọi H là hình chiếu của M trên O1O2, I là trung điểm 
của O1O2. Ta có: 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
1 2
2 2 2 2
1 1 2 2/ /
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
2 1 1 2
2 2
1 2
1 2
.2
1
P PM O M O MO R MO R
MO MO R R
MH HO MH HO R R
HO HO R R
HO HO HO HO R R
O O HI R R
R RIH
OO
= ⇔ − = −
⇔ − = −
⇔ + − + = −
⇔ − = −
⇔ − + = −
⇔ = −
−⇔ =
Từ
đây suy ra H cố
định, suy ra M thuộc đường thẳng qua H và vuông góc với O1O2. 
b) Phần đảo. 
H
M
2
O1
Các phép biến đổi trong phần thuận là phép biến đổi tương đương nên ta dễ dàng có điều 
cần chứng minh. 
Vậy tập hợp những điểm M có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau là 
đường thẳng đi qua điểm H (xác định như (1)) và vuông góc với O1O2. 
b) Các hệ quả
Cho hai đường tròn (O) và (I). Từ định lý 2.1 ta suy ra được các tính chất sau: 
1) Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường thẳng nối tâm. 
2) Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng phương của chúng. 
3) Nếu điểm M có cùng phương tích đối với (O) và (I) thì đường thẳng qua M vuông góc 
với OI là trục đẳng phương của hai đường tròn. 
4) Nếu hai điểm M, N có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì đường thẳng MN 
chính là trục đẳng phương của hai đường tròn. 
5) Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì 3 điểm đó thẳng hàng. 
6) Nếu (O) và (I) tiếp xúc nhau tại A thì đường thẳng qua A và vuông góc với OI chính là 
trục đẳng phương của hai đường tròn. 
www.hsmath.net
ww
w.
hs
ma
th.
ne
t
32. Tâm đẳng phương :
a) Định lý 2.2 Cho 3 đường tròn (C1), (C2) và (C3). Khi đó 3 trục đẳng phương của các 
cặp đường tròn trùng nhau hoặc song song hoặc cùng đi qua một điểm, điểm đó được gọi là 
tâm đẳng phương của ba đường tròn. 
Chứng minh. 
Gọi dij là trục đẳng phương của hai đường tròn (Ci) và (Cj). Ta xét hai trường hợp sau. 
a) Giả sử có một cặp đường thẳng song song, không mất tính tổng quát ta giả sử d12 // d23. 
Ta có 12 1 2 23 2 3,d OO d O O⊥ ⊥ suy ra 1 2 3, ,O O O thẳng hàng. Mà 13 1 3d OO⊥ suy ra 13 23 12// //d d d
b) Giả sử d12 và d23 có điểm M chung. Khi đó ta có 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
1 3
2 3
/ /
13/ /
/ /
P P
P P
P P
M O M O
M O M O
M O M O
M d
=⎧⎪ ⇒ = ⇒ ∈⎨ =⎪⎩
Từ đây suy ra nếu có hai đường thẳng trùng nhau thì 
đó cũng là trục đẳng phương của cặp đường tròn còn 
lại. 
Nếu hai trục đẳng phương chỉ cắt nhau tại một điểm 
thì điểm đó cũng thuộc trục đẳng phương còn lại 
M
O2
O1
O3
b) Các hệ quả. 
1. Nếu 3 đường tròn đôi một cắt nhau thì các dây cung chung cùng đi qua một điểm 
2. Nếu 3 trục đẳng phương song song hoặc trùng nhau thì tâm của 3 đường tròn thẳng hàng. 
3. Nếu 3 đường tròn cùng đi qua một điểm và có các tâm thẳng hàng thì các trục đẳng 
phương trùng nhau. 
4. Cách dựng trục đẳng phương của hai đường tròn không cắt nhau: 
 Cho hai đường tròn (O1) và (O2) không cắt nhau, ta có cách dựng trục đẳng phương của hai 
đường tròn như sau: 
- Dựng đường tròn (O3) cắt cả hai đường tròn (O1) và (O2) lần lượt tại A, B và C, D. 
- Đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M
- Đường thẳng qua M vuông góc với O1O2 chính là trục đẳng phương của (O1) và 
(O2). (Hình vẽ)
M
C
D
B
A
O1 O2
O3
www.hsmath.net
ww
w.
hs
ma
th.
ne
t
4
III. Các ví dụ. 
1. Các bài toán về phương tích 
Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định. Một đường thẳng quay quanh A, cắt 
(O) tại M và N. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN thuộc một 
đường thẳng cố định. 
Hướng dẫn. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB. 
Gọi C là giao điểm của AB và (I). Khi đó ta có: 
( ) ( )/ /. .P PA I A OAC AB AM AN= = = (không đổi vì A, 
(O) cố định). 
Suy ra ( )/
PA OAC
AB
= 
Vì A, B cố định và C thuộc AB nên từ hệ thức 
trên ta có C cố định. 
Suy ra I thuộc đường trung trực của BC cố định. 
Ví dụ 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, 
và điểm H cố định thuộc AB. Từ điểm K thay đổi 
trên tiếp tuyến tại B của O, vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) tại C và D. Chứng minh rằng CD 
luôn đi qua một điểm cố định. 
CM
N
O
I
A
B
Hướng dẫn 
Gọi I là điểm đối xứng của H qua B, suy ra I cố
định và thuộc (K). 
Gọi M là giao điểm của CD và AB. 
Vì CD là trục đẳng phương của (O) và (K) nên ta 
có: 
( )( ) ( )
( )( ) 2
2 2 2
2
. . .
.
.
MH MI MC MD MAMB
MB BH MB BI MB MB BA
MB BH MB BH MB MB BA
MB BH MB MB BA
BHBM
BA
= =
⇔ + + = +
⇔ + − = +
⇔ − = +
⇔ =Vì A, B, H cố định suy ra M cố định. 
IOA B
K
H
Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định và B, C thay đổi trên đường thẳng d cố định sao 
cho nếu gọi A’ là hính chiếu của A lên d thì .A B A C′ ′ âm và không đổi. Gọi M là hình chiếu 
của A’ lên AB. Gọi N là hình chiếu của A’ lên AC, K là giao điểm của các tiếp tuyến của 
đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN tại M và N. Chứng minh rằng K thuộc một đường 
thẳng cố định. 
www.hsmath.net
ww
w.
hs
ma
th.
ne
t
Hướng dẫn 
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN và I là giao điểm của OK và MN. Ta 
thấy O chính là trung điểm của AA’. 
Gọi D và P là giao điểm của AA’ với (ABC) và MN. 
Dễ thấy 
2
. .AM AB AA AN AC′= = 
Suy ra tứ giác BMNC nội tiếp. 
n nAMN ACB⇒ = 
Mà n nADB ACB= 
Nên n nAMN ADB= 
Suy ra MPDB nội tiếp. 
Do đó ta có 2. .AP AD AM AB AA′= = 
Mà A, A’ và D cố định suy ra P cố định. 
Gọi H là hình chiếu của K trên AA’. 
Ta có 2 21. .
4
AP AH AI AK IN AA′= = = 
Mà A, P, A’ cố định suy ra H cố định. 
Vậy K thuộc đường thẳng qua H và vuông góc với AA’ 
Ví dụ 4 (IMO 95/1) 
Trên đường thẳng d lấy 4 điểm A, B, C, D (theo thứ tự đó). Đường tròn đường kính AC 
và BD cắt nhau tại X, Y. Đường thẳng XY cắt BC tại Z. Lấy P là một điểm trên XY khác Z. 
Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ 2 là M, và BP cắt đường tròn 
đường kính BD tại điểm thứ 2 là N. Chứng minh rằng AM, DN và XY đồng qui. 
Hướng dẫn: 
Gọi Q, Q’ lần lượt là giao điểm của DN và AM với XY. Ta cần chứng minh Q Q′≡ . 
I
P
H
D
K
M
N
A
B CA'
5
Tứ giác QMCZ nội tiếp, suy ra . .PM PC PQ PZ=
Tứ giác NQ’ZB nội tiếp, suy ra . .PQ PZ PN PB′ =
Mà P thuộc XY là trục đẳng phương của đường tròn 
đường kính AC và đường tròn đường kính BD nên 
. . .PN PB PX PY PM PC= =
Suy ra . .PQ PZ PQ PZ Q Q′ ′= ⇒ ≡
Vậy XY, AM và DN đồng quy. 
Q
Z
N
M
X
A DCB
P
Y
www.hsmath.net
ww
w.
hs
ma
th.
ne
t
2. Các bài toán về trục đẳng phương – Tâm đẳng phương 
Ví dụ 5. Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Một điểm H thuộc đoạn AB. Đường thẳng 
qua H cắt đường tròn tại C. Đường tròn đường kính CH cắt AC, BC và (O) lần lượt tại D, E 
và F. 
a) Chứng minh rằng AB, DE và CF đồng quy. 
b) Đường tròn tâm C bán kính CH cắt (O) tại P và Q. Chứng minh rằng P, D, E, Q thẳng 
hàng. 
a) Ta có 2. .CACD CH CBCE= = , suy ra ADEB 
nội tiếp. Xét các đường tròn (ADEB), (O) và 
đường tròn đường kính CH, thì DE, AB và CF 
lần lượt là các trục đẳng phương của các cặp 
đường tròn trên nên chúng đồng quy. 
b) Ta có PQ là trục đẳng phương của ( C) và 
(O) nên OC PQ⊥ . Ta cũng dễ thấy OD DE⊥ . 
Hơn nữa H chính là tâm đẳng phương của ba 
đường tròn (O), ( C) và đường tròn đường kính 
CH. Suy ra PQ đi qua H. 
Vậy DE, PQ cùng đi qua H và cùng vuông góc 
với OC nên trùng nhau. Hay D, E, P, Q thẳng 
hang. 
P
Q
M
E
D
C
O BH
6
A
Ví dụ 6 (MOP 95) 
Cho tam giác ABC có đường cao BD và CE cắt nhau tai H. M là trung điểm của BC, N là 
giao điểm của DE và BC. Chứng minh rằng NH vuông góc với AM. 
Hướng dẫn. 
j
F
I
O
H
MN
E
D
A
B C
Ta có 
n n n n
n n n n2. 2.
DEH DAH DBC FEH
FED FEH DBC DMC
= = =
⇒ = = =
Suy ra tứ giác EDMF nội tiếp. 
Từ đó ta có . .NE ND NF NM= , suy ra N nằm trên trục đẳng phương của đường tròn đường 
Hướng dẫn. 
www.hsmath.net
ww
w.
hs
ma
th.
ne
t
kính MH và đường tròn đường kính AH. 
Mặt khác H là giao điểm của (O) và (I), suy ra NH chính là trục đẳng phương của (O) và (I). 
Suy ra NH OI⊥ , rõ rang OI // AM, do đó NH AM⊥ . 
 Ví dụ 7 (India, 1995) 
Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại D và E. Gọi P là 
một điểm bên trong tam giác ADE, F và G là giao của DE với BP và CP. Đường tròn tâm 
(O) ngoại tiếp tam giác PDG, đường tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác PEF cắt nhau tại điểm 
thứ hai là Q. Chứng minh rằng AQ OI⊥ 
Hướng dẫn. 
7
M
N
F G
E
A
B C
P
D
Gọi M là giao điểm thứ hai của AB và (PDG), N là giao thứ hai của AC và (PFG) 
Ta có n nAMP PGD= và n nPGD PCB= (đồng vị), suy ra n nAMP PCB= , suy ra BMPC nội tiếp. 
Chứng minh tương tự PNCB nội tiếp. 
Suy ra BMNC nội tiếp, suy ra . .AM AB AN AC=
Mà AD AE
AB AC
= (Định lý Thalet) 
Suy ra . .AM AD AN AE=
Do đó A thuộc trục đẳng phương PQ của (PDG) và (PEF) suy ra AQ OI⊥ . 
Ví dụ 8. (Chọn đội tuyển Việt Nam 2006) Cho tam giác ABC là tam giác nhọn và không phải 
tam giác cân nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Một đường thẳng d thay đổi sao cho 
vuông góc với OA và luôn cắt tia AB, AC. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của d và AB, AC. 
Giả sử BN và CN cắt nhau tại K, AK cắt BC. 
a) Gọi P là giao của AK và BC. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn 
đi qua một điểm cố định. 
b) Gọi H là trực tâm của tam giác AMN. Đặt BC = a và l là khoảng cách từ A đến 
HK.Chứng minh KH đi qua trực tâm của tam giác ABC, từ đó suy ra: 2 24l R a≤ −
Hướng dẫn. 
www.hsmath.net
ww
w.
hs
ma
th.
ne
t
Z
Q
J
D
I
Q P
L
K
XH
M
N
O
A
B C
Y
a)
Gọi Q là giao điểm của MN và BC, E là trung điểm BC. Xét tứ giác BMPC thì ta biết 
rằng Q, P, B, C là hang điểm điều hòa. Suy ra (QPBC) = - 1. Khi đó ta có: 
2
.EP EQ EB= , suy ra 2 2 2 2 2. . .QEQP QE QE PE QE EB OQ OB QBQC= − = − = − =
Mà tứ giác BMNC cũng nội tiếp vì có n n nNCB xAB AMN= = (Ax là tia tiếp tuyến của (O)). Suy ra 
. .QM QN QBQC=
Từ
đó suy ra . .QM QN QPQE= , suy ra tứ giác MNIP nội tiếp, suy ra đường tròn ngoại tiếp tam 
giác MNP luôn đi qua điểm E cố
định. 
b)
Giả sử 3 đường cao AD, BF và CJ của tam giác ABC cắt nhau tại I; ba đường cao MX, 
AY, NZ của tam giác AMN cắt nhau tại H. Ta cần chứng minh K, I, H thẳng hàng. 
Xét đường tròn tâm (O1) đường kính BN và tâm (O2) đường kính CM. 
Ta thấy: 
. .
. .
. .
KC KM KB KN
IC IJ IB IF
HM HX HN HZ
=
=
=
Suy ra K, I, H cùng thuộc trục đẳng phương của (O1) và (O2) nên thẳng hang. 
8
Từ đó suy ra AL AI≤ . 
Mà 
2
2 2 22. 2 4
4
BCAI OE R R a= = − = − 
Nên 2 24AL l R a= ≤ −
www.hsmath.net
ww
w.
hs
ma
th.
ne
t
IV. Bài tập 
1. Cho đường tròn (O). A, B là hai điểm cố định đối xứng nhau qua O. M là điểm chuyển 
động trên (O). MA, MB giao với (O) tại P và Q. Chứng minh rằng: AM BM
AP BQ
+ nhận giá 
trị không đổi. 
2. (Thi vào trường Phổ Thông Năng Khiếu năm 2003 – 2004) 
a) Cho đường tròn (C ) tâm O và một điểm A khác O nằm trong đường tròn. Một đường 
thẳng thay đổi qua A nhưng không đi qua O cắt (C ) tại M, N. Chứng minh rằng đường 
tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khác O. 
b) Cho đường tròn (C ) tâm O và một đường thẳng (d) nằm ngoài đường tròn. I là điểm di 
động trên (d). Đường tròn đường kính IO cắt (C ) tại M, N. Chứng minh rằng đường 
thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. 
3. Cho 3 điểm C, A, B thẳng hàng và được sắp xếp theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) thay 
đổi luôn đi qua hai điểm A và B. CM và CM’ là hai tiếp tuyến của (O). Chứng minh rằng: 
a) M và M’ luôn thuộc một đường tròn cố định 
b) Trung điểm H của MM’ thuộc một đường cố định. 
4. (Việt Nam 2003) Trên mặt phẳng cho hai đường tròn (O1) và (O2) cố định tiếp xúc nhau 
tại M và bán kính của (O2) lớn hơn bán kính của (O2). Một điểm A di chuyển trên (O2) 
sao cho 3 điểm O1, O2 và A không thẳng hàng. Từ điểm A vẽ tiếp tuyến AB và AC đến 
(O1) (B, C là hai tiếp điểm). Đường thẳng MB và MC cắt đường tròn (O2) tại E và F. Gọi 
giao điểm của EF với tiếp tuyến tại A của (O2) là D. Chứng minh rằng D luôn di chuyển 
trên một đường cố định khi A thay đổi trên (O2) mà O1, O2 và A không thẳng hàng. 
5. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. D là một điểm cố định thuộc AB, đường thẳng d 
đi qua D và vuông góc với AB. H là một điểm thay đổi trên d. AH và BH cắt (O) lần lượt 
tại P và Q. Chứng minh rằng PQ luôn đi qua một điểm cố định. 
6. Cho tam giác ABC và đường cao AH thỏa AD = BC. Gọi H là trưc tâm tam giác, M và N 
lần lượt là trung điểm của BC và AD. Chứng minh rằng HN = HM. 
9
7. Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi H, K lần lượt là trực 
tâm các tam giác OAD và OBC; M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh 
rằng MN HK⊥ . 
8. (Dự tuyển IMO 1994) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BA, CA, AB lần 
lượt tại D, E, F. X là một điểm bên trong tam giác ABC sao cho đường tròn nội tiếp tam 
giác XBC cũng tiếp xúc với BD tại D, và tiếp xúc với XB, XC lần lượt tại Y, Z. Chứng 
minh rằng EF, YZ và BC đồng quy. 
9. (USAMO 1997) Cho tam giác ABC. Về phía ngoài tam giác dựng các tam giác cân 
DBC, EAC, FAB có các đỉnh lần lượt là D, E, F. Chứng minh rằng các đường thẳng qua 
A, B, C lần lượt vuông góc với EF, FD và DE đồng quy. 
10. F là điểm trên cạnh đáy AB của hình thang ABCD sao cho DF = CF. E là giao điểm của 
hai đường chéo AC và BD. Gọi (O1), (O2) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác 
ADF và BCF. Chứng minh răng 1 2EF OO⊥ . 
www.hsmath.net
ww
w.
hs
ma
th.
ne
t
10
11.
(IMO 1994 Shortlist) Một đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng song song d1 và 
d2. Đường tròn thứ hai (C1) tiếp xúc với d1 tại A và tiếp xúc ngoài với (C) tại C. Đường 
tròn thứ 3 (C2) tiếp xúc với d2 tại B và tiếp xúc ngoài với (C) tại D và tiếp xúc với (C) tại 
E. Gọi Q là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng QC = QD = QE. 
12.
Cho tam giác ABC. Dựng hình vuông DEFG nội có các đỉnh D, E thuộc cạnh BC, F, G 
lần lượt thuộc AC và AB. Gọi dA là trục đẳng phương của hai đường tròn (ABD) và 
(ACE). Các đường thẳng dA, dB
được xác định tương tự. Chứng minh rằng dA, dB, dC
đồng quy. 
13.
 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), M là trung điểm BC, M’ là giao điểm của 
AM và (O). Tiếp tuyến tại M cắt đường thẳng qua M vuông góc với AO tại X. Y, Z được 
xác định tương tự. Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng hàng. 
www.hsmath.net
ww
w.
hs
ma
th.
ne
t